LISTA 1- calulo 1

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UFPR - Departamento de Matemática
CMA311 Cálculo III - Eng. Ambiental - 2019
Profa. Ana Gabriela Mart́ınez
LISTA N0 1: Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem..
1. Classifique as seguintes equações segundo a ordem e a linearidade:
(a) x2y′′ + 5xy3 = 3xy′; (b) y′ + 3x3y + y′′ = cosx; (c) y′′ + ty′ =
√
y;
(d) (cos x3) y′′ − 3x2y′′′ = y; (e) x3(x2 − 1)y′ + cos(2πx) y = 0; (f) y′′′ + 4y = t
2 + 1
y′
.
2. Verifique que as seguintes funções são soluções das e.d.o. correspondentes:
(a) y(x) =
c
cosx
de y′ − y tg(x) = 0.
(b) x(t) = (t+ k)e−3t de x′ + 3x = e−3t, onde k denota uma constante.
(c) y(t) =
t
t− 1
é solução da e.d.o. t2y′ + y2 = 0, para todo t > 1.
(d) y(x) = tg(x3) é solução da e.d.o. y′ = 3x2 + 3x2y2 , para todo x ∈]− (π
2
)1/3, (π
2
)1/3[.
3. Determine qual ou quais das funções y1(x) = x
2, y2(x) = x
3 e y3(x) = e
−x são soluções
da equação:
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0.
4. Encontre a solução geral da e.d.o. linear de primeira ordem para x > 0,
xy′(x) + 2y(x) = cos x.
Observe que a equação possue infinitas soluções. Grafique, com a ajuda de algum
software computacional, essas soluções para diferentes valores da constante de
integração C.
5. Encontre a solução geral das seguintes e.d.o. lineares de primeira ordem:
(a) xy′ + 2y = x2 − x+ 1
(b) y′ − 2
x
y = x
(c) (x2 + 9)y′ + xy = 0. (Aqui pode usar também separação de variáveis).
(d) y′ +
4
x
y =
2
x3
.
(e) xy′ + 2y = sinx.
(f) x(x− 1)y′ + y = x2(2x− 1).
(g) y′ + 3x2y = e−x
3+x.
(h) y′ +
4
x
y =
2
x3
.
6. (a) Considere a equação diferencial de primeira ordem linear: y′(x) + p(x)y = 0. Mostre
que se y1(x) e y2(x) são duas soluções da e.d.o. anterior, então
z(x) = c1y1(x) + c2y2(x) é também solução da mesma equação.[ Esta propriedade é
conhecida pelo nome de Prinćıcio da superposição].
(b) O resultado anterior ainda permanece válido se trocarmos a equação linear
homogênea pela não homogênea: y′(x) + p(x)y = g(x)?
7. Considere as equações diferenciais lineares:
y′(x) + p(x)y = 0; y′(x) + p(x)y = q(x).
Suponha que y1(x) é solução da homogênea e que yp(x) é solução da não
homogênea. Mostre então que cy1(x) + yp(x), para c constante real, é também solução
da e.d.o. não homogênea.
8. Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou
P.V.I.:
(a) y′ = yx
(b) e−y(1 + y′) = 1.
(c) (1 + ex)yy′ = ex; y(0) = 1.
(d) (1 + x2) dy + y dx = 0; y(1) = 1.
Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das
funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa
se anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo
não está definida para números negativos, considere log(|y|) quando for o caso.
9. Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
(a) 2xy − sinx+ (x2 + ey)dy
dx
= 0. [Resp:x2y + cosx+ ey = cte].
(b) 3x2 + 4xy + (2x2 + 2y)y′ = 0. [Resp:x3 + 2x2y + y2 = c].
(c) y2 + cosx+ (2xy + ey)
dy
dx
= 0. [Resp: xy2 + sinx+ ey = c].
(d) 2xy + y3 + (x2 + 3xy2)y′ = 0. [Resp: x2y + xy3 = c].
(e) 2(xy2 − 1
x3
) + (2x2y − 1
y2
)
dy
dx
= 0. [Resp: x2y2 + 1/x2 + 1/y = c].
10. Considere a seguinte equação diferencial:
ex
3
+ sin y +
x
3
cos(y)y′ = 0.
(a) Mostre que a equação diferencial não é exata e que µ(x) = x2 é um fator integrante.
(b) Encontre a solução geral da equação.
(c) Encontre a solução particular que passa pelo ponto (1, π).
[Resp: e
x3
3
+ x3 sin(y) = e/3].
11. Determine o fator integrante que transforma às seguintes equações diferenciais em
Exatas e calcule a solução geral em cada caso.
(a) y + (2x− yey)y′ = 0.
[Resp: µ(y) = y é fator integrante. Solução impĺıcita:y2x− y2ey + 2yey − 2ey = C.]
(b) 1− x2y + x2(y − x)y′ = 0.
[Resp: µ(x) = 1/x2 é fator integrante. Solução: y2/2− 1/x− xy = C]
12. Uma função f(x, y) se diz homogênea de grau n se verifica que f(tx, ty) = tnf(x, y).
Mostre que as seguintes funções são homogêneas:
(a) f(x, y) = x2 + y2 − xy, (b)f(x, y) = x+ y, (c)f(x, y) = x3 + 2xy2 + 2y3.
