Engrenagens Exercicios Resolvidos (1)

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1 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1. Dimensionar a engrenagem para carregamento dinâmico com torque a 
transmitir = 3 Kgm,  = 3Kg/mm2, Z =50 dentes, n = 300 rpm, perfil 
envolvente não corrigido =20º. 
 
Resolução: 
Mt = 3000 Kg. mm 
n 300 rpm 
75
1
3030





n
M
n
MWMN
 
7530
3003




N
  N = 1,28 C.V 
Resolvendo pelo 2º processo, temos: 
a) para 
N = 1,26 CV 
n = 300 rpm  m = 1,25 
 b) m = 1,25 mm d0 = m.z 
2
5025,1
2




Zm
r
 r  31 mm 
c) 
601000 


nd
v

 (m/seg) 
601000
30062




v
  v = 0,96 m/seg 
d) 
v
Cv


6
6
  
96,06
6

vC
  Cv = 0,86 
e) Mt = 3000 Kg.mm 
 = 3 Kg/mm2 
Z = 50 dentes e  = 20º Y = 0,408 (tabelado) 
K  10 adotado 
Kt  1,53 (tabela) 
K2  1,0 (tabela 11) não corrigido 
 
2 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
33
2
1
15010408,086,03
5,153,130022






KZYKC
KKMt
m
v
t

 
f) dp = m. Z dp = 3.50  dp = 150 mm 
dc = dp + 2 m = 150 + 2. 3  dc = .256 mm 
l = K . m => 1 = 10. 3 => l = 30 mm 
Z = 50 dentes 
 = 20º (navalha nº 6) 
 
2. Dimensionar o par de Engrenagens. Dados: O perfil evolvente  = 20º não corrigido 
n = 1200 rpm (rotação do pinhão). R = 4/1 (razão de redução). Carregamento com 
choques, engrenagens de média precisão. Material usado: aço SAE 1045 R = 
60 Kg/mm2. Potencial a transmitir N = 10 CV 
 
1200
753010



W
N
Mt
 
Mt  6Kgm = 6000 Kg.mm 
Kt = 1,53 (tabelado) 
K1 = 1,5 (tabelado) 
5
60

S
rup
K


 
K  l = K.m K = 10 (tabelado) 
Z = 17 
Y = 0,302 
 = 20º 
Z = 17 dentes (adotado) 
Cv’ = 0,7 (arbitrado) 
K2 = (p/ perfil envolvente) 
3
17,017302,01012
5,153,160002


m
= 3,55mm 
dp1 = m.Z = 3,55 X 17 = 60 
60
120060
60




 nd
V
p
= 3760 mm/seg ou V = 3,76 m/s 
76,36
6
6
6




v
Cv
  Cv = 0,62 
 
3 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
33
2
1
12
62,0
7,0
55,3 
v
v
C
C
mm
= 3,7  M = 3,75 (mais próximo 
padronizado) 
dp = m. Z = 3,75 . 17 = 63,6 
dc = m. Z + 2 m = 71,3 
l = K.m  l = 10. 3,75  l = 37,5 
Usar navalha nº 1 (tabelado em função do número de dentes). 
Cálculo da Outra Engrenagem que está acoplada 
m = 3,75 
dp = m. Z = 3,75. 68 dp = 255 
dc = 255 + 7,5  dc = 262,5 
l = 10. 3,75  1 = 37,5 
Navalha nº 7 (em função do nº de dentes) 
Aço SAE 1045 (mesmo da outra) 
 
3. Dá-se N = 16 Cv (potência a transmitir), n = 900 rpm (rotação do pinhão), E = 180 
mm (+ 5%). Perfil envolvente, corrigido  = 20º carregamento pulsativo, com oscilação 
de carga. Engrenagem de alta precisão. Material usado SAE 1045 com r = 60 Kg/mm2. 
 
Resolução: 
2
1
n
n
R 
  
2
900
3
n

  n2 = 300 rpm 
1
2
2
1
r
r
n
n

  r2 = 3 . r1 
Mas 180 = r2 + r1  
4
1803
2

r
  r2 = 135 
r1 = 45 dp1 = 2 . r1  dp1 = 90 
900
307516



t
M
 = 12,7 Kgm 
4
60

S
rup
K


 
Kt = 1,43 
K1 = 1,35 
v
Cv


6,5
6,5
 
 
4 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
K2 = 1,0 
100060
90090
60 




 nd
RWv
 = 4,25 m/s 

 
06,2v
 m/s 
Logo 
06,26,5
6,5

vC
  Cv = 0,75 
Adota-se K = 10 
Y = 0,3 (em média) 
3
109013,075,015
35,143,1127002


