madeira capitulo 5 exercicios

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mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 1/34 
EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS CCCAAAPPP555 
EEELLLEEEMMMEEENNNTTTOOOSSS CCCOOOMMMPPPOOOSSSTTTOOOSSS DDDEEE PPPEEEÇÇÇAAASSS MMMÚÚÚLLLTTTIIIPPPLLLAAASSS 
555...111 EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss rrreeesssooolllvvviiidddooosss ::: 
Exercício 5.1 : Elemento solidarizado continuamente : verificar a condição de segurança do 
pilar de madeira de 2a. categoria (qualidade estrutural), indicado nas figuras . 
1- Conífera, da classe de resistência C-30. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190/1997. 
4- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk . 
NGk = 20 kN (permanente) 
e NQk = 100 kN (sobrecarga) 
 
Solução : 
a) Características da seção composta : 
a.1) Eixo X : 
 4
33
X cm1291712
10.5
12
20.20I  ; 
 4th,Xref,X cm1097912917.85,0I.I  ; 
 A = 2.(20.5 + 7,5.10) = 350 cm2 ; 
 cm60,5
350
10979
A
I
i ef,XX  ; 
 50
6,5
280
i
L
X
0
X  ; 
 3ef,Xef,X cm10982/20
10979
y
I
W  . 
a.2) Eixo Y : 
 4
33
Y cm1322912
5.10
12
20.20I  ; 
 4th,Yref,Y cm1124513229.85,0I.I  ; 
 cm67,5
350
11245
A
I
i ef,YY  ; 
20 
10 
10 
3x2,5 
L=
L 0
 =
 2
80
 
5 
5 
10 
7,5 5 7,5 
20 
Y 
X 
pregos 22x42 
Nk 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 2/34 
 49
67,5
280
i
L
Y
0
Y  ; 
 3ef,Yef,Y cm11252/20
11245
x
I
W  . 
 
b) Propriedades mecânicas da madeira : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
fc,0,d = 1,20 kN/cm2 ; Ec,0,ef = 812 kN/cm2 . 
 
c) Combinação última normal : 
Nd = G . NGk + Q . NQk = 1,4 . 20 + 1,4 . 100 = 168 kN. 
 
d) Verificação da segurança : 
como trata-se de compressão simples com flambagem (sem flexão), basta verificar o 
eixo mais desfavorável (eixo X) : equações 4.4 a 4.11 (peça medianamente esbelta). 
d.1) momento Md : 
 cm67,0
30
20
30
h 0 e EIXOi  ; 
 cm93,0
300
280
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea = 0,67 + 0,93 = 1,60 cm ; 
 kN112210979.812.
280
I.E.
L
F
2
ef,Xef,0,c
2
0
X,E 











 ; 
 cm88,1
1681122
1122.60,1
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 Md,X = Nd . ed = 168 . 1,88 = 316 kN.cm . 
d.2) tensões atuantes : 
 2dNd cm/kN48,0350
168
A
N
 ; 
 2
X
dX
MdX cm/kN29,01098
316
W
M
 . 
d.3) verificação final : 
 0,164,0
20,1
29,0
20,1
48,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 
 verifica ! 
 
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Exercício 5.2 : Elemento solidarizado continuamente : verificar a condição de segurança do 
pilar do exercício anterior, considerando as seguintes excentricidades da Carga Normal Nd : 
1- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk . 
NGk = 10 kN (permanente) 
e NQk = 50 kN (sobrecarga) 
 
 
 
Solução : 
a) Características da seção composta : 
a.1) Eixo X : 
 A = 350 cm2 ; 
4
ef,X cm10979I  ; 
50X  ; 
 3ef,X cm1098W  . 
a.2) Eixo Y : 
 4ef,Y cm11245I  ; 
 49Y  ; 
 3ef,Y cm1125W  . 
 
b) Propriedades mecânicas da madeira : 
fc,0,d = 1,20 kN/cm2 ; Ec,0,ef = 812 kN/cm2 . 
 
c) Combinação última normal : 
Nd = G . NGk + Q . NQk = 1,4 . 10 + 1,4 . 50 = 84 kN. 
 
d) Verificação da segurança : 
trata-se agora de flexo-compressão com flambagem, graças aos momentos fletores 
gerados pelas excentricidades eX e eY da carga normal Nd. Deverão portanto ser 
verificados os dois eixos respectivos. 
d.1) verificação da resistência (por tratar-se de flexo-compressão) (equação 4.46) : 
 cm.kN4205.84e.NM XddX1  ; 
 cm.kN6305,7.84e.NM YddY1  ; 
2d
Nd cm/kN24,0350
84
A
N
 ; 
eY = 7,5 
eX = 5 
Nk 
20 
5 
5 
10 
7,5 5 7,5 
20 
Y 
X 
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 2
X
dX
MdX cm/kN38,01098
420
W
M
 ; 
 2
Y
dY
MdY cm/kN56,01125
630
W
M
 ; 
0,182,0
20,1
56,0
20,1
38,0
20,1
24,0
fff
2
d0c
MdY
d0c
MdX
2
d0c
Nd 














 
 verifica ! 
d.2) verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11 : peça medianamente esbelta) : 
 d.2.1) – eixo X : 
 X = 50  
 cm67,0
30
20
30
h 5 e EIXOi   cm 5 ei  ; 
 cm93,0ea  ; 
 e1 = ei + ea = 5 + 0,93 = 5,93 cm ; 
 kN1122F X,E  ; 
 cm45,6
841122
1122.93,5
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 Md,X = Nd . edX = 84 . 6,45 = 542 kN.cm . 
 2
X
dX
MdX cm/kN49,01098
542
W
M
  
 0,161,0
20,1
49,0
20,1
24,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 
 verifica ! 
 d.2.2) – eixo Y : 
 Y = 49  
 cm67,0
30
20
30
h 7,5 e EIXOi   cm 7,5 ei  ; 
 cm93,0ea  ; 
 e1 = ei + ea = 7,5 + 0,93 = 8,43 cm ; 
 kN114911245.812.
280
I.E.
L
F
2
ef,Yef,0,c
2
0
Y,E 











 ; 
 cm09,9
841149
1149.43,8
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 Md,Y = Nd . edY = 84 . 9,09 = 764 kN.cm . 
 2
Y
dY
MdY cm/kN68,01125
764
W
M
  
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 0,177,0
20,1
68,0
20,1
24,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 
 verifica ! 
 
Exercício 5.3 : ( 30. TE – 2005) Elemento solidarizado continuamente : verificar a condição de 
segurança do pilar de madeira indicado nas figuras, solicitado à flexo-compressão, 
considerando : 
1- Madeira de IPÊ, 2a. categoria, qualidade estrutural : 
fc0m = 76 MPa , Ec0m = 18.011 MPa 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190/1997. 
4- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk (centrada). 
NGk = 40 kN (perm.), NQk = 75 kN (sobrec.) 
 MX(g+q)k = 150 kN.cm (perm.) 
 
