CONJUNTOS (apostila alunos) PDF

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CONJUNTOS 
 
Noção de Conjunto: podemos entender por conjunto uma coleção qualquer de objetos 
geralmente com algumas características em comum. 
Ex. Conjunto de casas; de alunos; de números; de carros; etc. 
 
Representação: Representamos um conjunto geralmente por uma letra maiúscula do 
alfabeto e todos os seus elementos entre chaves 
 
. 
Ex.: todos os números pares menores que 9. 
 8,6,4,2,0A 
 
 
Quem é que compõe o conjunto: são os elementos que compõem o conjunto. 
Ex.: Dado o conjunto 
 4,3,2,1,0A
 cada número que compõe esse conjunto é chamado de 
elemento e nós indicamos da seguinte maneira: 
 "Aapertencezero"selêA0 
. Claro que o 
5 não faz parte desse conjunto, então escrevemos: 
 "Aapertencenãocinco"selêA5 
. 
 
 
1. ALGUNS CONJUNTOS IMPORTANTES 
 
a) Conjunto dos números naturais (IN) 
 
IN = 
 
b) Conjunto dos números inteiros (Z) 
 
Z = 
 
c) Conjunto dos números racionais (Q) 
 
Lembre-se que os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de 
fração : a , sendo a im número inteiro e b um inteiro não nulo. 
 b 
 
Q = 
 
d) Conjunto dos números irracionais 
 
Os números irracionais são decimais infinitos não periódicos, ou seja, os números que não 
podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). 
 
Ex.: 
...1416,3
 
...7320,13
...4243,12

 
 
 
e) Conjunto dos números reais (IR) 
 
Os números reais são: a união dos naturais, inteiros racionais e irracionais, veja figura: 
 
 
 
 
f) Conjunto unitário e conjunto vazio 
 
O conjunto unitário é formado de apenas um elemento ( A = 
 2
) enquanto que o vazio não 
possui qualquer elemento, e é representado por 

 ou 
 
 
 
2. IGUALDADE DE CONJUNTOS 
 
Dois ou mais conjuntos são iguais quando: 
Ex1.: A = 
    BAentão,4,3,2,1Be1,2,3,4 
 
Ex2.: 
    DCentão,e,t,r,aDea,t,e,rC 
 
 
 
3. CONJUNTO UNIVERSO 
 
É o conjunto com os quais envolvem todos os elementos que se deseja trabalhar. Ele é 
representado pela letra U. 
 
Se perguntarmos, por exemplo, quais os números menores que 3? A resposta depende do 
conjunto universo que vamos trabalhar. 
 
Ex1.: U = IN =
 2,1,0
 
Ex2.: U = Z =
 2,1,0,1...,
 
 
4. A LINGUAGEM USADA NOS CONJUNTOS 
 
a) 
)"qentãopse:"selê(qp 
 
Ex.: 2+3 = 5 

5-3 = 2 
 
b) qualquer que seja 
 
 
Ex.: 
0x0 
 
 Ux
 
 
c) existe ao menos um 
 
 
Ex1.: 
Ax/xA 
(existe ao menos um x) 
 Ex2.: 
 2,1,0U
 

x / x>2 (não existe x) 
 
 
d) existe um único 
Ex.: considere o conjunto 
 5,4,3,2,1C 
 existe um único valor de x que satisfaz a sentença 
3x1 
, então: 
 
Ux
/
3x1 
2x 
 
 
5. SUBCONJUNTOS 
 
Vamos considerar os conjuntos 
   7,6,5,4,3,2,1Be5,3,2A 
, observe que todo elemento de A 
é também elemento de B. Dizemos que A é subconjunto de B ou que 
BA
( o conjunto A está 
contido em B) ou então 
AB
( o conjunto B contém o conjunto A ). 
 
Veja o gráfico: 
 
 
 
U 
B A 
.1 
 
.4 
.2 
.3 .5 
.6 
 
.7 
Simbolicamente temos: 
 
 BxAxBA 
 
 
Observações: 
Júlio César Oliveira 
a) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é: 
 
AAA 
 
 
b) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 
 
AA 
 
 
 
6. CONJUNTOS FORMADOS POR CONJUNTOS 
 
Os elementos de um conjunto pode ser formado por outros conjuntos. 
 