m
  m = 4,07 
11 Zmdp 
  
07,4
90
1 Z
 = 22 
 = 20º 
Z = 22  Y = 0,330 
33,0
3,0
07,4
2
1
12 
Y
Y
mm
  m = 4 (mais próximo padronizado) 
4
90
2
1
1 
m
d
Z
p
 = 22,5 
p/ Z1 = 22 
dp1 = 22.4 = 88 
p/ Z2 = 22 X 3 = 66 
dp2 = 4 X 66 = 264 
r1 + r2 = 176  E = 176 
180 171 
±5% 189 
p/ Z1 = 23  dp1 = 23 X 4=92 
p/ Z2 = 23 X 3 = 69  dp2 = 69 X 4 = 276 
E = 184 = r1 + r2 
Logo, qualquer das aproximações é aceitável. 
 
 
 
 
Exercício resolvido - engrenagens cilíndricas 
 
1 . Um trem simples de engrenagens cilíndricas retas tem as seguintes características: 
 
5 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
N = 100 CV - potências motoras 
n = 1600 RPM - rotação do pinhão 
R = 3,75/1 - relação de redução 
 = 20º - ângulo de pressão 
Engrenagens de média precisão, de aço SAE-1060, sujeitas a condições 
extremamente desfavoráveis. 
O mecanismo pertence a uma máquina para oito horas de serviço diário, não 
utilizado inteiramente. 
PEDE-SE: 
a) Dimensionar o par quanto à resistência 
b) Verificar o par quanto ao desgaste 
c) Com croqui da solução encontrada 
 
Solução: 
a) Cálculo é dado por: 
3
12
ZYKC
K
KKM
m
v
S
R
tt




 
1. Momento de torção: 
Kgmm
w
N
M t .800.44
1600
103075100 3



 
 
2. Material: SAE-1060 - R = 70 Kg/mm2 
3. Coeficientes de segurança: 
Ks = 6 (condições extremamente desfavoráveis) 
4. Fator velocidade: 
Cv’ = 0,7 (arbitrado em 1ª aproximação) 
5. Fator de proporcionalidade: 
Adotaremos: 
K = 20 (grandes potências). 
6. Número de dentes das engrenagens: 
15
60
1
75,3
R
 
Z1 = 16 dentes (pinhão) 
Z2 = 60 dentes (coroa) 
 
6 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
7. Fator de forma: 
 
Y = 0,295 (em função de Z1 = 16 e  = 20º) 
8. Módulo em 1ª aproximação: 
3,81
16295,02070
68004422 1 






KK
ZYKC
K
M
X t
v
S
R
t

 
mm
C
X
m
v
85,4
7,0
3,81
'
' 33 
 
m‘ = 5,0 mm (padronizado) 
9. Diâmetro primitivo em 1ª aproximação: 
d1 = m . Z1 = 5,0 . 16 = 80 mm 
10. Velocidade periférica em 1ª aproximação: 
sm
nd
v /7,6
106 3
11 



 
11. Fator velocidade em 2ª aproximação: 
v
Cv


6
6
"
 (média precisão) 
473,0
7,66
6
" 

vC
 
12. Módulo em 2ª aproximação: (o valor encontrado depois de padronizado será 
adotado como final): 
mm
C
X
m
v
7,5
473,0
3,81
"
" 33 
 
M = 6,00 mm 
b) Verificação ao desgaste: Condição de verificação: 
Pat  Padm 
1. Força tangencial atuante: 
Kg
Zm
M
r
M
P ttat 940
166
4480022
1
1
1
1 






 
2. Força de contato admissível: Padm = l. p .C . Cv 
Onde: 
 
7 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
2
21
21
21
21
2
44
admc
EE
EE
ZZ
ZZsen
C  








 
3. Largura das engrenagens: l = K . m = 20.6 = 120 mm 
4. Passo das engrenagens: p = m .  = 6,0 . 3,14 = 18,84 mm 
5. Fator velocidade: Cv = 0,47.3 (adotado como valor final, por simplicidade). 
6. Cálculo do fator C: 
6
610
5,0
g
HB
admc 
 
HB = 200 (sem tratamento térmico) 
g = 60.n.h = 60. 1. 600. 15000 = 1440.106 ciclos de carga 
hf = 15000 horas de funcionamento 
8,29
1440
2005,0
6


admc
 
E1 = E2 = 21.10
3 Kg/mm2 (módulo de elasticidade do aço) 
3
3
3
10155885
10441
1042
6016
6016
4,4
º40 






sen
C
 
7. Força admissível: 
Padm = 1.p.C.Cv = 120. 18,84. 155. 10
-3. 0,0473 = 165 K 
8. A desigualdade: Pat  Padm não foi atendida. 
Uma das modificações que poderia resolver o problema consiste em cementar as 
peças, com isto, a durezaBrinell tríplice, bastando, então, multiplicar por 9 (nove) 
o valor do Padm. 
A nova Padm fica igual a: 
Padm = 9. 165 = 1485 Kg 
Comentando as peças, fica verificado o par quanto ao desgaste. 
 
 
n = 6,0 mm 
z1 = 16 dentes 
d1 = 96 mm 
de1= 108 mm 
p = 18,84 mm 
z2 = 60 dentes 
 
8 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
d2 = 360 mm 
de2= 372 mm 
l = 120 mm 
 
FIGURA 5 – Engrenagens cilíndricas. 
 
