416359 Economia 2014 2

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Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
Prof.: Tarcísio Faustini
tfausti@terra.com.br
Centro Tecnológico
Departamento de Engenharia de Produção
2014 – segundo período
ECONOMIA DA 
ENGENHARIA II
Economia da Engenharia II
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Introdução
2
Economia da Engenharia II
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3
Introdução
Economia da Engenharia II
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4
Introdução
Matemática 
Financeira
Análise de 
Investimentos
seg ter qua qui sex atividade
31-mar 1-abr 2-abr 3-abr 4-abr apresentação do curso
7-abr 8-abr 9-abr 10-abr 11-abr conceitos
14-abr 15-abr 16-abr 17-abr 18-abr feriado
21-abr 22-abr 23-abr 24-abr 25-abr conceitos
28-abr 29-abr 30-abr 1-mai 2-mai feriado
5-mai 6-mai 7-mai 8-mai 9-mai conceitos
12-mai 13-mai 14-mai 15-mai 16-mai conceitos
19-mai 20-mai 21-mai 22-mai 23-mai conceitos
26-mai 27-mai 28-mai 29-mai 30-mai exercícios - 1a. lista
2-jun 3-jun 4-jun 5-jun 6-jun primeira prova parcial
9-jun 10-jun 11-jun 12-jun 13-jun discussão da primeira prova
16-jun 17-jun 18-jun 19-jun 20-jun feriado
23-jun 24-jun 25-jun 26-jun 27-jun conceitos
30-jun 1-jul 2-jul 3-jul 4-jul exercícios - 2a. lista
7-jul 8-jul 9-jul 10-jul 11-jul segunda prova parcial
14-jul 15-jul 16-jul 17-jul 18-jul apresentação de trabalho
21-jul 22-jul 23-jul 24-jul 25-jul apresentação de trabalho
28-jul 29-jul 30-jul 31-jul 1-ago prova final
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5
Introdução
seg ter qua qui sex atividade
31-mar 1-abr 2-abr 3-abr 4-abr apresentação do curso
7-abr 8-abr 9-abr 10-abr 11-abr conceitos
14-abr 15-abr 16-abr 17-abr 18-abr feriado
21-abr 22-abr 23-abr 24-abr 25-abr conceitos
28-abr 29-abr 30-abr 1-mai 2-mai feriado
5-mai 6-mai 7-mai 8-mai 9-mai conceitos
12-mai 13-mai 14-mai 15-mai 16-mai conceitos
19-mai 20-mai 21-mai 22-mai 23-mai conceitos
26-mai 27-mai 28-mai 29-mai 30-mai exercícios - 1a. lista
2-jun 3-jun 4-jun 5-jun 6-jun primeira prova parcial
9-jun 10-jun 11-jun 12-jun 13-jun discussão da primeira prova
16-jun 17-jun 18-jun 19-jun 20-jun feriado
23-jun 24-jun 25-jun 26-jun 27-jun conceitos
30-jun 1-jul 2-jul 3-jul 4-jul exercícios - 2a. lista
7-jul 8-jul 9-jul 10-jul 11-jul segunda prova parcial
14-jul 15-jul 16-jul 17-jul 18-jul apresentação de trabalho
21-jul 22-jul 23-jul 24-jul 25-jul apresentação de trabalho
28-jul 29-jul 30-jul 31-jul 1-ago prova final
Conceitos
Métodos
Comple-
mentos
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AgendaIntrodução
6
Agenda
2014
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“Dinheiro na mão é vendaval” 
(Paulinho da Viola, no samba “Pecado Capital”)
Introdução
7
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0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
PGTO
Juros e 
Equivalência de Capitais
Introdução
8
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Introdução - Financiamentos
9
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10
Introdução - Financiamentos
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11
Introdução - Financiamentos
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12
Introdução - Financiamentos
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Introdução - Investimentos
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Introdução - Investimentos
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Introdução - Investimentos
15
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Introdução - Investimentos
16
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Introdução - Investimentos
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Introdução - Investimentos
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Métodos para Análise de Investimentos
Introdução
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TÉCNICA
ECONÔMICA
UM PROJETO 
DEVE TER 
VIABILIDADE
Introdução
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Introdução
TÉCNICA
UM PROJETO 
DEVE TER 
VIABILIDADE
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Introdução
ECONÔMICA
UM PROJETO 
DEVE TER 
VIABILIDADE
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Introdução
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1. Puccini, Abelardo Lima
”Matemática Financeira Objetiva e Aplicada”
Saraiva, 2011
2. Casarotto Filho, Nelson 
”Análise de Investimentos”
Atlas, 2010
3. Hazzan, Samuel
”Matemática Financeira”
Saraiva, 2007
4. Lapponi, Juan Carlos
”Matemática Financeira”
Campus, 2014
Bibliografia
Introdução
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Introdução
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� Cópias eletrônicas dos slides são disponibilizadas para os alunos 
(em CDs, pen drives ou através de e-mails), após as aulas.
tfausti@terra.com.br
Introdução
Cópias dos slides
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27
� Os slides servem apenas como roteiro para acompanhamento das 
aulas e anotações, 
� não servem como única fonte para estudos, 
� que devem ser feitos prioritariamente usando a bibliografia 
sugerida ou publicações similares.Introdução
Cópias dos slides
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� Alunos que perderam a aula em que um slide foi discutido 
dificilmente entenderão os conceitos que nele estão resumidos, 
� para fazer isso deverão consultar a bibliografia ou publicações 
semelhantes.
Cópias dos slides
Introdução
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� São aplicadas duas provas parciais e, eventualmente, 
uma final, no mesmo nível de dificuldade dos exercícios 
resolvidos durante o curso, 
� porém não necessariamente semelhantes.
Introdução
Verificação do aproveitamento dos estudos
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� Acompanha todas as provas uma tabela com as fórmulas 
necessárias.
Introdução
Verificação do aproveitamento dos estudos
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RESUMO DAS FÓRMULAS
Pagamento Simples
Série Uniforme
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
PGTO
i
1)i1(PGTOVF
n
−+
= 1)i1(
iVFPGTO
n
−+
=
n
n
)i1(i
1)i1(PGTOVP
+
−+
=
1)i1(
)i1(iVPPGTO
n
n
−+
+
=
n)i1(VPVF += n)i1(VFVP −+=
31
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� Todas as provas parciais são resolvidas em aula, 
� com ampla discussão sobre as soluções 
apresentadas pelos alunos, 
� nas aulas subsequentes à sua aplicação, 
� quando eventuais dúvidas sobre a correção deverão 
ser sanadas.
� Não serão aceitas reclamações posteriores.
Introdução
Verificação do aproveitamento dos estudos
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� As questões das provas devem ser resolvidas 
integralmente, porque o critério de correção é objetivo 
(certo ou errado), 
� sem levar em conta a subjetividade da avaliação se 
um erro cometido foi “grande” ou “pequeno”.
Introdução
Verificação do aproveitamento dos estudos
33
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PROVAS PARCIAIS
2
= MÉDIA 
(opcional)
+
+ x
� Obtém-se a média aritmética das notas das duas provas parciais. 
� A essa média, poderá ser somado até 1,0 ponto, devido à realização 
de trabalho para casa (opcional). 
