EC 1 Aula 8 1 2017 2S

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D
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 C
O
N
C
R
E
T
O
 
1
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DE SÃO PAULO
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
PROF. ALEXANDRE AUGUSTO MARTINS
7º PERÍODO
2017 /2S
AULA 8
11.NOVEMBRO.2017
G E O M E T R I A D A S L A J E S M A C I Ç A S D E C O N C R E T O
2
▪ CLASSIFICAÇÃO QUANTO À DIREÇÃO
▪ AS LAJES MACIÇAS PODEM SER CLASSIFICADAS SEGUNDO DIFERENTES CRITÉRIOS, COMO EM
RELAÇÃO À FORMA GEOMÉTRICA, AOS TIPOS DE VÍNCULOS NOS APOIOS, À DIREÇÃO E AO
FORMATO
▪ AS FORMAS GEOMÉTRICAS PODEM SER AS MAIS VARIADAS, PORÉM, A RETANGULAR É A MAIS
ADOTADA NA PRÁTICA. HOJE EM DIA, COM OS AVANÇADOS PROGRAMAS DE CÁLCULO
ESTRUTURAL, PODEM SER FACILMENTE DIMENSIONADAS SEGUNDO QUAISQUER FORMATOS E
CARREGAMENTOS DOS MAIS VARIADOS
▪ UMA CLASSIFICAÇÃO MUITO IMPORTANTE DAS LAJES MACIÇAS É AQUELA REFERENTE À
DIREÇÃO OU ÀS DIREÇÕES DA ARMADURA PRINCIPAL. EXISTEM DOIS CASOS: LAJES ARMADAS
EM UMA DIREÇÃO E LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
L A J E S A R M A D A S E M U M A D I R E Ç Ã O
3
▪ LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
▪ AS LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO TÊM A RELAÇÃO ENTRE O LADO MAIOR E O LADO
MENOR SUPERIOR A DOIS, ISTO É:
LX
LY
ONDE:
LX = MENOR VÃO
LY = MAIOR VÃO
λ =
LY
LX
> 2,0
4
5
▪ LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
▪ OS ESFORÇOS SOLICITANTES DE MAIOR INTENSIDADE OCORREM DE ACORDO COM A DIREÇÃO
DO MENOR VÃO, NA CHAMADA DIREÇÃO PRINCIPAL
▪ NA OUTRA DIREÇÃO, CONHECIDA COMO SECUNDÁRIA, OS ESFORÇOS SOLICITANTES SÃO BEM
MENORES E, POR ISSO, PODEM COMUMENTE SER DESPREZADOS NOS CÁLCULOS
▪ AS LAJES ARMADAS EM UMA SÓ DIREÇÃO APRESENTAM APENAS A ARMAÇÃO PRINCIPAL, NA
DIREÇÃO DO VÃO DE MENOR DIMENSÃO, ALÉM DE UMA ARMADURA SECUNDÁRIA, NA
DIREÇÃO OPOSTA
▪ LAJES ARMADAS EM UMA SÓ DIREÇÃO
▪ LOGO, AS LAJES NAS QUAIS UMA DIMENSÃO É MAIOR QUE O DOBRO DA OUTRA, DEVEM TER
ARMADURA DISTRIBUÍDA PARALELAMENTE AO LADO DE MENOR TAMANHO
▪ NORMALMENTE SÃO CALCULADAS EXATAMENTE COMO SE FOSSEM UM COJUNTO DE VIGAS
SEQUENCIADAS, SENDO QUE O CÁLCULO DA ÁREA DE AÇO É FEITO POR METRO DE LAJE
▪ PARA ESTE TIPO DE LAJE, NÃO SÃO VÁLIDAS AS TABELAS DE BARËS E CZERNY, AS QUAIS SÃO
ADOTADAS PARA O DIMENSIONAMENTO DE LAJES ARMADAS EM CRUZ
▪ ASSIM, PARA ESTE CÁLCULO, DEVE-SE DIFERENCIAR LAJES ISOLADAS E LAJES ENGASTADAS
▪ BATIZANDO-SE O MOMENTO NO MEIO DO VÃO DE “M” E DE “X” O MOMENTO NOS APOIOS, OS
ESQUEMAS POSSÍVEIS DE LAJES ARMADAS EM UMA SÓ DIREÇÃO, SÃO:
6
LAJE ENGASTADA EM UM DOS LADOS
LAJE ENGASTADA EM DOIS LADOS 
(LAJE BIENGASTADA)
LAJE ISOLADA
M
M = q .