Solução : 
a) Características da seção composta : 
a.1) Eixo X : 
 42
3
2
3
X cm6,6765)5,75,11).(15.5,7(12
15.5,7)5,25,8).(5.15(
12
5.15I  ; 
 4th,Xref,X cm3,64276,6765.95,0I.I  ; 
 A = (7,5.15) + (5.15) = 187,5 cm2 ; 
 cm86,5
5,187
3,6427
A
I
i ef,XX  ; 
 43
86,5
250
i
L
X
0
X  ; 
 3ef,Xef,X cm5595,11
3,6427
y
I
W  . 
a.2) Eixo Y : 
 4
33
Y cm6,193312
5,7.15
12
15.5I  ; 
 cm21,3
5,187
6,1933
A
Ii YY  ; 
 78
21,3
250
i
L
Y
0
Y  ; 
 3YY cm8,2575,7
6,1933
x
IW  . 
MX,g,k 
ELEVAÇÃO 
SEÇÃO 
Nk 
8,5 5 
15 
L=
L 0
 =
 2
50
 
15 
7,5 
11,5 
Y 
X 
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b) Propriedades mecânicas da madeira : 
fc,0,k = 0,7 . fc,0,m = 0,7 . 7,6 = 5,32 kN/cm2 ; 
2
wc
k0c
modd0c cm/kN13,24,1
32,5.56,0f.kf 

 ; 
2
em0cmodef0c cm/kN6,10081,1801.56,0E.kE  . 
 
c) Combinação última normal : 
Nd = G . NGk + Q . NQk = 1,4 . 40 + 1,4 . 75 = 161 kN ; 
MXd = G . MGk = 1,4 . 150 = 210 kN . 
 
d) Verificação da segurança : 
trata-se agora de flexo-compressão com flambagem, gerados pelo momento fletor MXd e 
pela carga normal Nd. 
d.1) verificação da resistência (por tratar-se de flexão composta) (equação4.46) : 
 2dNd cm/kN86,05,187
161
A
N
 ; 
 2
X
dX
MdX cm/kN38,0559
210
W
M
 ; 
 0
W
0M
Y
dY
MdY 

 ; 
0,134,0
20,1
0.0,1
13,2
38,0
13,2
86,0
fff
2
d0c
MdY
d0c
MdX
2
d0c
Nd 













  verifica ! 
d.2) verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11 : peça medianamente esbelta) : 
 d.2.1) – eixo X : 
 X = 43  
 cm67,0
30
20
30
h1,30 
161
210
N
M e EIXO
d
Xd
i   cm 1,3 ei  ; 
 cm83,0
300
250
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea = 1,30 + 0,83 = 2,13 cm ; 
 kN7,10233,6427.6,1008.
250
I.E.
L
F
2
ef,Xef,0,c
2
0
X,E 




 




 
 ; 
 cm53,2
1617,1023
7,1023.13,2
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 Md,X = Nd . edX = 161 . 2,53 = 407,3 kN.cm ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 7/34 
 2
X
dX
MdX cm/kN73,0559
3,407
W
M
  
 0,175,0
13,2
73,0
13,2
86,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 


 verifica ! 
 d.2.2) – eixo Y : 
 Y = 78  
 cm5,0
30
15
30
h 0 e EIXOi  ; 
 cm83,0ea  ; 
 e1 = ei + ea = 0,5 + 0,83 = 1,33 cm ; 
 kN3086,1933.6,1008.
250
I.E.
L
F
2
ef,Yef,0,c
2
0
Y,E 




 




 
 ; 
 cm79,2
161308
308.33,1
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 Md,Y = Nd . edY = 161 . 2,79 = 449,2 kN.cm ; 
 2
Y
dY
MdY cm/kN74,18,257
2,449
W
M
  
 0,122,1
13,2
74,1
13,2
86,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 


 não verifica ! 
 
Exercício 5.4 : ( 30. TE – 2006) Elemento 
solidarizado continuamente : Verificar a 
condição de segurança do pilar indicado nas 
figuras, segundo o critério da NBR-7190/1997, 
considerando : 
1) Dimensões indicadas em centímetros. 
2) Madeira DICOTILEDÔNEA, classe 
C-30, 2a. categoria ; qualidade estrutural. 
3) Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; NGk = 20 kN (permanente) ; eGX = 6 cm ; 
NQk = 30 kN (sobrecarga) ; eQY = 5 cm . 
Solução : 
a) Características da seção composta : 
a.1) Eixo X : 
 4
33
X cm5,729312
5,9.5
12
5,18.5,14I  ; 
L=
L 0
 =
 2
70
 
Nk 
18
,5
 
14,5 
4,5 
4,5 
9,5 
9,5 
Y 
eQY = 5 
Y 
e G
X
 =
 6
 NGk 
NQk 
SEÇÃO 
excentricidades : 
ELEVAÇÃO 
X 
Y 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 8/34 
 4th,Xref,X cm5,61995,7293.85,0I.I  ; 
 A = 2.14,5.4,5 + 9,5.9,5 = 220,8 cm2 ; 
 cm30,5
8,220
5,6199
A
I
i ef,XX  ; 
 51
3,5
270
i
L
X
0
X  ; 
 3ef,Xef,X cm2,6702/5,18
5,6199
y
I
W  . 
a.2) Eixo Y : 
 4
33
Y cm2,296512
5,9.5,9
12
5,14.5,4.2I  ; 
 cm67,3
8,220
2,2965
A
Ii YY  ; 
 74
67,3
270
i
L
Y
0
Y  ; 
 3YY cm0,4092/5,14
2,2965
x
IW  . 
 
b) Propriedades mecânicas da madeira : 
fc,0,k = 30 MPa = 3,0 kN / cm2 ; 
2
wc
k0c
modd0c cm/kN20,14,1
0,3.56,0f.kf 

 ; 
Ec,0,em = 14500 MPa = 1450,0 kN/cm2 ; 
2
em0cmodef0c cm/kN0,8120,1450.56,0E.kE  . 
 
c) Combinação última normal : 
Nd = G . NGk + Q . NQk = 1,4 . 20 + 1,4 . 30 = 70 kN ; 
MGXd = MXd = G . NGk . eGX = 1,4 . 20 . 6 = 168 kN.cm ; 
MQYd = MYd = Q . NQk . eQY = 1,4 . 30 . 5 = 210 kN.cm . 
 
d) Verificação da segurança : 
d.1) RESISTÊNCIA : 
2d
Nd cm/kN32,08,220
70
A
N
 ; 
 2
X
Xd
MXd cm/kN25,02,670
168
W
M
 ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 9/34 
 2
Y
Yd
MYd cm/kN51,0409
210
W
M
 ; 
0,171,0
20,1
51,0
20,1
25,0
20,1
32,0
fff
2
d0c
MdY
d0c
MdX
2
d0c
Nd 













  verifica ! 
d.2) ESTABILIDADE : 
 d.2.1) Eixo X : 
 X = 43 = peça medianamente esbelta : 
 cm4,2
70
168 
N
M e
d
1Xd
i  ; 
 cm62,0
30
5,18
30
he EIXOi   
 ei = 2,4 cm ; 
 cm9,0
300
270
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea = 2,4 + 0,9 = 3,3 cm ; 
 kN5,6815,6199.812.
270
I.E.
L
F
2
ef,Xef,0,c
2
0
X,E 




 




 
 ; 
 cm68,3
705,681
5,681.3,3
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 MXd = Nd . ed = 70 . 3,68 = 257,4 kN.cm ; 
tensões atuantes : 
2d
Nd cm/kN32,08,220
70
A
N
 ; 
 2
X
Xd
MXd cm/kN38,02,670
4,257
W
M
 ; 
 verificação final : 
0,158,0
20,1
38,0
20,1
32,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 


 verifica ! 
 d.2.2) Eixo Y : 
 X = 74 = peça medianamente esbelta : 
 cm0,3
70
210 
N
M e
d
1Yd
i  ; 
 cm48,0
30
5,14
30
he EIXOi   
 ei = 3,0 cm ; 
 cm9,0
300
270
300
Le 0a  ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 10/34 
 e1 = ei + ea = 3,0 + 0,9 = 3,9 cm ; 
 kN0,3262,2965.812.
270
I.E.
L
F
2
Yef,0,c
2
0
Y,E 




 




 
 ; 
 cm97,4
700,326
0,326.9,3
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 MYd = Nd . ed = 70 . 4,97 = 347,7 kN.cm . 
tensões atuantes : 
2d
Nd cm/kN32,08,220
70
A
N
 ; 
 2
Y
Yd
MYd cm/kN85,00,409
7,347
W
M
 ; 
 verificação final : 
 0,197,0
20,1
85,0
20,1
32,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 


 verifica ! 
 