� Cada aluno só deverá apresentar um trabalho, individualmente ou em 
grupo de dois alunos. 
}2,1,0{∈x
Introdução
Verificação do aproveitamento dos estudos
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� Excepcionalmente, ao melhor trabalho poderão ser atribuídos 2,0 
pontos, se houver pelo menos um trabalho excelente, assim como ao 
pior trabalho poderá não ser atribuído ponto, se ele for considerado 
insuficiente.
Introdução
Verificação do aproveitamento dos estudos
35
PROVAS PARCIAIS
2
= MÉDIA 
(opcional)
+
+ x
}2,1,0{∈x
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� Nota 0: trabalho considerado insuficiente;
� Nota 1: trabalho capaz de acrescentar conteúdo ao curso e 
despertar o interesse dos colegas;
� Nota 2: trabalho excelente.
Introdução
Verificação do aproveitamento dos estudos
36
PROVAS PARCIAIS
2
= MÉDIA 
(opcional)
+
+ x
}2,1,0{∈x
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� Considera-se aprovado por média o aluno que obtiver a média das 
duas provas parciais (já com o possível acréscimo devido ao trabalho) 
igual ou superior a 7,0. 
7MÉDIA ≥
Introdução
Verificação do aproveitamento dos estudos
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PROVAS PARCIAIS
2
= MÉDIA 
(opcional)
+
+ x
}2,1,0{∈x
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2
= MÉDIA FINAL 
média
+
� O aluno que não for aprovado por média fará prova final sobre toda a 
matéria lecionada. 
� A média final será calculada entre a média das duas provas parciais 
(com o possível acréscimo devido ao trabalho) e a nota da prova final.
� Considera-se aprovado o aluno que obtiver média igual ou superior a 
5,0. 
Introdução
Verificação do aproveitamento dos estudos
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MÉDIA 
5FINALMÉDIA ≥
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Trabalhos opcionais
� Trabalhos a serem apresentados pelos alunos, em 
grupos de até 2 participantes, com temas escolhidos 
entre os sugeridos pelo professor.
Introdução
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Tipos de trabalho
� Conceitual
Introdução
40
� Prático � Informático
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Avaliação dos trabalhos opcionais
� A avaliação dos trabalhos é responsabilidade do 
professor e levará em conta:
�qualidade da apresentação (oral, impressa e 
projetada)
�utilização de conceitos
�aplicação prática dos conceitos
�originalidade
�objetividade e poder de síntese, utilizando o tempo 
de 15 minutos (duração máxima da apresentação).
Introdução
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� Desconto de títulos 
�Conceito de taxa de desconto “por dentro” e “por fora”
�Exemplos de taxas praticadas atualmente nos bancos
� Principais modalidades de aplicação no mercado financeiro nacional
�Certificados e recibos de depósitos bancários (CDB’s e RDB”s) 
� Fundos de aplicações
�Cadernetas de poupança
�Debêntures
�Comparação entre taxas praticadas atualmente nos bancos
� Condições atuais para financiamento imobiliário
� Condições atuais para financiamentos
Introdução
Temas sugeridos
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� Efeitos da depreciação e do imposto de renda nas análises 
econômicas 
�Depreciação contábil e depreciação real
�Valor residual
�Depreciação linear e outros tipos
� Análise da substituição de equipamentos
� Case de análise de projetos
� Análise de riscos
� Uso do software @Risk na análise de riscos 
�V. site www.palisade.com
Temas sugeridos
Introdução
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Autores:
xxx
xxx
mês / ano
Modelo para apresentação do trabalho
Trabalho de 
Economia da Engenharia 
(título)
Introdução
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Sumário
� O que é o trabalho.
� O sumário é o título expandido.
Introdução
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Apresentação
� Objetivo.
� Desenvolvimento.
� Conclusões.
� Recomendações (se houver).
Introdução
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Fontes
� De onde foram extraídos os dados.
� Bibliografia.
Introdução
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Material que compõe o trabalho
� Uma cópia da apresentação em papel A4, dois slides 
por página. 
� O(s) arquivo(s) eletrônicos utilizado(s) na 
apresentação.
Introdução
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50
n
n
)i1(i
1)i1(PGTOVP
+
−+
=
Recursos para cálculos econômicos
Introdução
50
8n
6%i
=
=
6,209794PGTOVP ×=
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51
n
n
)i1(i
1)i1(PGTOVP
+
−+
=
Recursos para cálculos econômicos
Introdução
51
8n
6,2%i
=
=
?????PGTOVP ×=
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Ábaco – milênios A.C.
Introdução
52
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Em 1622 era a régua de cálculo.
Régua de cálculo - 1622
Introdução
53
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Máquina de Pascal - 1642
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Em 1672, a calculadora de Leibniz conseguia fazer cálculos 
envolvendo as quatro operações e extraindo a raiz quadrada.
Calculadora de Leibniz - 1672
55
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Era dono de 
uma tecelagem
e colocou 
desenhos nos 
teares, através 
de um sistema 
de cartões 
perfurados.
Joseph Marie Jacquard - 1801
56
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Hermann Hollerith - 1890
Utilização no 
Censo dos 
Estados 
Unidos
57
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Hermann Hollerith - 1890
58
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Em 1896, o sucesso de Hollerith era tanto 
que ele fundou a Tabulation Machine Company,
que se fundiu com duas empresas e formou a 
Computing Tabulation Recording Company. 
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Depois da morte dele, a CTRC mudou de 
nome e virou IBM - Internacional Business 
Machine. 
60
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Mark I - 1943
Em parceria com a Marinha Norte-Americana, a IBM 
construiu o Mark I, totalmente eletromecânico, com 17 m 
de comprimento, 2,5 m de altura e 5 toneladas.
Introdução
61
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Disco rígido de 5 
MB - 1956
Introdução
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IBM/360 – a partir de 1964
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Anos 1980 - microcomputadores
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1981 
disquete de 5”1/4 
360 KB
1985 
disquete de 3” ½ 
1.44 MB
Armazenamento de dados
1986 
640 MB
1997
4,7 GB
1998
25 a 50 GB
2003
32 GB
65
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Primeiro trimestre de 2013
66
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Anos 2010
67
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n
n
i)i(1
1i)(1PGTOVP
+
−+
=
Calculadoras – anos 1960 / 70
68
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Calculadoras – anos 1960 / 70
69
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Calculadoras – anos 1960 / 70
70
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71
1981 – HP Financeira 12C
71
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Calculadoras – anos 2000
72
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Planilhas eletrônicas
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Planilhas eletrônicas
74
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Planilhas eletrônicas
75
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Ferramenta básica: Excel
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Uso de funções Excel:
Ferramenta básica: Excel
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Ferramenta básica: Excel
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Análise de Investimentos
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80
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Adiantando assunto a ser visto:
�Qual a taxa de juros que está sendo cobrada neste 
financiamento:
838,80
- 699,00
139,80
699,00 139,80
100,00 x
20,00
699,00
139,80100,00
x =
×
=
1,67%a.m.
12
20%a.a.
=
Errado!
82
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Opções para quem não tem 699,00:
�Esperar até juntar esse dinheiro ou
�Comprar a prazo ou
�Conseguir um financiamento em melhores condições
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Opções para quem não tem 699,00:
�Esperar até juntar esse dinheiro
� Enquanto não tiver o dinheiro, não terá o tablet;
� Existe o risco do preço aumentar. 