L²
8,00
ONDE:
M = MOMENTO FLETOR NO MEIO DO VÃO
X = MOMENTO FLETOR NO APOIO
q = CARGA APLICADA SOBRE A LAJE
L = VÃO DE MENOR DIMENSÃO
M
X
M = q .
L²
14,22
X = − q .
L²
8,00
M
X
X
M = q .
L²
24,00
X = − q .
L²
12,00
▪ LAJES ARMADAS EM UMA SÓ DIREÇÃO
▪ IMPORTANTE:
▪ PARA OS CASOS DE LAJES RETANGULARES (UM LADO MAIOR QUE O DOBRO DO OUTRO),
NÃO SÃO CONSIDERADAS AS POSSIBILIDADES DE ENGASTAMENTO DOS LADOS MENORES
▪ MESMO PARA LAJES ARMADAS EM UMA SÓ DIREÇÃO, EXISTE A OBRIGATORIEDADE DE SE
FAZER UMA ARMADURA TRANSVERSAL DE DISTRIBUIÇÃO
▪ A NORMA, NO ITEM 20.1, ASSIM O EXIGE, FIXANDO O ESPAÇAMENTO MÁXIMO DESSA
ARMADURA EM 0,33m
7
L A J E S A R M A D A S E M D U A S D I R E Ç Õ E S
LX
LY
λ =
LY
LX
≤ 2,0
ONDE:
LX = MENOR VÃO
LY = MAIOR VÃO
▪ LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES (OU EM CRUZ)
▪ NAS LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES, OS ESFORÇOS SOLICITANTES SÃO CONSIDERADOS
SEGUNDO AS DUAS DIREÇÕES PRINCIPAIS DA LAJE. A RELAÇÃO ENTRE OS LADOS É MENOR OU
IGUAL A DOIS, TAL QUE:
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▪ VÃO EFETIVO
▪ OS VÃOS EFETIVOS DAS LAJES NAS DIREÇÕES PRINCIPAIS (DE ACORDO COM A NBR 6118, ITEM
14.6.2.4), CONSIDERANDO QUE OS APOIOS SÃO SUFICIENTEMENTE RÍGIDOS NA DIREÇÃO
VERTICAL, DEVEM SER CALCULADOS PELAS SEGUINTES EXPRESÕES:
L0t1 t2
h
ONDE: LEF = L0 + A1 + A2 A1 ≤
t1 / 2
0,3 . h
A2 ≤
t2 / 2
0,3 . h
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
L1 L2
L3 L4
V1
V2
V3
V
4
V
5
V
6
CONDIÇÃO: A ≤ 2.B
A
B
9
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ SEGUINDO TAL RACIOCÍNIO, CADA UMA DAS LAJES É SUBSTITUÍDA POR UM RETICULADO DE
VIGAS, NAS DIREÇÕES X E Y
▪ PELOS CRITÉRIOS ADOTADOS NO MÉTODO DE CZERNY (IDEAIS PARA LAJES EM CRUZ), DEVE-SE
DIVIDIR AS CARGAS ATUANTES E ACIDENTAIS “q” EM DUAS CARGAS “qx” E “qy”,
RESPECTIVAMENTE DISTRIBUÍDAS NAS DIREÇÕES X E Y
▪ PROCEDENDO DESSA MANEIRA, CALCULAR A LAJE L-1 É, NA PRÁTICA, CALCULAR SUPOSTAS
VIGAS NAS DIREÇÕES X E Y, COM AS CARGAS ATUANTES qx E qy. ALÉM DISSO, CONSIDERA-SE
TAMBÉM O ENGASTAMENTO PREVISTO DE LAJE COM LAJE
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ É CORRETO CONSIDERAR QUE CADA LAJE SEJA COMPOSTA POR UMA GRELHA DE VIGAS
INDEPENDENTES, CORTANDO-SE PERPENDICULARMENTE, COMO O QUE OCORRE COM A LAJE
L-1 ABAIXO:
V
4
V
5
V1
V2
L1
A
B