Exercício 5.5 : (Nova Avaliação-2006) : Flexão simples reta/Seção Composta : Verificar as 
condições de segurança da viga de madeira indicada nas figuras, segundo o critério da NBR-
7190. Considerar : 
1- Dimensões indicadas em cm. 
2- Madeira de PINHO DO PARANÁ, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
3- ELU – combinação normal. 
4- Esforços atuantes : 
gk = 1 kN/m (permanente) ; 
Qk = 4 kN (sobrecarga). 
Solução : 
a) Características da seção composta : 
 4
33
Y cm2,1947912
5.5
12
25.15I  ; 
 4th,Xref,Y cm3,165572,19479.85,0I.I  ; 
 3ef,Yef,Y cm6,13242/25
3,16557
x
I
W  . 
 
b) Propriedades mecânicas do PINHO DO PR : 
fc0m = 40,9 MPa = 4,09 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 4,09 = 2,86 kN/cm2 ; 
25 5 
10 
5 
X 
10 
5 5 SEÇÃO 
gk=1kN/m 
Qk=4kN 300 
600 
600 
ELEVAÇÃO 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 11/34 
2
c
k0c
modd0c cm/kN15,14,1
86,2.56,0f.kf 

 ; 
fv0m = 8,8 MPa = 0,88 kN/cm2 ; 
fv0k = 0,54. fv0m = 0,54. 0,88 = 0,48 kN/cm2 ; 
2
V
k0V
modd0V cm/kN15,08,1
48,0.56,0f.kf 

 ; 
Ec,0,m = 15225 MPa = 1522,5 kN/cm2 ; 
Ec,0,ef = .kmod Ec,0,m = 0,56. 1522,5 = 852,6 kN/cm
2 . 
 
c) Esforços solicitantes ELU - comb. normal : 
c.1) Flexão : 
Md = cm.kN1470)4/600.(4.4,1)8/600.01,0(.4,1 2  ; 
Vd = .kN7)2/4(.4,1)2/600.01,0(.4,1  
 
d) Verificação das Condições de Segurança : 
d.1) Tensões normais de flexão (ELU) : 
 2
d
d,t/c cm
kN15,111,1
6,1324
1470
W
M
 . verifica! 
d.2) Tensões de cisalhamento : 
2
d
vd cm
kN15,0042,0
)25.5.2(
7.
2
3
h.b
V.
2
3
 . verifica! 
Observação : Não foi necessário, mas a NBR-
7190 permite a redução do valorde Vd nas 
regiões próximas aos apoios diretos (equação 
4.33): Vred = 7 – 50. 0,014 = 6,3 kN. 
 
d.3) Flecha máxima (ELUti) (equações 4.35 e 4.36) : 
200
L
I.E.48
L.Q.
I.E.384
L.g.5u
ef,Yef,0c
3
k
2
ef,Yef,0c
4
k
d  ; 
sendo IY,ef = 4cm3,16557 , 
Md 
Vd 
Vred 
2.h = 50 cm 
Vd 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 12/34 
cm0,3
200
600cm26,0
3,16557.6,852.48
600.0,4.2,0
3,16557.6,852.384
600.010,0.5u
34
d  verifica! 
 
Exercício 5.6 : ( 30. TE – 2007) Elemento solidarizado continuamente : Verificar a condição de 
segurança do elemento indicado nas figuras, composto por peças justapostas : 
1) Critério da NBR-7190/1997. 
2) Dimensões indicadas em centímetros. 
3) Madeira DICOTILEDÔNEA, classe 
C-40, 2a. categoria ; qualidade estrutural. 
4) Estado limite último, combinação normal. 
5) Esforços atuantes : 
Gk = 10 kN (permanente) ; Qk = 10 kN (sobrecarga). 
Solução : 
a) Características da seção composta : 
a.1) Eixo X : 
 4
3
X cm3,14238
12
5,22.15I  ; 
 4th,Xref,X cm5,121023,14238.85,0I.I  ; 
 A = 3. 7,5. 15 = 337,5 cm2 ; 
 cm99,5
5,337
5,12102
A
I
i ef,XX  ; 
 1,50
99,5
300
i
L
X
0
X  ; 
 3ef,Xef,X cm8,10752/5,22
5,12102
y
I
W  . 
a.2) Eixo Y : 
 ;Icm1,6328
12
15.5,7.3I ef,Y
4
3
Y  
 cm33,4
5,337
1,6328
A
Ii YY  ; 
 3,69
33,4
300
i
L
Y
0
Y  ; 
 3YY cm7,8432/15
1,6328
x
IW  . 
 
b) Propriedades mecânicas da madeira : 
22
,5
 
15 
7,5 
7,5 
7,5 
Y 
SEÇÃO 
X 
Y 
Qk 
ELEVAÇÃO 
(NO PLANO X) 
L=
L 0
 =
 3
00
 c
m
 
Gk 
Qk 1
50
 
15
0 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 13/34 
fc,0,k = 40 MPa = 4,0 kN / cm2 ; 
2
wc
k0c
modd0c cm/kN60,14,1
0,4.56,0f.kf 

 ; 
Ec,0,em = 19500 MPa = 1950,0 kN/cm2 ; 
2
em0cmodef0c cm/kN0,10920,1950.56,0E.kE  . 
 
c) Combinação última normal : 
Gd = Nd = G . Gk = 1,4 . 10 = 14 kN ; 
MQYd = MYd = Q. (Qk . L) / 4 = 1,4. 10. (300/4) = 1050 kN.cm . 
 
d) Verificação da segurança : 
d.1) RESISTÊNCIA : 
2d
Nd cm/kN041,05,337
14
A
N
 ; 
 2
Y
QYd
MQYd cm/kN245,17,843
1050
W
M
 ; 
0,178,0
60,1
245,1
60,1
041,0
fff
2
d0c
MdY
d0c
MdX
2
d0c
Nd 













  verifica ! 
d.2) ESTABILIDADE : 
 d.2.1) Eixo X : 
 X = 50 = peça medianamente esbelta : 
 cm0
14
0 
N
M e
d
1Xd
i  ; 
 cm75,0
30
5,22
30
he EIXOi   
 ei = 0,75 cm ; 
 cm0,1
300
300
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea = 0,75 + 1,0 = 1,75 cm ; 
 kN3,14495,12102.1092.
300
I.E.
L
F
2
ef,Xef,0,c
2
0
X,E 




 




 
 ; 
 cm77,1
143,1449
3,1449.75,1
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 MXd = Nd . ed = 14 . 1,77 = 24,74 kN.cm . 
tensões atuantes : 
2
Nd cm/kN041,0 ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 14/34 
 2
X
Xd
MXd cm/kN022,08,1075
74,24
W
M
 ; 
 verificação final : 
0,104,0
60,1
02,0
60,1
04,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 


 verifica ! 
 d.2.2) Eixo Y : 
 X = 69 = peça medianamente esbelta : 
 cm0,75
14
1050 
N
M e
d
1Yd
i  ; 
 m5,0
30
15
30
he EIXOi   
 ei = 75,0 cm ; 
 cm0,1
300
300
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea = 75,0 + 1,0 = 76,0 cm ; 
 kN8,7571,6328.1092.
300
I.E.
L
F
2
Yef,0,c
2
0
Y,E 




 




 
 ; 
 cm4,77
148,757
8,757.76
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 MYd = Nd . ed = 14 . 77,4 = 1084 kN.cm . 
tensões atuantes : 
2
Nd cm/kN041,0 ; 
 2
Y
Yd
MYd cm/kN285,17,843
1084
W
M
 ; 
 verificação final : 
 0,183,0
60,1
285,1
60,1
04,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 


 verifica ! 
 