84
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Opções para quem não tem 699,00:
�Comprar a prazo
� Comprometer-se com uma despesa mensal de 
R$ 69,90 ao longo de 12 meses, pagando R$ 
838,80 por um tablet que vale R$ 699,00. 
85
Economia da Engenharia II
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Opções para quem não tem 699,00:
�Conseguir um financiamento em melhores condições
� Por exemplo, tomar um empréstimo de R$ 699,00 
a ser pago em 12 prestações mensais de R$ 
60,00. 
86
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Opções para quem tem 699,00:
�Pagar 699,00 à vista ou
�Fazer uma aplicação financeira de 699,00 e pagar as 
prestações mensais com os rendimentos
87
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taxa da 
aplicação mês saldo inicial rendimento prestação saldo final
5,0% 0 699,00 
1 699,00 34,95 69,90 664,05 
2 664,05 33,20 69,90 627,35 
3 627,35 31,37 69,90 588,82 
4 588,82 29,44 69,90 548,36 
5 548,36 27,42 69,90 505,88 
6 505,88 25,29 69,90 461,27 
7 461,27 23,06 69,90 414,44 
8 414,44 20,72 69,90 365,26 
9 365,26 18,26 69,90 313,62 
10 313,62 15,68 69,90 259,40 
11 259,40 12,97 69,90 202,47 
12 202,47 10,12 69,90 142,70 
Opção de aplicação financeira:
88
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taxa da 
aplicação mês saldo inicial rendimento prestação saldo final
1,0% 0 699,00 
1 699,00 6,99 69,90 636,09 
2 636,09 6,36 69,90 572,55 
3 572,55 5,73 69,90 508,38 
4 508,38 5,08 69,90 443,56 
5 443,56 4,44 69,90 378,10 
6 378,10 3,78 69,90 311,98 
7 311,98 3,12 69,90 245,20 
8 245,20 2,45 69,90 177,75 
9 177,75 1,78 69,90 109,63 
10 109,63 1,10 69,90 40,82 
11 40,82 0,41 69,90 -28,67 
12 -28,67 -0,29 69,90 -98,86 
Opção de aplicação financeira:
89
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taxa da 
aplicação mês saldo inicial rendimento prestação saldo final
2,9% 0 699,00 
1 699,00 20,43 69,90 649,53 
2 649,53 18,98 69,90 598,62 
3 598,62 17,50 69,90 546,21 
4 546,21 15,96 69,90 492,28 
5 492,28 14,39 69,90 436,77 
6 436,77 12,77 69,90 379,63 
7 379,63 11,10 69,90 320,83 
8 320,83 9,38 69,90 260,31 
9 260,31 7,61 69,90 198,01 
10 198,01 5,79 69,90 133,90 
11 133,90 3,91 69,90 67,91 
12 67,91 1,99 69,90 0,00 
Opção de aplicação financeira:
90
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Break even point (ponto de equilíbrio):
Fazer uma aplicação financeira 
de 699,00 a 2,9% a.m. e pagar 
as prestações mensais com os 
rendimentos
Pagar 699,00 (à vista)
91
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Capítulo 1 - Juros
92
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1. Juros
93
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�custo do dinheiro emprestado
�remuneração do capital empregado
1. Juros
94
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� FATORES DETERMINANTES DOS JUROS:
� inflação
1. Juros
95
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� FATORES DETERMINANTES DOS JUROS:
� utilidade
1. Juros
96
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� FATORES DETERMINANTES DOS JUROS:
� risco
1. Juros
97
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� FATORES DETERMINANTES DOS JUROS:
� oportunidade
1. Juros
98
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� FATORES DETERMINANTES DOS JUROS:
� taxa de câmbio
1. Juros
99
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� FATORES DETERMINANTES DOS JUROS:
� inflação
�utilidade
�risco
� oportunidade
�taxa de câmbio
1. Juros
100
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� TAXA DE JUROS 
= juros / capital (explicitar período)
�exemplos: 7% a.a., 0,5% a.m.
1. Juros
101
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?
1. Juros
102
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� TAXA DE JUROS 
� juros simples:
� só o capital rende juros
100,00
10,00
10,00
10,00
10,00
140,00
inicial 1 2 3 4 final
1. Juros
103
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� TAXA DE JUROS 
� juros compostos: 
� os juros são incorporados ao capital e passam a 
render juros
100,00 110,00
121,00 133,10
100,00
10,00
11,00
12,10
13,31
146,41
inicial 1 2 3 4 final
1. Juros
104
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� EXEMPLO: 
R$ 100,00 aplicadosà taxa de 10%ªª 
C/Juros 
Simples
C/Juros 
Compostos
0 100,00 100,00 
1 110,00 110,00 
2 120,00 121,00 
3 130,00 133,10 
4 140,00 146,41 
R$
Ano
1. Juros
105
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� EXEMPLO: 
R$ 100,00 aplicados à taxa de 10%ªª 
100
110
120
130
140
150
160
0 1 2 3 4
ano
R$ C/JUROS
COMPOSTOS
C/JUROS
SIMPLES
C/Juros 
Simples
C/Juros 
Compostos
0 100,00 100,00 
1 110,00 110,00 
2 120,00 121,00 
3 130,00 133,10 
4 140,00 146,41 
R$
Ano
1. Juros
106
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� FÓRMULAS DE JUROS 
C0 = quantia de dinheiro aplicada no instante “0”
Cn = quantia de dinheiro acumulada no instante “n”
t : 1, 2, 3 .....n = período de tempo
i = taxa de juros por período
J = Juros totais acumulados
Tem-se:
Cn = C0 + J C0 Cn
1. Juros
107
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� FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES 
Fórmula para cálculo do Valor Acumulado (Montante) de
uma quantia Co, aplicada a uma taxa de i % ao período,
no regime de juros simples, durante n períodos.
1º período: C1 = Co + i.Co = Co(1 + i)
2º período: C2 = C1 + i.Co = Co(1 + i) + i.Co = Co(1 + 2i)
3º período: C3 = C2 + i.Co = Co(1 + 2i) + i.Co = Co(1 + 3i)
. .
. .
. .
Período “n”: Cn = Co(1 + ni)
C0 Cn
1. Juros
108
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�FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS 
1º período: C1 = Co + i.Co = Co(1 + i)
2º período: C2 = C1 + i.C1 = Co(1 + i) + i.Co(1 + i) = Co(1 + i)2
3º período: C3 = C2 + i.C2 = Co(1 + i)2 + i.Co(1 + i)2 = Co(1 + i)3
. .
. .
. .
