EDO3 MAT 147 2017 II

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Reduc¸a˜o de ordem
Equac¸a˜o Caracter´ıstica
EDO linear, de 2a ordem, na˜o homogeˆnea, com coef. constantes
Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros
EDO III
por
Ab´ılio Lemos
Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica-CCE
Aulas de MAT 147 - 2017
06, 08 e 13 de novembro de 2017
Ab´ılio Lemos Departamento de Matema´tica – UFV
Reduc¸a˜o de ordem
Equac¸a˜o Caracter´ıstica
EDO linear, de 2a ordem, na˜o homogeˆnea, com coef. constantes
Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros
Teorema (D’Alembert): Sejam y1(x) uma soluc¸a˜o, na˜o nula, da
EDO
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0, (1)
enta˜o a substituic¸a˜o y(x) = v(x)y1(x) transforma a EDO (1) em
uma EDO linear homogeˆnea de ordem 1 para v ′ =
dv
dx
. Ale´m disso,
se v1(x) e´ uma soluc¸a˜o, na˜o nula, dessa EDO de ordem 1, enta˜o
{y1(x), v1(x)y1(x)} e´ um conjunto fundamental de soluc¸o˜es de (1).
Exemplo: Verifique que y1(x) = x e´ soluc¸a˜o da EDO
x2y ′′ − x(x + 2)y ′ + (x + 2)y = 0 e depois determine a soluc¸a˜o
geral da EDO.
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EDO linear, de 2a ordem, na˜o homogeˆnea, com coef. constantes
Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros
2o Caso: As ra´ızes r1 e r2 da equac¸a˜o ar 2 + br + c = 0 sa˜o reais e
iguais, ou seja, r1 = r2 = r .
Neste caso, y1(x) = e
rx e y2(x) = v(x)e
rx sa˜o soluc¸o˜es da EDO
ay ′′ + by ′ + cy = 0 e portando y(x) = Aerx + Bv(x)erx , com
A,B ∈ R, e´ soluc¸a˜o geral de ay ′′ + by ′ + cy = 0.
Exemplo: Determine a soluc¸a˜o geral da EDO 4y ′′ − 12y ′ + 9y = 0.
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EDO linear, de 2a ordem, na˜o homogeˆnea, com coef. constantes
Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros
3o Caso: As raizes r1 e r2 da equac¸a˜o ar 2 + br + c = 0 sa˜o
complexas conjugadas, ou seja, r1 = α + βi e r2 = α− βi .
Neste caso, y˜1(x) = e
(α+βi)x e y˜2(x) = e
(α−βi)x sa˜o soluc¸o˜es da
EDO ay ′′ + by ′ + cy = 0 (so´ que sa˜o complexas). Usando alguns
argumentos alge´bricos podemos mostrar que
{eαx cosβx , eαxsenβx} e´ um conjunto fundamental de soluc¸o˜es da
EDO e portando y(x) = Aeαx cosβx + Beαxsenβx , com A,B ∈ R,
e´ soluc¸a˜o geral de ay ′′ + by ′ + cy = 0.
Exemplo: Determine a soluc¸a˜o geral da EDO y ′′ + 2y ′ + 5y = 0.
Exerc´ıcio: Determine a soluc¸a˜o geral da EDO y ′′ + b2y = 0, com
b ∈ R.
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EDO linear, de 2a ordem, na˜o homogeˆnea, com coef. constantes
Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros
Me´todo dos coeficientes indeterminados
Considere a EDO linear, de 2a ordem, na˜o homogeˆnea, com
coeficientes constantes
ay ′′ + by ′ + cy = g(x), (2)
onde a, b, c ∈ R, a 6= 0 e g(x) e´ uma func¸a˜o polinomial, senβx ,
cosβx , eβx (β ∈ R), ou combinac¸o˜es de somas e produtos
envolvendo tais func¸o˜es. A soluc¸a˜o geral de (2) e´ dada por
y(x) = yc(x) + yp(x),
onde yc e´ a soluc¸a˜o geral da EDO homogeˆnea associada (chamada
soluc¸a˜o complementar) ay ′′ + by ′ + cy = 0 e yp e´ uma soluc¸a˜o
particular de (2).
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EDO linear, de 2a ordem, na˜o homogeˆnea, com coef. constantes
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Me´todo dos coeficientes indeterminados
1o Caso: g(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn, a0, . . . , an ∈ R.
Neste caso, deve-se procurar uma soluc¸a˜o particular da forma
yp(x) = x
s(A0 + · · ·+ Anxn),
onde s e´ o menor inteiro na˜o negativo que garante que
nenhuma parcela de yp(x) seja soluc¸a˜o da EDO homogeˆnea
associada. Os coeficientes A0, . . . ,An devem ser determinados.
