Cálculo 1 - Integrais indefenidas

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Universidade do Estado do 
Rio Grande do Norte
Bacharelado em Ciência da Computação
Núcleo Nova Cruz
Disciplina: Cálculo 1
Turma: 2012.2
Professor: Rodolfo Bezerra
Aluna: Maria Emília do N. Salustino
Universidade do Estado do Rio Grande do Norte
Bacharelado em Ciência da Computação
Cálculo 1
Maria Emília do Nascimento Salustino
Trabalho apresentado em cumprimento das exigências da disciplina de Cálculo 1 do curso bacharelado em Ciências da Computação para obtenção da nota avaliativa da 3ª Unidade.
Nova Cruz – RN
Março 2013
Integrais indefenidas
Antiderivadas
Sendo f (x) e F (x) defenidas em um intervalo I ⊂ R, dizemos que :
	F éuma antiderivada ou uma primitiva de f , em I, se F ‘(x) = f (x)
para todo x ∈ I. Ou seja, F éantiderivada ou primitiva de  f se F éuma função cuja derivada é f .
Exemplos:
	f (x)
	primitiva de f (x)
	3x2
	x3
	2
	2x
	ex
	ex
	sen x
	- cos x
Observações: Se F é uma antiderivada de f em I, e c éuma constante, então F + c
também é uma antiderivada de f em I.
De fato, se F’(x) = f(x), para todo x ∈ I, então, [F(x) + c]’ = F’(x) = f(x), portanto F(x) + c também é uma antiderivada de f(x) em I. 
Assim, por exemplo x3, x3 + 5 e x3 são primitivas de 3x2.
Se F1 e F2 são antiderivada de f, em I ⊂ R, então existe c ∈ R, tal que F1(x) = F2(x) + c, para todo x ∈ I.
Se f é contínua no intervalo [a, b] e f’ (x) = 0 para todo x ∈ ]a, b[, então,
f é constante em [a, b], ou seja, existe c ∈ R tal que f(x) = c para todo x ∈ [a, b]. 
(i) F (x) = x3 \ 3 e uma primitiva da função f(x) = x2, pois F ' (x) = 1/3 3x2 = x2 = f(x).
(ii) As funções G(x) = x3/3 + 4, H(x) = 1/3 (x3 + 3) também são primitivas da função f(x) = x2, pois G ' (x) = H' (x) = f(x).
(iii) A função F(x) = 1/2 sen 2x + c, onde c e uma constante, e primitiva da função f(x) = cos 2x.
(iv) A função F(x) = 1/2x2 e uma primitiva da função f(x) = -1/x3 em qualquer intervalo que não contem a origem, pois para todo x ≠ 0, temos F '(x) = f(x).
Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais que uma primitiva. Temos as seguintes proposições. 
1.0 Proposição - Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c e uma constante qualquer, a função G(x) F(x) + c também e primitiva de f(x).
Prova: Como F(x) e primitiva de f(x), temos que F '(x) = f(x). Assim, 
G ' (x) = (F(x) + = F ' (x) + O = f(x), o que prova que G(x) e uma primitiva de f(x).
1.1 Proposição - Se f ' (x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I. 
Prova: Sejam x, y ∈ I, x < y. Como f e derivável em I, f e continua em [x, y] e derivável em (x, y). Pelo Teorema do Valor Médio, existe z ∈ (x, y), tal que 
Como f '(z) = O, vem que f(y) — f(x) = O ou f( y) = f(x). Sendo x e y dois pontos quaisquer de I, conclui se que f é constante em I.
1.2 Proposição - Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante c tal que G(x) — F(x) = c, para todo x ∈ I.
Prova. Seja H(x) = G(x) — F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo I, temos F ' (x) = G ' (x) = f(x), para todo x ∈ I. Assim,
H ' (x) = G '(x) — F ' (x) = f(x) — f(x) = O, para todo x ∈ I.
Pela proposição 1.1, existe uma constante c, tal que H (x) = c, para todo x ∈ I. Logo, para todo x ∈ 1, temos G(x) — F(x) = c.
Da proposição 1.2, conclui que se F(x) é uma particular primitiva de f, então toda primitiva de f é da forma G(x) = F(x) + c, onde c é uma constante. Assim o problema de determinar as primitivas de f, se resume em achar uma primitiva particular.
Sabemos que (sen x)' = cos x. Assim, F(x) = sen x é uma primitiva da função f(x) = cos x e toda primitiva de f(x) = cos x é da forma G(x) = sen x + c, para alguma constante c.
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por .
De acordo com esta notação o símbolo ᶴ é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x) dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função e chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração.
(i) 
(ii) representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrando).
Propriedades da Integral Indefinida 
Sejam f, g: I —> R e K uma constante. 
Então:
(i) 
(ii) + 
Prova
(i) Seja F (x) uma primitiva de f (x). Então K F (x) é uma primitiva
de K f(x), pois (K F(x))' = K F ' (x) = K f(x). Desta forma, temos
	