Período “n”: Cn = Co( 1 + i )n
C0 Cn
1. Juros
109
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� EXEMPLOS 
C/Juros 
Simples
C/Juros 
Compostos
0 100,00 100,00 
1 110,00 110,00 
2 120,00 121,00 
3 130,00 133,10 
4 140,00 146,41 
R$
Ano
Cn = Co(1 + ni) Cn = Co( 1 + i )n
( )1,04100,100C4 ×+=
1,0%10i ==
( )44 1,0100,100C +=
1. Juros
110
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� JUROS COMPOSTOS: taxa i por período
0 1 2 3 4
( )i1+× ( )i1+× ( )i1+× ( )i1+×
1. Juros
111
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� JUROS COMPOSTOS:
0 1 2 3 4
( )4i1+×
( ) 4i1 −+×
1. Juros
112
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� JUROS COMPOSTOS:
0 n
( )ni1+×
( ) ni1 −+×
1. Juros
113
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� TAXA E FATOR:
100
20%
120
inicial aumento final
( ) 2,1%201 =+×
1. Juros
114
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� TAXA E FATOR:
100
20%
80
inicial redução final
( ) 8,0%201 =−×
1. Juros
115
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� Taxa Nominal e Taxa Efetiva
� qual é a taxa anual equivalente a 1% ao mês?
� taxa nominal = 12%
� taxa efetiva > 12%
0 2 4 7 121 3 5 96 108 11
%1 %1 %1 %1 %1 %1 %1 %1 %1 %1 %1 %1
1. Juros
116
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� Taxa Nominal e Taxa Efetiva
� i = taxa de juros por período de capitalização
� n = número de períodos de capitalização
� in = taxa nominal
� ie = taxa efetiva
� in = n. i
� 1 + in ≠≠≠≠ (1+ i)n
0 n
( )ni1+×
1. Juros
117
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� Taxa Nominal e Taxa Efetiva
� i = taxa de juros por período de capitalização
� n = número de períodos de capitalização
� in = taxa nominal
� ie = taxa efetiva
� in = n. i in = 12 x 1% = 12%
� 1 + in ≠≠≠≠ (1+ i)n 1 + 12% ≠≠≠≠ (1+ 1%)12 
12
121%)x(1+
0 12
1. Juros
118
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� Taxa Nominal e Taxa Efetiva
� in = n. i
� 1 + ie = (1+ i)n
� ie = (1+ i)n - 1 
0 n
( )ni1+×
0 n
( )ei1+×
1. Juros
119
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� Taxa Nominal e Taxa Efetiva
� in = n. i in = 12 x 1% = 12%
� 1 + ie = (1+ i)n 1 + ie = (1+ 1%)12
� ie = (1+ i)n – 1 ie = (1+ 1%)12 – 1 = 12,68% 
0 n
( )ni1+×
0 n
( )ei1+×
121%)x(1+
1. Juros
120
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� Taxa Nominal e Taxa Efetiva
� Exemplo: taxa de juros de 1% ao mês, após 6 
meses de capitalização
0 6
a.m.1%
0 6
1,01× 1,01× 1,01× 1,01× 1,01× 1,01×
1 2 3 4 5
1. Juros
121
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� Taxa Nominal e Taxa Efetiva
� Exemplo: taxa de juros de 1% ao mês, após 6 
meses de capitalização
� taxa nominal = 6 x 1% = 6%
� taxa efetiva = 1,016-1 = 6,15%
0 6
( )601,01+×
1,0615×
1. Juros
122
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�Exercício 1: supondo a taxa de juros de 0,5% ao mês, 
após 12 meses de capitalização, obter:
� a taxa nominal
� a taxa efetiva.
6,00%
6,17%
0 12
( )12005,01+×
1,0617×
1. Juros
123
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Capítulo 2 – Equivalência 
de Capitais
124
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� Fluxo de Caixa
2. Equivalência de Capitais
125
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� Fluxo de Caixa
Valores monetários em R$
2. Equivalência de Capitais
126
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representação das receitas e despesas, previstas ao 
longo do tempo, decorrentes da adoção de cada 
alternativa comparada.
Valores monetários em US$ 1.000,00
Ano Despesa Receita Fluxo de Caixa
0 -600 -600 
1 200 200 
2 100 100 
3 -50 400 350 
4 300 300 
� Fluxo de Caixa
2. Equivalência de Capitais
127
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representação das receitas e despesas, previstas ao 
longo do tempo, decorrentes da adoção de cada 
alternativa comparada.
� Fluxo de Caixa
Valores monetários em US$ 1.000,00
Ano Despesa Receita Fluxo de Caixa
0 (600) (600) 
1 200 200 
2 100 100 
3 (50) 400 350 
4 300 300 
2. Equivalência de Capitais
128
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DIAGRAMA:
600
200
100
400
50
300
ano
CONVENÇÃO:
DESPESA
RECEITA
UNIDADE:
US$ 1.000
0 1 2 3 4
Ano Despesa Receita Fluxo de Caixa
0 -600 -600 
1 200 200 
2 100 100 
3 -50 400 350 
4 300 300 
2. Equivalência de Capitais
129
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600
200
100
400
50
300
ano0 1 2 3 4
� Comentários sobre o fluxo de caixa
2. Equivalência de Capitais
130
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Ano 0
Ano 1 Ano 2
ano
� Convenção de "fim de período" x outras
� Início de Período:
Ano 3
Ano 4
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3
2. Equivalência de Capitais
131
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Ano 0
Ano 1 Ano 2
ano
� Convenção de "fim de período" x outras
�Fim de Período:
Ano 3
Ano 4
Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4
2. Equivalência de Capitais
132
Economia da Engenharia II
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Ano 0
Ano 1 Ano 2
ano
� Convenção de "fim de período" x outras
�Meio de Período:
Ano 3
Ano 1 Ano 2 Ano 3
Ano 0
2. Equivalência de Capitais
133
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
Ano 0
Ano 1 Ano 2
ano
Ano 3
Ano 1 Ano 2 Ano 3
Ano 0
� Imprecisão comum às alternativas comparadas
�Alternativa A:
�Alternativa B:
Ano 0
Ano 1 Ano 2
ano
Ano 3
Ano 1 Ano 2 Ano 3
Ano 0
2. Equivalência de Capitais
134
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� Alternativa de "não fazer nada"
Caso Base 
(“as is”)
Alternativa A
Alternativa B
2. Equivalência de Capitais
135
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� Custo Afundado (“sunk cost”)
� Você comprou caranguejos pagando R$ 10,00 a dúzia 
para vender na feira.
� A feira está acabando e não haverá mais mercado para 
caranguejos.
� Você venderia os caranguejos restantes por R$ 5,00 a 
dúzia?
2. Equivalência de Capitais
136
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� Custo Afundado (“sunk cost”)
� Efeito “Já que”: já que gastei 20 mil reais nesta reforma, 
então vamos até o fim!
2. Equivalência de Capitais
137
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� Custo Afundado (“sunk cost”)
� Quanto vale um carro usado no qual o proprietário 
gastou 10.000 reais em reforma e o valor de mercado é 
40.000 reais?
2. Equivalência de Capitais
138
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� Custo Afundado (“sunk cost”)
� O valor de uma empresa deve ser estimado somente a 
partir dos seus lucros futuros ou deve ser levado em 
conta também o quanto foi gasto nela até o momento?
2. Equivalência de Capitais
139
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� Fatores imponderáveis
� O que você leva em conta para escolher entre duas 
opções de carro que irá comprar?
