Lista 4 Calculo II Limite Continuidade Diferenciabilidade

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Cieˆncias Exatas
DEMAT
Professor Edivaldo F. Fontes Junior
Lista 4 - Ca´lculo II - T65 / Limites, continuidade e derivdas parciais
Exercı´cio 1 Dada a func¸a˜o f (x, y) =
1
x2 + y2
, pede-se:
(a) As equac¸o˜es das curvas de nı´vel z = 14 , z = 4 e z = 9.
(b) A equac¸a˜o e o esboc¸o da curva de nı´vel que conte´m o ponto (0, 2).
(c) Um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
Exercı´cio 2 Considere a superfı´cie S definida pela func¸a˜o f (x, y) = 2 +
√
x2 + y2.
(a) Encontre a interesec¸a˜o de S com o plano z = k, quando k < 2, k = 2 e k > 2.
(b) Encontre as intersec¸o˜es de S com os planos xz e yz.
(c) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de S .
Exercı´cio 3 Determine se o limite existe nos itens abaixo.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x2y2
x2 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y
x2 + y2
(c) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(1,2)
xy
y − 2x
Exercı´cio 4 Mostre que lim
(x,y,z)→(0,0,0) f (x, y, z) na˜o existe.
(a) f (x, y, z) =
x2 + y2 − z2
x2 + y2 + z2
(b) f (x, y, z) =
x2y2z2
x6 + y6 + z6
Exercı´cio 5 Verifique se a func¸a˜o e´ contı´nua na origem.
(a) f (x, y) =

2xy
x2+y2 se (x, y) , (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(b) f (x, y) =

x2y
x2+y2 se (x, y) , (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
1
(c) f (x, y) =

sen(x+y)
x+y se (x, y) , (0, 0)
2 se (x, y) = (0, 0)
Exercı´cio 6 Exercı´cios do Livro Texto JAMES STEWART Ca´lculo - Volume 2, 6a Edic¸a˜o. Cengage Learnig,
2011:
(Exercı´cios 14.3):1,3 ; 15-42 ; 51-56 ; 73 ; 77
(Exercı´cios 14.4):1-6
(Exercı´cios 14.5):1-12; 21-26;45
(Exercı´cios 14.6):4-6;7-10;11-17;18;21-26;29;49
(Exercı´cios 14.7):5-18;19;21,23;29-36;39,41
Exercı´cio 7 Encontre as derivadas parciais indicadas:
(a) f (x, y) = 3xy + 6x − y2 , ∂ f∂x (x, y)= 3y + 6
(b) f (x, y) = x+y√
y2−x2 ,
∂ f
∂y (x, y) = − x
2+xy
(y2−x2)3/2
(c) f (x, y) = e(
y
x )ln
(
x2
y
)
,
∂ f
∂y (x, y)= e
y
x
[
1
x ln(
x2
y ) − 1y
]
(d) f (x, y) =
∫ y
x
ln(sen(t)) dt ,
∂ f
∂x
(x, y) = −ln(sen(x))
Exercı´cio 8 Encontre a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de cada func¸a˜o no ponto P abaixo:
(a) u(x, y) = x2 − y2 , P = (0, 0, 0)
(b) v(x, y) = x2 + 4y2 , P = (2, 1, v(2, 1))
(c) u(x, y) = sen(x y) , P = (1, pi, 0)
(d) v(x, y) = x ex2−y2 , P = (2, 2, v(2, 2))
Exercı´cio 9 Encontre o ponto onde o plano tangente a cada uma das superfı´cies, de equac¸a˜o abaixo, e´ horizontal.
(a) z = 2x2 + 2xy − y2 − 5x + 3y − 2=(13 , 116 ,− 112 )
(b) z = x2y2 + 2(x − y)=(−1, 1,−3)
Exercı´cio 10 Encontre a derivada direcional no ponto Q na direc¸a˜o do vetor v.
(a) f (x, y) =
√
4 − x2 − y2 , Q = (0, 1) , v = (2, 2)=−
√
6
6
(b) f (x, y) = ex2−y2 , Q = (1, 1) , v = (1, 3)=− 2
√
10
5
(c) f (x, y, z) = sen(xy) + cos(yz) , Q = (1, 0,−1) , v = (−1, 2, 2)= 23
Exercı´cio 11 Considere a func¸a˜o f (x, y) = x2 + y2 − 2y e o ponto Q = (2, 2). Obtenha
(a) A taxa de variac¸a˜o de f em Q na direc¸a˜o do vetor (1, 1).=3
√
2
(b) A taxa de variac¸a˜o de f em Q na direc¸a˜o do vetor tangente σ′(t) a` curva σ(t) = t, t2 − t em (3, 6).=7
√
26
13
(c) A direc¸a˜o na qual a taxa de variac¸a˜o de f em Q e´ ma´xima.=na direc¸a˜o do vetor ( 2√
5
, 1√
5
)
Exercı´cio 12 Determine as derivadas parciais de segunda ordem abaixo.
(a) f (x, y) = (x2 + y2)3/2 , fxx(x, y) , fyx(x, y)
(b) f (x, y) = x cos(y) − y ex , fyy(x, y) , fxy(x, y)
2
(a) fxx(x, y) = 3(2x
2+y2)√
x2+y2
e fyx(x, y) =
3xy√
x2+y2
(b) fyy(x, y) = −x cos(y) e fxy(x, y) = −sen(y) − ex
Exercı´cio 13 Verifique se as func¸o˜es abaixo satisfazem a seguinte equac¸a˜o
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+
∂u
∂z
= 0 .
(a) u(x, y, z) = ex−y + cos(y − z) + √z − x
(b) u(x, y, z) = sen(ex + ey + ez)
(c) u(x, y, z) = cos(x2 + y2 + z2)
Exercı´cio 14 Verifique que a func¸a˜o u(x, y) = ln
( √
x2 + y2
)
satisfaz a equac¸a˜o diferencial parcial abaixo
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0
Exercı´cio 15 Calcule o vetor gradiente das seguintes func¸o˜es:
(a) f (x, y) = 5y2 + 2x2
(b) h(x, y) =
1
x2 + y2
(c) u(x1, x2, x3) = sen(y z) + cos(x y)
(d) v(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2)
(e) f (x, y, z) = y x ez + z yex
Exercı´cio 16 Considere f (x, y) = ax2 + 3xy + y2, onde a , 94 .
(a) Determine o ponto crı´tico de f .=(0, 0)
(b) Se a = 94 , o que podemos dizer sobre o ponto crı´tico de f encontrado em (a)?
Exercı´cio 17 Encontre os pontos crı´ticos e verifique se e´ ma´ximo, mı´nimo ou ponto de sela.
(a) f (x, y) = 4xy2 − 2x2y − x =(0, 1/2) e (0,−1/2) pontos de sela.
(b) f (x, y) = x sen(y) =0, kpi pontos de sela, k e´ um numero inteiro qualquer.
(c) f (x, y) = xy − x3 − y2 =(0, 0) ponto de sela, e (1/6, 1/12) ponto de ma´ximo relativo.
(d) f (x, y) = x2 + xy + y2 + 1x +
1
y =
(
1
3√3 ,
1
3√3
)
ponto de mı´nimo relativo.
(e) f (x, y) = 4y2e−(x2+y2)
Exercı´cio 18 Estude os pontos crı´ticos da func¸a˜o
f (x, y) = (x2 − 3) e−(x2+y2).
=ponto de mı´nimo relativo: (0, 0). pontos de ma´ximo relativo:(−2, 0) e (2, 0).
3