 
Exercício resolvido - engrenagens cilíndricas helicoidais 
 
1. OBS.: neste exercício aparecerão algumas fórmulas que não foram vistas 
anteriormente. 
Dimensionar o par de engrenagens cilíndricas helicoidais de eixos paralelos, sendo 
dados: 
N = 10 CV  potência a transmitir 
n = 1200 rpm  rotação do pinhão 
R = 4/1  razão de redução 
perfil envolvente, não corrigido,  = 20º, =22º, carregamento com choques, aço 
SAE 1045 com 
r = 60 Kg/mm2 
vida das engrenagens 20.000 horas. 
a) dimensionar pela resistência 
b) verificação pelo desgaste 
c) cálculo do rendimento 
Solução: Dimensionamento pela resistência 
3
1
*
cos2
fCKZY
KKM
m
v
tt
n




 
6
1200
307510




t
M
  Mt = 6000 Kg.mm 
cos  = cos 22º = 0,93 
K1 = 1,5 Kt = 1,53  = r/Ks = 60/5 = 12 Kg/mm2 
Zv = 17 dentes  valor tirado da tabela para que não haja interferência. 
 
Zv = Z/cos
3  Z = Zv . cos3 = 17 . 0,8  14 
 
 
9 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 
K = 10 (adotado) Z = 17 
f = 1,5 (adotado) Y*   = 20º  Y* = 0,302 
Cv = 0,7 (adotado) 
Substituindo, teremos: 
3
5,17,01410302,012
53,15,193,060002


nm
 
65,3
7,04,102,32,1
53,193,0602
3 


nm
 
55
93,0
1465,3
cos






Zm
d np
  r=27,5 
5,27
30
1200




rWv
  v = 3,46 m/s 
Logo: 
63,0
46,36
6


vC
 
74,3
63,0
7,0
65,3
'
' 33 
v
v
nn
C
C
mm
  mn = 4 mais próximo padronizado 
Verificação ao desgaste: 
Zm
M
v
M
P
n 


cos2 
vffadm CCplP  *
 (21) 
KgP 200
144
93,060002




 
l* = 1,5 . K . mn = 1,5 . 10 . 4 = 60,0 mm 
mm
m
p nf 6,13
93,0
4
cos







 
2
21
21
21
21
4,4
2
adm
f
f
EE
EE
ZZ
ZZsen
C  






 
391,0
93,0
º20tan
cos
tan
tan  
 nf
  f = 21º30’ 
 
 
Z1 = 14 Z2 = 56 
 R = 4/1 
 
10 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
HB = 3 r 
610
5,0
g
H B
admc


 
r = 60  HB = 180 
g = 60 n n hf = 60 . 1200 . 20000 = 1,44 X 10
7 
Logo: 
9,26
1440
90
4
adm
  adm2 = 720 
Substituindo estes valores, teremos: 
12,0720
1041,4
102,4
5614
5614
4,4
68,0
8
4






fC
 
Padm  60,0 . 13,6 . 0,12 . 0,63  Padm  66,5  200  66,5 
Teremos, portanto, que recalcular Cf. 
200  60,0 . 13,6 . 0,63 . Cf’ 
Cf’ = 200/55,5 = 0,36 
Cf K . c adm2 
2160
12,0
72036,0'
'
2
2 




f
admcf
admc
C
C 
  c’ 2.= 46,5 
Logo: 
5,46
10
5,0
6
6



g
H B
adm
  
5,0
35,35,46 
BH
  
310BH
 
e, conseqüentemente, r = 46,5 
Rendimento: 
68,01,094,086,0
94,086,0
coscos
coscos
22
2





 

senf
n
   = 92% 
 
 
 Exercício resolvido 
 
1. Dimensionar a resistência de um par de engrenagens cônicas de dentes retos de 
eixos perpendiculares com razão de redução R = 19/7. A potência a transmitir é de 
 
11 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
40 CV e o pinhão guiará a 2500 rpm. O material a usar será um aço de r = 70 
Kg/mm2. O carregamento será com choques, sob condições extremamente 
desfavoráveis. O perfil será envolvente  = 20º (corrigido). Quanto à precisão, serão 
engrenagens comuns. 
Solução: 
Kgm
W
N
M t 5,11
2500
307540



