exerc05_EspVet

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CAMPUS EXPERIMENTAL DE SOROCABA – ÁLGEBRA LINEAR
Quinta Lista de Exercı́cios de Álgebra Linear
1. Determine se o conjunto V dado abaixo é fechado em relação às operações ⊕ e ⊙:
(a) V é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais (x, y), onde x > 0 e y > 0:
(x, y) ⊕ (x′, y′) = (x + x′, y + y′)
k ⊙ (x, y) = (kx, ky)
Resp.: Fechado para ⊕, não é fechado para ⊙.
(b) V é o conjunto de todos os polinômios do tipo at2 +bt+c, onde a, b e c são números reais com b = a+1:
(a1t
2 + b1t + c1) ⊕ (a2t
2 + b2t + c2) = (a1 + a2)t
2 + (b1 + b2)t + (c1 + c2)
k ⊙ (at2 + bt + c) = (ka)t2 + (kb)t + (kc)
Resp.: Não é fechado para ⊕ e ⊙.
2. Nos exercı́cios abaixo, determine se o conjunto dado juntamente com as operações dadas é um espaço
vetorial. Se não for, relacione as propriedades da definição que não são válidas.
(a) O conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais (x, y, z) com as operações:
(x, y, z) ⊕ (x′, y′, z′) = (x′, y + y′, z′)
k ⊙ (x, y, z) = (kx, ky, kz)
(b) O cojunto de todas as ternas ordenadas de números reais do tipo (0, 0, z) com operações:
(0, 0, z)⊕ (0, 0, z′) = (0, 0, z + z′)
k ⊙ (0, 0, z) = (0, 0, kz)
Resp.: Espaço Vetorial.
(c) O conjunto de todos os pares ordenados de números reais (x, y) onde x ≤ 0, com as operações usuais
em R2.
Resp.: Não é espaço vetorial.
(d) O conjunto de todos os números reais positivos u com as operações u ⊕ v = uv e k ⊙ u = uc.
Resp.: Espaço vetorial.
3. Quais dos seguintes subconjuntos de R4 são subespaços de R4 ? O conjunto de todos os vetores do tipo:
(Resp.: (b) e (c).)
(a) (a, b, c, d), onde a − b = 2.
(b) (a, b, c, d), onde c = a + 2b e d = a − 3b.
(c) (a, b, c, d), onde a = 0 e b = −d.
4. Quais dos seguintes subconjuntos de P2 são subespaços ? O conjunto de todos os polinômios do tipo: (Resp.:
(a) e (c).)
(a) a2t2 + a1t + a0, onde a0 = 0.
(b) a2t2 + a1t + a0, onde a0 = 2.
(c) a2t2 + a1t + a0, onde a2 + a1 = a0.
5. Quais dos seguintes subconjuntos do espaço vetorial Mmn são subespaços ? Resp.: (b)
(a) O conjunto de todas as triangulares superiores n × n.
(b) O conjunto de todas as matrizes n × n cujo determinante é igual a 1.
6. Para cada item, determine se o vetor dado pertence a [{v1,v2 v3}] onde:
v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (1,−1, 0, 0), v3 = (0, 1, 2, 1)
(a) v = (−1, 4, 2, 2)
Resp.: Não.
(b) v = (−1, 1, 4, 3)
Resp.: Não.
(c) v = (1, 2, 0, 1)
Resp.: Não.
(d) v = (0, 1, 1, 0)
Resp.: Não.
7. Para cada item, determine se o vetor p(t) dado pertence a [{p1(t), p2(t), p3(t)}], onde
p1(t) = t
2 − t, p2(t) = t
2 − 2t + 1, p3(t) = −t
2 + 1
(a) p(t) = 3t2 − 3t + 1 Resp.: Não.
(b) p(t) = t2 − t + 1 Resp.: Não.
(c) p(t) = t + 1 Resp.: Não.
(d) p(t) = 2t2 − t − 1 Resp.: Sim.
8. Quais dos seguintes vetores geram R4 ? Resp.: (a) e (d).
(a) (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0)
(b) (1, 2, 1, 0), (1, 1,−1, 0), (0, 0, 0, 1)
(c) (6, 4,−2, 4), (2, 0, 0, 1), (3, 2,−1, 2), (5, 6,−3, 2), (0, 4,−2,−1)
(d) (1, 1, 0, 0), (1, 2,−1, 1), (0, 0, 1, 1), (2, 1, 2, 1)
9. Os polinômios t3 + 2t + 1, t2 − t + 2, t3 + 2, −t3 + t2 − 5t + 2 geram P3 ? Resp.: Não.
10. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R3 são linearmente dependentes ? Para aqueles que forem,
