Geometria analítica e álgebra linear

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UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DE PARANA´
A´LGEBRA LINEAR - QUI´MICA
LISTA Nro. 5
.
Espac¸os Vetoriais
Professor: Michael Gonzales
1 Espac¸os Vetoriais
1.) Verifique se os seguintes espac¸os sa˜o espac¸os
vetoriais.
a. Mn×m(R), o espac¸o das matrizes de or-
dem n×m com entradas reais.
b. C(f) = {f : R → R/f e´ uma func¸a˜o}, o
espac¸o de func¸o˜es reais definidas na reta
real R, com a operac¸o˜es definidas por
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(λf)(x) = λf(x).
c. Seja n ∈ N. Considere
Pn(R) = {p(t) = a0 + a1t + a2t
2 +
· · · ant
n/a0, a1, · · · an ∈ R, t ∈ R} o con-
junto de polinoˆmios ate´ o grau n com co-
eficientes reais. Com as operac¸o˜es
(p+ q)(t) = p(t) + q(t),
(λp)(t) = λp(t),
define um espac¸o vetorial.
d. O conjunto de todas as matrizes 2× 2 da
forma [
a 0
0 b
]
.
2.) Seja H o conjunto de todos os pontos de R2
da forma (3s, 2 − 5s). Determine se H e´ um
subespac¸o vetorial de R2.
Sera´ que o cojunto D dos pontos da forma
(3s,−5s) e´ um subespac¸o vetorial de R2?.
3.) Determine quais dos seguintes conjuntos e´ um
subespac¸o vetorial de M2×2(R).
a. Todas as matrizes de ordem 2 × 2 com
entradas nu´meros inteiros.
b. Todas as matrizes da forma[
a b
c d
]
tais que a+ b+ c+ d = 0.
c. Todas as matrizes 2× 2 com det(A) = 0.
d. Todas as matrizes da forma[
a b
0 c
]
.
4.) Determine quais dos seguintes conjuntos sa˜o
subespac¸os vetoriais de P3(R).
a. Todos os polinoˆmios a0+a1x+a2x
2+a3x
3
para os quais a0 = 0.
b. Todos os polinoˆmios a0+a1x+a2x
2+a3x
3
para os quais a0 + a1 + a2 + a3 = 0.
c. Todos os polinoˆmios a0+a1x+a2x
2+a3x
3
para os quais a0, a1, a2 e a3 sa˜o nu´meros
inteiros.
d. Todos os polinoˆmios da forma a0 + a1x,
onde a0 e a1 sa˜o nu´meros reais.
5.) Determine quais dos seguintes sa˜o subespac¸os
do espac¸o C(f).
a. Todas as func¸o˜es tais que f(x) ≥ 0 para
todo x.
b. Todas as func¸o˜es f tais que f(0) = 0.
c. Todas as func¸o˜es f tais que f(0) = 2.
6.) Quais dos seguintes sa˜o combinac¸o˜es lineares
de u = (0,−2, 2) e v = (1, 3,−1).
a)(2, 2, 2, ) b)(3, 1, 5) c)(0, 4, 5) d)(0, 0, 0)
1
7.) Quais dos seguintes sa˜o combinac¸o˜es lineares
de
A =
[
4 0
−2 −2
]
, B =
[
1 −1
2 3
]
e C =
[
0 2
1 4
]
?
a.
[
6 −8
−1 −8
]
.
b.
[
0 0
0 0
]
.
c.
[
6 0
3 8
]
d.
[
−1 5
7 1
]
.
8.) Determine se o cojunto
{v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1), v3 = (2, 1, 3)},
gera o espac¸o R3.
9.) Em cada parte determine se os vetores dados
geram R3.
a. v1 = (2, 2, 2), v2 = (0, 0, 3), v3 = (0, 0, 1).
b. v1 = (2,−1, 3), v2 = (4, 1, 2), v3 =
(8,−1, 8).
c. v1 = (1, 2, 6), v2 = (3, 4, 1), v3 = (4, 3, 1),
v4 = (3, 3, 1).
10.) Sejam f = cos2 x e g = sin2 x. Quais dos se-
guintes esta˜o no espac¸o gerado por f e g?.
a. cos 2x.
b. 3 + x2.
c. 1.
d. sinx.
e. 0.
11.) Determine se os seguintes polinoˆmios geram
P2(R).
p1 = 1− x+ 2x
2, p2 = 3 + x,
p3 = 5− x+ 4x
2, p4 = −2− 2x+ 2x
2.
12.) Considere o subespac¸o de R4
S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]
a) O vetor (2/3, 1,−1, 2) pertence a S?
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
13.) Seja W o subespac¸o de M3×2 gerado por

 0 11 1
0 0

 ,

 0 10 −1
1 0

 ,

 0 10 0
0 0

 .
O vetor

 0 23 4
5 0

 pertence a W?
14.) Mostre que
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e´ base de M(2, 2).
15.) Quais sa˜o as coordenadas de x = (1, 0, 0) em
relac¸a˜o a` base
β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}?
16.) Seja V o espac¸o das matrizes 2 × 2 sobre R, e
seja W o subespac¸o gerado por
[
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
,
[
1 −7
−5 1
]
.
Encontre uma base, e a dimensa˜o de W .
17.) Se
[I]α
′
α =

 1 1 00 −1 1
1 0 −1


ache
a) [v]α onde [v]α′ =

 −12
3


b) [v]α′ onde [v]α =

 −12
3


18.) Se β′ e´ obtida de β, a base canoˆnica de R2 pela
rotac¸a˜o por um aˆngulo −pi/3, ache
a) [I]β
′
β b) [I]
β
β′ .
19.) Sejam β1 = {(1, 0), (0, 2)},
β2 = {(−1, 0), (1, 1)}, β3 = {(−1,−1), (0,−1)}
treˆs bases ordenadas de R2.
a) Ache: [I]β2β1 , [I]
β3
β2
, [I]β3β1 , [I]
β2
β1
· [I]β3β2 .
b) Se for poss´ıvel, deˆ uma relac¸a˜o entre as ma-
trizes de mudanc¸a de base.
2
2 Independencia Linear
1.) Considere dos vetores (a, b) e (c, d) no plano.
Se ad− bc = 0, mostre que eles sa˜o LD.
Se ad− bc 6= 0, mostre que eles sa˜o LI.
2.) Quais dos seguintes conjuntos sa˜o linearmente
dependentes?
a. (4,−1, 2), (−4, 10, 2).
b. (−3, 0, 4), (5, 1,−2), (1, 1, 3).
c. (−2, 0, 1), (3, 2, 5), (6,−1, 1), (7, 0,−2).
d. (0, 3,−3,−6), (−2, 0, 0,−6), (0,−4,−2,−2),
(0,−8, 4,−4).
3.) Quais dos seguintes conjuntos sa˜o linearmente
dependentes em P2(R)?
a. 2− x+ 4x2, 3 + 6x+ 2x2, 2 + 10x− 4x2.
b. 6− x2, 1 + x+ 4x2.
c. 1+3x+3x2, x+4x2, 5+6x+3x2, 7+2x−x2.
4.) Para quais valores reais λ os vetores
v1 = (λ,−
1
2
,− 1
2
), v2 = (−
1
2
, λ,− 1
2
),
v3 = (−
1
2
,− 1
2
, λ) formam um conjunto linear-
mente independente em R3?
5.) Use o wronskiano para mostrar que os seguin-
tes conjuntos de vetores sa˜o linearmente inde-
pendentes:
a. 1, x, x2.
b. sinx. cosx, x sinx.
c. ex, xex, x2ex.
d. 1, x, x2.
3