Exercício 5.7 : Elemento solidarizado descontinuamente : verificar a condição de segurança do 
pilar de madeira de 2a. categoria (qualidade estrutural), indicado nas figuras . 
1- Dicotiledônea, da classe de resistência C-30. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190/1997. 
4- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk . 
NGk = 5 kN (permanente) 
e NQk = 10 kN (sobrecarga) pregos 18x30 
15 a1 
10 5 
2,5 
2,5 
10 
5 
Y 
X 
Nk 
Nk 15 
60 
60 
60 
L=
L 0
 =
 2
55
 60 
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Solução : 
a) Propriedades mecânicas da madeira : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
fc,0,d = 1,20 kN/cm2 ; fV,0,d = 0,16 kN/cm2 ; Ec,0,ef = 812,0 kN/cm2 . 
 
b) Características das peças isoladas : 
A1 = b1 . h1 = 5 . 10 = 50 cm2 ; 
A = 2 . A1 = 2 . 50 = 100 cm2 ; 
I1 = 5 . 103 / 12 = 417 cm4 ; 
I2 = 10 . 53 / 12 = 104 cm4 ; 
a1 = (5 + 10) / 2 = 7,5 cm ; 
W2 = I2 / (b1 / 2) = 104 / (5 / 2) = 41,7 cm3 ; 
 
c) Características da seção composta : 
c.1) Eixo X : 
 
4
1X cm834417.2I.2I  . 
 cm89,2
100
834
A
Ii XX  ; 
 88
89,2
255
i
L
X
0
X  : a peça é esbelta em relação ao eixo X . 
c.2) Eixo Y : m = 4 (número de trechos de comprimento parcial L1. 
 422112Y cm58335,7.50.2104.2a.A.2I.2I  ; 
113,0
5833.25,24.104
4.104
I.m.I
m.I
2
2
YY
2
2
2
2
I 




 ; 
 4YIef,Y cm6595833.113,0I.I  ; 
 cm57,2
100
659
A
I
i ef,YY  ; 
 99
57,2
255
i
L
Y
0
Y  a peça também é esbelta em relação ao eixo Y . 
 
d) Combinação última normal : 
Nd = G . NGk + Q . NQk = 1,4 . 5 + 1,4 . 10 = 21 kN. 
 
e) Verificação da segurança : 
como trata-se de compressão simples com flambagem (sem flexão), basta verificar o 
eixo mais desfavorável (eixo Y) : equações 4.4 e 4.9 a 4.16 (peça esbelta). 
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e.1) momento Md : 
 cm67,0
30
20
30
h
 0 e YEIXOi  ; 
 cm85,0
300
255
300
Le 0a  ; 
 kN81659.812.
255
I.E.
L
F
2
ef,Yef,0,c
2
0
Y,E 












 ; 
     
  
   113,010.2,03,0581
10.2,03,05.8,0
N.NF
N.N.c
Qk21GkE
Qk21Gk 







 ; 
 cm18,0)1e(.)85,067,0()1e(.)ee(e 113,0caiGc  ; 
 e1.ef = ei + ea + ec = 0,67 + 0,85 + 0,18 = 1,70 cm ; 
cm.kN49
2181
81.70,1.21
NF
F.e.NM
dE
E
ef,1dd 













 . 
e.2) verificação da estabilidade (equação 5.14) : 









ef,Y
2
11
d
2ef,Y
2dd
I
I.n1.
A.a.2
M
W.I
I.M
A
N
 
 2d0c cm/kN20,1f44,0659
104.21.
50.5,7.2
49
7,41.659
104.49
100
21





  verifica ! 
 
f) Verificação da ligação : 
f.1) esforço Vd : 
kN64
5,7
60.16,0.50
a
L.f.AV
1
1
d0v1d  
f.2) resistência dos pregos Rvd,1 : 
t = 2,5 cm ; d = 0,34 cm ; 
35,7
34,0
5,2
d
t
 ; 
2
s
yk
yd cm
kN54,54
1,1
60ff 

; 
2d0cd0e cm
kN20,1ff  ; 
4,8
20,1
54,54.25,1
f
f
.25,1
ed
ydlim   
lim embutimento da madeira ! ; 
kN41,020,1.
4,7
5,2.40,0f.t.40,0R
2
ed
2
1,vd  
. 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 17/34 
f.3) verificação : 
16 pregos por ligação (8 em cada face) = 16 x 0,41 = 6,56 kN < 64 kN. não verifica ! 
f.4) verificação da flambagem local (no comprimento L1) : 
111 b.18Lb.9   905.1860L455.9 1  ; 
lateraischapascomelementos/p;305.610b.6a 1  . 
 
Obs.: Não ocorreu, mas se houvesse necessidade de verificar a flambagem local, o 
método seria : 
 42
5
60.46,3
b
L.46,3
1
1
1  , a peça isolada é medianamente esbelta; 
 cm17,0
30
5
30
b 0 e 1i  ; 
 cm20,0
300
60
300
Le 1a  ; 
 e1 = ei + ea = 0,17 + 0,20 = 0,37 cm ; 
 kN231104.812.
60
I.E.
L
F
2
1ef,0,c
2
1
1,E 











 ; 
 cm39,0
5,10231
231.37,0
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 Md = Nd . ed = 10,5 . 0,39 = 4,1 kN.cm . 
 22
2
d
Md cm/kN10,06/5.10
1,4
W
M
  
 0,126,0
20,1
10,0
20,1
21,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 
 verifica ! 
 
g) Verificação da ligação pelo novo modelo de calculo proposto para a NBR-7190 : 
g.1) esforço Vd : 
 99ef,Y  ; 
kN47,1
255
.
2181
81.70,1.
40
99.21
L
.
NF
F.e.
40
.NV
de
e
ef1
efd
d 






 ; 
kN88,5
5,7.2
60.47,1
a.2
L.VF
1
1d
d,s  . 
g.2) resistência dos pregos Rvd,1 : repete-se o cálculo anterior : 
kN41,0R 1,vd  . 
g.3) verificação : 
16 pregos por ligação (8 em cada face) = 16 x 0,41 = 6,56 kN > 5,88 kN, verifica ! 
 
L1 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 18/34 
Observações : 
Nunca pode ser negligenciada a verificação das condições geométricas impostas pela 
NBR-7190, sejam as do modelo atual, assim como também as novas do modelo proposto. 
Como se percebeu, o novo modelo (proposto) permite a verificação da ligação, o que 
não ocorreu com o modelo atual da NBR-7190. 
 
