10 Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência Parte 3

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CCE0159- Eletromagnetismo
Aula 10: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3/3 (Continuação)
A forma diferencial da Lei de Gauss
• Constitui uma das equações de Maxwell para campos estáticos, supondo-se 𝝐 constante na região de interesse.
A divergência da densidade de fluxo elétrico é igual a densidade de carga estabelecida. 𝛻.𝐃 = 𝜌 𝛻. 𝐄 =
𝜌
𝜖
Eletromagnetismo
AULA 10: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Divergência
• Só há divergência onde existir carga elétrica.
Q
Neste ponto o campo elétrico
diverge e sua divergência é
diferente de zero devido existir
carga Q: 𝝆 > 𝟎
O campo elétrico diverge
e sua divergência é zero
devido não existir carga Q:
𝝆 = 𝟎
O campo elétrico não diverge
e sua divergência não é nula
devido existir carga Q:
𝝆 > 𝟎
O campo elétrico não diverge e a
sua divergência é zero devido
não existir carga Q: 𝝆 = 𝟎
O campo D para uma linha uniformemente carregada tem divergência nula.
A simetria para uma linha de cargas uniformemente carregada, é
um cilindro.
Em coordenadas cilíndricas, para uma linha de carga:
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
Divergência
Eletromagnetismo
𝛻.𝐃 = 𝜌 𝛻. 𝐄 =
𝜌
𝜖
AULA 10: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Então:
Divergência
Eletromagnetismo
AULA 10: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
O campo D devido a uma carga pontual tem divergência nula.
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2𝐴𝑟 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃
𝐴𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝐴∅
𝜕∅
A simetria para uma cargas pontual, é uma esfera.
𝛻.𝐃 = 𝜌 𝛻. 𝐄 =
𝜌
𝜖
Em coordenadas esféricas, para uma carga pontual:
Então, para r > 0:
Solução:
1 – Dado que D = (10r3/4)ar (C/m
2) na região 0 < r ≤ 3 m, em coordenadas cilíndricas, e que D = (810/4r)ar em
todo o resto do espaço (r > 3), determine a densidade de cargas ρ.
Para 0 < r ≤ 3
Para r > 3
Dado: 𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
Exercícios Resolvidos
Eletromagnetismo
𝛻. 𝐃 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
10𝑟3
4
𝛻.𝐃 = 𝜌
𝛻. 𝐃 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
810
4𝑟
⟹
⟹
Exemplo
AULA 10: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
𝜌𝑣 está somente em função de ∅. Comparando 1,π/4,3 com r, ∅, z , se verifica que ∅ = π/4
(a) Determinação de 𝜌𝑣 ∶ 𝝆𝒗 = 𝛻. 𝐷 =
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
=
𝜕 𝑧𝑟𝑐𝑜𝑠2∅
𝜕𝑧
Solução:
Em (1, π/4, 3): 𝜌𝑣 = 1. 𝑐𝑜𝑠
2(π/4) 𝜌𝑣 = 0,5 (
𝐶
𝑚3
)
Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
Exercícios Resolvidos
2 – Sendo 𝐷 = 𝑧𝑟𝑐𝑜𝑠2∅a𝑧 Τ𝐶 𝑚
3, calcule: (a) a densidade de cargas em (1, Τ𝜋 4 , 3) e (b) a carga total encerrada no
cilindro de raio 1 m com −2 ≤ 𝑧 ≤ 2 𝑚.
Dados: 
𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
Eletromagnetismo
Exemplo
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
𝝆𝒗 = 𝒓𝒄𝒐𝒔
𝟐∅
Solução:
Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
Exercícios Resolvidos
2 – Sendo 𝐷 = 𝑧𝑟𝑐𝑜𝑠2∅a𝑧 Τ𝐶 𝑚
3, calcule: (a) a densidade de cargas em (1, Τ𝜋 4 , 3) e (b) a carga total encerrada no
cilindro de raio 1 m com −2 ≤ 𝑧 ≤ 2 𝑚.
