Cálculo de Caixa de Menor Custo

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 040 – Estudo Dirigido de Ca´lculo I – 2017/I
Teste 10 - Entrega dia 01/06/2017:
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Exerc´ıcio:
Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3. O material da tampa e da base vai
custar R$ 3, 00 por cent´ımetro quadrado e o material para os lados R$ 1, 50 por cent´ımetro quadrado . Encontre
as dimenso˜es da caixa de modo que o custo seja mı´nimo.
Soluc¸a˜o:
Sejam x o lado da base e da tampa e y a altura da caixa. Seu volume e´ dado por V = x2 y. Como V = 2000,
temos y =
2000
x2
.
O custo da base e da tampa e´ dado por 3x2 e o custo de cada lado por 1, 5xy.
Portanto, o custo total e´ dado por
C(x, y) = 2 · 3x2 + 4 · 1, 5xy
C(x) = 6x2 +
12000
x
, x ∈ (0,+∞).
Observemos que C e´ cont´ınua em seu domı´nio e:
C ′(x) = 12x− 12000
x2
=
12 (x3 − 1000)
x2
.
C ′ esta´ definida para todo x no domı´nio de C. Logo, os nu´meros cr´ıticos de C sa˜o os nu´meros reais x tais que
C ′(x) = 0. Temos:
C ′(x) = 0 ⇒ 12 (x
3 − 1000)
x2
= 0 ⇒ x3 = 1000 ⇒ x = 10.
Notemos tambe´m que:
C ′′(x) = 12 +
24000
x3
e C ′′ (10) = 12 +
24000
1000
= 12 + 24 = 36 > 0.
Portanto, segue do Teste da Segunda Derivada que C tem um mı´nimo relativo em x = 10.
Notemos tambe´m que:
. lim
x→0+
C(x) = lim
x→0+
(
6x2 +
12000
x
)
= +∞.
. lim
x→+∞ C(x) = limx→+∞
(
6x2 +
12000
x
)
= +∞.
Soluc¸a˜o:
Quando x = 10, temos y =
2000
100
= 20.
Assim, as dimenso˜es da caixa de menor custo sa˜o 10 cm o lado da base e da tampa e 20 cm de altura.