Eletromagnetismo I - Densidade de Fluxo Elétrico e Lei de Gauss

Prévia do material em texto

Eletromagnetismo	I	
Prof.	Daniel	Orquiza	de	Carvalho	El
et
ro
m
ag
ne
ti
sm
o	
I	
P
ro
f.	
D
an
ie
l	O
rq
ui
za
		
SJBV 
•  Experimento com esferas concêntricas
•  Densidade de Fluxo elétrico (D)
•  Relação entre D e E no vácuo
•  Lei de Gauss
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		1	
Densidade de Fluxo Elétrico e Lei de Gauss (Páginas 48 a 55 no livro texto) 
SJBV 
•  A origem do conceito de fluxo e deslocamento elétrico vem do 
experimento que Faraday realizou com esferas metálicas 
concêntricas, descrito a seguir: 
1.  Uma esfera interna é carregada com Carga positiva conhecida +Q.
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		2	
Densidade de Fluxo Elétrico 
2.  Uma esfera externa é colocada ao redor da primeira.
3.  A esfera externa é conectada ao solo.
(O espaço entre as esferas é preenchido com um dielétrico) 
4.  A esfera externa é retirada e a carga na mesma é medida. 
•  Fluxo elétrico: ψ =Q    [C]
SJBV 
•  A Densidade de Fluxo Elétrico (D) tem unidades de [C/m2] e é um campo vetorial cuja 
magnitude em cada ponto do espaço é a quantidade de fluxo Ψ por unidade de área.
•  No caso da esfera interna do experimento de Faraday a densidade de fluxo é uniforme ao 
longo da superfície. Para uma esfera de raio ‘a’:
•  Para a esfera externa: 
•  No meio entre as esferas (a < r < b): 
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		3	
Densidade de Fluxo Elétrico 
!
D
r=a
=
Q
4πa2 aˆr
!
D
r=b
=
Q
4πb2 aˆr
!
D = Q4πr2 aˆr
(O vetor D também é chamado de vetor Deslocamento Elétrico)
Vetor unitário radial (coord. esféricas) 
SJBV 
•  Podemos obter a Densidade de Fluxo de um carga pontual se reduzirmos o raio da esfera 
interna a zero e desconsiderarmos a esfera externa. Para qualquer raio ‘r’ teremos:
•  Além disso, em aulas anteriores estabelecemos que o campo elétrico gerado por uma 
carga pontual é: 
•  Portanto, concluímos que no espaço livre: 
•  Onde ε0 é a permissividade do espaço livre. 
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		4	
Densidade de Fluxo Elétrico 
!
D = Q4πr2 aˆr
!
E = Q4πε0r2
aˆr
!
D = ε0
!
E
SJBV 
•  Vimos que campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de cargas é obtido de 
forma similar à superposição do campo de cargas pontuais, integrando ρv(r’)dv’ ao longo 
do volume que contem as cargas.
•  De forma similar, podemos calcular o vetor Densidade de Fluxo em um ponto no espaço 
devido a uma distribuição contínua de cargas: 
•  Não se esqueça que R e aR são funções das coordenadas ‘linha’ (r’) da carga, e portanto 
devem ser levadas em conta na integração. 
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		5	
Densidade de Fluxo Elétrico 
!
E(!r ) = ρv (
!r ')dv '
4πε0R2vol.∫
aˆR
!
D(!r ) = ρv (
!r ')dv '
4πR2vol.∫
aˆR
SJBV 
Lei de Gauss: O fluxo elétrico total Ψ que passa através de qualquer superfície 
fechada é igual à carga total contida dentro desta superfície. 
 
•  O fluxo (escalar) pode ser obtido através da integral de superfície do vetor 
densidade de fluxo ao longo da superfície fechada. 
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		6	
ψ =Q    [C]
ψ = d
S!∫ ψ =
"
D ⋅d
!
S
S!∫
SJBV 
•  Note que o fluxo que atravessa uma superfície ‘S’ é igual à componente normal 
da densidade de fluxo que sai da superfície integrada ao longo da área. 
•  Onde: 
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		7	
Lei de Gauss 
ψ =
!
D ⋅d
!
S
S∫
d
!
S = dS  aˆN   (aˆN  é o vetor unitário normal à superfície)
SJBV 
•  Se houver ‘n’ cargas envolvidas pela superfície fechada ‘S’, o lado direito da 
equação é o somatório de todas as cargas envolvidas. 
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		8	
Lei de Gauss 
!
D ⋅d
!
S = Qi
i=1:n
∑S"∫
d
!
S
d
!
S
SJBV 
•  A Lei de Gauss pode ser reescrita se tivermos uma distribuição continua de 
cargas, lembrando que, 
•  para uma distribuição linear de cargas:
•  para uma distribuição superficial de cargas:
•  para uma distribuição volumétrica de cargas:
•  Podemos usar esta última equação para escrever a forma Integral da Lei de 
Gauss.
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		9	
Campo Elétrico de uma densidade volumétrica de cargas 
Q = ρl
l
∫ dl   ,
Q = ρs
S
∫ dS   ,
Q = ρv dvvol∫   .
SJBV 
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		10	
A integral de superfície do vetor Densidade de Fluxo Elétrico (D) ao longo de 
uma superfície fechada ‘S’ é igual a integral volumétrica da densidade de cargas 
no volume ‘V’ envolvido pela superfície ‘S’. 
!
D ⋅d
!
S =
S"∫ ρv dvV∫
Lei de Gauss na Forma Integral 
SJBV 
•  Voltando ao experimento de Faraday, o vetor Densidade de Fluxo Elétrico D no 
espaço entre as esferas,
 satisfaz a Lei de Gauss pois:
•  Que pode ser reescrito: 
Eletromagnetismo I - Eletrostática 
Eletromagnetismo	I	 Prof.	Daniel	Orquiza		11	
Densidade de Fluxo Elétrico 
!
D = Q4πr2 aˆR    ,
Q =
!
D 4πr2( )  ,
Q =
!
D ⋅d
!
S
S"∫
área esfera