 
  Mt = 11.500 Kg.mm 
K1 = 1,5 
2/8,11
6
70
mmKg
K S
rup


 
Kt = 1,43 
K2 = 1,70 
sen
Z
K 
6
1
 
R = 19/7  Z1 = 3 X 7 = 21 (nº de dentes do pinhão) 
 = 1 + 2 = 90º 
R = tg 2  tg 2 = 19/7 = 2,71  2 = 69º50’ e 1 = 20º10’ 
34,0
21
6
1
'10º206
1 1 
sen
Z
K
  K = 10,02  K  10 
Adotando Cv1 = 0,7 
  58,0836,034,0
21
10
1'10º20
21
10
11
3
333


















 sensen
Z
K  
3,22
94,0
21
'10º20cos
21
cos
 
Z
Z c
 
Y* 
 = 20º 
pela tabela Y* = 0,33 
3
1
1070,17,058,03,2233,08,11
50,143,1500.112


m
 
3
1 83m
  m1 = 4,35 
dp1 = m1 . Z = 4,35 X 21 = 91,5 mm 
60
2500105,91
60
3
1




 ndv
  v1 = 12 m/s 
18
6
126
6
6
6
2 




v
Cv
  Cv2 = 0,33 
 
12 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
1,235,4
33,0
7,0
12  mm
  m2 = 5,58  m = 6 (mais próximo padronizado) 
Verificação ao desgaste: 
Patuante  Padm 
3
1
K
CCpl
r
M
vm
m
t 
 
Onde: Mt  momento atuante 
rm  raio médio 
sen
22

ld
r
p
m
 
l  comprimento do dente 
Pmpasso médio 
Onde: 
Pm =  . mm =  . m (1 – K/z . sen ) 
2
21
21
21
21
2
4,4
admc
vv
vv
EE
EE
ZZ
ZZsen
C  






 
610
5,0
g
H B
admc


 onde g = 60 . n . hf 
HB = dureza Brinell 
Cv  Coeficiente de velocidade 
v
Cv


6
6
 ou 
v
Cv


6,5
6,5
 ou 
v
Cv


3
3
 
K3  fator que leva em conta a distribuição não uniforme de cargas sobre o dente 
das engrenagens cônicas de dentes retos. 
Verificação ao desgaste para o problema anterior: 
3
1
K
CCpl
r
M
vm
m
t 
 
Mt = 11.500Kg . mm 
1
22
senl
d
r
p
m 
; m = 6  dp = m . Z = 6 X 21 
l = K . m = 10 X 6 = 60 
sen 1 = sen 20º10’ = 0,34 
rm = 126/2 – 60/2 . 0,34 = 52,65 
 
13 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
pm =  . m (1 – K/Z sen 1) =  . 6 . (1 - 10/21 . 0,34)  pm = 16 
Cv = 0,33 calculado anteriormente 
K3 = 1,4 
 
 
 
 
2,165
'50º69cos
57
2 vZ
 
 
7,19
10652,1224,0
10652,124,2
2
3
21
21 





vv
vv
ZZ
ZZ
 
4
8
4
21
21 1095,0
104,4
102,4 





EE
EE
 (para aço com E = 2,1 X 104 Kg/mm2) 
610
2105,0
g
admc


 se g = 60 . 2500 . 2000  g = 3 X 109 
8,3
105
3000
105
admc
  c adm2 = 27,72 = 762 
Logo: C = 0,146/1 . 19,7 . 0,95 X 10-4 . 762  C = 0,208 
Então: 11.500/52,65  60 . 16 . 0,208 . 0,33 . 1/1,4  218  47,066 
Não houve verificação ao desgaste pois , Padm  Patuante . Faz-se uma correção 
aumentando a dureza do material. 
C = X . c adm2 
2
21
' admc
admc
C
C 


 mas 
''2
2
B
B
admc
admc
H
H


 
Então: 
2
2
1
'B
B
H
H
C
C

 logo: 218  60 . 16 . 0,33 . 1/1,4 . C1  218  227 C1 
 C1  218/227 = 0,96 
2
2
1
'B
B
H
H
C
C

