matrizes e determinantes

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Aula 09
Conhecimentos Específicos p/ SEDU-ES (Professor de Matemática)
Professor: Arthur Lima
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MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 09: MATRIZES 
 
 
Caro aluno, seja bem-vindo a esta aula! Neste encontro vamos 
estudar o trecho a seguir do seu edital: 
 
Matrizes e determinantes; Conceito, igualdade, tipos, operações e 
propriedades das matrizes; Definição, propriedades e cálculo dos 
determinantes. 
 
Tenha uma excelente aula, e lembre-se de seguir meu Instagram, 
onde posto dicas diárias para complementar sua preparação: 
www.instagram.com/ProfArthurLima 
(@ProfArthurLima) 
 
SUMÁRIO 
MATRIZES ................................................................................................. 2 
DETERMINANTES ....................................................................................... 4 
SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES .............................................................. 6 
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS .................................................................... 11 
LISTA DE QUESTÕES DESTA AULA ............................................................. 43 
GABARITO DAS QUESTÕES ....................................................................... 55 
PRINCIPAIS PONTOS DA AULA ................................................................... 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATRIZES 
 
Uma matriz Mmxn é uma tabela com m linhas e n colunas. Os 
elementos desta tabela são representados na forma aij, onde i representa 
a linha e j representa a coluna deste termo. Ex.: abaixo temos uma 
matriz A2x3. Veja que o termo a13, por exemplo, é igual a -3: 
7 4 3
2 1 0
A
�ª º « »�¬ ¼
 
 
 Dizemos que a ordem desta matriz é 2x3. A partir dela, podemos 
criar a matriz transposta AT, que é construída trocando a linha de cada 
termo pela sua coluna, e a coluna pela linha. Repare que a ordem de AT é 
3x2: 
7 2
4 1
3 0
TA
�ª º« » « »« »�¬ ¼
 
 
Uma matriz é quadrada quando possui o mesmo número de linhas e 
colunas. Ex.: abaixo temos uma matriz quadrada de ordem 3: 
1 3 0
3 1 5
0 5 1
A
ª º« » « »« »¬ ¼
 
 
 Esta matriz possui uma diagonal principal, que neste exemplo é 
formada pelos números 1. A outra diagonal é dita secundária. Repare 
que, em relação à diagonal principal, os demais termos dessa matriz são 
simétricos. Veja que, em uma matriz simétrica, a transposta é igual à 
matriz original, isto é, AT = A. 
 Dizemos, portanto, que uma matriz é simétrica quando os termos 
de um lado da diagonal principal são IGUAIS aos termos correspondentes 
do outro lado desta diagonal. De forma análoga, dizemos que uma matriz 
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é antissimétrica quando os termos de um lado da diagonal principal são o 
OPOSTO dos termos do outro lado da diagonal principal. Isto é, se 
tivéssemos 3 de um lado da diagonal, precisaríamos ter -3 do outro lado, 
e assim por diante, para construir uma matriz antissimétrica. 
 Para somar ou subtrair duas matrizes, basta somar ou subtrair os 
termos correspondentes. Repare que as matrizes precisam ser de mesma 
ordem. Ex.: 
1 3 0 1 3 0 2 6 0
3 1 5 3 1 5 6 2 10
0 5 1 0 5 1 0 10 2
ª º ª º ª º« » « » « »� « » « » « »« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
 
 
 Para multiplicar um número por uma matriz, basta multiplicar cada 
termo da matriz por aquele número. Ex: 
1 3 0 10 30 0
10 3 1 5 30 10 50
0 5 1 0 50 10
ª º ª º« » « »u « » « »« » « »¬ ¼ ¬ ¼
 
 
 Ao multiplicar 2 matrizes, cada termo da nova matriz é formado 
pela soma das multiplicações de cada termo de uma linha da primeira 
matriz por cada termo de uma coluna da segunda matriz. Veja: 
1 2
7 4 3 7 1 4 0 ( 3) ( 1) 7 ( 2) 4 1 ( 3) 0 10 10
0 1
2 1 0 2 1 1 0 0 ( 1) ( 2) ( 2) 1 1 0 0 2 5
1 0
�ª º� u � u � � u � u � � u � � u �ª º ª º ª º« »u « » « » « »« »� � u � u � u � � u � � u � u �¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼« »�¬ ¼
 
 
 Repare que multiplicamos uma matriz de ordem 2x3 por outra de 
ordem 3x2, e obtivemos uma matriz 2x2. Veja que só é possível 
multiplicar 2 matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao 
número de linhas da segunda. E a ordem da matriz resultado será 
formada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da 
segunda. Além disso, a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto 
é, AxB não é, necessariamente, igual a BxA. Veja que: 
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1 2 11 2 3
7 4 3
0 1 2 1 0
2 1 0
1 0 7 4 3
� �ª º ª º�ª º« » « »u �« »« » « »�¬ ¼« » « »� � �¬ ¼ ¬ ¼
 
 
 &KDPDPRV�GH�PDWUL]� ,GHQWLGDGH� GH� RUGHP� ³Q´� D�PDWUL]� TXDGUDGD�
que possui todos os termos da diagonal principal iguais a 1, e todos os 
demais termos iguais a zero. Veja a matriz identidade de ordem 3: 
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
ª º« » « »« »¬ ¼
 
 
 Dada uma matriz A, chamamos de inversa de A, ou A-1, a matriz tal 
que: 
A x A-1 = I (matriz identidade) 
 
 Como veremos a seguir, nem toda matriz quadrada possui inversa, 
isto é, nem toda matriz quadrada é inversível. 
 
DETERMINANTES 
 
 O determinante de uma matriz é um número a ela associado. Aqui 
estamos tratando apenas de matrizes quadradas. Em uma matriz 
quadrada de ordem 1, o determinante é o próprio termo que forma a 
matriz. Ex.: 
Se [3]A , então det(A) = 3 
 
 Em uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é dado pela 
subtração entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal 
secundária. Veja: 
Se 
5 1
7 2
A ª º « »¬ ¼
, então det(A) = 5x2 ± 1x7 = 3 
 
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 Em uma matriz quadrada de ordem 3, o determinante é calculado 
da seguinte forma: 
det
a b c
d e f aei bfg cdh ceg bdi afh
g h i
§ ·¨ ¸ � � � � �¨ ¸¨ ¸© ¹
 
 
 Exemplificando: 
Se 
1 2 3
0 4 5
1 3 0
A
ª º« » « »« »¬ ¼
, 
 
 então det(A) = 1x4x0 + 2x5x1 + 3x0x3 ± 3x4x1 ± 2x0x0 ± 1x5x3 = -17 
 
 Resumidamente, as principais propriedades do determinante são: 
- o determinante de A é igual ao de sua transposta AT 
- se uma fila (linha ou coluna) de A for toda igual a zero, det(A) = 0 
- se multiplicarmos todos os termos de uma linha ou coluna de A por um 
YDORU�³N´��R�GHWHUPLQDQWH�GD�PDWUL]�VHUi�WDPEpP�PXOWLSOLFDGR�SRU�N� 
- se multiplicarmos todos os termos de uma maWUL]�SRU�XP�YDORU� ³N´��R�
determinante será multiplicado por kn, onde n é a ordem da matriz; 
- se trocarmos de posição duas linhas ou colunas de A, o determinante da 
nova matriz será igual a ±det(A); 
- se A tem duas linhas ou colunas iguais, então det(A) = 0 
- sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det(AxB) = det(A) x 
det(B) 
- uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det( ) 0A z 
- se A éuma matriz inversível, det(A-1) = 1/det(A) 
 
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SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 
 
 Os conceitos de matrizes e determinantes vistos acima tem uma 
aplicação importante na resolução de sistemas lineares. Vamos trabalhar 
com o sistema abaixo, que possui 3 variáveis (x, y e z) e 3 equações: 
2x + y + z = 4 
x ± y + z = 1 
x + y = 2 
 
Já aprendemos a resolver este sistema através do método da 
substituição (que tal praticá-lo aqui?). Aqui veremos como resolver 
aplicando os conceitos de matrizes e determinantes. 
Os números que multiplicam as variáveis x, y e z em cada equação 
são chamados de coeficientes. Podemos reescrever este sistema de 
equações em forma matricial, separando os coeficientes em uma primeira 
matriz, as variáveis na segunda e os resultados na terceira. Veja: 
2 1 1 4
1 1 1 1
1 1 0 2
x
y
z
ª º ª º ª º« » « » « »� u « » « » « »« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ 
 
 Para obtermos os valores de x, y e z, devemos: 
Î Calcular o determinante da primeira matriz (matriz dos 
coeficientes), que chamaremos de D. Isto é, 
 