Ex.: 
        d,c,b,a,b,aA 
 
 
Veja que 
    AaeAanãoeAa 
, mas 
   Aa 
. O mesmo é válido para os outros 
elementos de A, inclusive o conjunto vazio (

). 
 
 
7. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO 
Júlio César Oliveira 
Consideremos o conjunto 
 b,aB 
, vamos escrever todos os subconjuntos de B: 
 Com um elemento: 
   b,a
 
 Com dois elementos: 
 b,a
 
O conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de B é chamado conjunto das partes 
de B que indicamos por P(B) (lê-se: p de B). 
Lembrando que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, temos: 
P(B) =
      b,a,b,a,
 
Júlio César Oliveira 
De um modo geral se um conjunto A qualquer tem n elementos, então o número de P(A) será 
2n elementos. 
 
Ex.: 
 8,6,4,2A 
quantos subconjuntos A possui. 
 
P(A) =2n (n = 4) , logo P(A) = 24 = 16 elementos 
 
 
EXERCÍCIOS GERAIS 
 
1. Escreva os conjuntos representados em cada caso: 
 
a) 
 10quemenornaturalnúmerouméx/xA 
 
b) 
 5quemaiorímparnúmerouméx/xB 
 
 
 
Júlio César Oliveira 
2. Considerando o universo 
 8,7,6,5,4,3,2,1U 
, determine o conjunto solução de: 
 
a) 
 7x2/Ux 
 
b) 
 83x/Ux 
 
c) 
 101x/Ux 
 
 
3. Dados os conjuntos: 
     4,2Ce4,3,2,1B,,2,1A 
 
Que sentenças são verdadeiras? 
BA
 b) 
CA 
 c) 
BC
 d) 
CB 
 
 
 
 
4. Dado o conjunto 
      5,1,5,1,A 
 
Quais as sentenças verdadeiras: 
 
a) 
A
 c)
  A5,1 
 
b)
   A1 
 d) 
     A,5,1, 
 
 
6. Dado o conjunto 
 z,a,pA 
, determine o conjunto das partes de A. 
 
7. O conjunto das partes de B tem 512 elementos. Quantos são os elementos de B? 
 
 
Júlio César Oliveira 
8. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
8.1- Diferença entre conjuntos. 
 
Dados os conjuntos 
   9,8,6,4,2Be7,6,5,4,3,2,1A 
. A diferença entre A e B é representada por 
todos os elementos que pertencem a A, porém não pertencem a B. Indicamos desta forma: A - 
B (lê-se: "A menos B"). 
 
Observe: 
 75,3,1, B -A 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simbolicamente temos: 
Júlio César Oliveira 
 Bxeax/xBA 
 
 
8.2- Complementar de A em B 
 
Se 
ABentão,BA 
 é chamado de Complementar de A em relação a B. Indica-se por 
ABC
. 
Simbolicamente temos: 
1
3
5
7
2
4
8
96
A B
B AqueemA,-BB AC
 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
Em particular se A é subconjunto do conjunto universo U, o complementar de A em relação a U 
(
AUC
) pode ser representado por A' (A linha) ou 
A
 (A barra). Então: 
AUACA'A U 
. 
 
Exemplo: Dados 
 
     g,f,e,d,c,b,aUee,d,c,b,aBed,b,aA 
 
Calcular: 
 
a) 
 ec,A,-BB AC
 
 
Júlio César Oliveira 
b) 
 gfecACAA U ,,,' 
 
 
8.3- Intersecções de conjuntos 
 
Dados 
   9,8,6,4,2Be7,6,5,4,3,2,1A 
, a Intersecção de A com B é dada pelos elementos que 
pertencem ao conjunto A e ao Conjunto B, ao mesmo tempo. Representamos: 
BA
 (lê-se: "A 
inter B"). 
 
 6,4,2BA 
, Simbolicamente: 
 
 BxeAx/xBA 
 
 
Graficamente: 
BA
Parte pintada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.4- Reuniões de conjuntos 
 
Dados 
   9,8,6,4,2Be7,6,5,4,3,2,1A 
, a reunião de A com B é formado pelos elementos que 
pertencem a A ou a B. Representamos: 
BA
 (lê-se: "A união B"). 
 