Exercício 5.8 : Elemento solidarizado descontinuamente : verificar a condição de segurança 
do pilar do exercício anterior, considerando os seguintes esforços solicitantes : 
Esforços atuantes : 
Nd = 21 kN (ver exercício 5.7) ; 
MXd = 42 kN.cm ; Myd = 31,5 kN.cm . 
 
Solução : 
a) propriedades mecânicas da madeira : 
fc,0,d = 1,20 kN/cm2 ; fV,0,d = 0,16 kN/cm2 ; Ec,0,ef = 812 kN/cm2 . 
 
b) características da peças isoladas : 
A1 = 50 cm2 ; A = 100 cm2 ; 
I1 = 417 cm4 ; I2 = 104 cm4 ; 
a1 = 7,5 cm ; W2 = 41,7 cm3 . 
 
c) características da seção composta : 
 
4
X cm834I  ; 3XX cm8,1665
834
y
IW  ; cm89,2iX  ; 88X  ; 
 4ef,Y cm659I  ; 3
ef,Y
Y cm9,6510
659
x
I
W  ; cm57,2iY  ; 99Y  . 
 
d) verificação da segurança : 
d.1) resistência (por tratar-se de flexão composta) : 
2d
Nd cm/kN21,0100
21
A
N
 ; 
2
X
Xd
MXd cm/kN25,08,166
42
W
M
 ; 
2
Y
Yd
MYd cm/kN48,09,65
5,31
W
M
  
MYd 
MXd 
a1 
10 5 
2,5 
2,5 
10 
5 
Y 
X 
Nd 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 19/34 
 0,164,0
20,1
48,0
20,1
25,0
20,1
21,0
fff
2
d0c
MdY
d0c
MdX
2
d0c
Nd 










  verifica ! 
d.2) verificação da estabilidade (equações 4.4 e 4.9 a 4.16 : peça esbelta) : 
 d.2.1) – eixo X : 
 X = 88  
 cm33,0
30
10
30
h 2 
21
42
N
M e EIXO
d
Xd
i   cm 2 e i  ; 
 cm85,0
300
255
300
Le 0a  ; 
 kN103834.812.
255
I.E.
L
F
2
Xef,0,c
2
0
X,E 











 ; 
 
  
  
  
   086,010.2,03,05103
10.2,03,05.8,0
N.NF
N.N.c
Qk21GkE
Qk21Gk 







 ; 
 cm26,0)1e(.)85,00,2()1e(.)ee(e 086,0caiGc  ; 
 e1.ef = ei + ea + ec = 2,0 + 0,85 + 0,26 = 3,11 cm ; 
cm.kN82
21103
103.12,3.21
NF
F.e.NM
dE
E
ef,1dd 













 ; 
2d
Nd cm/kN21,0100
21
A
N
 ; 
 2
X
dX
MdX cm/kN49,08,166
82
W
M
  
 0,158,0
20,1
49,0
20,1
21,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 
 verifica ! 
 d.2.2) – eixo Y : 
 Y = 99  
 cm67,0
30
20
30
h 1,5 
21
31,5
N
M e EIXO
d
Yd
i   cm 1,5 ei  ; 
 cm85,0
300
255
300
Le 0a  ; 
 kN81659.812.
255
I.E.
L
F
2
Yef,0,c
2
0
Y,E 




 




 
 ; 
 
  
  
  
   113,010.2,03,0581
10.2,03,05.8,0
N.NF
N.N.
c
Qk21GkE
Qk21Gk 







 ; 
 cm28,0)1e(.)85,05,1()1e(.)ee(e 113,0caiGc  ; 
 e1.ef = ei + ea + ec = 1,5 + 0,85 + 0,28 = 2,63 cm ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 20/34 
cm.kN75
2181
81.63,2.21
NF
F.e.NM
dE
E
ef,1dd 













 ; 
d0c
ef,Y
2
11
d
2ef,Y
2dd f
I
I.n1.
A.a.2
M
W.I
I.M
A
N








 ; 
 2d0c cm/KN20,1f56,0659
104.21.
50.5,7.2
75
7,41.659
104.75
100
21





  verifica ! 
 
Exercício 5.9 : ( 30. TE – 2005) Elemento solidarizado descontinuamente : verificar a condição 
de segurança do pilar de madeira indicado nas figuras, solicitado à compressão centrada, 
considerando : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Madeira DICOTILEDÔNEA, classe C - 40, 
2a. categoria, qualidade estrutural : 
fc0k = 40 MPa , Ec0m = 19.500 MPa. 
4- Esforço atuante : 
Nk = NGk + NQk (centrada) ; 
NGk = 30 kN (permanente) , NQk = 60 kN (vento de sobrepressão). 
Solução : 
a) propriedades mecânicas da madeira : 
2
wc
k0c
modd0c cm/kN6,14,1
0,4.56,0f.kf 

 ; 
2
em0cmodef0c cm/kN10921950.56,0E.kE  . 
 
b) características da peças isoladas : 
A1 = b1 . h1 = 7,5 . 15 = 112,5 cm2 ; 
A = 2 . A1 = 2 . 112,5 = 225 cm2 ; 
I1 = 7,5 . 153 / 12 = 2109,4 cm4 ; 
I2 = 15 . 7,53 / 12 = 527,3 cm4 ; 
a1 = (7,5 + 5) / 2 = 6,25 cm ; 
W2 = I2 / (b1 / 2) = 527,3 / (7,5 / 2) = 140,6 cm3 . 
 
c) características da seção composta : 
 c.1) Eixo X : 
 
4
1X cm8,42184,2109.2I.2I  ; 
SEÇÃO 
80
 
80
 
80
 
L 
= 
L 0
 =
 2
55
 
Y 
X 15 
7,5 7,5 5 
ELEVAÇÃO 
Nk 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 21/34 
 cm33,4
225
8,4218
A
Ii XX  ; 
 59
33,4
255
i
L
X
0
X  : a peça é medianamente esbelta em relação ao eixo X. 
c.2) Eixo Y : m = 3 (número de trechos de comprimento parcial L1). 
 422112Y cm7,984325,6.5,112.23,527.2a.A.2I.2I  ; 
278,0
7,9843.25,13.3,527
3.3,527
I.m.I
m.I
2
2
YY
2
2
2
2
I 


 ; 
 4YIef,Y cm8,27397,9843.278,0I.I  ; 
 cm49,3
225
8,2739
A
I
i ef,YY  ; 
 73
49,3
255
i
L
Y
0
Y  : peça medianamente esbelta em relação ao eixo Y. 
 
d) combinação ultima normal : 
Nd = G . NGk + 0,75 . Q . NQk = 1,4 . 30 + 0,75 . 1,4 . 60 = 105 kN. 
 
e) verificação da segurança : 
Como trata-se de compressão simples, basta verificar o eixo mais desfavorável, a saber, 
o eixo Y, cujo graude esbeltez  = 73 : 
 cm67,0
30
20
30
h 0 e EIXOi  ; 
 cm85,0
300
255
300
Le 0a  ; 
e1 = ei + ea = 0,67 + 0,85 = 1,52 cm ; 
 kN1,4548,2739.1092.
255
I.E.
L
F
2
Yef,0,c
2
0
Y,E 




 




 
 ; 
 cm98,1
1051,454
1,454.52,1
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
cm.kN9,20798,1.105e.NM ddd  ; 
d0c
ef,Y
2
11
d
2ef,Y
2dd f
I
I.n1.
A.a.2
M
W.I
I.M
A
N