2. Equivalência de Capitais
140
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� Simbologia
� i = taxa de juros por período de capitalização
� n = número de períodos de capitalização
� VP = valor presente (capital no dia de hoje)
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
2. Equivalência de Capitais
141
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� Simbologia
� i = taxa de juros por período de capitalização
� n = número de períodos de capitalização
� VP = valor presente (capital no dia de hoje)
� VF = valor futuro (capital no fim do período n)
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
2. Equivalência de Capitais
142
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� Simbologia
� i = taxa de juros por período de capitalização
� n = número de períodos de capitalização
� VP = valor presente (capital no dia de hoje)
� VF = valor futuro (capital no fim do período n)
� PGTO = série uniforme de pagamentos ou receitas
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
PGTO
2. Equivalência de Capitais
143
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� Diagramas:
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
PGTO
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
2. Equivalência de Capitais
144
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Diferença de valores no tempo:
0
80
1 2
VALOR 
PRESENTE
n
80
n-1n-2
VALOR
FUTURO
10
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
10 10 10 10 10 10
8
10
2. Equivalência de Capitais
145
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de um Pagamento Simples
� Dados:
�Calcular:
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
0 n
( )ni1+×
2. Equivalência de Capitais
146
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de um Pagamento Simples
� VF = VP(1 + i)n
�Exemplo: 100,00 aplicados a 1% ao mês em 6 meses.
� Valor Futuro = 100x1,016 = 106,15
0
100
1 2 6
106,15
54
Valores monetários em R$
2. Equivalência de Capitais
147
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de um Pagamento Simples
� Convenção de sinais (usada pelo Excel)
0
-100
1 2 6
106,15
54
Valores monetários em R$
0
100
1 2 6
-106,15
54
�VF = -VP(1 + i)n
2. Equivalência de Capitais
148
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – ProfessorTarcísio Faustini
� Valor Futuro de um Pagamento Simples
�Aplicação 2: 100,00 aplicados a 0,5% ao mês em 12 
meses, obter o valor futuro.
0
100
1 2 12
VF = ?
1110
VF = VP(1 + i)n
Aplic2Aplic2 Valores monetários em R$
A B
1 Valor Presente 100,00
2 Taxa 0,5%
3 Número de Períodos 12
4 Valor Futuro 106,17 =-VF(B2;B3;0;B1)
2. Equivalência de Capitais
149
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de um Pagamento Simples
�Aplicação 2: 100,00 aplicados a 0,5% ao mês em 12 
meses, obter o valor futuro.
0
100
1 2 12
106,17
1110
2. Equivalência de Capitais
150
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de um Pagamento Simples
�Observação: 100,00 aplicados à taxa mensal i em 
12 meses, obter o valor futuro.
2. Equivalência de Capitais
151
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Presente de um Pagamento Simples
�Dados:
�Calcular:
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
0 n
( ) ni1 −+×
2. Equivalência de Capitais
152
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Presente de um Pagamento Simples
�VP = VF(1 + i)-n
�Exemplo: quanto deve ser aplicado hoje, a 1% ao 
mês, de modo a obter 100,00 em 6 meses?
� Valor Presente = 100x1,01-6 = 94,20
0
94,20
1 26
100,00
54
Valores monetários em R$
2. Equivalência de Capitais
153
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Presente de um Pagamento Simples
�Aplicação 3: quanto deve ser aplicado hoje, a 0,5% 
ao mês, de modo a obter 100,00 em 12 meses.
0
VP = ?
1 212
100,00
1110
Valores monetários em R$
A B
1 Valor Futuro 100,00
2 Taxa 0,5%
3 Número de Períodos 12
4 Valor Presente 94,19 =-VP(B2;B3;0;B1)
VP = VF(1 + i)-n
Aplic2Aplic3
2. Equivalência de Capitais
154
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Presente de um Pagamento Simples
�Observação: quanto deve ser aplicado hoje, à taxa 
mensal i, de modo a obter 100,00 em 12 meses.
2. Equivalência de Capitais
155
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de uma Série Uniforme
� Dados: PGTO, i, n
� Calcular: VF
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
PGTO
n
PGTO)i1.(PGTO...)i1.(PGTO)i1.(PGTOVF 2n1n +++++++= −−
2. Equivalência de Capitais
156
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de uma Série Uniforme
[ ]
( ) [ ]
i
1)i1(PGTOVF
i
1)i1(
)i1(1
)i1(1S
)i1(
)i1(
1)i1(
)i1()i1(
1)i1(
1)i1()i1(
1q
1qaS
)i1(q
)i1(a
1)i1(...)i1()i1(.PGTOVF
PGTO)i1.(PGTO...)i1.(PGTO)i1.(PGTOVF
n
nn
1
1n1
1
n1nn
1
1
1n
1
2n1n
2n1n
−+
=
−+
=
++−
++−
=
+−
+−
×
−+
+−+
=
−+
−++
=
−
−
=
+=
+=
+++++++=
+++++++=
−
−−
−
−−
−
−
−−
−−
S
2. Equivalência de Capitais
157
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de uma Série Uniforme
� Dados: PGTO, i, n
� Calcular: VF
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
PGTO
n
i
1)i1(PGTOVF
n
−+
=
2. Equivalência de Capitais
158
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de uma Série Uniforme
� Exemplo: qual é o valor futuro de uma série 
uniforme de pagamentos mensais de 100,00 em 6 
meses, a 1% ao mês?
� Valor Futuro = 100x1,015 + 100x1,014 +
100x1,013 + 100x1,012 + 100x1,01 +100 =
615,20
100
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6
100 100 100 100 100
0 1 2 3 4 5 6
615,20
Valores 
monetários 
em R$
2. Equivalência de Capitais
159
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de uma Série Uniforme
� Exemplo: qual é o valor futuro de uma série 
uniforme de pagamentos mensais de 100,00 em 6 
meses, a 1% ao mês?
100
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6
100 100 100 100 100
0 1 2 3 4 5 6
615,20
Valores 
monetários 
em R$
mês PGTO VF
1 100,00 105,10
2 100,00 104,06
3 100,00 103,03
4 100,00 102,01
5 100,00 101,00
6 100,00 100,00
TOTAL 600,00 615,20
2. Equivalência de Capitais
160
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de uma Série Uniforme
� Aplicação 4: qual é o valor futuro de uma série 
uniforme de pagamentos mensais de 100,00 em 12 
meses, a 0,5% ao mês?
12
VF = ?
1110
100,00
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7 12
100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
Valores 
monetários 
em R$
2. Equivalência de Capitais
161
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Futuro de uma Série Uniforme
� Aplicação 4: qual é o valor futuro de uma série 
uniforme de pagamentos mensais de 100,00 em 12 
meses, a 0,5% ao mês?
A B
1 Pagamentos Mensais 100,00
2 Taxa Mensal 0,5%
3 Número de Meses 12
4 Valor Futuro 1.233,56 =-VF(B2;B3;B1)
Valores 
monetários 
em R$
i
1)i1(PGTOVF
n
−+
=
Aplic2Aplic4
2. Equivalência de Capitais
162
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Formação de Capital em uma Série Uniforme
� Dados: VF, i, n
� Calcular: PGTO
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
PROBLEMA INVERSO DO ANTERIOR
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
1)i1(
iVFPGTO
n
−+
=
i
1)i1(PGTOVF
n
−+
=
2. Equivalência de Capitais
163
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Formação de Capital em uma Série Uniforme
� Exemplo: qual deve ser o valor de cada pagamento 
mensal de uma série uniforme, a 1% ao mês, de 
modo a formar um capital de 100,00 ao fim de 6 
meses?