  
208,0
96,0
210' 22 BH
  HB’ 2 = 2102 X 4,6 
 HB’  450 
 
2
21
21
21
21
4,4
2sen
admc
vv
vv
EE
EE
ZZ
ZZ
C  






4,22
94,0
21
'10º20cos
21
1 vZ
 
14Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
11.6.5 - Exercício resolvido - sem-fim e coroa 
1 . Dimensionar um sistema, parafuso coroa, segundo as especificações: 
Potência a transmitir = 22 CV 
Rotação do parafuso 1980 rpm 
Rotação da coroa = 180 rpm 
Material do parafuso = aço cementado 
com r = 90 Kg/mm2 r = 45 Kg/mm2 
funcionando em condições normais com Fs = 3 
material da coroa - Bronze fósforo: 
r = 27 Kg/mm2 
r = 12 Kg/mm2 
ângulo de inclinação de hélice = 14º 
Serviço contínuo, caixa comum com ventilação, sendo o sem-fim com perfil 
envolvente. 
a) dimensionar pela resistência - carregamento estático; 
b) verificação ao desgaste; 
c) verificação quanto ao cisalhamento; 
d) cálculo do rendimento; 
e) verificação da dissipação de calor. 
Dimensionamento pela Resistência 
3
*
cos2
KZY
M
m
c
ctc
n




 supondo carregamento estático. 
Kgm
n
N
M CVtc 5,87
180
22716716





  Mtc = 87500 Kgmm 
cos c = cos 14º = 0,97 
 = r/Ks = 27/3 = 9 Kg/mm2  = 9 Kg/mm2 
R = 1980/180 = 11/1 mas R = Zc/Zp 
pela tabela uma relação de 10/1  4 entradas 
11/1 = Zc/4  Zc = 44 dentes 
sendo o sem-fim com 4 entradas. 
Para que não haja interferência temos que ter: 
 
505,48
97,0
44
cos 33

c
c
vc
Z
Z 
 
 
15 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 Zv = 50 
Y*  Y* = 4,08 X 10-1 
  = 20º 
3
2
4
3
106,13
107,1
84,4408,09
97,0875002





nm
  mn = 5 
b) Verificação ao desgaste: 
Pat  Padm 
pc
tc
at
d
M
P


2 e 
1KbdP pcadm 
 
227
97,0
445
cos





c
cn
pc
Zm
d

 
KgPat 772
227
875002



 e 
b = l . cos c = k .mn . cos c 
b = 5 . 8 . 0,97  b = 38,8 mm 
K1 (fator de pressão) = 7 Kg/mm
2 (tabelado)  772  227 . 38,8 . 7  Verifica 
Se a condição não fosse satisfeita, seria recalculado um novo módulo utilizando a 
expressão abaixo: 
1cos
cos
cos
2
kmk
m
m
M
cn
c
Zn
c
Zn
tc c
c

 




  
3
1
2
cos2
kkZ
M
m
c
ctc
n



 
c) Verificação ao cisalhamento: 
Pat  F 
F = 2/3 S .  sendo  = 45/3 S =  . l . Pap 
  Sap  Zc p/ ap = 20º   = 0,7 
 
l
LAP
c sen
  
c
APLl
sen

 
APAP PL 
 
97,0
14,350
coscos




c
n
c
n
fcAP
mP
PP 


 PAP = 16,2 mm 
 
 
 
16 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
FIGURA 9 - Exercício resolvido 1. 
402
º14
2,97
º14
2,166



sensen
l
 
S = 0,7 . 402 . 16,2 = 4570 mm2 
 = 15 Kg/mm2 
F = 2/3 . 4570 • 15  F = 45 . 700 Kg 
Logo: 
Pat  F 
d) Cálculo do rendimento: 
º14tan
1,0º14tancos
º14tan1,0cos
tan
tancos
tancos







n
n
n
n
f
f


 
tg n = tg  . cos  = tg 20 X cos 14 = 0,37 X 0,97  tg n = 0,36  n = 19º 
sendo  cos 19º = 0,945 e tg 14º = 0,25 
685,025,0
1,025,0945,0
25,01,0945,0




   = 68,5% 
e) Verificação quanto à dissipação de calor: 
1000
61
100
3211
2
n
YYYNC







 
2
dpcppd
C


 mas 
83
242,0
45





p
pn
pp
sen
Zm
d

 
  
mmC 155
2
22783



 
N1 = 22CV y2 = 1 (devido à relação de redução) 
y1 =1 (serviço contínuo) y3 = 1,17 (aço temperado sem retificar) 
1000
1980
61
17,11122
100
155
2







 
2
9,12
75,25
4,2 
 (logo 0K!) 
 
