Equações de Movimento em 2D

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FÍSICA TEÓRICA I
Aula 4 – Equações de movimento (2D)
Tema da Apresentação
AULA 4 – EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
FÍSICA TEÓRICA I
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ESTRUTURA DA DISCIPLINA
AULA 1 – Unidades e grandezas físicas
AULA 2 –Deslocamento, velocidade e aceleração
AULA 3 – Equações de movimento
AULA 4 – Equações de movimento (2D)
AULA 5 – Leis de Newton
AULA 6 – Trabalho
AULA 7 – Variação de Energia
AULA 8 – Conservação de Energia
AULA 9 – Impulso
AULA 10 – Colisões
Tema da Apresentação
AULA 4 – EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
FÍSICA TEÓRICA I
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Conteúdo Programático AULA 4
Reconhecer o que são os movimentos em duas e três dimensões;
Identificar o que é o lançamento de projéteis;
Reconhecer o que é o movimento circular uniforme.
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RECORDAR É VIVER: VETORES
y
x
O
î
ĵ
1
1
z
y
x
yĵ
xî
zk
z
y
x
O
 ^
P
r
š
A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z.
O vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z:
3
Tema da Apresentação
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	LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
Movimento em um plano:
	vetor velocidade V(t)
	vetor aceleração constante
Eixo x: movimento uniforme
Eixo y: movimento uniformemente variado
  
^
v = vx i + vy j
a = - g j
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	LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
R: alcance
v0: velocidade inicial
H= altura máxima (vy = 0)
a = angulo de v0 com eixo x
  
^
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	DECOMPOSIÇÃO DO MOVIMENTO
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Eixo y: Movimento Uniformemente Variável 
v0y = v0 sen a
y(t) = y0 + v0yt – ½ gt2 (neste caso y0 = 0) e vy = v0y – gt então:
y(t) = (v0 sen a) t – ½.gt2
vy(t) = (v0 sen a) – gt
Eixo x: Movimento Uniforme (velocidade constante igual a V0x )
 
v0x = v0 cos a
x = x0 + V0xt e V0x = V0 cos a (neste caso x0 = 0)
x(t) = (V0 cos a)t
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		EQUAÇÃO DO MOVIMENTO
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PLANO XY  EXPRESSAR Y EM FUNÇÃO DE X
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	ALTURA MÁXIMA: vy(t) = 0 
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Tema da Apresentação
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	ALCANCE
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vy(t) = (v0 sen a) – gt
0 = (v0 sen a) – gt  t = v0 sen a (tempo de subida = tempo de descida)
			 g
tempo total = 2t = 2v0 sen a
	 g
x(t) = (v0 cos α)t  x(t) = (v0 cos a) . 2(v0 sen a ) = R
				 g
Lembrando que cos a . sen a = sen 2 a teremos:
R = 2v02 sen 2 a 
g
MAIOR ALCANCE: a  = 45º  sen 2a = 1
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	MÃOS NA MASSA
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(PUC - RJ - 011 - adaptado) Um atleta de salto em distância realiza seu alto tentando atingir o maior alcance. Caso ele se lance ao ar com uma velocidade em módulo de 10 m/s, fazendo um ângulo de 450 com a horizontal, qual a altura máxima atingida e a alcance máximo no solo?
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	MÃOS NA MASSA
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(PUC - RJ - 011 - adaptado) Um atleta de salto em distância realiza seu alto tentando atingir o maior alcance. Caso ele se lance ao ar com uma velocidade em módulo de 10 m/s, fazendo um ângulo de 450 com a horizontal, qual a altura máxima atingida e a alcance máximo no solo?
Condições iniciais:
Xo=0
Yo=0
Vxo = Vo cos 45º = 10 . 0,707 = 7,07 m/s
Vyo = Vo sen 45º = 10 . 0,707 = 7,07 m/s
ay = g = 9,8 m/s2
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	MÃOS NA MASSA
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(PUC - RJ - 011 - adaptado) Um atleta de salto em distância realiza seu alto tentando atingir o maior alcance. Caso ele se lance ao ar com uma velocidade em módulo de 10 m/s, fazendo um ângulo de 450 com a horizontal, qual a altura máxima atingida e a alcance máximo no solo?
Condições iniciais:
Xo=0
Yo=0
Vxo = Vo cos 45º = 10 . 0,707 = 7,07 m/s
Vyo = Vo sen 45º = 10 . 0,707 = 7,07 m/s
ay = g = 9,8 m/s2
Equações:
Eixo Y: Y=Yo + vo.t + ay.t2/2
 Y=0 + 7,07.t -4,9.t2
 