� Pagamento = 100/(1,015 + 1,014 + 1,013 + 
1,012 + 1,01 +1) = 16,25
16,25
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
100,00
16,25 16,25 16,25 16,25 16,25
Valores 
monetários 
em R$
2. Equivalência de Capitais
164
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Formação de Capital em uma Série Uniforme
� Exemplo: qual deve ser o valor de cada pagamento 
mensal de uma série uniforme, a 1% ao mês, de 
modo a formar um capital de 100,00 ao fim de 6 
meses?
16,25
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6100,00
16,25 16,25 16,25 16,25 16,25
Valores 
monetários 
em R$
mês PGTO VF
1 16,25 17,08
2 16,25 16,91
3 16,25 16,75
4 16,25 16,58
5 16,25 16,42
6 16,25 16,25
TOTAL 97,53 100,00
Atenção para 
as 
aproximações
2. Equivalência de Capitais
165
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Formação de Capital em uma Série Uniforme
� Aplicação 5: qual deve ser o valor de cada 
pagamento mensal de uma série uniforme, a 0,5% ao 
mês, de modo a formar um capital de 100,00 ao fim 
de 12 meses?
12
100,00
1110
?
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7 12
? ? ? ? ? ? ?
Valores 
monetários 
em R$
2. Equivalência de Capitais
166
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Formação de Capital em uma Série Uniforme
� Aplicação 5: qual deve ser o valor de cada 
pagamento mensal de uma série uniforme, a 0,5% ao 
mês, de modo a formar um capital de 100,00 ao fim 
de 12 meses?
A B
1 Valor Futuro 100,00
2 Taxa Mensal 0,5%
3 Número de Meses 12
4 Pagamentos Mensais 8,11 =-PGTO(B2;B3;;B1)
Valores 
monetários 
em R$
1)i1(
iVFPGTO
n
−+
=
Aplic2Aplic5
2. Equivalência de Capitais
167
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Presente de uma Série Uniforme
� Dados: PGTO, i, n
� Calcular: VP
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
n21 )i1.(PGTO...)i1.(PGTO)i1.(PGTOVP −−− ++++++=
2. Equivalência de Capitais
168
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
169
� Valor 
Presente de 
uma Série 
Uniforme
[ ]
( ) [ ]
n
n
n
n
n
1
n1n
1
1
1
1
n21
n21
)i1(i
1)i1(PGTOVP
)i1(
)i1(1
)i1(
)i1(1
)i1(
1
S
1)i1(
1
1)i1(
1
)i1(
1
1)i1(
1)i1()i1(
1q
1qaS
)i1(q
)i1(a
)i1(...)i1()i1(PGTOVP
)i1.(PGTO...)i1.(PGTO)i1.(PGTOVP
+
−+
=
+
+−






+
+−
+
=
−
+






−
++
=
−+
−++
=
−
−
=
+=
+=
++++++=
++++++=
−
−−
−
−
−−−
−−−
S
2. Equivalência de Capitais
169
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Presente de uma Série Uniforme
� Dados: PGTO, i, n
� Calcular: VP
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
n
n
)i1(i
1)i1(PGTOVP
+
−+
=
2. Equivalência de Capitais
170
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Presente de uma Série Uniforme
� Exemplo: qual é o valor presente de uma série 
uniforme de pagamentos mensais de 100,00 em 6 
meses, a 1% ao mês?
� Valor Presente = 100x1,01-1 + 100x1,01-2 +
100x1,01-3 + 100x1,01-4 + 100x1,01-5 +
100x1,01-6 = 579,55
100
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6
100 100 100 100 100
0 1 2 3 4 5 6
579,55
Valores 
monetários 
em R$
2. Equivalência de Capitais
171
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Presente de uma Série Uniforme
� Exemplo: qual é o valor presente de uma série 
uniforme de pagamentos mensais de 100,00 em 6 
meses, a 1% ao mês?
100
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6
100 100 100 100 100
0 1 2 3 4 5 6
579,55
Valores 
monetários 
em R$
mês PGTO VP
1 100,00 99,01
2 100,00 98,03
3 100,00 97,06
4 100,00 96,10
5 100,00 95,15
6 100,00 94,20
TOTAL 600,00 579,55
2. Equivalência de Capitais
172
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Presente de uma Série Uniforme
� Aplicação 6: qual é o valor presente de uma série 
uniforme de pagamentos mensais de 100,00 em 12 
meses, a 0,5% ao mês?
100,00
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7 12
100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
0
VP = ?
1 2 Valores 
monetários 
em R$
2. Equivalência de Capitais
173
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Valor Presente de uma Série Uniforme
� Aplicação 6: qual é o valor presente de uma série 
uniforme de pagamentos mensais de 100,00 em 12 
meses, a 0,5% ao mês?
Valores 
monetários 
em R$
A B
1 Pagamentos Mensais 100,00
2 Taxa Mensal 0,5%
3 Número de Meses 12
4 Valor Presente 1.161,89 =-VP(B2;B3;B1)
n
n
)i1(i
1)i1(PGTOVP
+
−+
=
Aplic2Aplic6
2. Equivalência de Capitais
174
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Recuperação de Capital em uma Série Uniforme
� Dados: VP, i, n
� Calcular: PGTO
PROBLEMA INVERSO DO ANTERIOR
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
1)i1(
)i1(iVPPGTO
n
n
−+
+
=
n
n
)i1(i
1)i1(PGTOVP
+
−+
=
2. Equivalência de Capitais
175
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Recuperação de Capital em uma Série Uniforme
� Exemplo: qual deve ser o valor de cada pagamento 
mensal de uma série uniforme, a 1% ao mês, de 
modo a recuperar um capital de 100,00 em 6 
meses?
� Pagamento = 100/(1,01-1 + 1,01-2 + 1,01-3 + 
1,01-4 + 1,01-5 + 1,01-6) = 17,25
17,25
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6
17,25 17,25 17,25 17,25 17,25
0 1 2 3 4 5 6
100,00 Valores 
monetários 
em R$
2. Equivalência de Capitais
176
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Recuperação de Capital em uma Série Uniforme
� Exemplo: qual deve ser o valor de cada pagamento 
mensal de uma série uniforme, a 1% ao mês, de 
modo a recuperar um capital de 100,00 em 6 
meses?
17,25
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6
17,25 17,25 17,25 17,25 17,25
0 1 2 3 4 5 6
100,00
Valores 
monetários 
em R$
mês PGTO VP
1 17,25 17,08
2 17,25 16,91
3 17,25 16,75
4 17,25 16,58
5 17,25 16,42
6 17,25 16,25
TOTAL 103,53 100,00
Atenção para 
as 
aproximações
2. Equivalência de Capitais
177
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Recuperação de Capital em uma Série Uniforme
� Aplicação 7: qual deve ser o valor de cada 
pagamento mensal de uma série uniforme, a 0,5% ao 
mês, de modo a recuperar um capital de 100,00 ao 
fim de 12 meses?
?
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7 12
? ? ? ? ? ? ?
0
100
1 2 Valores 
monetários 
em R$
2. Equivalência de Capitais
178
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Recuperação de Capital em uma Série Uniforme
� Aplicação 7: qual deve ser o valor de cada 
pagamento mensal de uma série uniforme, a 0,5% ao 
mês, de modo a recuperar um capital de 100,00 ao 
fim de 12 meses?