Exercícios resolvidos - tensão de flexão em engrenagens 
227
97,0
445





csen
Zm
d
c
cn
pc 
 
17 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 
1. Um pinhão de aço tem um passo de 6 dentes/polegada, 22 dentes, e um ângulo de 
pressão de 20º. O pinhão gira a uma velocidade de 1200 rpm e transmite uma 
potência de 15hp a uma engrenagem de 60 dentes. Se a face mede 2 polegadas, 
estime a tensão de flexão. 
 Cálculo do diâmetro: 
P
N
d 
 → 
6
22
d
→ d = 3,67 in 
 Cálculo da velocidade: 
12
dn
V


→ 
12
)1200(67,3 


V
→ 
min/1152 ftV 
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1200
1200
→ 
11521200
1200

VK
→ 
510,0VK
 
 Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 22 tem-se Y = 0,331: 
 Cálculo da carga tangencial: 
V
H
Wt
33000

→ 
1152
1533000
tW
→ 
lbWt 430
 
 Cálculo da tensão de flexão: 
FYK
PW
v
t
 → 
331,02510,0
6430



 → 
Kpsi64,7
 
 
2. Um pinhão de aço possui um passo diametral de 12 dentes/polegada, 16 dentes, 
um ângulo de pressão de 20º e tem a face do dente com uma largura de ¾ de 
polegada. É esperado que este pinhão transmita 1,5 hp a uma rotação de 700 rpm. 
Determinar a tensão de flexão. 
 Cálculo do diâmetro: 
P
N
d 
 → 
12
16
d
→ d = 1,33 in 
 Cálculo da velocidade: 
12
dn
V


→ 
12
)700(33,1 


V
→ 
min/73,243 ftV 
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1200
1200
→ 
73,2431200
1200

VK
→ 
83,0VK
 
 Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 16 tem-se Y = 0,296: 
 
18 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 Cálculo da carga tangencial: 
V
H
Wt
33000

→ 
73,243
5,133000
tW
→ 
lbWt 1,203
 
 Cálculo da tensão de flexão: 
FYK
PW
v
t
 → 
296,0
4
3
83,0
121,203



 → 
Kpsi23,13
 
 
3. Um pinhão de aço tem um módulo de 1,25 mm, 18 dentes, um ângulo de pressão 
de 20º e 12 mm de largura de face. Em uma velocidade de 1800 rpm é esperado 
que este pinhão consiga transmitir 0,5 kW. Determine o resultado da tensão de 
flexão. 
 Cálculo do diâmetro: 
N
d
m 
 → 
1825,1 d
→ d = 22,5 mm 
 Cálculo da velocidade: 
60000
dn
V


→ 
60000
)1800(5,22 


V
→ 
smV /12,2
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
12,21,6
1,6

VK
→ 
742,0VK
 
 Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 18 tem-se Y = 0,309: 
 
 Cálculo da carga tangencial: 
V
H
Wt 
→ 
12,2
500
tW
→ 
NWt 85,235
 
 Cálculo da tensão de flexão: 
FmYK
W
v
t
 → 
309,025,112742,0
85,235


 → 
MPa58,68
 
4. Um pinhão com 15 dentes e um ângulo de contato de 20º módulo de 5 mm e a 
largura da face igual a 60 mm. O pinhão gira a uma rotação de 200 rpm e transmite 
5 kW para uma engrenagem idêntica. Qual é o resultado da tensão de flexão? 
 Cálculo do diâmetro: 
N
d
m 
 → 
155d
→ d = 75 mm 
 Cálculo da velocidade: 
60000
dn
V


→ 
60000
)200(75


V
→ 
smV /785,0
 
 
19 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
785,01,6
1,6

VK
→ 
886,0VK
 
 Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 15 tem-se Y = 0,290: 
 Cálculo da carga tangencial: 
V
H
Wt 
→ 
785,0
5000
tW
→ 
NWt 43,6369
 
Cálculo da tensão de flexão: 
FmYK
W
v
t
 → 
290,0560886,0
43,6369


 → 
MPa63,82
 
 
5. Um pinhão com um módulo de 1 mm 16 dentes 20º de ângulo de contato e um 
carregamento de 0,15 kW a uma rotação de 400 rpm. Determine a largura da face 
para uma tensão de flexão de 150 MPa. 
 Cálculo do diâmetro:N
d
m 
 → 
161d
→ d = 16 mm 
 Cálculo da velocidade: 
60000
dn
V


→ 
60000
)400(16


V
→ 
smV /335,0
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
335,01,6
1,6

VK
→ 
948,0VK
 
 Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 16 tem-se Y = 0,296: 
 Cálculo da carga tangencial: 
V
H
Wt 
→ 
335,0
150
tW
→ 
NWt 76,447
 
 Cálculo da tensão de flexão: 
FmYK
W
v
t
 → 
296,01150948,0
76,447

F
→ 
mmF 64,10
 
 
6. Um pinhão com ângulo de contato de 20º tem 17 dentes e um módulo de 1,5 mm 
transmitindo 0,25 kW na rotação de 400 rpm. Encontre a largura do dente 
apropriada para que a tensão de flexão não ultrapasse 75 MPa. 
 Cálculo do diâmetro: 
N
d
m 
 → 
175,1 d
→ d = 25,5 mm 
 Cálculo da velocidade: 
60000
dn
V