 ; 
2
d0c cm/KN60,1f85,08,2739
3,527.21.
5,112.25,6.2
9,207
6,140.8,2739
3,527.9,207
225
105





  
 verifica ! 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 22/34 
 
Exercício 5.10 : ( 30. TE – 2006) - Verificar a 
condição de segurança do pilar indicado nas 
figuras, segundo o critério da NBR-7190/1997, 
considerando : 
1- Dimensões indicadas em centímetros. 
2- Madeira de ANGICO VERMELHO, 2a. 
categoria , qualidade estrutural. 
3- Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; NGk = 30 kN (permanente) ; NQk = 40 kN (sobrecarga) . 
Solução : 
a) Propriedades mecânicas da madeira : 
fc,0,m = 56,7 MPa = 5,67 kN/cm2 ; 
fc,0,k = 0,7. fc,0,m = 0,7. 5,67 = 3,97 kN/cm2 ; 
2
wc
k0c
modd0c cm/kN59,14,1
97,3.56,0f.kf 

 ; 
Ec,0,m = 15980 MPa = 1598 kN/cm2 ; 
2
em0cmodef0c cm/kN9,8941598.56,0E.kE  . 
 
b) Características das peças isoladas : 
A1 = b1 . h1 = 7,0 . 14,5 = 101,5 cm2 ; 
A = 2 . A1 = 2 . 101,5 = 203 cm2 ; 
I1 = 7,0. 14,53 / 12 = 1778,4 cm4 ; 
I2 = 14,5 . 7,03 / 12 = 414,5 cm4 ; 
a1 = (7,0 + 14,5) / 2 = 10,75 cm . 
 
c) características da seção composta : 
c.1) Eixo X : 
 
4
1X cm7,35564,1778.2I.2I  ; 
 cm19,4
0,203
7,3556
A
Ii XX  ; 
 62
19,4
260
i
L
X
0
X  : a peça é medianamente esbelta em relação ao eixo X ; 
 3XX cm6,4902/5,14
7,3556
y
IW  . 
c.2) Eixo Y : m = 4 (número de trechos de comprimento parcial L1). 
SEÇÃO 
14
,5
 
7,0 7,0 
14,5 
60
 
60
 
60
 
L 
= 
L 0
 =
 2
60
 
ELEVAÇÃO 
Nk 
60
 
Y 
X 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 23/34 
 422112Y cm2,2428875,10.5,101.25,414.2a.A.2I.2I  ; 
18,0
2,24288.25,14.5,414
4.5,414
I.m.I
m.I
2
2
YY
2
2
2
2
I 


 ; 
 4YIef,Y cm0,43542,24288.18,0I.I  ; 
 cm63,4
0,203
0,4354
A
I
i ef,YY  ; 
 56
63,4
260
i
L
Y
0
Y  : peça é medianamente esbelta em relação ao eixo Y . 
 
d) Combinação última normal : 
Nd = G . NGk + Q . NQk = 1,4. 30 + 1,4. 40 = 98 kN. 
 
e) Verificação da segurança : 
como trata-se de compressão simples com flambagem (sem flexão), basta verificar o 
eixo mais desfavorável (eixo X) : 
e.1) momento Md : 
 cm48,0
30
5,14
30
h
 0 e XEIXOi  ; 
 cm87,0
300
260
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea = 0,48 + 0,87 = 1,35 cm ; 
 kN7,4647,3556.9,894.
260
I.E.
L
F
2
ef,Yef,0,c
2
0
X,E 




 




 
 ; 
kN71,1
987,464
7,464.35,1
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
cm.kN7,16771,1.98e.NM ddd  . 
e.2) verificação da segurança : 
tensões atuantes : 
2d
Nd cm/kN48,0203
98
A
N
 ; 
 2
X
Xd
MXd cm/kN34,06,490
7,167
W
M
 ; 
 verificação final : 
0,152,0
59,1
34,0
59,1
48,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 


 verifica ! 
 
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Exercício 5.11 (EXAME FINAL 2006) : Elemento solidarizado 
descontinuamente : verificar as condições de segurança do 
pilar de madeira indicado nas figuras, segundo o critério da 
NBR-7190. O pilar está submetido a uma carga normal Nk 
excêntrica (fora do CG da seção). 
 Considerar : 
1- Dimensões indicadas em cm. 
2- Madeira de PINUS ELIOTTII, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
3- Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 10 kN (permanente) ; 
NQk = 5 kN (vento) ; eX = 5 cm. ; eY = 10 cm. 
 
 
Solução : 
a) Propriedades mecânicas do PINUS ELIOTTII : 
fc0m = 40,4 MPa = 4,04 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 4,04 = 2,83 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN13,14,1
83,2.56,0f.kf 

 ; 
Ec,0,m = 11889 Mpa = 1188,9 kN/cm2 ; 
Ec,0,ef = .kmod Ec,0,m = 0,56. 1189,9 = 665,8 kN/cm
2 . 
 
b) ELU : Combinação Normal : 
Nd = G. NGk + 0,75. Q. NQk = 1,4. 10 + 0,75. 1,4. 5 = 19,25 kN ; 
MXd = G. NGk. eX + 0,75. Q. NQk. eX = 1,4. 10. 5 + 0,75. 1,4. 5. 5 = 96,25 kN.cm ; 
MYd = G. NGk. eY + 0,75. Q. NQk. eY = 1,4. 10. 10 + 0,75. 1,4. 5. 10 = 192,5 kN.cm . 
 
c) Características das peças isoladas : 
A1 = b1 . h1 = 7. 14,5 = 101,5 cm2 ; 
A = 3. A1 = 3. 101,5 = 304,5 cm2 ; 
I1 = 7. 14,53/ 12 = 1778,4 cm4 ; 
I2 = 14,5. 73/ 12 = 414,5 cm4 ; 
a1 = 7+ [(7+ 7)/2] = 14 cm ; 
W2 = I2/ (b1/ 2) = 414,5/(7/2) = 118,4 cm3 . 
ELEVAÇÕES 
Nk 
20 
70 
70 
70 L
=L
0 =
 3
00
 
70 
Ponto de aplicação 
da carga Nk 
SEÇÃO 
Y 
X 14
,5
 
7 7 7 7 7 
35 
e X
 
eY 
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d) Características da seção composta : 
d.1) Eixo X : 
 
4
1X cm1,53354,1778.3I.3I  ; 
 cm19,45,304
1,5335
A
Ii XX  ; 
 7219,4
300
i
L
X
0
X  : a peça é medianamente esbelta em relação ao eixo X ; 
WX = y
IX = )2/5,14(
1,5335 = 735,9 cm3 . 
d.2) Eixo Y : m = 4 (número de trechos de comprimento parcial L1). 
 422112Y cm4,4103114.5,101.25,414.3a.A.2I.3I  ; 
114,0
4,41031.25,14.5,414
4.5,414
I.m.I
m.I
2
2
YY
2
2
2
2
I 


 ; 
 4YIef,Y cm7,46974,41031.114,0I.I  ; 
 cm93,35,304
7,4697
A
Ii YY  ; 
 7793,3
300
i
L
Y
0
Y  : a peça é medianamente esbelta em relação ao eixo X ; 
WY = x
IY = )2/35(
7,4697 = 268,4 cm3 . 
 
e) Verificação da segurança : 
e.1) Resistência : 
2d
Nd cm/kN06,05,304
25,19
A
N
 ; 
 2
X
Xd
MXd cm/kN13,09,735
25,96
W
M
 ; 
 2
Y
Yd
MYd cm/kN72,04,268
5,192
W
M
 ; 
0,175,0
13,1
72,0
13,1
13,0
13,1
06,0
fff
2
d0c
MdY
d0c
MdX
2
d0c
Nd 













  verifica ! 
e.2) Estabilidade : 
 e.2.1) Eixo X : 
 72X  , peça medianamente esbelta : 
cm67,030
5,14
30
h 0,519,25
96,25 N
M e XEIXO
d
1d
i  ei = 5,0 cm ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 26/34 
cm0,1300
300
300
Le 0a  ; 
 
 e1 = ei + ea = 5,0 + 1,0 = 6,0 cm ; 
  kN5,3891,5335.8,656.300I.E.LF
2
Xef,0,c
2
0
X,E 



  ; 
 ed = e1. 





 de
e
NF
F = 6,0. 




