Lei_de_gauss

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Lei de Gauss 
José Roberto 
Renilton 
1. Uma nova formulação para a Lei de Coulomb 
• Na Física faz sentido, sempre que possível, tentarmos expressar 
as suas leis em formas que nos permitam tirar o máximo de 
proveito das simetrias existentes. 
• A Lei de Coulomb não está expressa numa forma que possa 
simplificar o trabalho em situações que envolvem simetrias. 
• A Lei de Gauss é uma nova formulação da Lei de Coulomb. Ela 
pode facilmente tirar vantagens das simetrias existentes. 
Lei de Coulomb Lei de Gauss 
Pouca ou nenhuma 
simetria 
Elevado grau de 
simetria 
2. Do que trata a Lei de Gauss 
• A figura principal da Lei de Gauss é uma superfície fechada 
imaginária, chamada de superfície gaussiana. 
• A Lei de Gauss relaciona os campos na superfície gaussiana e 
as cargas no interior dessa superfície. 
A partir da lei de Gauss 
podemos calcular com 
precisão a quantidade de 
carga líquida que está no 
interior da superfície. 
4 
O fluxo elétrico é uma grandeza proporcional ao número das linhas do campo 
elétrico que entram numa superfície 
O número de linhas N por unidade de área (densidade das linhas) é proporcional à 
intensidade do campo elétrico 
 que o número de linhas que entram a 
superfície da área A é proporcional ao 
produto EA 
E
A
N

O produto EA é chamado de fluxo elétrico 
EAE 
A

E

3. Fluxo 
 A unidade de fluxo, no S.I., é: Nm2/C. 
5 
Quando a superfície A não for perpendicular ao 
campo elétrico (figura b) 
AE
EA
E
E



ou 
cos
θ é um ângulo entre o campo elétrico e a normal à superfície. 
θ = 0  a superfície é perpendicular ao campo e o fluxo elétrico é máximo. 
θ = 90  a superfície é paralela ao campo e o fluxo elétrico é zero. 
θ 
E

A



Ex: Um disco com raio igual a 0,10 m está orientado de modo que seu 
vetor unitário normal n forme um ângulo de 30o com um campo elétrico 
uniforme E, cujo módulo é igual a 2x103 N/C. (a) Qual é o fluxo elétrico 
através do disco? (b) Qual é o fluxo elétrico através do disco depois que 
ele gira é passa a ocupar uma posição perpendicular ao vetor E? (c) Qual 
é o fluxo elétrico através do disco quando a sua normal é paralela ao 
vetor E? 
 
7 
dAEAdE nE  

representa uma integral sobre uma 
superfície fechada. 
é a componente do campo elétrico 
normal à superfície. 
nE
90
0E
90
0E
 90180 
0E
entra quesai que NNE 
 quando existe mais linhas 
saindo do que entrando na 
superfície. 
0E
0E
 quando existe mais linhas 
entrando do que saindo da 
superfície. 
4. Fluxo do campo elétrico 
• Exemplo: 
 A figura abaixo mostra uma superfície gaussiana na forma de 
um cilindro de raio R imerso num campo elétrico uniforme , com 
o eixo do cilindro paralelo ao campo. Qual é o fluxo do campo 
elétrico através da superfície fechada? 
E

9 
AdE
E

 Φ dAE cos
2180cosΦ REEdAdAEE  
a  
b  
20cosΦ REEdAdAEE  

090cosΦ   dAEE

c  
O fluxo através de toda a superfície é 00 22  RERE 
5. Lei de Gauss 
 A lei de Gauss diz que: 
q0
Ф – fluxo do campo elétrico através de uma superfície 
 fechada, 
q – carga líquida envolvida por esta superfície, 
ε0 = 8,85 x 10
-12 C2/Nm2 – constante de permissividade. 
onde: 
(1) 
 Podemos ainda escrever a Lei de Gauss como 

0
q
0
q
AdE 

(2) 
5. Lei de Gauss 
• Carga líquida é a soma de todas as 
 cargas dentro da superfície 
 (positivas e negativas). 
• Quando q > 0 o fluxo está saindo; 
 quando q < 0 o fluxo está entrando. 
• O campo elétrico na equação (2) é o 
 campo elétrico resultante de todas 
 as cargas (internas e externas à 
 superfície gaussiana). 
• Exemplo: 
5. Lei de Gauss 
 A figura abaixo mostra cinco pedaços de plástico carregados e 
uma moeda eletricamente neutra. A seção transversal da superfície 
gaussiana S está indicada. Qual é o fluxo do campo elétrico 
através da superfície S? Suponha q1 = 3,1nC, q2 = - 5,9nC, q3 = - 
3,1nC, q4 = 1nC e q5 = - 2nC. 
+ 
q
Superfície 
gaussiana 
r
6. A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb 
E