2 1 1
det 1 1 1
1 1 0
D
§ ·¨ ¸ �¨ ¸¨ ¸© ¹
 
Î Substituir os coeficientes de x da primeira matriz (isto é, a primeira 
coluna) pelos valores da matriz de resultados, obtendo o 
determinante desta nova matriz, que chamaremos de Dx. Isto é, 
4 1 1
det 1 1 1
2 1 0
Dx
§ ·¨ ¸ �¨ ¸¨ ¸© ¹ 
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Î Substituir os coeficientes de y da primeira matriz pelos valores da 
matriz de resultados, e obter Dy: 
2 4 1
det 1 1 1
1 2 0
Dy
§ ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹ 
 
Î Repetir o procedimento, obtendo Dz: 
2 1 4
det 1 1 1
1 1 2
D
§ ·¨ ¸ �¨ ¸¨ ¸© ¹
 
 Desta forma, os valores x, y e z que representam a solução deste 
sistema linear serão: 
Dx
x
D
 , Dyy
D
 e Dzz
D
 
 
 
 Podemos ainda classificar o sistema quanto à possibilidade ou não 
de encontrar uma solução. Se: 
a) D diferente de 0, então o sistema é possível e determinado Æ podemos 
obter valores únicos para x, y e z; 
b) D = Dx = Dy = Dz = 0, então o sistema é possível e indeterminado Æ 
existem infinitos valores possíveis para x, y e z; 
c) D = 0 e pelo menos um dos demais determinantes (Dx, Dy e/ou Dz) 
for diferente de zero, então o sistema é impossível Æ não existem valores 
x, y e z que resolvem o sistema. 
 Vejamos uma questão sobre o assunto para você praticar esses 
conceitos: 
 
1. ESAF ± AFRFB ± 2009) Com relação ao sistema , 
 
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onde 3 z + 2 �0 e 2 x + y �0 , pode-se, com certeza, afirmar que: 
a) é impossível. 
b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que 
2 1 1
3 2 2
x y z
z x y
� � � � pode ser separada nas duas equações 
abaixo: 
2 1
3 2
x y
z
� � 
e 
1 1
2
z
x y
� � 
 Reescrevendo-as de modo a eliminar as frações, temos: 
2 3 2x y z� � 
e 
1 2z x y� � 
 Para montar o sistema linear, devemos colocar todas as variáveis 
de um lado da igualdade e o termo constante do outro lado. Fazendo isso 
com as equações acima, temos: 
2 3 2x y z� � 
e 
2 1x y z� � 
 
 Assim, o nosso sistema linear é formado pelas 3 equações abaixo: 
1
2 3 2
2 1
x y z
x y z
x y z
� � ­° � � ®° � � ¯
 
 
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 Para podemos classificar este sistema, devemos montar as matrizes 
dos coeficientes, para obter D, e as matrizes necessárias para obter Dx, 
Dy e Dz. Veja: 
1 1 1
2 1 3
2 1 1
D � �
�
 
 Calculando este determinante: 
D = 1 x (-1) x (-1) + 1 x (-3) x 2 + 1 x 2 x 1 ± 1 x (-1) x 2) ± 1 x 2 x (-
1) ± 1 x (-3) x 1 
D = 1 ± 6 + 2 + 2 + 2 + 3 
D = 4 
 
 Portanto, o determinante do sistema é igual a 4, o que já nos 
permite assinalar a alternativa C. Por fins didáticos, vamos obter Dx, Dy e 
Dz e classificar o sistema. 
 
 Para obter Dx devemos substituir a primeira coluna (que possui os 
coeficientes da variável x em cada equação) pelos termos constantes: 
1 1 1
2 1 3 1 3 2 1 3 2 6
1 1 1
Dx � � � � � � � 
�
 
 Para obter Dy devemos substituir a segunda coluna de D 
(coeficientes de y) pelos elementos constantes: 
1 1 1
2 2 3 2 6 2 4 3 2 5
2 1 1
Dy � � � � � � � �
�
 
 De maneira análoga podemos obter Dz: 
1 1 1
2 1 2 1 4 2 2 2 2 3
2 1 1
Dz � � � � � � � 
 
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 Como 0D z , estamos diante de um sistema possível e determinado. 
Isto é, certamente será possível obter valores únicos para x, y e z que 
atendam as 3 equações ao mesmo tempo. Esses valores são: 
6 1,5
4
Dx
x
D
 
5 1, 25
4
Dyy
D
� � 
3 0,75
4
Dz
z
D
 
 Para conferir se não erramos os cálculos, podemos testar a primeira 
equação, substituindo os valores de x, y e z que encontramos: 
x + y + z = 1,5 + (-1,25) + 0,75 = 1 
Resposta: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 
 Chegou a hora de praticarmos tudo o que trabalhamos nesta aula. 
Procure sempre tentar resolver os exercícios antes de ler as minhas 
resoluções, ok? E marque aqueles exercícios que geraram maior 
dificuldade para que você possa revisá-los posteriormente. Além disso, se 
você já está em uma fase mais avançada dos estudos, CRONOMETRE o 
tempo gasto, para ter uma ideia se você está dentro do esperado para a 
sua prova. 
 
 
2. CESPE ± IBAMA ± 2013) Julgue os itens subsequentes, relacionados 
a problemas aritméticos, geométricos e matriciais. 
( ) Considere que A e B sejam matrizes distintas, de ordem 2 × 2, com 
entradas reais e, em cada matriz, três das quatro entradas sejam iguais a 
zero. Além disso, considere também que A × A = B × B = A × B = O, em 
que O é a matriz nula, isto é, a matriz em que todas as entradas são 
iguais a zero. Nesse caso, necessariamente, A = O ou B = O. 
RESOLUÇÃO: 
 ERR$'2��,PDJLQH�TXH�WHPRV�DV�PDWUL]HV�DEDL[R��RQGH�³D´�H�³E´�VmR�
números diferentes de zero: 
0 0
0
A
a
ª º « »¬ ¼
 
0 0
0
B
b
ª º « »¬ ¼ 
 Note que A × A = 0, B × B = 0 e A × B = 0. Portanto, não é 
necessário que todas as entradas das matrizes A e B sejam iguais a zero. 
Item ERRADO. 
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Resposta: E 
 
3. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2012) As matrizes, A, B, C e D são 
quadradas de quarta ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou 
seja: B = 1/2 A. A matriz C é igual a matriz transposta de B, ou seja: C = 
Bt. $� PDWUL]� '� p� GH¿QLGD� D� SDUWLU� GD� PDWUL]� &�� D� ~QLFD� GLIHUHQoD� HQWUH�
essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira 
linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o determinante da matriz A 
é igual a 32, então a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é 
igual a 
a) 6. 
b) 4. 
c) 12. 
d) 10. 
e) 8. 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui devemos lembrar as propriedades dos determinantes. Sendo 
B = ½ x A, então detB = (1/2)4 x detA = (1/16) x 32 = 2. 
 Sendo C a matriz transposta de B, então detC = detBt = detB = 2. 
 Como a única diferença entre C e D é que a matriz D tem como 
primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2, então detD = 2 x 
detC = 4. 
 
Portanto, a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual 
a: 
2 + 2 + 4 = 8 
RESPOSTA: E 
 
4. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2012) Dada a matriz A = 2 1
0 1
§ ·¨ ¸© ¹ , o 
determinante de A5 é igual a 
a) 20. 
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b) 28. 
c) 32. 
d) 30. 
e) 25. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que o determinante de A é: 
det(A) = 2.1 ± 1.0 = 2 
 
 Entre as propriedades do determinante que estudamos, vimos que: 
- sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det (AxB) = detA x 
detB; 
 
 De maneira análoga, 
det(A x A) = detA x detA 
ou seja, 
det(A2) = (detA)2 
 
 Generalizando, podemos dizer que: 
det(An) = (detA)n 
(se preferir, grave mais essa propriedade!) 
 