 Vy= voy + ay.t
 Vy= 7,07- 9,8.t
 
Eixo X: X=Xo + vox.t 
 X=0 + 7,07.t
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	MÃOS NA MASSA
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(PUC - RJ - 011 - adaptado) Um atleta de salto em distância realiza seu alto tentando atingir o maior alcance. Caso ele se lance ao ar com uma velocidade em módulo de 10 m/s, fazendo um ângulo de 450 com a horizontal, qual a altura máxima atingida e a alcance máximo no solo?
Equações:
Eixo Y: Y=Yo + vo.t + ay.t2/2
 Y=0 + 7,07.t -4,9.t2
 
 Vy= voy + ay.t
 Vy= 7,07- 9,8.t
 
Eixo X: X=Xo + vox.t 
 X=0 + 7,07.t
1)Altura máxima: Ymáx  Vy = 0
Vy= 7,07- 9,8.t
7,07 – 9,8.t = 0
 9,8.t = 7,07
 t = 7,07/9.8 = 0,72s
Y=0 + 7,07.t -4,9.t2
Substituindo t = 0,72s
Ymáx = 7,07. 0,72 -4,9. 0,722
Ymáx = 5,09 – 2,54 = 2,54 m
Tema da Apresentação
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	MÃOS NA MASSA
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(PUC - RJ - 011 - adaptado) Um atleta de salto em distância realiza seu alto tentando atingir o maior alcance. Caso ele se lance ao ar com uma velocidade em módulo de 10 m/s, fazendo um ângulo de 450 com a horizontal, qual a altura máxima atingida e a alcance máximo no solo?
Equações:
Eixo Y: Y=Yo + vo.t + ay.t2/2
 Y=0 + 7,07.t -4,9.t2
 
 Vy= voy + ay.t
 Vy= 7,07- 9,8.t
 
Eixo X: X=Xo + vox.t 
 X=0 + 7,07.t
2) Alcance máximo no Solo: Xmáx Y=0
 
Y=0 + 7,07.t -4,9.t2
 
7,07.t-4,9.t2 = 0
7,07-4,9.t = 0
 -4,9.t = - 7,07
	 t = 7,07/4,9 = 1,44 s 
X=0 + 7,07.t 
Substituindo t = 1,44s
Xmáx = 7,07 . 1,44 = 10,20 m
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	MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Módulo do vetor velocidade é constante
Circunferência: 2πR
Período: T = 2πR / v
Frequência: f = 1/T = v/ 2πR
Aceleração centrípeta: altera direção do vetor velocidade
  
^
R
V¹
V²
Tema da Apresentação
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	MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Velocidade angular (w)
ω = ∆φ/∆t  φ = φ0 + ωt
unidade de φ: radianos (rad) 
Unidade de ω: rad/s
Relação entre v e w
∆φ = ∆S/R ω = ∆φ/∆t V = ∆S/∆t  V = ωR
Tema da Apresentação
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	MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Aceleração centrípeta
módulo constante
não altera o módulo do vetor velocidade.
direção é radial (perpendicular a velocidade)
sentido  centro da circunferência
ac = V2/R
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RESUMINDO
Um movimento bidimensional pode ser analisado em função dos seus componentes
 Em um lançamento de projétil, podemos calcular o alcance e a altura máxima do corpo lançado em função da velocidade inicial e do ângulo de lançamento
O movimento em um plano pode não ser uma reta. A aceleração centrípeta provoca um movimento circular alterando apenas a direção do vetor velocidade.
Tema da Apresentação
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