C
C
D D
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▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ TEM-SE, ENTÃO, PARA L-1, OS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES COMO MOSTRADOS NOS
ESQUEMAS ABAIXO (CONSIDERANDO OS ENGASTAMENTOS INDICADOS COMO RESULTADOS
DO CONTATO DIRETO ENTRE LAJES CONTÍGUAS):
V2 V1
A
+
DMF
V4 V5
B
+
DMF
CORTE C-C CORTE D-D
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ O MÉTODO DE CZERNY NADA MAIS É QUE EXECUTAR A DIVISÃO DE LAJE POR UMA GRELHA DE
VIGAS, E NELA APLICAR ADEQUADOS COEFICIENTES DE CORREÇÃO – OS QUAIS LEVAM EM
CONSIDERAÇÃO EXATAMENTE ESSE ASPECTO NAS LAJES (DE SOLIDARIEDADE CONJUNTA,
INTEGRADA E TOTAL), EM FUNÇÃO DE TODA A MALHA ESTRUTURAL
▪ AS TABELAS DE BARËS-CZERNY JÁ PROVIDENCIAM AUTOMATICAMENTE OS CÁLCULOS
NECESSÁRIOS, PERMITINDO FACILMENTE A DETERMINAÇÃO TANTO DOS MOMENTOS
FLETORES POSITIVOS (E CONSEQUENTEMENTE O DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS
SITUADAS NA ÁREA CENTRAL DO VÃO) QUANTO DOS MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS
(CUJOS RESULTADOS LEVAM À DEFINIÇÃO DAS ARMADURAS LOCALIZADAS NOS APOIOS)
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SIMBOLOGIA: TABELAS DE CÁCULO BARËS-CZERNY
SÍMBOLO DEFINIÇÃO
MX
MOMENTO FLETOR POSITIVO QUE ACONTECE NO MEIO DO VÃO. COM MX E A
ESPESSURA DA LAJE, É POSSÍVEL CALCULAR POSTERIORMENTE A ARMADURA
POSITIVA (SITUADA NA FACE INFERIOR DA VIGA), NA DIREÇÃO X
MY
MOMENTO FLETOR POSITIVO QUE ACONTECE NO MEIO DO VÃO. COM MY E A
ESPESSURA DA LAJE, É POSSÍVEL CALCULAR POSTERIORMENTE A ARMADURA
POSITIVA (SITUADA NA FACE INFERIOR DA VIGA), NA DIREÇÃO Y
XX
MOMENTO FLETOR NO APOIO, NA DIREÇÃO X. TAL MOMENTO SOMENTE ACONTECE
QUANDO NESSE LADO E NESSA DIREÇÃO A LAJE É ENGASTADA EM OUTRA LAJE.
COM XX E A ESPESSURA DA LAJE, PODE-SE DIMENSIONAR A ARMADURA NEGATIVA
(DISTRIBUÍDA NA FACE SUPERIOR DA VIGA), NA DIREÇÃO X
XY
MOMENTO FLETOR NO APOIO, NA DIREÇÃO Y. TAL MOMENTO SOMENTE ACONTECE
QUANDO NESSE LADO E NESSA DIREÇÃO A LAJE É ENGASTADA EM OUTRA LAJE. COM XY E
A ESPESSURA DA LAJE, PODE-SE DIMENSIONAR A ARMADURA NEGATIVA (DISTRIBUÍDA
NA FACE SUPERIOR DA VIGA), NA DIREÇÃO Y
SIMBOLOGIA: TABELAS DE CÁCULO BARËS-CZERNY
SÍMBOLO DEFINIÇÃO
q
(= qx + qy)
CARREGAMENTO TOTAL ATUANTE SOBRE A LAJE (CARGAS ACIDENTAIS + PESO
PRÓPRIO).