 
 Logo, 
det(A5) = (detA)5 = 25 = 32 
RESPOSTA: C 
 
5. ESAF ± MINISTÉRIO DA FAZENDA ± 2012) Dadas as matrizes A = 
2 3
1 3
§ ·¨ ¸© ¹
 e B = 
2 4
1 3
§ ·¨ ¸© ¹ , calcule o determinante do produto A.B. 
a) 8 
b) 12 
c) 9 
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d) 15 
e) 6 
RESOLUÇÃO: 
 Lembrando que det(A x B) = detA x detB, podemos inicialmente 
calcular: 
detA = 2.3 ± 3.1 = 3 
detB = 2.3 ± 4.1 = 2 
 
Logo, 
det(AxB) = detA x detB = 3 x 2 = 6 
RESPOSTA: E 
 
6. ESAF ± STN ± 2012) Dado o sistema de equações lineares 
2 4 6
3 6 9
x y
x y
� ­® � ¯ 
é correto D¿UPDU�TXH� 
a) o sistema não possui solução. 
b) o sistema possui uma única solução. 
c) x = 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
d) o sistema é homogêneo. 
e) o sistema possui mais de uma solução. 
RESOLUÇÃO: 
 Para avaliarmos se o sistema possui solução (e quantas), devemos 
calcular os determinantes: 
2 4
2.6 4.3 0
3 6
D � 
 
 Como o determinante D é igual a zero, só temos duas opções: ou o 
sistema é indeterminado (possuindo infinitas soluções) ou o sistema é 
impossível (não possuindo soluções). 
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 Para calcular o valor de Dx, devemos substituir a coluna dos 
coeficientes de x pelos valores que se encontram após a igualdade. 
Assim, 
6 4
6.6 4.9 0
9 6
Dx � 
 
 
 De maneira análoga podemos obter Dy: 
2 6
2.9 6.3 0
3 9
D � 
 
 
 Repare que Dy, Dx e D são iguais a zero, o que caracteriza um 
sistema INDETERMINADO, ou seja, que possui infinitas soluções. Temos, 
portanto, o gabarito na alternativa E. 
 Dica: você poderia ter notado desde o início que o sistema era 
LQGHWHUPLQDGR�VH�SHUFHEHVVH�TXH�DV�GXDV�HTXDo}HV�VmR�³P~OWLSODV´�XPD�
da outra. Dividindo todos os termos da primeira por 2, ficamos com x + 
2y = 3. Da mesma forma, dividindo todos os termos da segunda por 3, 
ficamos com x + 2y = 3. Ou seja, na realidade não temos duas equações, 
mas apenas uma! Quando temos uma única equação e duas incógnitas, 
teremos infinitas soluções. 
RESPOSTA: E 
 
7. ESAF ± DNIT ± 2012) A soma dos valores de x e y que solucionam o 
sistema 
 de equações 
2 7
2 5
x y
x y
� ­® � ¯
 é igual a: 
a) 6 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 5 
RESOLUÇÃO: 
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 Vamos aplicar o método da substituição, que consiste em isolar uma 
variável em uma equação e então substituir a expressão resultante na 
equação seguinte. Vejamos: 
 
- isolando x na primeira equação temos: 
x = 7 ± 2y 
 
- substituindo na segunda: 
2.(7 ± 2y) + y = 5 
14 ± 4y + y = 5 
9 = 3y 
y = 3 
 
 Logo, 
X = 7 ± 2y 
x = 7 ± 2.3 
x = 1 
 
 Assim, a soma de x com y é 1 + 3 = 4. 
RESPOSTA: B 
 
8. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2009) Considere uma esfera, um cone, 
um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o 
cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando 
ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos 
cubos pesa a esfera? 
a) 4 
b) 5 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
RESOLUÇÃO: 
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 Vamos escrever equações a partir das informações do enunciado: 
- A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone: 
Esfera + Cubo = Cone 
 
- A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide: 
Esfera = Cubo + Pirâmide 
ou seja, 
Esfera ± Cubo = Pirâmide 
 
- Dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides: 
2 x Cone = 3 x Pirâmide 
 
 Como o enunciado quer uma relação entre o Cubo e a Esfera, 
vamos tentar chegar a uma equação contendo apenas essas duas figuras. 
1D�~OWLPD� HTXDomR�� SRGHPRV� VXEVWLWXLU� ³&RQH´� SRU� ³(VIHUD���&XER´�� GH�
acordo com a primeira equação. Da mesma forma, podemos substituir 
³3LUkPLGH´� SRU� ³(VIHUD� ± &XER´�� GH� DFRUGR� FRP� D� VHJXQGD� HTXDomR��
Assim: 
2 x (Esfera + Cubo) = 3 x (Esfera ± Cubo) 
2 x Esfera + 2 x Cubo = 3 x Esfera ± 3 x Cubo 
3 x Cubo + 2 x Cubo = 3 x Esfera ± 2 x Esfera 
5 x Cubo = Esfera 
 
 Logo, a esfera pesa o mesmo que 5 cubos. 
Resposta: B 
 
9. ESAF ± MINISTÉRIO DA FAZENDA ± 2013) Em uma secretaria do 
Ministério da Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razão entre o número de 
homens e o número de mulheres é igual 4/5. A diferença entre o número 
de mulheres e o número de homens que trabalham nessa secretaria é 
igual a: 
a) 8 
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b) 7 
c) 6 
d) 9 
e) 5 
RESOLUÇÃO: 
 Seja H o número de homens. Como H + M = 63 pessoas, então M = 
63 ± H. A razão entre H e M é de 4/5, ou seja, 
H / M = 4 / 5 
H / (63 ± H) = 4 / 5 
5H = 4(63 ± H) 
5H = 252 ± 4H 
9H = 252 
H = 252 / 9 
H = 28 homens 
 
 Logo, 
M = 63 ± H 
M = 63 ± 28 
M = 35 mulheres 
 
 A diferença entreo número de homens e mulheres é: 
35 ± 28 = 7 
RESPOSTA: B 
 
10. CEPERJ ± SEFAZ/RJ ± 2010) Ana, Bia e Cléa possuem juntas 300 
reais. Ana possui a metade da quantia que Bia e Cléa possuem juntas, e 
Bia possui a terça parte da quantia que Ana e Cléa possuem juntas. 
Então, Cléa possui: 
a) 100 reais 
b) 125 reais 
c) 150 reais 
d) 75 reais 
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e) 175 reais 
RESOLUÇÃO: 
 Seja A, B e C o valor que Ana, Bia e Cléa possuem, 
respectivamente. A soma é 300 reais: 
A + B + C = 300 
 
 Ana possui a metade da quantia que Bia e Cléa possuem juntas: 
A = (B + C) / 2 
 
Bia possui a terça parte da quantia que Ana e Cléa possuem juntas: 
B = (A + C) / 3 
 
Esta última equação nos permite escrever: A + C = 3B. 
Substituindo, na primeira equação dada, A + C por 3B, temos: 
A + B + C = 300 
3B + B = 300 
B = 75 
 
Da mesma forma, como A = (B + C)/2, então (B + C) = 2A. 
Substituindo B + C por 2A na primeira equação, temos: 
A + B + C = 300 
A + 2A = 300 
A = 100 
 
 Logo, podemos obter C: 
A + B + C = 300 
100 + 75 + C = 300 
C = 125 
 
 Então, Cléa possui 125 reais. 
Resposta: B 
 
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e
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11. ESAF ± MINISTÉRIO DA FAZENDA ± 2012) Dado o sistema de 
equações lineares: 
2 3 4 3
5 6
2 3 7
x y z
x y z
x y z
� � ­° � � ®° � � ¯
 
 O valor de x + y + z é igual a 
a) 8. 
b) 16. 
c) 4. 
d) 12. 
e) 14. 
RESOLUÇÃO: 
 2EVHUYH� R� TXH� DFRQWHFH� VH� ³VRPDUPRV´� WRGDV� DV� HTXDo}HV�� WDQWR�
do lado esquerdo como do lado direito da igualdade: 
(2x + 3y ± 4z) + (x ± y + 5z) + (x + 2y + 3z) = 3 + 6 + 7 
4x + 4y + 4z = 16 
4(x + y + z) = 16 
x + y + z = 16 / 4 
x + y + z = 4 
 
 Chegamos ao gabarito (C). Se você não percebesse isso, precisaria 
calcular o valor de x, y e z utilizando os métodos que estudamos. Só para 
exercitar, deixo abaixo o cálculo de x: 
 
- calcular o determinante do sistema (D): 
2 3 4
1 1 5
1 2 3
D
�
 � 
2.( 1).3 3.5.1 ( 4).1.2 ( 4).( 1).1 3.1.3 2.5.2D � � � � � � � � � 
6 15 8 4 9 20 32D � � � � � � � 
 
- calcular o determinante Dx: 
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3 3 4
6 1 5
7 2 3
Dx
�
 � 
3.( 1).3 3.5.7 ( 4).6.2 ( 4).( 1).7 3.5.2 3.6.3Dx � � � � � � � � � 
9 105 48 28 30 54 64Dx � � � � � � � 
 