expresse um vetor como uma combinação linear dos outros.
(a) {(1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 2), (4, 6, 8, 6), (0, 3, 2, 1)}; Resp.: (4, 6, 8, 6) = 3(1, 1, 2, 1) + (1, 0, 0, 2) + (0, 3, 2, 1).
(b) {(1,−2, 3,−1), (−2, 4,−6, 2)}; Resp.: (−2, 4,−6, 2) = −2(1,−2, 3,−1).
(c) {(1, 1, 1, 1), (2, 3, 1, 2), (3, 1, 2, 1), (2, 2, 1, 1)};
(d) {(4, 2,−1, 3), (6, 5,−5, 1), (2,−1, 3, 5)}. Resp.: (6, 5,−5, 1) = 2(4, 2,−1, 3)− 2(2,−1, 3, 5).
11. Considere o espaço vetorial M22. Siga as instruções do exercı́cio anterior.
(a)
{[
1 1
1 2
]
,
[
1 0
0 2
]
,
[
0 3
1 2
]
,
[
2 6
4 6
]}
Resp.: L.D.
(b)
{[
1 1
1 1
]
,
[
1 0
0 2
]
,
[
0 1
0 2
]}
Resp.: L.I.
(c)
{[
1 1
1 1
]
,
[
2 3
1 2
]
,
[
3 1
2 1
]
,
[
2 2
1 1
]}
Resp.: L.I.
12. Para quais valores de c os vetores (−1, 0, 1), (2, 1, 2) e (1, 1, c) em R3 são lienarmente dependentes ? Resp.:
c = 1.
13. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases para R2 ? Resp.: (a) e (d).
(a) {(1, 3), (1,−1)} (b) {(0, 0), (1, 2), (2, 4)} (c) {(1, 2), (2,−3), (3, 2)} (d) {(1, 3), (−2, 6)}
14. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases para R4 ? Resp.: (a) e (d).
(a) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1)}
(b) {(1,−1, 0, 2), (3,−1, 2, 1), (1, 0, 0, 1)}
(c) {(−2, 4, 6, 4), (0, 1, 2, 0), (−1, 2, 3, 2), (−3, 2, 5, 6), (−2,−1, 0, 4)}
(d) {(0, 0, 1, 1), (−1, 1, 1, 2), (1, 1, 0, 0), (2, 1, 2, 1)}
15. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases para P3 ? Resp.: (c).
(a)
{
t3, +2t2 + 3t, 2t3 + 1, 6t3 + 8t2 + 6t + 4, t3 + 2t2 + t + 1
}
(b)
{
t3 + t2 + 1, t3 − 1, t3 + t2 + t
}
(c)
{
t3 + t2 + t + 1, t3 + 2t2 + t + 3, 2t3 + t2 + 3t + 2, t3 + t2 + 2t + 2
}
(d)
{
t3 − t, t3 + t2, t − 1
}
16. Quais dos seguintes subconjuntos dados formam uma base para R3. Expresse o vetor (2, 1, 3) como uma
combinação linear dos vetores em cada subconjunto que é uma base. Resp.: (a).
(a) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (0, 1, 0)} (b) {(1, 2, 3), (2, 1, 3), (0, 0, 0)}
17. Quais dos seguintes subconjuntos dados formam uma base para P2. Expresse 5t2 − 3t + 8 como uma
combinação linear dos vetores em cada subconjunto que é uma base. Resp.: (a).
(a)
{
t2 + t, t − 1, t + 1
}
(b)
{
t2 + 1, t − 1
}
18. Seja S = {v1,v2,v3,v4} onde
(a) v1 = (1, 2, 2) (b) v2 = (3, 2, 1) (c) v3 = (11, 10, 7) (d) v4 = (4, 7, 6)
Encontre uma base para o subespaço W = [S] de R3. Qual é a dimensão de W , dimW ? Resp. possı́vel:
{v1,v2}, dim(W ) = 2.
19. Considere o seguinte subconjunto de P3:
S = {t3 + t2 − 2t + 1, t2 + 1, t3 − 2t, 2t3 + 3t2 − 4t + 3}.
Encontre uma base para o subespaço W = [S]. Qual é a dimensão de W , dimW ? Resp. possı́vel:
{t3 + t2 − 2t + 1, t2 + 1}, dim(W ) = 2.
20. Suponha que as bases são ordenadas. Calcule o vetor de coordenadas de v em relação à base S.
(a) V é R2, S =
{[
1
0
]
,
[
0
1
]}
, v =
[
3
−2
]
.
(b) V é P1, S = {t + 1, t − 2}, v = t + 4.
(c) V é M22, S =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
, v =
[
1 0
−1 2
]
.
21. Calcule o vetor v se o vetor de coordenadas [v]S é dado em relação à base S para V .
(a) V é R2, S =
{[
2
1
]
,
[
−1
1
]}
, [v]S =
[
1
2
]
.
(b) V é P1, S = {t, 2t− 1}, [v]S =
[
1
2
]
.
(c) V é M22, S =
{[
−1 0
1 0
]
,
[
2 2
0 1
]
,
[
1 2
−1 3
]
,
[
0 0
2 3
]}
, [v]S =