 25,195,389
5,389 = 6,31 cm ; 
cm.kN5,12131,6.25,19e.NM ddd  ; 
 2
X
d
Md cm/kN17,09,735
5,121
W
M  ; 
Cond.Seg.: 










d0c
Md
d0c
Nd
ff 1,0 ; 
 








13,1
17,0
13,1
06,0 = 0,20 verifica! 
 e.2.2) Eixo Y : 
 77X  , peça medianamente esbelta : 
cm17,130
35
30
h 0,1019,25
192,5 N
M e YEIXO
d
1d
i  ei = 10,0 cm ; 
cm0,1300
300
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea= 10,0 + 1,0 = 11,0 cm ; 
  kN0,3437,4697.8,656.300I.E.LF
2
ef,Yef,0,c
2
0
Y,E 



  ; 
 ed = e1. 





 de
e
NF
F = 11,0. 




 25,19343
343 = 11,65 cm ; 
cm.kN3,22465,11.25,19e.NM ddd  ; 
 Cond.Seg.: d0c
ef,Y
2
11
d
2ef,Y
2dd f
I
I.n1.
A.a.2
M
W.I
I.M
A
N








 ; 
 29,0
7,4697
5,414.31.
5,101.14.2
3,224
4,118.7,4697
5,414.3,224
5,304
25,19





  ; 
 2d0c cm/kN20,1f29,0  verifica ! 
 
Exercício 5.12 (3º. TE 2007) : Elemento solidarizado descontinuamente : verificar as condições 
de segurança do elemento de madeira indicado nas figuras. 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 27/34 
3- Madeira de MAÇARANDUBA, 2a. categoria, 
qualidade estrutural. 
4- Estados Limites Últimos : combinação normal. 
5- Esforços atuantes : 
Gk = 150 kN (permanente) ; 
MQYk = 500 kN.cm (sobrecarga). 
Solução : 
a) Propriedades mecânicas da MAÇARANDUBA : 
fc0m = 82,9 MPa = 8,29 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 8,29 = 5,8 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN32,24,1
8,5.56,0f.kf 

 ; 
 2d0cd0t cm/kN32,2ff  . 
 
b) ELU : Combinação Normal : 
Td = G. Gk = 1,4. 150 = 210 kN.m ; 
MQYd = Q. MQYk = 1,4. 500 = 700 kN.cm . 
c) Características das peças isoladas : 
Basta determinar as propriedades relativas ao eixo Y, tratando-se de flexo-tração (sem 
flambagem). 
A1 = b1 . h1 = 15. 10 = 150 cm2 ; 
A = 2. A1 = 2. 150 = 300 cm2 ; 
I2(Y) = 15. 103/ 12 = 1250 cm4 ; 
a1 = (10+ 10)/2 = 10 cm . 
 
d) Características da seção composta : 
d.1) Eixo X : não interessam estas propriedades para esta verificação. 
d.2) Eixo Y : m = 4 (número de trechos de comprimento parcial L1). 
 433Y cm3250012/)1030(.15I  ; 
217,0
32500.25,13.12505
3.1250
I.m.I
m.I
2
2
YY
2
2
2
2
I 


 ; 
 4YIef,Y cm2,704832500.217,0I.I  ; 
WY = x
I ef,Y = )2/30(
2,7048 = 470 cm3 . 
 
e) Verificação da segurança : 
X 
SEÇÃO 
10 
15 
Y 10 
10 
30 
Gk Gk 
MQYk 
10 10 100 100 100 
320 MQYk 
ELEVAÇÃO 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 28/34 
2d
Td cm/kN7,0300
210
A
T
 ; 
 0
W
M
X
Xd
MXd  ; 
 2
Y
Yd
MYd cm/kN49,1470
700
W
M
 ; 
 0,194,0
32,2
492,10
32,2
7,0
fff d0t
MdY
d0t
MdX
d0t
Td 




 verifica ! 
 
Exercício 5.13 : (EF – 2007) - Verificar a condição de segurança do elemento flexo-
comprimido indicado nas figuras, segundo o critério da NBR-7190/1997, considerando : 
1- Dimensões indicadas em centímetros. 
2- Critério da NBR-7190/1997. 
3- Madeira CONÍFERA C-25, 2a. categoria , 
qualidade estrutural. 
4- Estados Limites Últimos – combinação normal. 
5- Esforços atuantes : 
NGk = 10 kN (permanente) ; MQXk = 200 kN.cm (sobrecarga) . 
Solução : 
a) Propriedades mecânicas da madeira : 
fc,0,k = 25 MPa = 2,5 kN/cm2 ; 
2
wc
k0c
modd0c cm/kN0,14,1
5,2.56,0f.kf 

 ; 
Ec,0,m = 8500 MPa = 850 kN/cm2 ; 
2
em0cmodef0c cm/kN476850.56,0E.kE  . 
 
b) Características das peças isoladas : 
A1 = b1 . h1 = 5,0 . 15,0 = 75 cm2 ; 
A = 2 . A1 = 2 . 75 = 150 cm2 ; 
I1 = 5. 153 / 12 = 1406,25 cm4 ; 
I2 = 15 . 53 / 12 = 156,25 cm4 ; 
a1 = (5 + 10) / 2 = 7,5 cm ; 
32
2 cm5,625,2
25,156
x
IW  . 
 
c) características da seção composta : 
c.1) Eixo X : 
SEÇÃO 
15
 
5 5 10 
60
 
60
 
60
 
L 
= 
L 0
 =
 2
50
 
ELEVAÇÃO 
Nk 
60
 
Y 
X 
MQXk 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 29/34 
 
4
1X cm5,281225,1406.2I.2I  ; 
 cm33,4
150
5,2812
A
Ii XX  ; 
 58
33,4
250
i
L
X
0
X  : a peça é medianamente esbelta em relação ao eixo X ; 
 3XX cm3752/15
5,2812
y
IW  . 
c.2) Eixo Y : m = 4 (número de trechos de comprimento parcial L1). 
 422112Y cm87505,7.75.225,156.2a.A.2I.2I  ; 
186,0
8750.25,14.25,156
4.25,156
I.m.I
m.I
2
2
YY
2
2
2
2
I 


 ; 
 4YIef,Y cm9,16278750.186,0I.I  ; 
 cm29,3
150
9,1627
A
I
i ef,YY  ; 
 76
29,3
250
i
L
Y
0
Y  : peça é medianamente esbelta em relação ao eixo Y . 
 