- obter x, dividindo Dx por D: 
x = Dx / D = (-64) / (-32) = 2 
RESPOSTA: C 
 
12. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2012) Considere o sistema de 
equações lineares dado por: 
0
2
2 1
x y z
x y rz
rx y z
� � 
� � 
� � �
 
Sabendo-VH�TXH�R�VLVWHPD�WHP�VROXomR�~QLFD�SDUD�U����H�U�����HQWmR�R�
valor de x é igual a 
a) 
2
r
. 
b) 
2
r
�
. 
c) 
1
r
. 
d) 
1
r
�
. 
e) 2r. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos obter o valor de x calculando o determinante do sistema 
(D) e o determinante substituindo os termos da coluna de x (Dx): 
1 1 1
1 1
2 1
D r
r
 � 
1.( 1).1 1. . 1.2.1 1.( 1). 1.1.1 1. .2D r r r r � � � � � � � 
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21 2 1 2D r r r � � � � � � 
2D r r � 
 
 
0 1 1
2 1
1 2 1
Dx r �
�
 
0.( 1).1 1. .( 1) 1.2.2 1.( 1).( 1) 1.2.1 .2.0Dx r r � � � � � � � � � 
1Dx r � � 
 
 Portanto, 
2
1 ( 1) 1
.( 1)
Dx r r
x
D r r r r r
� � � � � � � 
RESPOSTA: D 
 
13. FGV ± AUDITOR ICMS/RJ ± 2011) A soma de dois números é 120, 
e a razão entre o menor e o maior é 1/2. O menor número é 
(A) 20 . 
(B) 25 . 
(C) 30 . 
(D) 35 . 
(E) 40 . 
RESOLUÇÃO: 
 Sejam A e B os dois números do enunciado. A soma deles é 120: 
 
A + B = 120 
 
 E a razão entre eles é de 1/2. Considerando que A é o menor deles, 
então: 
 
1
2
A
B
 , portanto B = 2A 
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 Substituindo B por 2A na primeira equação, temos: 
 
A + 2A = 120 
3A = 120 
A = 40 
Resposta: E 
 
14. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) Em uma festa comunitária, 
uma barraca de tiro ao alvo dá um prêmio ao cliente de R$ 30,00, cada 
vez que o mesmo acerta a área central do alvo. Caso contrário, o cliente 
paga R$ 10,00. Um indivíduo deu 50 tiros e pagou R$ 100,00. Nessas 
condições, o número de vezes que ele ERROU o alvo foi 
 a) 10 
 b) 20 
 c) 25 
 d) 35 
 e) 40 
RESOLUÇÃO: 
 Seja C o número de vezes que o jogador acertou o alvo, e E o 
número de vezes que ele errou. Sabemos que ao todo foram 50 jogadas, 
ou seja: 
C + E = 50 
 
 Como em cada acerto o jogador ganha 30 reais, o todo ele ganhou 
30 x C reais. E, como a cada erro o jogador perde 10 reais, ao todo ele 
perdeu 10 x E reais. Ao todo, ele pagou 100 reais, ou seja, ficou com um 
saldo de -100 reais: 
30C ± 10E = -100 
 
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 Isolando C na primeira equação, temos que C = 50 ± E. 
Substituindo nesta última, temos: 
30 x (50 ± E) ± 10E = -100 
1500 ± 30E ± 10E = -100 
1600 = 40E 
E = 40 
 
 Logo, ele errou 40 vezes. 
Resposta: E 
 
15. CESGRANRIO ± BACEN ± 2010) Gabriel brinca com 24 moedas de 
R$ 1,00. Inicialmente, ele forma com elas três pilhas. Em seguida, dobra 
a segunda pilha colocando nela moedas retiradas da primeira; depois, 
dobra a terceira com moedas retiradas da segunda e, finalmente, dobra o 
que restou na primeira pilha com moedas retiradas da terceira, ficando, 
assim, as três pilhas com o mesmo número de moedas. O número de 
moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 11 
(E) 12 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine que temos A moedas na primeira pilha e B moedas na 
segunda. Assim, a terceira pilha terá o restante, ou seja, 24 ± A ± B. 
Vamos repetir os passos de Gabriel: 
 
- dobrar a segunda pilha colocando nela moedas retiradas da primeira: 
 Com isso, a segunda pilha ficou com 2B moedas, e a primeira pilha 
ficou com A ± B moedas. 
 
- dobrar a terceira com moedas retiradas da segunda: 
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 Com isso, a terceira pilha ficou com 2 x (24 ± A ± B), isto é, 48 ± 
2A ± 2B moedas. Já a segunda pilha ficou com: 
2B ± (24 ± A ± B) = 3B + A ± 24 moedas 
 
- dobrar o que restou na primeira pilha com moedas retiradas da terceira 
 Com isso, a primeira pilha ficou com 2 x (A ± B) = 2A ±2B moedas. 
Já a terceira ficou com: 
48 ± 2A ± 2B ± (A ± B) = 48 ± 3A ± B moedas 
 
 As três pilhas ficaram com o mesmo número de moedas. Ou seja: 
2A ± 2B = 3B + A ± 24 = 48 ± 3A ± B 
 
 Podemos separar duas equações: 
2A ± 2B = 3B + A ± 24 
3B + A ± 24 = 48 ± 3A ± B 
 
 Simplificando as equações, temos: 
A = 5B ± 24 
4B + 4A = 72 
 
 Dividindo a segunda equação por 4 temos: 
A = 5B ± 24 
B + A = 18 
 
 Substituindo A na segunda equação pela expressão 5B ± 24 temos: 
B + (5B ± 24) = 18 
6B = 42 
B = 7 
A = 11 
 
 Assim, a primeira pilha tinha 11 moedas, a segunda tinha 7 e a 
terceira tinha o restante, ou seja, 24 ± 11 ± 7 = 6 moedas. 
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O número de moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era 
11. 
Resposta: D 
 
16. CESGRANRIO ± BNDES ± 2006) O valor de x no sistema 
 é: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos começar isolando y na primeira equação: 
y = 2x + z ± 4 
 
 Agora podemos fazer essa substituição nas outras duas equações, 
obtendo: 
x + 3(2x + z ± 4) + z = 14 
3x + 2(2x + z ± 4) ± 4z = 0 
 
 Simplificando-as, temos: 
7x +4z = 26 
7x ± 2z = 8 
 
 Isolando 7x na primeira equação, temos: 7x = 26 ± 4z. 
Substituindo na segunda, temos: 
(26 ± 4z) ± 2z = 8 
18 ± 6z = 0 
z = 3 
 
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 Portanto, 
7x = 26 ± 4.3 
x = 2 
 
y = 2x + z ± 4 
y = 2.2 + 3 ± 4 
y = 3 
Resposta: C 
 
17. CEPERJ ± PREF. SÃO GONÇALO ± 2011) Os irmãos Pedro e Paulo 
estudam no 8º ano do Ensino Fundamental e entraram em uma papelaria 
para comprar lápis e canetas de que precisavam para o semestre. As 
canetas que compraram foram todas do mesmo preço. Os lápis que 
compraram foram também todos do mesmo preço. Pedro comprou 2 
canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. Paulo comprou 3 canetas e 2 lápis e 
pagou também R$16,50. Assim, quem comprar 1 caneta e um lápis, 
iguais aos comprados pelos irmãos, pagará: 
a) R$6,00 
b) R$6,20 
c) R$6,50 
d) R$6,75 
e) R$6,90 
RESOLUÇÃO: 
 Temos duas variáveis nessa questão: o preço do lápis, que 
chamaremos de L, e o preço da caneta, que chamaremos de C. Para 
descobri-las, precisamos de 2 equações, que foram fornecidas pelo 
enunciado. Veja: 
- Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. 
 Matematicamente, podemos escrever a frase acima como: 
2 5 16,50C Lu � u 
 
- Paulo comprou 3 canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50. 
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 Ou seja, 
3 2 16,50C Lu � u 
 
 Temos, portanto, 2 equações e duas variáveis, montando o sistema 
linear abaixo: 
2 5 16,50
3 2 16,50
C L
C L
u � u ­® u � u ¯
 
 
 Para resolvê-lo usaremos o método da substituição, que consiste 
em isolar uma variável em uma equação e substituí-la na outra. Vamos 
isolar L na primeira equação: 
2 5 16,50
5 16,50 2
16,50 2
5
C L
L C
CL
u � u 
u � u
� u 
 
 
 Substituindo a expressão encontrada acima na segunda equação, 
temos: 
� �
3 2 16,50
16,50 23 2 16,50
5
15 2 16,50 2 82,5
15 33 4 82,5
11 49,5
4,5
C L
CC
C C
C C
C
C
u � u 
� u§ ·u � u ¨ ¸© ¹
� u � 
� � 
 
 
 
 
 Como o preço da caneta é C = 4,5, podemos substituir esse valor 
em qualquer das equações para obter o valor de L: 
16,50 2
5
16,50 2 4,5
5
7,50 1,50
5
CL
L
L
� u 
� u 
 
 
 
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 Portanto, quem comprar 1 caneta e 1 lápis pagará 4,50 + 1,50 = 
6,00. 
Resposta: A. 
 