 9,8,7,6,5,4,3,2,1BA 
, Simbolicamente: 
 Graficamente: 
BA
parte pintada 
 
A 
B 
 
.2
.4
.6
.1
.3
 .5
.7
.8
.9
A B
A B
9. NÚMERO DE ELEMENTOS DA REUNIÃO ENTRE CONJUNTOS 
 
Seja n(a) o número de elementos do conjunto A, n(b) o número de elementos do conjunto B, n(
BA
) o número de elementos dessa união e n(
BA
) o número de elementos dessa 
Intersecção, então é válida a seguinte relação: 
Júlio César Oliveira 
  )BA(n)b(n)A(nBAn 
 
 
Exemplo1: 
 
 
 n(A) = 7 
 n(B) = 5 
 n(
BA
) = 3 
 
 
 
 
9357
)BA(n)B(n)A(nBAn

Exercícios: 
1- Considere o diagrama abaixo onde o retângulo representa o conjunto universo:S e as curvas fechadas representam os 
conjuntos A e B. 
 
Determine: 
a) O conjunto A 
 
 
b) O conjunto B 
 
 
c) O número de elementos de A 
 
 
d) O número de elementos de B 
 
 
e) O número de subconjuntos de A 
 
 
f) O número de subconjuntos de B 
 
g) A B 
 
h) A B 
 
 
i) A – B 
 
j) B - A 
.2
.4
.6
.1
.3
 .5
.7
.8
.9
A B
A B
2- Considere os números √ ; 3,3333... ; -3 ; 3 e 3 
 
a) Qual deles é um número natural? 
 
b) Qual deles é um número inteiro que não é natural? 
 
 
c) Qual deles é um número racional que não é inteiro? 
 
d) Qual deles é um número irracional? 
 
 
e) Quais deles são números reais? 
 
 
3- Coloque V para Verdadeiro ou F para Falso: 
 
a) Todo número irracional é real 
b) Todo número real é natural 
c) √ é um número natural 
d) – 75 é um número inteiro 
 3 
e) √ é um número irracional 
 
4- Considere o número - 0,1: 
 
a) Esse número é racional? Por quê? 
 
b) Esse número é irracional? Por quê? 
 
 
c) Esse número é real? Por quê? 
 
5- São dados os números: 5,2 ; -6,3 ; -4; -0,222... ; 3 ; √ 
 
Diga quais deles: 
 
a) Pertencem a Z, mas não pertencem a N. 
 
 
b) Pertencem a Q, mas não a Z 
 
 
c) Pertencem a R, mas não a Q 
 
 
d) Pertencem a R, mas não a Irracionais. 
 
6- Verifique se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas: 
Se A = { -2, 3, 0, 5}, então: 
a) 3 A 
b) 0 A 
c) -2 A 
d) 5 A 
3 
Nas seguintes afirmações, coloque Verdadeiro (V) ou Falso ( F) 
7- Se A= { 1,2,3,4} e B = {1,3,4} , então A B 
 
8- Se A= { 0, 3} e B = {0,1,3} , então A B 
 
9- Se A= { 1,3,5} e B = { x } , então B A 
 
 
10- Se A= { 2,3,5} e B = {2,3,5} , então A B 
 
11- Se A= { 2,3,4,5} e B = {1,2,3,6} , então Calcule: 
 
a) A B 
b) A B 
c) A – B 
d) B – A 
 
 
12- Se A= { 4,5,8} e B = {2,3,4,5,6,8} , então Calcule: 
 
a) A B 
b) A B 
c) A – B 
d) B – A 
 
13- Se A= { -1, -2, 0, 1, 2, 3} , B = {-1, 0} e C = { 1, 2, 3}, determine: 
 
a) A B 
 
 
b) A B 
 
 
c) A – B 
 
 
d) B – A 
 
 
 
e) A C 
 
 
 
f) B C 
 
 
 
g) A B C 
 
 
 
h) A B C 
 
 
 
i) A – C