Valores 
monetários 
em R$A B
1 Valor Presente 100,00
2 Taxa Mensal 0,5%
3 Número de Meses 12
4 Pagamentos Mensais 8,61 =-PGTO(B2;B3;B1)
1)i1(
)i1(iVPPGTO
n
n
−+
+
=
Aplic2Aplic7
2. Equivalência de Capitais
179
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Exemplo de obtenção de preço mínimo
A produção de 4 TWh/a de energia elétrica durante 10 anos requer 
um investimento inicial de US$ 400 milhões, além de um custo 
operacional de US$ 20,00/MWh. Considerando que essa empresa 
tenha investimentos alternativos que lhe rendem no mínimo 15% ao 
ano, qual deve ser o preço mínimo de venda da energia, em 
US$/MWh?
Aplic2Obs1
2. Equivalência de Capitais
180
Economia da Engenharia II
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181
� Cálculo do Custo de Capital
Aplicando-se US$ 400 milhões à taxa de 15%a.a., qual o 
rendimento anual que se pode ter durante 10 anos?
2. Equivalência de Capitais
0 1 2 3 4 5 6 10
79,7079,7079,7079,7079,7079,7079,70
-400
Valores monetários em US$ milhões
=PGTO(15%;10;-400)
Economia da Engenharia II
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182
� Cálculo do Custo de Capital Unitário
Se a cada ano são produzidas 4 TWh, qual é o custo de capital 
referente a cada MWh produzida?
19,93
4
79,70
 unitário capital de custo == US$/MWh
2. Equivalência de Capitais
MWh10
10 US$
 6
6
0 1 2 3 4 5 6 10
79,7079,7079,7079,7079,7079,7079,70
-400
Valores monetários em US$ milhões
4 TWh 4 TWh 4 TWh 4 TWh 4 TWh 4 TWh 4 TWh
Economia da Engenharia II
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183
� Cálculo do Preço Mínimo
O preço mínimo é dado pela soma dos custos unitários: 
operacional e de capital:
39,93 19,93 20,00 mínimo preço =+= US$/MWh
Custo 
operacional
Custo de 
capital
Preço 
mínimo +=
2. Equivalência de Capitais
Economia da Engenharia II
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Produção 4 TWh/a
Vida útil 10 a
Investimento inicial 400 US$ milhões
Custo operacional 20,00 US$/MWh
Taxa mínima de atratividade 15% ªª
Custo de capital 79,70 US$ milhões / a
Custo de capital 19,93 US$/MWh
Preço mínimo de venda 39,93 US$/MWh
Receita bruta 159,70 US$ milhões / a
Custo operacional 80,00 US$ milhões / a
Lucro 79,70 US$ milhões / a
184
� Exemplo de obtenção de preço mínimo
A produção de 4 TWh/a de energia elétrica durante 10 anos requer um 
investimento inicial de US$ 400 milhões, além de um custo operacional 
de US$ 20,00/MWh. Considerando que essa empresa tenha 
investimentos alternativos que lhe rendem no mínimo 15% ao ano, qual 
deve ser o preço mínimo de venda da energia, em US$/MWh?
2. Equivalência de Capitais
Economia da Engenharia II
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0 1 2 3 4 5 6 10
-400
159,70
80,00
0 1 2 3 4 5 6 10
79,7079,7079,7079,7079,7079,7079,70
-400
� Exemplo de obtenção de preço mínimo
Produção 4 TWh/a
Vida útil 10 a
Investimento inicial 400 US$ milhões
Custo operacional 20,00 US$/MWh
Taxa mínima de atratividade 15% ªª
Custo de capital 79,70 US$ milhões / a
Custo de capital 19,93 US$/MWh
Preço mínimo de venda 39,93 US$/MWh
Receita bruta 159,70 US$ milhões / a
Custo operacional 80,00 US$ milhões / a
Lucro 79,70 US$ milhões / a
159,70159,70159,70159,70159,70159,70
80,0080,0080,0080,0080,0080,00
Valores monetários em US$ milhões
Valores monetários em US$ milhões
2. Equivalência de Capitais
185
Economia da Engenharia II
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� Taxa para Recuperação de Capital em uma Série 
Uniforme
� Dados: VP, PGTO, n
� Calcular: i
Como obter i nesta equação?
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
1)i1(
)i1(iVPPGTO
n
n
−+
+
=
2. Equivalência de Capitais
186
Economia da Engenharia II
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� Taxa para Recuperação de Capital em uma Série 
Uniforme
� Como obter i nesta equação?
1)i1(
)i1(iVPPGTO
n
n
−+
+
=
?i
1i)(1
i)i(10,10
1i)(1
i)i(1699,0069,90
12
12
12
12
=
−+
+
=
−+
+
=
2. Equivalência de Capitais
187
Economia da Engenharia II
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taxa da 
aplicação mês saldo inicial rendimento prestação saldo final
2,9% 0 699,00 
1 699,00 20,43 69,90 649,53 
2 649,53 18,98 69,90 598,62 
3 598,62 17,50 69,90 546,21 
4 546,21 15,96 69,90 492,28 
5 492,28 14,39 69,90 436,77 
6 436,77 12,77 69,90 379,63 
7 379,63 11,10 69,90 320,83 
8 320,83 9,38 69,90 260,31 
9 260,31 7,61 69,90 198,01 
10 198,01 5,79 69,90 133,90 
11 133,90 3,91 69,90 67,91 
12 67,91 1,99 69,90 0,00 
Opção de aplicação financeira:
188
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� Taxa para Recuperação de Capital em uma Série 
Uniforme
� Aplicação 8: qual a taxa de juros que está sendo 
cobrada em um financiamento de 100,00 em 12 
prestações mensais de 10,00, sem entrada?
10,00
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7 12
10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00
0
100
1 2 Valores 
monetários 
em R$
2. Equivalência de Capitais
189
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
Valores 
monetários 
em R$
� Taxa para Recuperação de Capital em uma Série 
Uniforme
� Aplicação 8: qual a taxa de juros que está sendo 
cobrada em um financiamento de 100,00 em 12 
prestações mensais de 10,00, sem entrada?
A B
1 Valor Presente 100,00
2 Número de Meses 12
3 Pagamentos Mensais 10,00
4 Taxa Mensal 2,9% =TAXA(B2;-B3;B1)
1)i1(
)i1(iVPPGTO
n
n
−+
+
=
Aplic2Aplic8
2. Equivalência de Capitais
190
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
� Taxa para Recuperação de Capital em uma Série 
Uniforme
� Aplicação 9: qual a taxa de juros que está sendo 
cobrada em um financiamento de 120,00 em 12 
prestações mensais de 10,00, com entrada de 20,00?
10,00
0 1 2 3 4 5 6 7 12
10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00
0
120
1 2 Valores 
monetários 
em R$
20,00
2. Equivalência de Capitais
191
Economia da Engenharia II
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Valores 
monetários 
em R$
A B
1 Valor Presente 100,00
2 Número de Meses 12
3 Pagamentos Mensais 10,00
4 Taxa Mensal 2,9% =TAXA(B2;-B3;B1)
� Taxa para Recuperação de Capital em uma Série 
Uniforme
� Aplicação 9: qual a taxa de juros que está sendo 
cobrada em um financiamento de 120,00 em 12 
prestações mensais de 10,00, com entrada de 20,00?