18. FGV ± SUDENE/PE ± 2013) O time de João jogou 22 vezes no 
primeiro semestre deste ano. O time de João ganhou 2 jogos a mais que 
perdeu e empatou 3 jogos a menos que ganhou. O número de jogos que 
o time de João venceu foi: 
(A) 7. 
(B) 8. 
(C) 9. 
(D) 10. 
(E) 11. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja G, P e E o número de jogos que o time ganhou, perdeu e 
empatou. Assim, 
G + P + E = 22 
 
 Sabemos ainda que G = P + 2, ou seja, ele ganhou 2 jogos a mais 
do que perdeu. Também sabemos que ele empatou 3 jogos a menos que 
ganhou, ou seja, E = G ± 3. Na equação G = P + 2, podemos isolar P, 
obtendo P = G ± 2. Na primeira equação obtida, podemos substituir E por 
G ± 3 e substituir P por G ± 2, ficando com: 
G + P + E = 22 
G + (G ± 2) + (G ± 3) = 22 
3G ± 5 = 22 
3G = 27 
G = 9 
 
 Logo, o time ganhou 9 jogos. 
RESPOSTA: C 
 
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19. CEPERJ ± SEPLAG/RJ ± 2013) Observe atentamente as duas 
equações abaixo: 
 
A soma dos valores de x e y que resolvem esse sistema vale: 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
E) 9 
RESOLUÇÃO: 
 Isolando y na segunda equação, temos: 
3x + 1 = y 
 
 Substituindo na primeira, temos: 
x + 2 (3x + 1) = 9 
x + 6x + 2 = 9 
7x = 7 
x = 1 
 
 Logo, y = 3.1 + 1 = 4. Portanto, a soma x + y é 1 + 4 = 5. 
Resposta: A 
 
20. FGV ± MPE/MS ± 2013) Uma barraca de lanches rápidos vende 
sanduíches de dois tipos. O tipo simples com uma fatia de carne e uma 
de queijo e o duplo com duas fatias de carne e duas de queijo. 
 
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Cada sanduíche simples é vendido por R$4,80 e cada duplo é vendido por 
R$6,00. Certo dia, João, o dono da barraca vendeu 50 sanduíches, 
arrecadou o total de R$266,40 e diVVH��³QmR�YHQGL�PDLV�SRUTXH�D�FDUQH�
DFDERX´�� 
O número de fatias de carne que João tinha no estoque, nesse dia, era: 
(A) 60. 
(B) 64. 
(C) 68. 
(D) 72. 
(E) 76. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja S e D o número de sanduíches simples e duplos vendidos no 
dia. Sabemos que foram vendidos 50 sanduiches, ou seja, 
S + D = 50 
S = 50 ± D 
 
 Sabemos também que foi arrecadado 266,40 reais, sendo que a 
arrecadação com sanduíche simples foi S x 4,80 e com sanduíche duplo 
foi D x 6,00, ou seja: 
S x 4,80 + D x 6,00 = 266,40 
(50 ± D) x 4,80 + D x 6,00 = 266,40 
50 x 4,80 ± 4,80D + 6D = 266,40 
240 ± 4,80D + 6D = 266,40 
1,20D = 266,40 ± 240 
1,20D = 26,40 
D = 26,40 / 1,20 = 22 sanduiches duplos 
 
 Logo, 
S = 50 ± D = 50 ± 22 = 28 sanduíches simples 
 
 O número de fatias de carne usadas foi: 
Carne = 1 x 28 + 2 x 22 
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Carne = 72 fatias 
RESPOSTA: D 
 
21. CESGRANRIO± LIQUIGAS ± 2013) Um sistema linear de três 
equações e três incógnitas foi reescrito em sua forma matricial, 
> @ > @ > @3 3 3 1 3 1.x x xA X B . 
A matriz dos coeficientes > @3 3xA é dada por > @3 3
1 2 3
1 0
0 1 2
x
A k � 
O referido sistema será possível e determinado se, e apenas se, k atender 
a condição 
(A) k = -1 
(B) k = 1 
�&��N��� 
(D) k = ±1 
�(��N��“� 
RESOLUÇÃO: 
 Para o sistema ser possível e determinado, é preciso que o 
determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. O 
determinante da matriz dada no enunciado é: 
1x0x2 + 2xkx0 + (-1)x1x3 - 3x0x0 - 2x(-1)x2 - 1xkx1 = 
0 + 0 -3 - 0 + 4 - k = 
1 - k 
 
 Para que esse determinante seja diferente de zero, precisamos que 
k seja diferente de 1. 
RESPOSTA: C 
 
22. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2010) 
5
2 8
1 1
2 2
x y
x yA
ª º« » § · § ·« »¨ ¸ ¨ ¸« »© ¹ © ¹¬ ¼
 
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Qual o valor de x/y, considerando que o determinante da matriz A, 
representada acima, é nulo? 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 2/3 
d) 3/5 
e) 4/5 
RESOLUÇÃO: 
 O determinante é: 
detA = 2x . (1/2)y ± 8y . (1/2)5x 
 
 Como esse determinante é nulo, isto é, detA = 0, então: 
0 = 2x . (1/2)y ± 8y . (1/2)5x 
2x . (1/2)y = 8y . (1/2)5x 
2x . (1/2)y = (23)y . (1/2)5x 
2x . (1/2)y = 23y . (1/2)5x 
2x . (2-1)y = 23y . (2-1)5x 
2x . 2-y = 23y . 2-5x 
2x-y = 23y-5x 
x ± y = 3y ± 5x 
x + 5x = 3y + y 
6x = 4y 
x/y = 4/6 
x/y = 2/3 
RESPOSTA: C 
 
23. FUNIVERSA ± SECTEC ± 2010) Em uma investigação, na qual 
houve quebra de sigilo telefônico, um perito registrou o número de vezes 
que cada um de cinco investigados realizou uma chamada telefônica para 
algum dos outros. O perito identificou os investigados com os números 1, 
2, 3, 4 e 5. Denotando por N a matriz na qual cada elemento aij 
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corresponde ao número de vezes que o investigado i realizou um 
chamado para o investigado j. 
0 4 2 4 2
3 0 3 1 5
5 3 0 5 1
2 4 4 0 2
5 1 2 2 0
N
§ ·¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸© ¹
 
O perito selecionará, ao acaso, uma ligação, entre as registradas na 
matriz N, para ouvi-la. A probabilidade de que o investigado de número 2 
seja um dos envolvidos na ligação telefônica selecionada é igual a 
a) 0,20 
b) 0,40 
c) 0,50 
d) 0,55 
e) 0,60 
RESOLUÇÃO: 
 O total de ligações é dado pela soma dos termos dessa matriz, que 
totalizam 60. Deste total, o investigado 2 está envolvido nas ligações 
presentes na linha 2 (ligações que ele fez) ou na coluna 2 (ligações que 
ele recebeu): 
0 4 2 4 2
3 0 3 1 5
5 3 0 5 1
2 4 4 0 2
5 1 2 2 0
N
§ ·¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸© ¹
 
 
 Somando essas ligações, temos 24 chamadas onde o investigado 2 
estava envolvido. A probabilidade de selecionar uma delas é: 
P = 24 / 60 = 4 / 10 = 0,4 
RESPOSTA: B 
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24. FUNIVERSA ± IFB ± 2012) Considerando que 
2 10
7 4
4 6
x
y
z
§ · § · § ·¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸� � �¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸�© ¹ © ¹ © ¹
, 
então os valores de x, y e z são, respectivamente 
a) 12, -11, -2 
b) 2, 11, -12 
c) -12, 11, 2 
d) 2, -11, 12 
e) 11, 12, -2 
RESOLUÇÃO: 
 Ao subtrair duas matrizes, basta subtrair os termos equivalentes. 
Ou seja, 
x ± 2 = 10 Æ x = 12 
y ± (-7) = -4 Æ y = -11 
z ± 4 = -6 Æ z = -2 
RESPOSTA: A 
25. FUNIVERSA ± IFB ± 2012) O determinante da matriz 
3 2 2
4 0 4
5 3 1
�
�
, de 
acordo com a regra de Sarrus, é igual a 
a) 36 
b) 42 
c) 68 
d) 92 
e) 108 
RESOLUÇÃO: 
 Esse determinante é dado por: 
3x0x1 + 2x4x5 + 4x(-3)x(-2) ± (-2)x0x5 ± 3x4x(-3) ± 2x4x1 = 
0 + 40 + 24 + 0 + 36 ± 8 = 
92 
RESPOSTA: D 
 