Ad

A figura abaixo mostra uma carga puntiforme positiva q, em 
torno da qual desenhamos uma superfície gaussiana esférica de 
raio r. 
Obs.: O ângulo entre e o campo elétrico é nulo. E

Ad

6. A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb 
De acordo com a figura, podemos escrever a Lei de Gauss 
como: 
qdAEAdE   00 

(3) 
Embora o campo varie com a distância medida a partir de q, ele tem 
o mesmo valor sobre toda a superfície. Assim, da equação (3) 
obtemos o seguinte resultado: 
 qdAE0    qrE
2
0 4 (4) 
A Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb 
2
04
1
r
q
E


7. Um condutor carregado isolado 
A Lei de Gauss nos permite mostrar o seguinte teorema: 
Qualquer excesso de carga colocado em um condutor isolado 
se moverá inteiramente para a superfície do condutor. Nenhum 
excesso de carga será encontrado no interior do corpo condutor. 
• Prova: 
Condutor 
com uma 
carga q 
suspenso 
por um fio 
isolante 
0int E

0 0int q
Carga sobre a superfície 
Campo elétrico externo a um condutor 
7. Um condutor carregado isolado 
Consideremos uma seção da superfície do condutor que seja 
suficientemente pequena para que possamos desprezar qualquer 
curvatura e considerá-la plana. Além disso, consideremos uma 
superfície gaussiana conforme mostra a figura abaixo. 
7. Um condutor carregado isolado 
Neste caso, o fluxo através da superfície gaussiana é: 
321 SSS

onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases interna e 
externa, respectivamente. 
(5) 
O campo elétrico é nulo na superfície S2, paralelo à superfície 
S1 e perpendicular a S3. Além disso, como a base S3 é pequena, 
podemos considerar que o campo é constante em todos os seus 
pontos. Assim, 
 
3
3S
S
AdE

 
3S
dAE
EA (6) 
7. Um condutor carregado isolado 
• Exemplo: 
 O campo elétrico normalmente presente na atmosfera 
terrestre, imediatamente acima da superfície da Terra, tem módulo 
aproximadamente igual a 150 N/C e aponta diretamente para 
baixo. Qual é a carga total líquida na superfície da Terra? 
Considere a Terra como um condutor com densidade superficial de 
carga uniforme. 
Então, substituindo este resultado na Lei de Gauss, obtemos: 
 qEA0 
A
q
E
0 0

E (7) 
onde σ é a densidade superficial de cargas. 
8. Lei de Gauss com simetria cilíndrica 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
 
Consideremos uma barra fina de 
plástico, infinitamente longa, carregada 
uniformemente, com densidade de carga λ. 
Devido a simetria do problema, vamos 
escolher uma superfície gaussiana conforme 
mostra a figura. 
Aplicando a lei de Gauss, temos: 

0
q
AdE

onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases interna e 
externa, respectivamente. 
(8) 
0
321

q
AdEAdEAdE
SSS
 

Nas superfícies S2 e S3, o campo elétrico é perpendicular ao 
elemento de área . Por outro lado, na superfície S1 o campo é 
paralelo. Então, da equação (8), temos: 
8. Lei de Gauss: simetria cilíndrica 
E

Ad


0
1

q
EdA
S 01

h
EdA
S
 (9) 
Embora o campo varie com a distância medida a partir da barra, ele 
tem o mesmo valor sobre toda a superfície. Assim, da equação (9) 
encontramos o seguinte resultado: 

0
1

h
dAE
S

0
2



h
rhE
r
E
02


Mesmo resultado que seria obtido a partir da Lei de Coulomb 
(10) 
9. Lei de Gauss: simetria plana 
• Chapa não-condutora 
Consideremos uma chapa fina, isolante e 
infinita, com densidade superficial de carga 
constante σ. Além disso, consideremos uma 
superfície gaussiana conforme mostra a figura. 
De acordo com a Lei de Gauss, temos: 
0
q
AdE 

onde q é a carga elétrica contida no interior da superfície gaussiana. 
Assim, 

0
A
AdE

0
321
A
AdEAdEAdE
SSS
 

onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases do cilindro. 
(11) 
 O campo elétrico é paralelo à superfície S1 e perpendicular às 
superfícies S2 e S3. Então, da equação (11), temos: 
0
32