Dados: 
𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
Eletromagnetismo
Exemplo
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
(b) Determinação da carga (volume do cilindro em Coordenadas cilíndricas): 
𝝆𝒗 = 𝒓𝒄𝒐𝒔
𝟐∅
𝑄𝑒𝑛𝑣 = න
𝑧=−2
2
𝑑𝑧න
∅=0
2𝜋
𝑐𝑜𝑠2∅𝑑∅න
𝑟=0
1
𝑟2𝑑𝑟 = 4. 𝜋. Τ1 3
𝑄𝑒𝑛𝑣 = න
𝑣
𝜌𝑣𝑑𝑣 = න
𝑣
𝑟𝑐𝑜𝑠2∅ 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧 = න
𝑣
𝑟2 𝑐𝑜𝑠2∅𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
𝑄𝑒𝑛𝑣 =
4𝜋
3
𝐶∴
O Teorema da Divergência
Resultado este conhecido como “teorema
da divergência de Gauss”, ou “teorema da
divergência”,
ර𝐃. 𝑑𝐒 = න𝜌 𝑑𝑣 = 𝑄𝑒𝑛𝑣.
𝑄𝑒𝑛𝑣. = ර𝐃. 𝑑𝐒 = න
𝑣
𝛻. 𝐃 𝑑𝑣Como 𝛻.𝐃 = 𝜌 , então: 
Divergência
Onde, o volume 𝑣 é limitado, pela superfície S.
ර
𝑠
𝐀. 𝑑𝐒 = න
𝑣
𝛻.𝐀 𝑑𝑣O Teorema é aplicável a qualquer campo vetorial. 
O Teorema da Divergência e a Lei de Gauss
Eletromagnetismo
O exemplo a seguir mostra o poder desse teorema, o qual visa facilitar a determinação da carga envolvida em
figuras geométricas de maior complexidade, se conhecida a função do divergente do problema.
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Dado D = (10r3/4)ar (C/m
2) em coordenadas cilíndricas, desenvolva ambos os lados do teorema da
divergência para o volume limitado por r=1m, r=2m, z=0 e z=10m, conforme a figura.
Solução:
ර𝐃.𝑑𝐒 = න
𝑣
𝛻.𝐃 𝑑𝑣 = 𝑄𝑒𝑛𝑣Dados:
𝛻.𝐷 =
1
𝑟
𝜕 𝑟
10
4 𝑟
3
𝜕𝑟
= 10𝑟2
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
Exemplo Divergência
𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
𝑄𝑒𝑛𝑣 = න
𝑣
𝛻.𝐃 𝑑𝑣 = න
𝑧=0
10
න
∅=0
2𝜋
න
𝑟=1
2
(10𝑟2)𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 750𝜋 𝐶
Eletromagnetismo
ර𝐃.𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
ර𝐃.𝑑𝐒 = න
𝑧=0
10
න
∅=0
2𝜋 10
4
1 3 𝑎𝑟. 1 𝑑∅𝑑𝑧 −𝑎𝑟 +
ර𝐃.𝑑𝐒 = −
200𝜋
4
+ 16
200𝜋
4
+න
𝑧=0
10
න
∅=0
2𝜋 10
4
2 3 𝑎𝑟 . 2 𝑑∅𝑑𝑧 𝑎𝑟
න
𝑣
𝛻. 𝐃 𝑑𝑣 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 750𝜋 𝐶
Obs: o cilindro é completo e maciço entre raio = 1 e 2; e é oco entre 0 e 1. A parte pontilha é apenas
para enxergar o interior do cilindro.
𝑑𝑆 = 𝑟𝑑∅𝑑𝑧
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Relembrando
Divergência
Eletromagnetismo
AULA 10: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Exercícios Propostos
Referência: Livro Eletromagnetismo - Edminister
Exercícios Propostos
Eletromagnetismo
AULA 10: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
1 - Calcule a carga contida no volume definido por 0 ≤ x ≤ 1 m, 0 ≤ y ≤ 1 m e 0 ≤ z ≤ 1 m, supondo 𝝆 =
𝟑𝟎𝒙𝟐𝒚 (μC/m). Que variação ocorre para os limites: -1 ≤ y ≤ 0 m?