(ii) Sejam F(x) e G(x) funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente. 
Então, F (x) + G (x) é uma primitiva da função (f (x) + g (x)), pois [F(x) + G(x)]'
= F '(x) + G '(x) = f(x) + g(x).
Portanto,
 
= [F(x) + G(x) + c1 + c2 , onde c = c1 + c2
= [F(x) + c1 ] + [G(x) + c2]
= + 
O processo de integração exige muita intuição, pois conhecendo apenas a derivada de uma dada função nos queremos descobrir a função. Podemos obter uma tabela de integrais, chamadas imediatas, a partir das derivadas das funções elementares.
Exemplos:
Exercício Resolvidos
Propriedades
Tabela de Integrais Imediatas
A Integral de Riemann Seja f:[a, b]→Ruma fun¸cao limitada definida no intervalo [a, b], para a<b, a, b ∈ R. Seja P ={a0, a1, a2, . . . , an} uma parti¸cao de [a, b], tal que 
a = a0 < a1 < a2 < . . . < an = b.
Definimos a soma superior Σ e inferior σ de Riemann como
 
Integral por partes
O método de integração por partes é apenas uma "tradução", em termos de integrais, do método de primitivação por partes.
Primitivação e integração por substituição
O método de primitivação por substituição baseia-se na regra de derivação da função composta e permite, mais uma vez, transformar primitivas não imediatas em primitivas imediatas ou já conhecidas.
Seja f (x) uma função que pretendemos primitivar e suponhamos que F (x) é uma primitiva de f (x) num determinado intervalo real. Se substituirmos x por uma função bijetora u (t) , como
(F (u (t)))’ = F’ (u (t)) u’ (t) = f (u (t)) u’ (t) ;
temos que
(P (F (u (t))))’ = P (f (u (t)) u’ (t)) ,
⇔ F (u (t)) = P (f (u (t)) u’ (t)) :
Assim a função F (u (t)) pode ser calculada primitivando a função
f (u (t)) u’ (t)
Como u (t) é bijectiva, de x = u (t , obtemos t = u-1 (x) . Substituindo em F (u (t)) a
variável t por u-1 (x) , ficamos com F (u (u-1 (x))) = F (x), que é a primitiva pretendida.
Exemplos:
ANEXOS
Vídeos no youtube.com
Links: 
http://www.youtube.com/watch?v=-a7Nm925gSI
http://www.youtube.com/watch?v=DiXFHDncB3E
http://www.youtube.com/watch?v=txS2QlRfBkY
http://www.youtube.com/watch?v=aNYVABC6Rkg
http://www.youtube.com/watch?v=pdzqWZK5zKY
http://www.youtube.com/watch?v=sKWYVSW30tE
http://www.youtube.com/watch?v=MC1glSMssSg
http://www.youtube.com/watch?v=KnwwMOwElK8
http://www.youtube.com/watch?v=myXmrEAq-NY
http://www.youtube.com/watch?v=42kuVcvlng8
http://www.youtube.com/watch?v=D8TiYsIewws
http://www.youtube.com/watch?v=4ZG9kwUBpQI
e etc.
Referências
 Flemming, Diva Marilia. Cálculo A - a Funções Limite Derivação Integração - 6ª Ed. - Editora: MAKRON BOOKS
Sites:
www.google.com