A
EdAEdA
SS
 
9. Lei de Gauss: simetria plana 
(12) 
 
0
32

A
dAEdAE
SS
 O campo possui módulo constante sobre a superfície A, pois a 
distribuição é uniforme. Portanto, da equação (12), obtemos: 

0
2

A
EA
02

E (13) 
9. Lei de Gauss: simetria plana 
• Placa condutora 
Consideremos duas placas finas condutoras e infinitas 
carregadas positivamente e negativamente, com densidade 
superficial σ, conforme mostram as figuras abaixo. 
Como sabemos, o campo elétrico gerado por cada placa possui 
módulo dado por: 
0
1


E (14) 
9. Lei de Gauss: simetria plana 
Colocando as duas placas como na figura abaixo, 
as cargas se reorganizarão e a densidade superficial nas faces 
internas das placas será σ = 2σ1. Com isso, o campo elétrico entre 
as placas terá módulo 

0
12


E
0

E (15) 
9. Lei de Gauss: simetria plana 
• Exemplo: 
 A figura abaixo mostra partes de duas chapas grandes, não-
condutoras, cada uma delas com carga uniformemente distribuída 
sobre um lado. Os módulos das densidades superficiais de carga 
são σ(+) = 6,8 μC/m
2 para a chapa carregada positivamente e σ(-) = 
4,3 μC/m2 para a chapa carregada negativamente. Determine o 
campo elétrico (a) à esquerda das chapas, (b) entre as chapas e 
(c) à direita das chapas. 
10. Lei de Gauss: simetria esférica 
 Uma casca uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada 
situada do lado de fora da casca como se toda a carga da casca 
estivesse situada no centro. 
 Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca 
uniforme de cargas, a casca não exerce nenhuma força eletrostática 
sobre a partícula. 
 Consideremos uma casca esférica 
carregada de carga total q e raio R e duas 
superfícies concêntricas, S1 e S2. Aplicando a 
lei de Gauss para S2, onde r ≥ R, temos: 
Aplicando a lei de Gauss para 
S1, onde r < R, temos: 
2
04
1
r
q
E

 (16) 
0E (17) 
10. Lei de Gauss: simetria esférica 
Na figura ao lado, parte (a), temos que 
todas as cargas estão no interior de uma 
superfície gaussiana, r > R, então: 
2
04
1
r
q
E


Na parte (b) da figura, temos que nem 
todas as cargas estão no interior da 
superfície gaussiana, r < R, então: 
2
0
'
4
1
r
q
E


(18) 
(19) 
10. Lei de Gauss: simetria esférica 
 totalvolume
 totalcarga
 raio de esfera umapor envolvido volume
 raio de esfera umapor envolvida carga

r
r

33
3
4
3
4
'
R
q
r
q

3
3
'
R
qr
q 
r
R
q
E 








3
04
1

(20) 
Substituindo q’ na eq. (19), temos: 
1. Uma placa plana possui a forma de um retângulo com lados de 0,400 m e 
0,600 m. A placa está imersa em um campo elétrico uniforme com módulo igual a 
90,0 N/C e cuja direção forma um ângulo de 20° com o plano da placa. Calcule o 
módulo do fluxo elétrico total através da placa. 
Exercícios - Lista 03 
2. Calcule, utilizando a Lei de Gauss, o módulo do campo elétrico produzido por um 
fio “infinito” com carga total Q distribuída linearmente λ. 
3. Considere uma distribuição de carga em um longo cilindro de raio R, com 
densidade de carga ρ uniforme. Encontre o campo elétrico a uma distancia r do 
eixo, onde r < R. 
 
4. Uma esfera isolante sólida de raio R tem uma densidade de carga não uniforme 
que varia com r de acordo com a expressão ρ = A r2, onde A é uma constante e 
r < R é medida a partir do centro da esfera. (a) Calcule o campo elétrico fora da 
esfera (r > R). (b) Calcule o campo elétrico dentro da esfera (r < R). 
 
5. Uma esfera sólida isolante de raio a tem uma densidade volumétrica de carga ρ 
e uma carga positiva total Q. Uma esfera oca não carregada condutora cujos raios 
interno e externo são b e c, é concêntrica a essa esfera. Encontre a magnitude do 
campo elétrico nas regiões r < a, a < r < b, b < r < c e r > c.