Descrição da solução:
O elemento diferencial de carga dQ é igual ρdv; Logo, Q será igual
a integral de volume (tripla) da densidade de carga dada versus o
diferencial de volume (dv) no caso: dx.dy.dz;
Arme a integral tripla com as definições dos intervalos dados no
problema e resolva-a;
Resposta. Carga: 5μC ; e com a variação: -5μC
Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
Exercícios Propostos
Eletromagnetismo
2 - Na origem de um sistema de coordenadas esféricas há uma carga pontual Q,
calcule o fluxo que atravessa a porção da casca esférica descrita por α ≤ Ѳ ≤ β,
conforme mostrado na figura. Qual será o fluxo para α = 0 e β = π/2?
Resposta: ψ = Q/2 (C)
Descrição da solução:
Ver a solução do problema da casca esférica que foi dado em sala;
Calcular a área da casca (integral dupla), onde ds é o elemento diferencial de área
(ds=r2senѳ dѳ dφ). (Lembre que φ varia de 0 a 2 π e r irá variar de α a β );
Aplicar a lei de Gauss (ψ = D.ds), onde D = Q/4πr2 ;
Multiplicar o resultado pela área S calculada para achar o fluxo total (lei de Gauss) e
atribuir os valores dados para alfa e beta.
Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
Exercícios Propostos
Eletromagnetismo
3 - Uma película plana com densidade ρs = 40μC/m2 está localizada em z = -0,5
m. O eixo y contém uma distribuição linear uniforme ρl = -6 μC/m. Calcule o
fluxo total que atravessa a superfície de um cubo de 2 m de aresta, centrado na
origem, conforme mostrado na figura.
Resposta: 148 μC
Descrição da solução:
O fluxo é igual a carga em movimento;
A carga no plano, é densidade versus a área da face do cubo: 2m x 2m = 4m2;
A carga na linha, é a densidade versus o comprimento (no caso, o comprimento do lado do cubo é 2m);
O fluxo total será a soma das cargas.
Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
Exercícios Propostos
Eletromagnetismo
4 - Dados que D = 10xax (C/m
2), calcule o fluxo que atravessa uma área de 1m2 normal ao eixo x, para x = 3m.
Resposta: Ψ = 30 C
Descrição da solução:
Repare que não há elementos diferenciais;
Substituir o valor de X=3 na equação de D, dado no problema.
O fluxo será D calculado acima X a área (dada).
Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
5 - Há duas distribuições lineares uniformes idênticas aos eixos x e y, com densidade de cargas ρl = 20μC/m. 
Calcule o campo D em (3, 3, 3). 
Resposta: (1,3).(ax + ay+ az)/√2) μC/m
Descrição da solução:Na linha do eixo X: calcule o versor (ar) e a densidade de fluxo D (lembre-se que se tratando de distribuição linear
D = (ρl /2πr).ar ;
Idem para o eixo y.
O fluxo total é a soma das duas densidades de fluxo calculadas.
Exercícios Propostos
Eletromagnetismo
6 - Em coordenadas cilíndricas, o volume entre r=2m e r=4m contém uma
densidade uniforme de cargas ρ (C/m3). Use a lei de Gauss para calcular D
em todas as regiões: 0 < r < 2 m; 2 m ≤ r ≤ 4 m; r > 4 m.
Descrição da solução:
Para r ente 0 e 2, verifique que não há carga no eixo z;
Para r entre 2 e 4, a carga envolvida será a área da base multiplicada por L, para se definir o volume, e multiplicar 
pela densidade de carga volumétrica ρ (C/m3), o qual deverá ser igualado com Densidade x Área (do cilindro);
Para r maior que 4, substitua o valor de r na expressão obtida para r entre 2 e 4. 
Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
Exercícios Propostos
Eletromagnetismo
Apêndice da unidade 3 – Leitura obrigatória
Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
Leitura Obrigatória
Eletromagnetismo
Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
Leitura Obrigatória
Eletromagnetismo
Assuntos da próxima aula:
Aula 10: Energia e Potencial Elétrico