Lista de exercícios Unidade 3

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO – UFERSA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
LISTA DE EXERCICIOS - UNIDADE III 
1) Calcular as seguintes integrais impróprias e classifique-as: 
a) ∫ 𝑥 𝑒−𝑥²𝑑𝑥
0
−∞
 
b) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
∞
1
 
c) ∫
𝑑𝑥
9+𝑥²
∞
−∞
 
d) ∫
𝑑𝑠
√1−𝑠
1
0
 
e) ∫
𝑑𝑥
𝑥²
1
−1
 
2) Encontrar a área sob o gráfico de 𝑦 =
1
(𝑥+1)²
 para 𝑥 ≥ 1. 
3) Demarcar os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares e encontrar suas 
coordenadas cartesianas. 
a) P1(3,
𝜋
3
) 
b) P2(−3,
𝜋
3
) 
4) Encontrar um par de coordenadas polares dos seguintes pontos: 
a) P1(1,1) 
b) P2(−1,1) 
c) P3(−1, −1) 
 
 
d) P4(1, −1) 
5) Encontrar o comprimento de arco da curva dada: 
a) 𝑟 = 2𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
b) 𝑟 = 𝑒2𝜃, 𝑑𝑒 𝜃 = 0 𝑎𝑡é 𝜃 =
3𝜋
2
 
6) Calcular a área limitada pela curva dada: 
a) 𝑟 = 4(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃); 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
b) 𝑟 = 2𝑎 cos 𝜃; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 
c) 𝑟 = 2 − cos 𝜃; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
7) Mostrar que a função 𝑦 = 𝑒−𝑥 é uma solução da equação diferencial 2𝑦 + 3𝑦 = 𝑒−𝑥. 
8) Mostrar que a função 𝑦 =
cos 𝑥 
𝑥
 é uma solução do PVI dado: 
{
𝑥𝑦′ + 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑦 (
𝜋
2
) = 0
 
9) Resolva as equações: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥2√𝑥 , 𝑦 > 0 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥−𝑦 
10) Uma partícula move-se sobre o eixo x com aceleração proporcional ao quadrado da 
velocidade. Sabe-se que no instante 𝑡 = 0, a velocidade é de 2 𝑚/𝑠 e no instante 𝑡 = 1 
é de 1 𝑚/𝑠. Determinar 𝑣 = 𝑣(𝑡), 𝑡 ≥ 0.