qx
PARCELA DO PESO PRÓPRIO E DAS CARGAS ACIDENTAIS QUE ATUAM NA DIREÇÃO X
E QUE SERÃO USADAS PARA O CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR NEGATIVO DA
ESTRUTURA DIMENSIONADA
qy
PARCELA DO PESO PRÓPRIO E DAS CARGAS ACIDENTAIS QUE ATUAM NA DIREÇÃO Y
E QUE SERÃO UTILIZADAS PARA O CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR NEGATIVO DA
ESTRUTURA DIMENSIONADA
mx E my COEFICIENTES DE CÁLCULO
v COEFICIENTES DE CÁLCULO DE CARGAS NAS VIGAS
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▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ CONCLUSÃO:
▪ O CÁLCULO DE LAJES, PELO PROCESSO DE CZERNY É, NA PRÁTICA,UM CÁLCULO DE
MOMENTOS NO MEIO DA LAJE (DIREÇÃO X E DIREÇÃO Y) E NOS APOIOS (DIREÇÃO X E
DIREÇÃO Y)
▪ AS TABELAS DE BARËS-CZERNY REPRESENTAM UMA QUANTIFICAÇÃO DO CÁLCULO DAS
LAJES MACIÇAS RETANGULARES, SUPONDO-AS COMO GRELHAS DE VIGAS. LEVA EM
CONTA O EFEITO DE RESISTÊNCIA E O FATO DE A LAJE SER INTEIRIÇA E CONTÍNUA,
PORTANTO, MAIS RESISTENTE DO QUE A GRELHA DE VIGAS INDEPENDENTES
ANTERIORMENTE IMAGINADA
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ IMPORTANTE:
▪ CONHECIDOS OS MOMENTOS FLETORES NO MEIO DO VÃO (MX E MY) E ADMITIDA UMA
ESPESSURA DE LAJE, AS LAJES SERÃO ENTÃO CALCULADAS COMO SE FOSSEM VIGAS DE
UM METRO DE LARGURA
▪ DETERMINADOS OS MOMENTOS E A ESPESSURA DAS LAJES, CALCULAM-SE AS
ARMADURAS POSITIVAS E NEGATIVAS DA ESTRUTURA
▪ A PARTIR DAÍ, AS CARGAS PASSAM A SER AUTOMATICAMENTE TRANSFERIDAS ÀS VIGAS
13
L A J E S C O N J U G A D A S
▪ RELAÇÃO ENTRE DIFERNETES ARMAÇÕES DE LAJE
▪ PLANTA DE UMA LAJE ARMADA EM DUAS DIREÇÕES, CONJUGADA A OUTRA, ARMADA EM
UMA SÓ DIREÇÃO
ARMAÇÃO EM CRUZ
(POSITIVA)
ARMAÇÃO EM UMA DIREÇÃO
(POSITIVA E PARALELA AO 
MENOR VÃO)
ARMADURA SOBRE O APOIO
(NEGATIVA)
14
15
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
L1 L2
L3
V1
V2
V
4
V
5
V
6
L4 L5
V3
V
7
E E
▪ CONCEITUAÇÃO
▪ NESTE CASO, O LIVRE GIRAR DA BORDA ESQUERDA DA LAJE L-2 É BLOQUEADO PELA LAJE L-1
▪ SE AS LAJES FOSSEM FUNDIDAS E CONSTRUÍDAS SEPARADAMENTE UMAS DAS OUTRAS,
ENTÃO, NÃO HAVERIA ENGASTAMENTO DE UMAS NAS OUTRAS
▪ NA PRÁTICA, AS LAJES SÃO SEMPRE CONSTRUÍDAS JUNTAS E SOLIDÁRIAS, O QUE
PROPORCIONA MAIOR ESTABILIDADE AOS EDIFÍCIOS DOS QUAIS FAZEM PARTE
▪ LOGO, HÁ REAIS E NECESSÁRIOS VÍNCULOS ENTRE AS LAJES: (L-1 x L-3); (L-1 x L-2); (L-2 x L-4); (L-
2 x L-5); (L-4 x L-5); (L-3 x L-4)
▪ CONCLUSÃO: DUAS LAJES CONTÍGUAS SE INTERENGASTAM NOS SEUS PONTOS EM COMUM
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ESQUEMAS DO TRABALHO DE DEFORMAÇÃO DAS LAJES L-1 + L-2:
ESQUEMA ESTRUTURAL ASSOCIADO AO CÁLCULO DE LAJES L-1 + L-2:
V4 V5 V6
L1 L2
V4 V5 V6
L1 L2
CORTE E-E
CORRETO:
CONTINUIDADE DE LAJES
V4 V5 V6
L1 L2
INCORRETO:
DESCONTINUIDADE DE LAJES
V4 V5 V6
L1 L2
CORRETO:
BORDAS INTERNAS DAS LAJES ENGASTADAS
V4 V5
L1 L2
V6
INCORRETO:
BORDAS INTERNAS DAS LAJES COMO APOIOS MÓVEIS
V4
V5
L1 L2
V6
▪ ARMADURA NEGATIVA NO APOIO COMPARTILHADO
▪ EM FUNÇÃO DA OCORRÊNCIA DE MOMENTO FLETOR NEGATIVO NO APOIO COMUM ÀS DUAS
LAJES CONTÍGUAS, DEVEM SER PROVIDENCIADAS, NAS LAJES E NAS SUAS PARTES
SUPERIORES, ARMADURAS NEGATIVAS JUSTAMENTE PARA QUE TAL MOMENTO FLETOR
NEGATIVO POSSA SER SATISFATORIAMENTE VENCIDO
▪ IMPORTANTE:
▪ O ENGASTAMENTO NOS APOIOS DAS LAJES CONTÍGUAS NÃO ACONTECE, CASO UMA
DELAS SEJA REBAIXADA. EM CASOS ASSIM, AMBAS AS ESTRUTURAS DEVEM SER
ENTENDIDAS COMO LIVREMENTE APOIADAS
17
NBR 6118, TABELA 13.2.4.1: ESPESSURAS MÍNIMAS DE LAJES MACIÇAS PARA CONCRETO ARMADO
TIPO DE LAJE ESPESSURA MÍNIMA (cm)
LAJE PARA COBERTURA (NÃO EM BALANÇO) 7,0
LAJE DE PISO (NÃO EM BALANÇO) 8,0
LAJE EM BALANÇO 10,0
LAJES QUE SUPORTAM VEÍCULOS DE PESO TOTAL ABAIXO DE 30,0 kN 10,0
LAJES QUE SUPORTAM VEÍCULOS DE PESO TOTAL ACIMA DE 30,0 kN 12,0
L A J E S A R M A D A S E M C R U Z : T A B E L A S D E B A R Ë S & C Z E R N Y
18
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ PARA UTILIZAR AS TABELAS DE BARËS-CZERNY:
a. VERIFICAR PRIMEIRAMENTE EM QUAL DOS SEIS CASOS ESTRUTURAIS SEGUINTES SE
ENCAIXA O PROBLEMA ESTUDADO
b. ORIENTAR A QUESTÃO DOS EIXOS ESTRUTURAIS DE CÁLCULO
c. CALCULAR A RELAÇÃO ε = ly / lx, QUE SERÁ A ÚNICA CHAVE DE ENTRADA, RESULTANDO
NOS CONHECIDOS E UTILIZADOS NA TABELA: mx; my; v1; v2; v3; v4
d. CONHECIDOS mx; my; kx, CALCULAR:
19
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ (1º CASO)
EXEMPLO DE CÁLCULO (1º CASO)
20
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ (1º CASO)
EXEMPLO DE CÁLCULO (1º CASO)
21
EXEMPLO DE CÁLCULO (1º CASO)
IMPORTANTE:
AS TABELAS DE CÁCULO FORNECEM OS VALORES DOS ESFORÇOS (MOMENTOS FLETORES), MAS
NÃO INFORMAM O DIMENSIONAMENTO DAS LAJES. NESTE CASO, DEVEM-SE ADOTAR AS
TABELAS K.6 E K.3, RESPECTIVAMENTE
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ (2º CASO)
22
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ (2º CASO)
EXEMPLO DE CÁLCULO (2º CASO – TIPO A)
23
EXEMPLO DE CÁLCULO (2º CASO – TIPO A)
EXEMPLO DE CÁLCULO (2º CASO – TIPO B)
24
EXEMPLO DE CÁLCULO (2º CASO – TIPO B)
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS OPOSTOS 
ENGASTADOS (3º CASO)
25
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS OPOSTOS 