→ 
60000
)400(5,25 


V
→ 
smV /534,0
 
 
20 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
335,01,6
1,6

VK
→ 
919,0VK
 
 
 Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 17 tem-se Y = 0,303: 
 
 Cálculo da carga tangencial: 
V
H
Wt 
→ 
303,0
250
tW
→ 
NWt 08,825
 
 Cálculo da tensão de flexão: 
FmYK
W
v
t
 → 
303,05,175919,0
08,825

F
→ 
mmF 32,26
 
 
7. Com um ângulo de contato de 20º um pinhão transmite 1,5 kW a uma rotação de 
900 rpm. Se o pinhão tem 18 dentes, determine valores coerentes para o módulo 
e a largura do dente. A tensão de flexão não pode ultrapassar 75 MPa. 
 Para um módulo igual a 2,5 mm 
 Cálculo do diâmetro: 
N
d
m 
 → 
185,2 d
→ d = 45 mm 
 Cálculo da velocidade: 
60000
dn
V


→ 
60000
)900(45


V
→ 
smV /12,2
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
12,21,6
1,6

VK
→ 
742,0VK
 
 Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 18 tem-se Y = 0,309: 
 Cálculo da carga tangencial: 
V
H
Wt 
→ 
12,2
1500
tW
→ 
NWt 55,707
 
 Cálculo da tensão de flexão: 
FmYK
W
v
t
 → 
309,05,275742,0
55,707

F
→ 
mmF 46,16
 
 
8. Uma engrenagem pinhão para transmitir 3,5 kW em uma velocidade de 1200 rpm. 
Com um ângulo de contato de 20º, 19 dentes e com uma tensão de flexão de 70 
MPa, encontre valores coerentes para a largura de face e o módulo. 
 Para um módulo igual a 2,5 mm 
 
21 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 Cálculo do diâmetro: 
N
d
m 
 → 
195,2 d
→ d = 47,5 mm 
 Cálculo da velocidade: 
60000
.. nd
V


→ 
60000
)1200(5,47 


V
→ 
smV /984,2
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
984,21,6
1,6

VK
→ 
671,0VK
 
 Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 19 tem-se Y = 0,314: 
 Cálculo da carga tangencial: 
V
H
Wt 
→ 
984,2
3500
tW
→ 
NWt 76,1172
 
 Cálculo da tensão de flexão: 
FmYK
W
v
t
 → 
314,05,270671,0
76,1172

F
→ 
mmF 8,31
 
 
9. Estime a potência que pode ser transmitida em kW em um pinhão com módulo de 
4 mm, 20 dentes, ângulo de contato de 20º, largura da face do dente de 50 mm, 
rotação de 1000 rpm e máxima tensão de flexão de 62,5 MPa. 
 Cálculo do diâmetro: 
N
d
m 
 → 
204d
→ d = 80 mm 
 Cálculo da velocidade: 
60000
dn
V


→ 
60000
)1000(80


V
→ 
smV /189,4
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
189,41,6
1,6

VK
→ 
592,0VK
 
 Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 20 tem-se Y = 0,322: 
 Cálculo da carga tangencial: 
FmYKW vt 
→ 
322,0450592,05,62 tW
→ 
NWt 8,2382
 
 Cálculo da potência: 
VWH t
→
189,48,2382 H
 → 
kWH 98,9
 
 
10. Um pinhão com um ângulo de contato de 20º tem um módulo de 6 mm, 21 dentes, 
largura da face de 75 mm e uma tensão de flexão de 60 MPa. Qual é a potência 
máxima que pode ser transmitida se a rotação for de 800 rpm? 
 
22 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 Cálculo do diâmetro: 
N
d
m 
 → 
216d
→ d = 126 mm 
 Cálculo da velocidade: 
60000
dn
V


→ 
60000
)800(126


V
→ 
smV /278,5
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
278,51,6
1,6

VK
→ 
536,0VK
 
 Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 21 tem-se Y = 0,328: 
 Cálculo da carga tangencial: 
FmYKW vt 
→ 
328,075536,060 tW
→ 
82,4746tW
 
 Cálculo da potência transmitida: 
VWH t
→
278,582,4746 H
 → 
kWH 05,25
. 
. 
Exercícios resolvidos - Durabilidade superficial 
1. Um pinhão com um ângulo de pressão de 20º, 20 dentes, um módulo de 4 mm, 
construído de ferro fundido movimenta uma engrenagem de ferro fundido com 32 
dentes. Encontre a tensão de contato se o pinhão gira a uma rotação de 1000 rpm, 
a largura da face é 50 mm e transmite 10 kW de potência. 
 Cálculo do diâmetro do pinhão: 
N
d
m 
 → 
204d
→ d = 80 mm 
 Cálculo do diâmetro da engrenagem: 
N
d
m 
 → 
324d
→ d = 128 mm 
 Cálculo da velocidade do pinhão: 
60000
dn
V