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26. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2014) A matriz quadrada A, definida 
genericamente por A = aij, é dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; 
a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse 
modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimétrica, os valores de 
a21, a23, a31 e a33 deverão ser, respectivamente, iguais a: 
a) 4; -2; -2; -2. 
b) 4; -2; 2; -2. 
c) 4; 2; -2; -2. 
d) -4; -2; 2; -2. 
e) -4; -2; -2; -2. 
RESOLUÇÃO: 
 Desenhando a matriz do enunciado: 
0 4 2
0 1
2 0
x z
y z
�ª º« »�« »« »¬ ¼
 
 
 Uma matriz é antissimétrica quando os termos de um lado da 
diagonal principal são o OPOSTO dos termos do outro lado da diagonal 
principal. Se essa matriz é antissimétrica, então: 
x = -(-4) = 4 
y = -2 
2z = -(1-z) Æ z = -1 
 
 Portanto, ficamos com a matriz: 
0 4 2
4 0 2
2 2 0
�ª º« »« »« »� �¬ ¼
 
Resposta: C 
 
27. FUNDATEC ± SEFAZ/RS ± 2014) O determinante da matriz 
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A) -32. 
B) -26. 
C) 14. 
D) 16. 
E) 28. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos aproveitar essa questão para ver como calcular o 
determinante de uma matriz 4x4. O primeiro passo é calcular os 
COFATORES de cada termo de uma linha ou de uma coluna. 
 O cofator de um termo aij de uma matriz é simbolizado por Aij, e é 
dado pela multiplicação de (-1)i+j pelo determinante da matriz formada 
TXDQGR�WLUDPRV�D�OLQKD�³L´�H�D�FROXQD�³M´�GD�PDWUL]�RULJLQDO�� 
 Calculando os cofatores dos termos da primeira coluna, com base 
nesta definição, temos: 
1 1
11
3 1 0
( 1) det 3 2 1
1 1 4
A �
ª º« » � u � « »« »¬ ¼
1 x 34 = 34 
2 1
21
2 1 0
( 1) det 3 2 1
1 1 4
A �
ª º« » � u � « »« »¬ ¼
(-1) x 27 = -27 
3 1
31
2 1 0
( 1) det 3 1 0
1 1 4
A �
ª º« » � u « »« »¬ ¼
1 x (-4) = -4 
4 1
41
2 1 0
( 1) det 3 1 0
3 2 1
A �
ª º« » � u « »« »�¬ ¼
(-1) x (-1) = 1 
 
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 O determinante da matriz A é dado pela soma das multiplicações 
entre cada termo da coluna escolhida (no caso, a primeira coluna) e o seu 
respectivo cofator. Portanto, o determinante da matriz é: 
detA = a11 x A11 + a21 x A21 + a31 x A31 + a41 x A41 
detA = 1 x 34 + 2 x (-27) + 2 x (-4) + 2 x 1 
detA = -26 
RESPOSTA: B 
 
28. FUNDATEC ± SEFAZ/RS ± 2014) Sendo 
 
o cofator do elemento a23 da matriz transposta de A multiplicado pelo 
determinante da matriz inversa de B corresponde a: 
a) -3 
b) 
1
6
 
c) 
1
4
 
d) 
1
2
 
e) 2 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que: 
detB = 2 x (-3) ± 0 x 4 = -6 
 
 Portanto, o determinante da inversa de B é: 
detB-1 = 1 / detB = 1 / (-6) = -1/6 
 
 A matriz transposta de A é: 
2 3 1
1 1 1
1 2 1
tA
ª º«» �« »« »�¬ ¼
 
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 O cofator a23 é dado pela fórmula: 
a23 = (-1)2+3 x D23 
 
 Onde D23 é o determinante da matriz A quando se retira a linha 2 e 
a coluna 3, ou seja, quando resta: 
2 3
1 2
ª º« »¬ ¼
 
 
 Note que D23 = 2 x 2 ± 3 x 1 = 1. Logo, 
Cofator a23 = (-1)5 x 1 = -1 
 
 Logo, 
Cofator a23 x detB-1 = -1 x (-1/6) = 1/6 
RESPOSTA: B 
 
29. ESAF ± AUDITOR MTE ± 2010) Seja y um ângulo medido em graus 
WDO�TXH��ž�”�\�”����ž�FRP�\����ž��$R�PXOWLSOLFDUPRV�D�PDWUL]�DEDL[R�
SRU�Į��VHQGR�Į�����TXDO�R�GHWHUPLQDQWH�GD�PDWUL]�UHVXOWDQWH" 
 
a) Į cos y. 
b) Į2 tg y. 
c) Į sen y. 
d) 0. 
e) - Į sen y. 
RESOLUÇÃO: 
 O determinante da matriz do enunciado é: 
 
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det = 1.tgy.cosy + tgy.1.cosy + Į�VHQ\���± 1.tgy.cosy ± 1.seny.1 ± tgy. 
Į�FRV\ 
 
 Lembrando que tgy = seny/cosy, temos: 
 
det = 1.( seny/cosy).cosy + (seny/cosy).1.cosy + Į.seny.1 ± 1. 
(seny/cosy).cosy ± 1.seny.1 ± (seny/cosy). Į.cosy 
 
det = seny + seny + Į.seny ± seny ± seny ± seny. Ƨ 
det = 0 
 
 Multiplicando cada termo da matriz por Į�� R� GHWHUPLQDQWH� ILFD�
PXOWLSOLFDGR�SRU�Į3, por se tratar de uma matriz de ordem 3. Ocorre que 
Į3 x 0 = 0, portanto o determinante final continua sendo igual a zero. 
RESPOSTA: D 
 
30. CESPE ± IBAMA ± 2013) Julgue os itens subsequentes, 
relacionados a problemas aritméticos, geométricos e matriciais. 
( ) Considere que A e B sejam matrizes distintas, de ordem 2 × 2, com 
entradas reais e, em cada matriz, três das quatro entradas sejam iguais a 
zero. Além disso, considere também que A × A = B × B = A × B = O, em 
que O é a matriz nula, isto é, a matriz em que todas as entradas são 
iguais a zero. Nesse caso, necessariamente, A = O ou B = O. 
( ) Se A, B e C são números reais, com C z 1 e A + BC = B + AC, então, 
necessariamente, A = B. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Considere que A e B sejam matrizes distintas, de ordem 2 × 2, com 
entradas reais e, em cada matriz, três das quatro entradas sejam iguais a 
zero. Além disso, considere também que A × A = B × B = A × B = O, em 
que O é a matriz nula, isto é, a matriz em que todas as entradas são 
iguais a zero. Nesse caso, necessariamente, A = O ou B = O. 
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 ER5$'2��,PDJLQH�TXH�WHPRV�DV�PDWUL]HV�DEDL[R��RQGH�³D´�H�³E´�VmR�
números diferentes de zero: 
0 0
0
A
a
ª º « »¬ ¼
 
0 0
0
B
b
ª º « »¬ ¼ 
 Note que A × A = 0, B × B = 0 e A × B = 0. Portanto, não é 
necessário que todas as entradas das matrizes A e B sejam iguais a zero. 
Item ERRADO. 
 
( ) Se A, B e C são números reais, com Cz 1 e A + BC = B + AC, então, 
necessariamente, A = B. 
 Desenvolvendo a expressão dada, temos: 
A + BC = B + AC 
A ± AC = B ± BC 
A x (1 ± C) = B x (1 ± C) 
 Sendo C z 1, podemos dividir ambos os lados dessa expressão por 
(1 ± C), obtendo: 
A = B 
 Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
31. ESAF ± ANAC ± 2016) Dada a matriz 
 
o determinante da matriz 2A é igual a 
a) 40. 
b) 10. 
c) 18. 
d) 16. 
e) 36. 
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RESOLUÇÃO: 
 O determinante da matriz A é: 
d = 2x1x4 + 1x1x3 + 0x1x1 ± 3x1x0 ± 1x1x4 ± 2x1x1 
d = 8 + 3 + 0 ± 0 ± 4 ± 2 
d = 5 
 
 O determinante da matriz 2A é dado por 23 x 5 = 8 x 5 = 40. Veja 
que bastava notar que A era uma matriz de 3ª ordem, de modo que ao 
multiplicar essa matriz por um número (2), o seu determinante fica 
multiplicado por 2n, onde n é a ordem da matriz. 
Resposta: A 
 
 
Fim de aula. Até o próximo encontro! Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE QUESTÕES DESTA AULA 
 
 
1. ESAF ± AFRFB ± 2009) Com relação ao sistema, 
 
onde 3 z + 2 �0 e 2 x + y �0 , pode-se, com certeza, afirmar que: 
a) é impossível. 
b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo. 
 