1)i1(
)i1(iVPPGTO
n
n
−+
+
=
Aplic2Aplic9
2. Equivalência de Capitais
192Economia da Engenharia II
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� Taxa para Formação de Capital em uma Série 
Uniforme
� Dados: VF, PGTO, n
� Calcular: i
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
Obter i na equação seguinte:
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
1)i1(
iVFPGTO
n
−+
=
2. Equivalência de Capitais
193
Economia da Engenharia II
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� Taxa para Formação de Capital em uma Série 
Uniforme
� Aplicação 10: a que taxa deve ser feita uma série de 
aplicações mensais de 8,00, de modo a formar um 
capital de 100,00 ao fim de 12 meses?
12
100,00
1110
8,00
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7 12
8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00
Valores 
monetários 
em R$
2. Equivalência de Capitais
194
Economia da Engenharia II
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Valores 
monetários 
em R$
� Taxa para Formação de Capital em uma Série 
Uniforme
� Aplicação 10: a que taxa deve ser feita uma série de 
aplicações mensais de 8,00, de modo a formar um 
capital de 100,00 ao fim de 12 meses?
A B
1 Valor Futuro 100,00
2 Número de Meses 12
3 Pagamentos Mensais 8,00
4 Taxa Mensal 0,7% =TAXA(B2;-B3;0;B1)
1)i1(
iVFPGTO
n
−+
=
Aplic2Aplic10
2. Equivalência de Capitais
195
Economia da Engenharia II
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RESUMO DAS FÓRMULAS
Pagamento Simples
Série Uniforme
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
PGTO
i
1)i1(PGTOVF
n
−+
= 1)i1(
iVFPGTO
n
−+
=
n
n
)i1(i
1)i1(PGTOVP
+
−+
=
1)i1(
)i1(iVPPGTO
n
n
−+
+
=
n)i1(VPVF += n)i1(VFVP −+=
196
Economia da Engenharia II
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197
0
VP
1 2
VALOR 
PRESENTE
n
VF
n-1n-2
VALOR
FUTURO
PGTO
0
SÉRIE UNIFORME
1 2 3 4 5 6 7
PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO PGTO
n
PGTO
2. Equivalência de Capitais
Economia da Engenharia II
UFES – Universidade Federal do Espírito Santo – Depto. de Engenharia de Produção – Professor Tarcísio Faustini
198
2. Equivalência de Capitais
Economia da Engenharia II
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199
2. Equivalência de Capitais
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� Conceito de Equivalência
Taxa de juros 
= 6% ªª 
Valores 
monetários 
em R$
Você prefere receber:
�100 hoje ou 101 daqui a um ano?
�100 hoje ou 102 daqui a um ano?
�100 hoje ou 103 daqui a um ano?
�100 hoje ou 104 daqui a um ano?
�100 hoje ou 105 daqui a um ano?
�100 hoje ou 106 daqui a um ano?
200
Alguém lhe deve R$ 100,00 e propõe pagar hoje ou daqui a um ano.
2. Equivalência de Capitais
Economia da Engenharia II
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201
� Conceito de Equivalência
Taxa de juros 
= 6% ªª 
Valores 
monetários 
em R$
�100 hoje � equivalem a 
106 daqui a 
um ano
2. Equivalência de Capitais
Economia da Engenharia II
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Capítulo 3 – Financiamentos
202
Economia da Engenharia II
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� Exemplo básico:
� Valor financiado: R$ 10.000,00
� Prazo: 10 anos
� Taxa de juros: 6%a.a.
� Plano de pagamentos: depende do sistema utilizado
VALOR 
FINANCIADO
PAGAMENTOS
TEMPO0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10.000,00
3. Financiamentos
203
Economia da Engenharia II
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� Sistema de Pagamento Periódico de Juros
� no final de cada período: pagar os juros daquele 
período;
� no final do último período: pagar o principal e os juros 
daquele período;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ano
JUROS
AMORTIZAÇÃO
3. Financiamentos
204
Economia da Engenharia II
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� Sistema de Pagamento Periódico de Juros
� Exemplos:
� Papéis de renda fixa com pagamento periódico 
da renda (letras de câmbio de renda mensal, 
certificados de depósito de renda trimestral).
3. Financiamentos
205
Economia da Engenharia II
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� Sistema de Pagamento Periódico de Juros - Exemplo 
(i = 6% a.a.)
PLANO 1
FIM 
DO 
ANO
JUROS 
NO ANO
DÉBITO 
ANTES DO 
PAGTO.
PAGTO. 
NO FINAL 
DO ANO
DÉBITO 
APÓS O 
PAGTO.
0 - - - 10.000,00 
1 600,00 10.600,00 600,00 10.000,00 
2 600,00 10.600,00 600,00 10.000,00 
3 600,00 10.600,00 600,00 10.000,00 
4 600,00 10.600,00 600,00 10.000,00 
5 600,00 10.600,00 600,00 10.000,00 
6 600,00 10.600,00 600,00 10.000,00 
7 600,00 10.600,00 600,00 10.000,00 
8 600,00 10.600,00 600,00 10.000,00 
9 600,00 10.600,00 600,00 10.000,00 
10 600,00 10.600,00 10.600,00 0,00 
Valores 
monetários 
em R$
Aplic2Plano1
3. Financiamentos
206
Economia da Engenharia II
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� Sistema de Pagamento Periódico de Juros - Exemplo 
(i = 6% a.a.)
PLANO 1
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ano
R
$
JUROS
AMORTIZAÇÃO
3. Financiamentos
207
Economia da Engenharia II
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� Sistema de Amortizações Constantes (SAC)
Prestações obtidas pela somas das seguintes parcelas:
� juros: calculados sobre o saldo devedor no início do 
período;
� amortização: igual ao principal dividido pelo número 
de pagamentos (parcelas iguais). 
Este sistema é conhecido também como Método 
Hamburguês.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ano
JUROS
AMORTIZAÇÃO
3. Financiamentos
208
Economia da Engenharia II
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� Sistema de Amortizações Constantes (SAC)
� Exemplos:
� Financiamentos imobiliários (Sistema Financeiro 
de Habitação);
� Financiamentos concedidos por entidades do 
Governo às empresas.
3. Financiamentos
209
Economia da Engenharia II
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� Sistema de Amortizações Constantes - Exemplo (i = 
6% a.a.)
Valores 
monetários 
em R$
PLANO 2
FIM 
DO 
ANO
JUROS 
NO ANO
DÉBITO 
ANTES DO 
PAGTO.
PAGTO. 
NO FINAL 
DO ANO
DÉBITO 
APÓS O 
PAGTO.
0 - - - 10.000,00 
1 600,00 10.600,00 1.600,00 9.000,00 
2 540,00 9.540,00 1.540,00 8.000,00 
3 480,00 8.480,00 1.480,00 7.000,00 
4 420,00 7.420,00 1.420,00 6.000,00 
5 360,00 6.360,00 1.360,00 5.000,00 
6 300,00 5.300,00 1.300,00 4.000,00 
7 240,00 4.240,00 1.240,00 3.000,00 
8 180,00 3.180,00 1.180,00 2.000,00 
9 120,00