→ 
60000
)1000(80


V
→ 
smV /19,4
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
19,41,6
1,6

VK
→ 
593,0VK
 
 Cálculo da carga tangencial: 
V
H
Wt 
→ 
19,4
10000
tW
→ 
NWt 64,2386
 
 Pela tabela 3 com pinhão e a engrenagem constituídos de ferro fundido temos 
uma constante elástica Cp de 163 MPa. 
 Como 
VV KC 
 então 
593,0VC
 
 
23 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão: 
2
sen
1
pd
r 
 → 
2
º20sen80
1

r
 → 
mmr 68,131 
. 
 Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem: 
2
sen
2
gd
r 
 
→ 
2
º20sen128
2

r
 → 
mmr 89,212 
. 
 Cálculo da tensão de contato do engrenamento: 
2
1
21
11
cos













rrFC
W
C
v
t
pc 

 → 
2
1
89,21
1
68,13
1
20cos50593,0
64,2386
163 













c
 →
MPac 520
. 
 
2. Um engrenamento é constituído de um pinhão de aço com 19 dentes e uma 
engrenagem de ferro fundido com 30 dentes. Os dentes apresentam um ângulo de 
contato de 20º. Determine os valores do módulo, largura da face que corresponda 
a uma potência de entrada de 3,5kW, uma velocidade do pinhão de 1200 rpm e 
uma tensão máxima de contato de 600 MPa. 
 Para um módulo igual a 6 mm 
 Cálculo do diâmetro do pinhão: 
N
d
m 
 → 
196d
→ d = 114 mm 
 Cálculo do diâmetro da engrenagem: 
N
d
m 
 → 
306d
→ d = 180 mm 
 Cálculo da velocidade do pinhão: 
60000
dn
V


→ 
60000
)1200(114


V
→ 
smV /16,7
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
16,71,6
1,6

VK
→ 
46,0VK
 
 Cálculo da carga tangencial: 
V
H
Wt 
→ 
16,7
3500
tW
→ 
NWt 64,488
 
 Com pinhão de aço e uma engrenagem de ferro fundido temos uma constante 
elástica Cp de 174 MPa. 
 
24 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 Como 
VV KC 
 então 
46,0VC
 
 Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão: 
2
sen
1
pd
r 
 → 
2
º20sen114
1

r
 →mmr 5,191 
. 
 Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem: 
2
sen
2
gd
r 
 → 
2
º20sen180
2

r
 → 
mmr 78,302 
. 
 Cálculo da largura dos dentes do engrenamento: 
2
1
21
11
cos













rrFC
W
C
v
t
pc 

 → 
2
1
78,30
1
5,19
1
º20cos46,0
22,464
174600 














F
 → 
mmF 6,7
. 
 
3. Um redutor consiste de um pinhão de ferro fundido com 21 dentes girando a 800 
rpm movimentando uma engrenagem de ferro fundido com 44 dentes. O 
engrenamento tem um ângulo de pressão de 20º, largura da face de 75 mm e um 
módulo de 6 mm. Para uma tensão de contato de 480 MPa, estime a potência 
máxima que pode ser transmitida. 
 
 Cálculo do diâmetro do pinhão: 
N
d
m 
 → 
216d
→ d = 126 mm 
 Cálculo do diâmetro da engrenagem: 
N
d
m 
 → 
446d
→ d = 264 mm 
 
 Cálculo da velocidade do pinhão: 
60000
dn
V


→ 
60000
)800(126


V
→ 
smV /27,5
 
 
 Cálculo do efeito dinâmico: 
V
KV


1,6
1,6
→ 
27,51,6
1,6

VK
→ 
536,0VK
 
 Com pinhão e a engrenagem constituídos de ferro fundido temos uma constante 
elástica Cp de 163 MPa. 
 
25 
Dimensionamento de Engrenagens – Arão Gove 
2015 
 Como 
VV KC 
 então 
536,0VC
 
 Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão: 
2
sen
1
pd
r 
 → 
2
º20sen126
1

r
 → 
mmr 55,211 
. 
 Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem: 
2
sen
2
gd
r 
 
→ 
2
º20sen264
2

r
 → 
mmr 15,452 
. 
 Cálculo da carga tangencial do engrenamento: 
2
1
21
11
cos













rrFC
W
C
v
t
pc 

 → 
2
1
15,45
1
55,21
1
º20cos75536,0
163480 













 t
W →
NWt 26,4779
. 
 Cálculo da potência transmitida: 
V
H
Wt 
→ 
27,526,4779 H
→ 
kWH 22,25