Exemplo: Determine a soluc¸a˜o geral da EDO y ′′ + y ′ = 2 + t2.
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Me´todo dos coeficientes indeterminados
2o Caso: g(x) = (a0 + a1x + · · ·+ anxn)eax , a0, . . . , an, a ∈ R.
Neste caso, deve-se procurar uma soluc¸a˜o particular da forma
yp(x) = x
s(A0 + · · ·+ Anxnx)eax ,
onde s e´ o menor inteiro na˜o negativo que garante que
nenhuma parcela de yp(x) seja soluc¸a˜o da EDO homogeˆnea
associada. Os coeficientes A0, . . . ,An devem ser determinados.
Exemplo: Determine a soluc¸a˜o geral da EDO
y ′′ + 2y ′ + y = (2 + t)e−t .
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Me´todo dos coeficientes indeterminados
3o Caso: g(x) = (
∑n
i=0 aix
i )eax cos bx + (
∑m
i=0 bix
i )eaxsenbx ,
a0, . . . , an, b0, . . . , bm, a, b ∈ R.
Neste caso, deve-se procurar uma soluc¸a˜o particular da forma
yp(x) = x
s [(A0+· · ·+Aqxq)eax cos bx +(B0+· · ·+Bqxq)eaxsenbx ],
onde q = ma´x{n,m} e s e´ o menor inteiro na˜o negativo que
garante que nenhuma parcela de yp(x) seja soluc¸a˜o da EDO
homogeˆnea associada. Os coeficientes A0, . . . ,Aq,B0, . . . ,Bq
devem ser determinados.
Exemplo: Determine a soluc¸a˜o geral das EDO’s
y ′′ + 2y ′ + 2y = ex cos x e y ′′′ − 3y ′′ + 3y ′ − 1 = 48tet .
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Me´todo dos coeficientes indeterminados
Exerc´ıcios: Determine a soluc¸a˜o das EDO’s e dos PVI’s abaixo.
(a) y ′′ + 5y ′ + 6y = xe−5x ;
(b) y ′′ + 4y = 2sen(2t) + t;
(c) y ′′ + 2y = et + 2;
(d) y ′′ − 4y ′ + 4y = 3e−t , y(0) = 0, y ′(0) = 0;
(e) y ′′ + 2y ′ + y = 3sen(2t), y(0) = 0, y ′(0) = 0.
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Esse me´todo funciona para qualquer EDO do tipo
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f (x), (3)
para a qual se conhec¸a duas soluc¸o˜es fundamentais y1(x), y2(x) da
EDO homogeˆnea associada. Neste caso, yc(x) = Ay1(x) + By2(x)
e´ soluc¸a˜o complementar. Procuramos uma soluc¸a˜o particular da
forma
yp(x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x), (4)
com a condic¸a˜o que
y ′p(x) = A(x)y
′
1(x) + B(x)y
′
2(x),
ou equivalentemente
A′(x)y1(x) + B ′(x)y2(x) = 0. (5)
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Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros
Substituindo yp(x), y
′
p(x) e y
′′
p (x) na EDO (3) obtemos
A′(x)y ′1(x) + B
′(x)y ′2(x) = f (x), (6)
e portanto temos o seguinte sistema{
A′(x)y1(x) + B ′(x)y2(x) = 0
A′(x)y ′1(x) + B
′(x)y ′2(x) = f (x)
cuja soluc¸a˜o e´
A(x) = −
∫
y2(x)f (x)
W [y1(x), y2(x)]
dx e B(x) =
∫
y1(x)f (x)
W [y1(x), y2(x)]
dx .
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Equac¸a˜o Caracter´ıstica
EDO linear, de 2a ordem, na˜o homogeˆnea, com coef. constantes
Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros
Assim, a soluc¸a˜o geral da EDO (3) e´
y(x) = Ay1(x) + By2(x)− y1(x)
∫
y2(x)f (x)
W [y1(x), y2(x)]
dx
+y2(x)
∫
y1(x)f (x)
W [y1(x), y2(x)]
dx
Exemplo: Determine a soluc¸a˜o geral das EDO’s y ′′ + y = sec x e
y ′′ + y = cossecx .
Exerc´ıcios: Determine a soluc¸a˜o geral das EDO’s.
(a) y ′′ − 2y ′ + y = ex/x ;
(b) y ′′′ − 3y ′′ + 2y ′ = ex/(1 + e−x);
(c) y ′′ − 4y ′ + 3y = ex/(1 + ex);;
(d) y ′′ − 2y ′ + y = ex/x3;
(e) y ′′ + 4y = 4 sec2(2t).
Ab´ılio Lemos Departamento de Matema´tica – UFV
	Redução de ordem
	Equação Característica
	EDO linear, de 2ª ordem, não homogênea, com coef. constantes
	Método dos coeficientesindeterminados
	Método da Variação de Parâmetros