13. Uma equação diferencial se diz homogênea se é da forma y′ =
f(x, y)
g(x, y)
, onde f(x, y)
e g(x, y) são funções homogêneas do mesmo grau. Toda equação homogênea pode ser
reduzida a uma e.d.o de variáveis separáveis introduzendo uma mudança de variáveis do
tipo v =
y
x
. Resolva as seguintes e.d.o. homogêneas:
(a) y′ =
2xy
3x2 − y2
, (b) 4x− 3y + y′(2y − 3x) = 0
(c) 4x2 − xy + y2 = y′(xy − x2 − 4y2), (c) 2xy′(x2 + y2) = y(y2 + 2x2).
14. Uma equação diferencial de primeira ordem é dita de Bernoulli se pode ser escrita na
forma y′ + p(x)y = q(x)yα; α 6= 0, 1. Toda e.d.o. de Bernoulli pode ser transformada em
uma e.d.o linear através da mudança de variável v = y1−α. Resolva as seguintes e.d.o:
(a) y′ + 3y = 5y3, (b) xy′ + y = y2 lnx.
(c) y′ + y
x
= x2y4, (d) 4xy′ + 3y = −exx4y5.
Resp: (a) y(x) = [5/3 + ce6x]−1/2, (b) y(x) = [x(c− 0.5(lnx)2]−1, (c)
y(x) = [x3(c− lnx3)]−1/3, (d) y(x) = [x3(c+ ex)]−1/4.
15. Resolver os seguintes Problemas de Valores Iniciais:
(a) x+ y cosx = −y′ sinx; y(π/2) = 2.
(b) x+ ye−xy′ = 0; y(0) = 1.
(c) y′ =
y3
1− 2xy2
; y(0) = 1.
16. Determine os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor
inicial,
y′(x) = f(x, y(x)), y(x0) = y0
tem uma solução.
(a)f(x, y) =
√
y2 − 4, (b) f(x, y) = 2xy
y − x2
,
(c) f(x, y) =
√
xy, (d) f(x, y) =
y2
x2 + y2
.
Observação: Lembre que uma equação diferencial é dita autônoma quando a variável
independente não aparece expĺıcitamente na equação. Em geral uma e.d.o. autônoma de
primeira ordem pode ser escrita na forma F (y, y′) = 0 ou na forma y′ = f(y) (*). Os
zeros da função f em (*), isto é os valores de c tais que f(c) = 0 são chamados de
pontos de equilibrio ou estacionários. Nestes casos a função constante y(x)=c é uma
solução da equação autônoma que é chamada solução de equilibrio.
17. Considere a seguinte equação:
dy
dt
= y2 − 1
(a) Ache todas as soluções de equiĺıbrio, isto é as soluções constantes.
(b) Ache a solução do problema de valor inicial com y(0) = 0.
(c) Qual é o maior intervalo de tempo no qual é posśıvel definir a solução do item
anterior?
(d) Qual é o valor da solução no instante t = 1?
18. A seguir encontra-se o campo de direções da e.d.o. de primeira ordem não linear
y′ = (y2 − y − 2)(1− y)2:
Determine qual será o comportamento da solução do P.V.I. no longo termo quando,
(a) 0 < y(0) < 1, (b) 1 < y(0) < 2 (c) y(0) = 2 (d) y(0) > 2.
(e) Indique as soluções de equilibrio.
19. Para as seguintes equações autônomas, desenhe o campo de direções e esboce
algumas soluções:
(a) y′ = 2− y, (b) y′ = y − y2, (c) y′ = 1− y2.
Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como
assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.
20. Considere a equação loǵıstica:
dy
dt
= r
(
1− y
K
)
y,
com taxa de crescimento intŕınseco r = 1 e ńıvel de saturação K = 1.
(a) Ache todas as soluções de equiĺıbrio.
(b) Ache a solução do problema de valor inicial com y(0) = 3.
(c) Qual é o maior intervalo de tempo no qual é posśıvel definir a solução do item
anterior?
21. Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita
reduzir a ordem da equação:
(a) y′′ + (y′)2 = 0, (b) y′′ + y(y′)3 = 0, (c) y′′ = (y′)3 + y′
(d) x2y′′ + 2xy′ = 1, x > 0, (e) yy′′ + (y′)2 = 0, (f) (1 + x2)y′′ + 2xy′ = 2x−3.
22. Importante: Resolver os problemas 1 até 6; 8; 10; 11 e 22 da página 75/76 do livro [1].
Aqui é conveniente revisar os teoremas de existência e unicidade para e.d.o’s lineares de
primeira ordem (Teorema 2.4.1 do livro) e para e.d.o’s de primeira ordem não lineares
(Teorema 2.4.2 do livro do Boyce).
[1] Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, W. E. Boyce & R.
C. DiPrima, 9◦ Ed. Wiley, 2008..O pdf do livro está no site.
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