2. CESPE ± IBAMA ± 2013) Julgue os itens subsequentes, relacionados 
a problemas aritméticos, geométricos e matriciais. 
( ) Considere que A e B sejam matrizes distintas, de ordem 2 × 2, com 
entradas reais e, em cada matriz, três das quatro entradas sejam iguais a 
zero. Além disso, considere também que A × A = B × B = A × B = O, em 
que O é a matriz nula, isto é, a matriz em que todas as entradas são 
iguais a zero. Nesse caso, necessariamente, A = O ou B = O. 
 
3. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2012) As matrizes, A, B, C e D são 
quadradas de quarta ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou 
seja: B = 1/2 A. A matriz C é igual a matriz transposta de B, ou seja: C = 
Bt�� $� PDWUL]� '� p� GH¿QLGD� D� SDUWLU� GD� PDWUL]� &�� D� ~QLFD� GLIHUHQoD� HQWUH�
essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira 
linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o determinante da matriz A 
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é igual a 32, então a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é 
igual a 
a) 6. 
b) 4. 
c) 12. 
d) 10. 
e) 8. 
 
4. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2012) Dada a matriz A = 2 1
0 1
§ ·¨ ¸© ¹ , o 
determinante de A5 é igual a 
a) 20. 
b) 28. 
c) 32. 
d) 30. 
e) 25. 
 
5. ESAF ± MINISTÉRIO DA FAZENDA ± 2012) Dadas as matrizes A = 
2 3
1 3
§ ·¨ ¸© ¹
 e B = 
2 4
1 3
§ ·¨ ¸© ¹ , calcule o determinante do produto A.B. 
a) 8 
b) 12 
c) 9 
d) 15 
e) 6 
 
6. ESAF ± STN ± 2012) Dado o sistema de equações lineares 
2 4 6
3 6 9
x y
x y
� ­® � ¯ 
p�FRUUHWR�D¿UPDU�TXH� 
a) o sistema não possui solução. 
b) o sistema possui uma única solução. 
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c) x = 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
d) o sistema é homogêneo. 
e) o sistema possui mais de uma solução. 
 
7. ESAF ± DNIT ± 2012) A soma dos valores de x e y que solucionam o 
sistema 
 de equações 
2 7
2 5
x y
x y
� ­® � ¯
 é igual a: 
a) 6 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 5 
 
8. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2009) Considere uma esfera, um cone, 
um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o 
cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando 
ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos 
cubos pesa a esfera? 
a) 4b) 5 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
9. ESAF ± MINISTÉRIO DA FAZENDA ± 2013) Em uma secretaria do 
Ministério da Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razão entre o número de 
homens e o número de mulheres é igual 4/5. A diferença entre o número 
de mulheres e o número de homens que trabalham nessa secretaria é 
igual a: 
a) 8 
b) 7 
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c) 6 
d) 9 
e) 5 
 
10. CEPERJ ± SEFAZ/RJ ± 2010) Ana, Bia e Cléa possuem juntas 300 
reais. Ana possui a metade da quantia que Bia e Cléa possuem juntas, e 
Bia possui a terça parte da quantia que Ana e Cléa possuem juntas. 
Então, Cléa possui: 
a) 100 reais 
b) 125 reais 
c) 150 reais 
d) 75 reais 
e) 175 reais 
 
11. ESAF ± MINISTÉRIO DA FAZENDA ± 2012) Dado o sistema de 
equações lineares: 
2 3 4 3
5 6
2 3 7
x y z
x y z
x y z
� � ­° � � ®° � � ¯
 
 O valor de x + y + z é igual a 
a) 8. 
b) 16. 
c) 4. 
d) 12. 
e) 14. 
 
12. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2012) Considere o sistema de 
equações lineares dado por: 
0
2
2 1
x y z
x y rz
rx y z
� � 
� � 
� � �
 
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Sabendo-VH�TXH�R�VLVWHPD�WHP�VROXomR�~QLFD�SDUD�U����H�U�����HQWmR�R�
valor de x é igual a 
a) 
2
r
. 
b) 
2
r
�
. 
c) 
1
r
. 
d) 
1
r
�
. 
e) 2r. 
 
13. FGV ± AUDITOR ICMS/RJ ± 2011) A soma de dois números é 
120, e a razão entre o menor e o maior é 1/2. O menor número é 
(A) 20 . 
(B) 25 . 
(C) 30 . 
(D) 35 . 
(E) 40 . 
 
14. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) Em uma festa comunitária, 
uma barraca de tiro ao alvo dá um prêmio ao cliente de R$ 30,00, cada 
vez que o mesmo acerta a área central do alvo. Caso contrário, o cliente 
paga R$ 10,00. Um indivíduo deu 50 tiros e pagou R$ 100,00. Nessas 
condições, o número de vezes que ele ERROU o alvo foi 
 a) 10 
 b) 20 
 c) 25 
 d) 35 
 e) 40 
 
15. CESGRANRIO ± BACEN ± 2010) Gabriel brinca com 24 moedas de 
R$ 1,00. Inicialmente, ele forma com elas três pilhas. Em seguida, dobra 
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a segunda pilha colocando nela moedas retiradas da primeira; depois, 
dobra a terceira com moedas retiradas da segunda e, finalmente, dobra o 
que restou na primeira pilha com moedas retiradas da terceira, ficando, 
assim, as três pilhas com o mesmo número de moedas. O número de 
moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 11 
(E) 12 
 
16. CESGRANRIO ± BNDES ± 2006) O valor de x no sistema 
 é: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
17. CEPERJ ± PREF. SÃO GONÇALO ± 2011) Os irmãos Pedro e Paulo 
estudam no 8º ano do Ensino Fundamental e entraram em uma papelaria 
para comprar lápis e canetas de que precisavam para o semestre. As 
canetas que compraram foram todas do mesmo preço. Os lápis que 
compraram foram também todos do mesmo preço. Pedro comprou 2 
canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. Paulo comprou 3 canetas e 2 lápis e 
pagou também R$16,50. Assim, quem comprar 1 caneta e um lápis, 
iguais aos comprados pelos irmãos, pagará: 
a) R$6,00 
b) R$6,20 
c) R$6,50 
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d) R$6,75 
e) R$6,90 
 
18. FGV ± SUDENE/PE ± 2013) O time de João jogou 22 vezes no 
primeiro semestre deste ano. O time de João ganhou 2 jogos a mais que 
perdeu e empatou 3 jogos a menos que ganhou. O número de jogos que 
o time de João venceu foi: 
(A) 7. 
(B) 8. 
(C) 9. 
(D) 10. 
(E) 11. 
 
19. CEPERJ ± SEPLAG/RJ ± 2013) Observe atentamente as duas 
equações abaixo: 
 
A soma dos valores de x e y que resolvem esse sistema vale: 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
E) 9 
 
20. FGV ± MPE/MS ± 2013) Uma barraca de lanches rápidos vende 
sanduíches de dois tipos. O tipo simples com uma fatia de carne e uma 
de queijo e o duplo com duas fatias de carne e duas de queijo. 
 
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Cada sanduíche simples é vendido por R$4,80 e cada duplo é vendido por 
R$6,00. Certo dia, João, o dono da barraca vendeu 50 sanduíches, 
DUUHFDGRX�R� WRWDO�GH�5��������H�GLVVH��³QmR�YHQGL�PDLV�SRUTXH�D�FDUQH�
DFDERX´�� 
O número de fatias de carne que João tinha no estoque, nesse dia, era: 
(A) 60. 
(B) 64. 
(C) 68. 
(D) 72. 
(E) 76. 
 
