Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 2500. O material das laterais vai custar R$ 1200,00 por m...

Para encontrar as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo, podemos utilizar o método do cálculo diferencial. Sejam x, y e z as dimensões da caixa. Temos que o volume da caixa é dado por: V = x * y * z = 2500 A área da base da caixa é igual a xy = 25, portanto y = 25/x. O custo do material das laterais é diretamente proporcional à área das laterais, que é dada por: A = 2xz + 2yz Substituindo y por 25/x, temos: A = 2xz + 50z/x O custo do material da base é diretamente proporcional à área da base, que é dada por: B = xy * 980 = 980 * 25/x O custo total do material é dado por: C = 1200A + 2B = 1200(2xz + 50z/x) + 19600/x Para encontrar o mínimo de C, podemos derivá-la em relação a x e igualar a zero: dC/dx = -240000z/x^2 + 19600/x^2 = 0 240000z = 19600 z = 49/6 Substituindo z em V = xyz, temos: xy(49/6) = 2500 x^2 = 300 x = 10√3 Substituindo x em y = 25/x, temos: y = 25/(10√3) = 5√3 Portanto, as dimensões da caixa de modo a obter o menor custo possível são aproximadamente 10√3 m x 5√3 m x 49/6 m. A alternativa correta é a letra E.