ENGASTADOS (3º CASO)
EXEMPLO DE CÁLCULO (3º CASO – TIPO A)
26
EXEMPLO DE CÁLCULO (3º CASO – TIPO A)
EXEMPLO DE CÁLCULO (3º CASO – TIPO B)
27
EXEMPLO DE CÁLCULO (3º CASO – TIPO B)
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
28
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
EXEMPLO DE CÁLCULO (4º CASO)
29
EXEMPLO DE CÁLCULO (4º CASO)
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM QUATRO LADOS 
ENGASTADOS (5º CASO)
30
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM QUATRO LADOS 
ENGASTADOS (5º CASO)
EXEMPLO DE CÁLCULO (5º CASO)
31
EXEMPLO DE CÁLCULO (5º CASO)
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM TRÊS LADOS 
ENGASTADOS (6º CASO)
32
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM TRÊS LADOS 
ENGASTADOS (6º CASO)
EXEMPLO DE CÁLCULO (6º CASO – TIPO A)
33
EXEMPLO DE CÁLCULO (6º CASO – TIPO A)
EXEMPLO DE CÁLCULO (6º CASO – TIPO B)
34
EXEMPLO DE CÁLCULO (6º CASO – TIPO B)
D I M E N S I O N A M E N T O D E L A J E S
35
▪ CONCEITUAÇÃO
▪ O PROCESSO DE DIMENSIONAMENTO DE LAJES, AQUI APRESENTADO É VÁLIDO PARA
QUAISQUER TIPOS DE LAJE (ISOLADAS OU CONJUGADAS)
▪ OU SEJA, DADO UM MOMENTO FLETOR MÁXIMO E FIXADA PREVIAMENTE A ESPESSURA DA
LAJE (= LMENOR / 40), CHEGA-SE À ÁREA DE AÇO (ARMADURA) NECESSÁRIA PARA A ESTRUTURA
CALCULADA
▪ DEVEM TAMBÉM SER CONSIDERADOS COMO CONHECIDOS O fck DO CONCRETO E O TIPO DE
AÇO QUE SERÁ ADOTADO
▪ IMPORTANTE:
▪ AS TABELAS DE DIMENSIONAMENTO UTILIZADAS NESTE MÉTODO JÁ INCORPORAM TRÊS
COEFICIENTES: DE MINORAÇÃO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS; DE MAJORAÇÃO DE
CARGAS E O DO EFEITO RUSCH (EQUIVALENTE A 0,85 E QUE REPRESENTA A DIMINUIÇÃO
DA RESISTÊNCIA DO CONCRETO PARA CARGAS PERMANENTES DE LONGA DURAÇÃO)
▪ PROCESSO DE CÁLCULO:
▪ CONHECIDO O MOMENTO FLETOR, CHEGA-SE AO VALOR DE k6:
36
▪ PROCESSO DE CÁLCULO:
▪ EXEMPLO:
▪ PARA UM CONCRETO: fck 20MPa; AÇO CA 50; M (OU X) = 1,8 kN.m; d = 9,5cm
▪ PROCESSO DE CÁLCULO:
▪ EXEMPLO:
▪ NESTE CASO:
37
▪ PROCESSO DE CÁLCULO:
▪ EXEMPLO:
▪ NESTE CASO, A ÁREA DE ARMAÇÃO SERÁ:
▪ PROCESSO DE CÁLCULO:
▪ EXEMPLO:
▪ NESTE CASO:
▪ LOGO,
▪ CA 50; Φ 16mm; E = 0,14m
38
D I M E N S I O N A M E N T O D E L A J E S
L A J E 1 + L A J E 2
39
PLANTA DE ARQUITETURA: APARTAMENTO-TIPO
L.1 L.2
L.3
L.4
L.5 L.6
L.7 L.8
LE.1
LE.2
OBS:
ADMITA-SE L.5 COMO SENDO REBAIXADA 
(LOGO, SEM ENGASTAMENTO COM AS 
LAJES VIZINHAS)
40
▪ IMPORTANTE:
▪ COMO A RELAÇÃO DE COMPRIMENTOS “ly / lx = 1” É MENOR QUE 2, TEM-SE AQUI AMBAS AS
LAJES ARMADAS EM CRUZ (OU EM DUAS DIREÇÕES)