21. CESGRANRIO ± LIQUIGAS ± 2013) Um sistema linear de três 
equações e três incógnitas foi reescrito em sua forma matricial, 
> @ > @ > @3 3 3 1 3 1.x x xA X B . 
A matriz dos coeficientes > @3 3xA é dada por > @3 3
1 2 3
1 0
0 1 2
x
A k � 
O referido sistema será possível e determinado se, e apenas se, k atender 
a condição 
(A) k = -1 
(B) k = 1 
�&��N��� 
(D) k = ±1 
�(��N��“� 
 
22. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2010) 
5
2 8
1 1
2 2
x y
x yA
ª º« » § · § ·« »¨ ¸ ¨ ¸« »© ¹ © ¹¬ ¼
 
Qual o valor de x/y, considerando que o determinante da matriz A, 
representada acima, é nulo? 
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a) 1/2 
b) 1/3 
c) 2/3 
d) 3/5 
e) 4/5 
 
23. FUNIVERSA ± SECTEC ± 2010) Em uma investigação, na qual 
houve quebra de sigilo telefônico, um perito registrou o número de vezes 
que cada um de cinco investigados realizou uma chamada telefônica para 
algum dos outros. O perito identificou os investigados com os números 1, 
2, 3, 4 e 5. Denotando por N a matriz na qual cada elemento aij 
corresponde ao número de vezes que o investigado i realizou um 
chamado para o investigado j. 
0 4 2 4 2
3 0 3 1 5
5 3 0 5 1
2 4 4 0 2
5 1 2 2 0
N
§ ·¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸© ¹
 
O perito selecionará, ao acaso, uma ligação, entre as registradas na 
matriz N, para ouvi-la. A probabilidade de que o investigado de número 2 
seja um dos envolvidos na ligação telefônica selecionada é igual a 
a) 0,20 
b) 0,40 
c) 0,50 
d) 0,55 
e) 0,60 
 
24. FUNIVERSA ± IFB ± 2012) Considerando que 
2 10
7 4
4 6
x
y
z
§ · § · § ·¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸� � �¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸�© ¹ © ¹ © ¹
, 
então os valores de x, y e z são, respectivamente 
a) 12, -11, -2 
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b) 2, 11, -12 
c) -12, 11, 2 
d) 2, -11, 12 
e) 11, 12, -2 
25. FUNIVERSA ± IFB ± 2012) O determinante da matriz 
3 2 2
4 0 4
5 3 1
�
�
, de 
acordo com a regra de Sarrus, é iguala 
a) 36 
b) 42 
c) 68 
d) 92 
e) 108 
 
26. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2014) A matriz quadrada A, definida 
genericamente por A = aij, é dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; 
a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse 
modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimétrica, os valores de 
a21, a23, a31 e a33 deverão ser, respectivamente, iguais a: 
a) 4; -2; -2; -2. 
b) 4; -2; 2; -2. 
c) 4; 2; -2; -2. 
d) -4; -2; 2; -2. 
e) -4; -2; -2; -2. 
 
27. FUNDATEC ± SEFAZ/RS ± 2014) O determinante da matriz 
 
A) -32. 
B) -26. 
C) 14. 
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D) 16. 
E) 28. 
 
28. FUNDATEC ± SEFAZ/RS ± 2014) Sendo 
 
o cofator do elemento a23 da matriz transposta de A multiplicado pelo 
determinante da matriz inversa de B corresponde a: 
a) -3 
b) 
1
6
 
c) 
1
4
 
d) 
1
2
 
e) 2 
 
29. ESAF ± AUDITOR MTE ± 2010) Seja y um ângulo medido em graus 
WDO�TXH��ž�”�\�”����ž�FRP�\����ž��$R�PXOWLSOLFDUPRV�D�PDWUL]�DEDL[R�
SRU�Į��VHQGR�Į�����TXDO�R�GHWHUPLQDQWH�GD�PDWUL]�UHVXOWDQWH" 
 
a) Į cos y. 
b) Į2 tg y. 
c) Į sen y. 
d) 0. 
e) - Į sen y. 
 
30. CESPE ± IBAMA ± 2013) Julgue os itens subsequentes, 
relacionados a problemas aritméticos, geométricos e matriciais. 
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( ) Considere que A e B sejam matrizes distintas, de ordem 2 × 2, com 
entradas reais e, em cada matriz, três das quatro entradas sejam iguais a 
zero. Além disso, considere também que A × A = B × B = A × B = O, em 
que O é a matriz nula, isto é, a matriz em que todas as entradas são 
iguais a zero. Nesse caso, necessariamente, A = O ou B = O. 
( ) Se A, B e C são números reais, com C z 1 e A + BC = B + AC, então, 
necessariamente, A = B. 
 
31. ESAF ± ANAC ± 2016) Dada a matriz 
 
o determinante da matriz 2A é igual a 
a) 40. 
b) 10. 
c) 18. 
d) 16. 
e) 36. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO DAS QUESTÕES 
 
01 C 02 E 03 E 04 C 05 E 06 E 07 B 
08 B 09 B 10 B 11 C 12 D 13 E 14 E 
15 D 16 C 17 A 18 C 19 A 20 D 21 C 
22 C 23 B 24 A 25 D 26 C 27 B 28 B 
29 D 30 EC 31 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRINCIPAIS PONTOS DA AULA 
 
 Veja a seguir um resumo com os principais conceitos que você 
precisa guardar sobre o tema desta aula. 
 
- uma matriz Mmxn é uma tabela com m linhas e n colunas. Os elementos 
desta tabela são representados na forma aij, onde i representa a linha e j 
representa a coluna deste termo 
 
- a matriz transposta de A, simbolizada por At, é construída trocando cada 
linha da matriz original pela respectiva coluna 
 
- uma matriz é quadrada quando possui o mesmo número de linhas e 
colunas 
 
- para somar ou subtrair duas matrizes, basta somar ou subtrair os 
termos correspondentes. As matrizes precisam ser de mesma ordem 
 
- para multiplicar um número por uma matriz, basta multiplicar cada 
termo da matriz por aquele número 
 
- ao multiplicar 2 matrizes, cada termo da nova matriz é formado pela 
soma das multiplicações de cada termo de uma linha da primeira matriz 
por cada termo de uma coluna da segunda matriz 
 
- a multiplicação de matrizes não é comutativa 
 
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- Identidade é uma matriz quadrada que possui todos os termos da 
diagonal principal iguais a 1, e os demais termos iguais a 0 
 
- dada uma matriz A, chamamos de inversa de A, ou A-1, a matriz tal que: 
A x A-1 = I (matriz identidade) 
 
- nem toda matriz quadrada é inversível (é preciso que o determinante 
seja diferente de zero) 
 
- o determinante de uma matriz é um número a ela associado 
 
- em uma matriz quadrada de ordem 1, o determinante é o próprio termo 
que forma a matriz 
 
- em uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é dado pela 
subtração entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal 
secundária 
 
- em uma matriz quadrada de ordem 3, o determinante é calculado da 
seguinte forma: 
det
a b c
d e f aei bfg cdh ceg bdi afh
g h i
§ ·¨ ¸ � � � � �¨ ¸¨ ¸© ¹
 
 
- as principais propriedades do determinante são: 
- o determinante de A é igual ao de sua transposta At 
- se uma fila (linha ou coluna) de A for toda igual a zero, det(A) = 0 
- se multiplicarmos todos os termos de uma linha ou coluna de A 
SRU� XP� YDORU� ³N´�� R� GHWHUPLQDQWH� GD� PDWUL]� VHUi� WDPEpP�
multiplicado por k 
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- se multiplicarmos todos os termos de uma matriz por um valor 
³N´��R�GHWHUPLQDQWH�VHUi�PXOWLSOLFDGR�SRU�Nn, onde n é a ordem da 
matriz 
- se trocarmos de posição duas linhas ou colunas de A, o 
determinante da nova matriz será igual ao número oposto, isto é, -
det(A) 
- se A tem duas linhas ou colunas iguais, então det(A) = 0 
- se uma linha de A é combinação linear das outras linhas, então 
det(A) = 0 
- sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det (AxB) = 
det(A) x det(B) 
- uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det( ) 0A z 
- se A é uma matriz inversível, det(A-1) = 1/det(A) 
 
- p/ usar determinantes para resolver sistemas lineares, seguimos os passos: 
Î Calcular o determinante da matriz dos coeficientes (D) 
Î Substituir os coeficientes de x da primeira matriz (isto é, a primeira 
coluna) pelos valores da matriz de resultados, obtendo o 
determinante Dx 
Î Repetir esse mesmo procedimento para as demais variáveis, 
obtendo Dy, Dz etc. 
Î desta forma, as soluções do sistema serão do tipo: 
Dx
x
D
 , Dyy
D
 e Dzz
D
 
 
 
- podemos classificar o sistema quanto à possibilidade de solução. Se: 
a) D diferente de 0, então o sistema é possível e determinado 
b) D = Dx = Dy = Dz = 0, então o sistema é possível e indeterminado 
c) D = 0 e pelo menos um dos demais determinantes (Dx, Dy e/ou Dz) 
for diferente de zero, então o sistema é impossível 
 
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