2
1
−1
3





.
22. Sejam S = {(1, 2), (0, 1)} e T = {(1, 1), (2, 3)} bases para R2. Sejam também v = (1, 5) e w = (5, 4).
(a) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base T .
(b) Qual é a matriz mudança de base PS→T da base T para a base S ?
(c) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à S usando PS→T .
(d) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à S diretamente.
(e) Encontre a matriz mudança de base QT→S da base S para a base T .
(f) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à T usando QT→S . Compare as respostas
com as do item (a).
23. Sejam S = {t2 + 1, t − 2, t + 3} e T = {2t2 + t, t2 + 3, t} as bases para P2. Sejam também v = 8t2 − 4t + 6
e w = 7t2 − t + 9. Siga as instruções do exercı́cio anterior.
24. Sejam
S =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
0 2
0 1
]
,
[
0 0
1 1
]}
e T =
{[
1 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]
,
[
1 0
0 0
]}
bases para M22. Sejam também
v =
[
1 1
1 1
]
e w =
[
1 2
−2 1
]
Siga as intruções do exercı́cio (22).
25. Sejam S = {(1,−1), (2, 1)} e T = {(3, 0), (4,−1)} as bases para R2. Se v ∈ R2 e [v]T =
[
1
2
]
, determine
[v]S .
26. Sejam S = {v1,v2,v3} e S = {w1,w2,w3} bases para R3, onde v1 = (1, 0, 1), v1 = (1, 1, 0) e v1 = (0, 0, 1).
Se a matriz mudançade base de T para S é



1 1 2
2 1 1
−1 −1 2



determine T .
27. Sejam S = {v1,v2} e S = {w1,w2} bases para R2, onde v1 = (1, 2) e v1 = (0, 1) . Se a matriz mudança de
base de T para S é
[
2 1
1 1
]
determine T .