▪ LOGO, OS CÁLCULOS DOS MOMENTOS FLETORES TANTO NO MEIO DO VÃO QUANTO NOS
APOIOS SEGUIRÃO A TEORIA DE CZERNY
▪ AS PARCELAS DE CARGA SÃO CALCULADAS A PARTIR DAS FÓRMULAS INDICADAS, E
REPRESENTAM A CARGA UNIFORMEMENTEDISTRIBUÍDA QUE AS LAJES ENTREGAM ÀS VIGAS
QUE DIRETAMENTE AS SUPORTAM
▪ FACE AOS ENGASTAMENTOS IDENTIFICADOS DAS LAJES, CONFIGURA-SE, PARA L.1 E L.2, O
CASO 4 DAS TABELAS DE BARËS-CZERNY
41
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
42
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
▪ MOMENTOS NO CENTRO DO VÃO, NOS APOIOS, E COEFICIENTES DE CÁLCULO: 
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
▪ ARMADURA DE AÇO PRINCIPAL (POSITIVA, NO CENTRO DO VÃO) 
43
▪ k6 + k3:
▪ COMO CALCULADO, k6 = 297
▪ LOGO,
▪ k3 = 0,327
▪ LOGO,
▪ CA 50; Φ 6,3mm; E = 0,20m
▪ PROCESSO DE CÁLCULO:
▪ ARMADURA DE AÇO PRINCIPAL (POSITIVA,
NO CENTRO DO VÃO)
44
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
▪ ARMADURA DE AÇO SECUNDÁRIA (NEGATIVA, NOS APOIOS) 
▪ LOGO,
▪ CA 50; Φ 6,3mm; E = 0,13m
▪ PROCESSO DE CÁLCULO:
▪ ARMADURA DE AÇO SECUNDÁRIA
(NEGATIVA, NOS APOIOS)
45
▪ DETALHES DAS ARMAÇÕES,
(EM PLANTA):
▪ DETALHES DAS ARMAÇÕES,
(EM CORTE):
L A J E 3
46
PLANTA DE ARQUITETURA: APARTAMENTO-TIPO
L.1 L.2
L.3
L.4
L.5 L.6
L.7 L.8
LE.1
LE.2
47
▪ IMPORTANTE:
▪ COMO ESTA É UMA LAJE ARMADA EM UMA SÓ DIREÇÃO, NÃO SERÃO ADOTADAS AS TABELAS
DE BARËS-CZERNY PARA O CÁLCULO DE MOMENTOS FLETORES
▪ ASSIM, PARA A DETERMINAÇÃO DESTES MOMENTOS, SERÃO UTILIZADAS AS FÓRMULAS DE
CÁLCULO ESPECIALMENTE DESENVOLVIDAS PARA LAJES COM ESTA CONFIGURAÇÃO
48
▪ CÁLCULO DESENVOLVIDO POR METRO DE LARGURA DE LAJE:
▪ DETERMINAÇÃO DA ARMAÇÃO DA LAJE:
49
▪ k6 + k3:
▪ COMO CALCULADO, k6 = 235
▪ LOGO,
▪ k3 = 0,329
▪ LOGO,
▪ CA 50; Φ 5,0mm; E = 0,19m
▪ PROCESSO DE CÁLCULO:
▪ ARMADURA DE AÇO PRINCIPAL (POSITIVA,
NO CENTRO DO VÃO)
50
▪ DETALHES DAS ARMAÇÕES,
(EM PLANTA):
L A J E L . 4
51
PLANTA DE ARQUITETURA: APARTAMENTO-TIPO
L.1 L.2
L.3
L.4
L.5 L.6
L.7 L.8
LE.1
LE.2
52
▪ IMPORTANTE:
▪ PARA A LAJE 4, COMO A MAIOR DIMENSÃO (390cm) NÃO É MAIOR QUE O DOBRO DA
DIMENSÃO DO LADO MENOR (236cm), L.4 SERÁ ARMADA EM DUAS DIREÇÕES
▪ PARA TANTO, DEVE SER ADOTADO O PROCESSO DE CÁLCULO DE BARËS-CZERNY
▪ CARREGAMENTOS PRINCIPAIS:
▪ FACE AOS ENGASTAMENTOS IDENTIFICADOS DAS LAJES, CONFIGURA-SE, PARA L.4, O CASO 4
DAS TABELAS DE BARËS-CZERNY
53
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
▪ IMPORTANTE:
▪ COMO A TABELA ACIMA NÃO TRAZ OS VALORES REFERENTES A
λ = 1,65, É PRECISO CALCULAR A MÉDIA ARITMÉTICA ENTRE OS
VALORES CORRESPONDENTES A λ = 1,60 E λ = 1,70 !