d) Combinação última normal : 
Nd = G . NGk = 1,4. 10 = 14 kN ; 
MXd = Q . MQXk = 1,4. 200 = 280 kN. 
 
e) Verificação da resistência : 
kN14Nd  ; 
cm.kN280MXd  ; 
2d
Nd cm/kN09,0150
14
A
N
 ; 
 2
X
Xd
MXd cm/kN75,0375
280
W
M
 ; 
0,176,0
0,1
0
0,1
75,0
0,1
09,0
fff
2
d0c
MdY
d0c
MdX
2
d0c
Nd 













  verifica ! 
 
f) Verificação da segurança : 
f.1) eixo X : 
 cm5,0
30
15
30
h
cm20
14
280 
N
M e XEIXO
d
Xd
i  ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 30/34 
 cm20ei  ; 
 cm83,0
300
250
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea = 20 + 0,83 = 20,83 cm ; 
 kN4,2115,2812.476.
250
I.E.
L
F
2
ef,Yef,0,c
2
0
X,E 




 




 
 ; 
cm3,22
144,211
4,211.83,20
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
cm.kN4,3123,22.14e.NM ddd  ; 
verificação da segurança : 
2d
Nd cm/kN09,0150
14
A
N
 ; 
 2
X
d
Md cm/kN83,0375
4,312
W
M
 ; 
 verificação final : 
0,192,0
0,1
83,0
0,1
09,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 


 verifica ! 
f.2) eixo Y : 
 cm67,0
30
20
30
h
0
14
0 
N
M e YEIXO
d
Yd
i  ; 
 cm83,0
300
250
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea = 0,67 + 0,83 = 1,5 cm ; 
 kN4,1229,1627.476.
250
I.E.
L
F
2
ef,Yef,0,c
2
0
X,E 




 




 
 ; 
cm69,1
144,122
4,122.5,1
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
cm.kN7,2369,1.14e.NM ddd  . 
 verificação final : 









ef,Y
2
11
d
2ef,Y
2dd
I
I.n1.
A.a.2
M
W.I
I.M
A
N 
 2d0c cm/kN0,1f14,09,1627
25,156.21.
75.5,7.2
71,23
5,62.9,1627
25,156.71,23
150
14






 verifica ! 
 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 31/34 
Exercício 5.14 : (3º.TE – 2008) - Verificar a condição de segurança da barra de madeira, 
comprimida, indicadas nas figuras. 
Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira : PINUS ELLIOTTII, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 50 kN (permanente), NQk = 30 kN (sobrecarga). 
Solução : 
a) Propriedades mecânicas da madeira : 
fc,0,m = 40,4 MPa = 4,04 kN/cm2 ; 
fc,0,k = 0,7. fcm = 0,7. 4,04 = 2,83 kN/cm2 ; 
2
wc
k0c
modd0c cm/kN13,14,1
83,2.56,0f.kf 
 ; 
Ec,0,m = 11889 MPa = 1188,9 kN/cm2 ; 
2
em0cmodef0c cm/kN8,6659,1188.56,0E.kE  . 
 
b) Características das peças isoladas : 
A1 = b1 . h1 = 5. 20 = 100 cm2 ; 
A = 2. A1 = 2. 100 = 200 cm2 ; 
I1 = 5. 203 / 12 = 3333,3 cm4 ; 
I2 = 20. 53 / 12 = 208,3 cm4 ; 
a1 = (5 + 5) / 2 = 5cm ; 
32
2 cm3,835,2
3,208
x
IW  . 
 
c) características da seção composta : 
c.1) Eixo X : 
 41X cm7,66663,3333.2I.2I  ; 
 cm77,5
200
7,6666
A
Ii XX  ; 
 63
77,5
360
i
L
X
0
X
 : a peça é medianamente esbelta em relação ao eixo X ; 
60
 
60
 
60
 
L 
= 
36
0 
L 0
X 
= 
36
0;
 L
0Y
 =
 2
40
 
 
ELEVAÇÃO 
Nk 
X 
Y 
SEÇÃO 
20
 
5 5 5 20 
15 
12
0 
24
0 
 
PERSPECTIVA 
L 0
X 
= 
36
0 
 
L 0
Y 
= 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 32/34 
 3X
X cm7,6662/20
7,6666
y
IW  . 
c.2) Eixo Y : m = 4 (número de trechos de comprimento parcial L1). 
 422
112Y cm7,54165.100.23,208.2a.A.2I.2I  ; 
33,0
7,5416.25,14.3,208
4.3,208
I.m.I
m.I
2
2
YY
2
2
2
2
I




 ; 
 4
YIef,Y cm17877,5416.33,0I.I  ; 
 cm0,3
200
1787
A
Ii ef,YY  ; 
 80
0,3
240
i
L
Y
0
Y
 : peça é medianamente esbelta em relação ao eixo Y . 
 
d) Combinação última normal : 
Nd = G. NGk + Q. NQk = 1,4. (50 + 30) = 112 kN. 
 
e) Verificação da segurança : 
e.1) eixo X : 
 cm67,0
30
20
30
h
cm0
112
0 
N
M e XEIXO
d
Xd
i
 ; 
 cm20,1
300
360
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea = 0,67 + 1,20 = 1,87 cm ; 
 kN0,3387,6666.8,665.
360
I.E.
L
F
2
ef,Yef,0,c
2
0
X,E





 




 
 ; 
cm80,2
1120,338
0,338.87,1
NF
F.ee
dE
E
1d














 ; 
cm.kN6,3138,2.112e.NM ddd  ; 
verificação da segurança : 
2d
Nd cm/kN56,0200
112
A
N  ; 
 2
X
d
Md cm/kN47,07,666
6,313
W
M  ; 
 verificação final : 
0,191,0
13,1
47,0
13,1
56,0
ff d0c
Md
d0c
Nd 


 verifica ! 
e.2) eixo Y : 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 33/34 
 cm50,0
30
15
30
h
0
112
0 
N
M e YEIXO
d
Yd
i
 ; 
 cm80,0
300
240
300
Le 0a  ; 
 e1 = ei + ea = 0,50 + 0,80 = 1,3 cm ; 
 kN9,2031787.8,665.
240
I.E.
L
F
2
ef,Yef,0,c
2
0
X,E





 




 
 ; 
cm88,2
1129,203
9,206.3,1
NF
F.ee
dE
E
1d














 ; 
cm.kN32288,2.112e.NM ddd  . 
 verificação final : 









ef,Y
2
11
d
2ef,Y
2dd
I
I.n1.
A.a.2
M
W.I
I.M
A
N 
 2
d0c cm/kN13,1f11,11787
3,208.21.
100.5.2
322
3,83.1787
3,208.322
200
112 




  verifica ! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.5 pg. 34/34 
555...222 EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss ppprrrooopppooossstttooosss ::: 
 
Exercício 5.15 : Resolver o exercício 5.1, substituindo a 
seção composta de perímetro 20 X 20, por uma peça 
maciça, de seção 20 X 20 cm2. Em seguida, comparar 
economicamente as duas soluções (qual delas custa mais 
caro?). 
A condição de segurança encontrada é de 0,54 (<<1,0). 
 
Exercício 5.16 : Resolver o exercício 5.15, substituindo a seção maciça 20 X 20 cm2, por uma 
seção maciça 15 X 15 cm2, tentando estabelecer uma economia maior ainda. 
Não é possível esta solução : a condição de segurança encontrada é de 1,21 (>1,0). 
 
 
 
20 L
=L
0 =
 2
80
 
20 
Y 
X 
Nk