54
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
▪ MOMENTOS NO CENTRO DO VÃO, COEFICIENTES DE CÁLCULO E CARGAS NAS VIGAS: 
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
▪ MOMENTOS NOS APOIOS: 
▪ CÁLCULO DA ARMAÇÃO: 
55
▪ k6 + k3:
▪ COMO CALCULADO, k6 = 174
▪ LOGO,
▪ k3 = 0,331
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
▪ ARMADURA DE AÇO PRINCIPAL (POSITIVA, NO CENTRO DO VÃO) 
56
▪ LOGO,
▪ CA 50; Φ 5,0mm; E = 0,19m
▪ PROCESSO DE CÁLCULO:
▪ ARMADURA DE AÇO PRINCIPAL (POSITIVA,
NO CENTRO DO VÃO)
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
▪ ARMADURA DE AÇO SECUNDÁRIA (NEGATIVA, NOS APOIOS) – PARA XX:
57
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ COM DOIS LADOS CONTÍNUOS 
E ENGASTADOS (4º CASO)
▪ ARMADURA DE AÇO SECUNDÁRIA (NEGATIVA, NOS APOIOS) – PARA XY:
▪ DETALHES DAS ARMAÇÕES,
(EM PLANTA):
58
L A J E 5
PLANTA DE ARQUITETURA: APARTAMENTO-TIPO
L.1 L.2
L.3
L.4
L.5 L.6
L.7 L.8
LE.1
LE.2
59
▪ IMPORTANTE:
▪ A LAJE L-5 É SIMPLESMENTE APOIADA NOS QUADRO LADOS – POIS ELA ESTÁ A 0,30m ABAIXO
DAS DEMAIS LAJES VIZINHAS – PORTANTO, NÃO APRESENTA CONTINUIDADE EM NENHUM
DOS LADOS
▪ ASSIM SENDO, ESTA LAJE DEVE SER CALCULADA COMO LAJE ISOLADA, JÁ QUE NÃO PODE SER
CONSIDERADA COMO ENGASTADA ÀS LAJES QUE LHE SÃO CONTÍGUAS
▪ SEU DIMENSIONAMENTO DEVE SER PROVIDENCIADO CONSIDERANDO QUE SEJA ARMADA EM
DUAS DIREÇÕES, JÁ QUE A DIFERENÇA ENTRE OS LADOS É IGUAL A 1,67
60
61
62
▪ DETALHES DAS ARMAÇÕES,
(EM PLANTA):
L A J E 6
63
PLANTA DE ARQUITETURA: APARTAMENTO-TIPO
L.1 L.2
L.3
L.4
L.5 L.6
L.7 L.8
LE.1
LE.2
64
65
66
▪ LOGO,
▪ CA 50; Φ 5,0mm; E = 0,19m
▪ PROCESSO DE CÁLCULO:
▪ ARMADURA DE AÇO PRINCIPAL (POSITIVA,
NO CENTRO DO VÃO)
▪ DETALHES DAS ARMAÇÕES,
(EM PLANTA):
67
L A J E 7 + L A J E 8
PLANTA DE ARQUITETURA: APARTAMENTO-TIPO
L.1 L.2
L.3
L.4
L.5 L.6
L.7 L.8
LE.1
LE.2
68
▪ IMPORTANTE:
▪ PARA AMBAS AS LAJES L-7 E L-8 SERÁ CONSIDERADA, PARA ESTE EXERCÍCIO, UMA
SOBRECARGA MAIS SIGNIFICATIVA
▪ PARA EFETUAR UMA COMPARAÇÃO DIDÁTICA, TENDO EM VISTA QUE O PORTE DA ESTRUTURA
VARIA PROPORCIONALMENTE SEGUNDO O CARREGAMENTO APLICADO, SERÁ INTRODUZIDA,
AQUI, UMA SOBRECARGA MAJORADA DE 10 kN/m², ATENTANDO ÀS CONSEQUÊNCIAS DESSE
FATO
▪ TEM-SE, ENTÃO:
69
▪ CARGA 1 (PARA O APARTAMENTO EM ESTUDO):
▪ CARGA 2 (COMO EXERCÍCIO DE COMPARAÇÃO):
▪ IMPORTANTE:
▪ FACE AOS ENGASTAMENTOS IDENTIFICADOS DAS LAJES, CONFIGURA-SE, PARA L.7 E L.8, O
CASO 2 DAS TABELAS DE BARËS-CZERNY
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ (2º CASO)
70
TABELA DE BARËS-CZERNY PARA LAJES MACIÇAS ARMADAS EM CRUZ (2º CASO)
71
▪ CARGA 1 – ARMAÇÃO
72
▪ CARGA 2 – ARMAÇÃO (SEM AUMENTAR A ESPESSURA DA LAJE, A ARMADURA FICOU
SENSIVELMENTE MAIS PESADA, EM RELAÇÃO AO CASO ANTERIOR):
▪ DETALHES DAS ARMAÇÕES,
(CARGA 1 – EM PLANTA):
73
▪ DETALHES DAS ARMAÇÕES,
(CARGA 2 – EM PLANTA):
F I M !