Resumo de Integrais Primitivas

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Caṕıtulo 1
Integrais
1.1 Primitivas
Sabemos que a derivada de uma função constante é zero. Além disso, uma função pode
ter derivada zero em todos os pontos do seu domı́nio e não ser constante. Veja o exemplo
abaixo.
Exemplo 1.1. Considere a função f(x) =
x
|x|
. Observe que f ′(x) = 0 em todo ponto
de seu domı́nio, mas f não é constante.
x
y
Proposição 1.2. Seja f cont́ınua em [a, b] e diferenciável em (a, b) e f ′(x) = 0, para
todo x ∈ (a, b), então f é constante em [a, b].
Demonstração. Seja x0 ∈ [a, b] fixado. Para todo x ∈ [a, b], x 6= x0, segue do Teorema
do Valor Médio, que existe c no intervalo aberto de extremos x e x0 tal que
f(x)− f(x0) = f ′(c)(x− x0).
Como f ′(x) = 0, para todo x ∈ (a, b), temos que f ′(c) = 0 e portanto
f(x)− f(x0) = 0 =⇒ f(x) = f(x0), ∀x ∈ [a, b].
Portanto, f é constante em [a, b].
Pergunta: Porquê o Exemplo 1.1 não contradiz a Proposição anterior?
Corolário 1.3. Se duas funções definidas em um intervalo aberto I tiverem a mesma
derivada em todo ponto de x ∈ I, então elas vão diferir por uma constante.
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Demonstração. Ideia da prova: Defina a função h(x) = f(x) − g(x). Disto segue que,
h′(x) = f ′(x) − g′(x), ou seja, h′(x) = 0, para todo x ∈ I e da Proposição anterior
h(x) = k. Segue que f(x) = g(x) + k.
Definição 1.4 (Primitiva). Seja f : [a, b]→ R. Uma primitiva (ou antiderivada) de f
em [a, b] é uma função derivável F : [a, b]→ R tal que
F ′(x) = f(x)
para todo x ∈ [a, b].
Observação 1.5. Se F for uma primitiva de f , então F será cont́ınua, pois é dife-
renciável.
Exemplo 1.6. A função F (x) = 1
3
x3 é uma primitiva de f(x) = x2 em R, pois F ′(x) =
x2, para todo x ∈ R.
Se F (x) é uma primitiva de f(x) então F (x) + k também será uma primitiva de
f(x). Por outro lado, se houver uma outra função G(x) que é primitiva de f , pelo
visto anteriormente, F e G diferem, neste intervalo, por uma constante. Segue que as
primitivas de f são da forma
F (x) + k, k = constante.
Denotamos por ∫
f(x)dx = F (x) + k
a famı́lia de primitivas de f e chamamos
∫
f(x)dx de integral indefinida de f .
Na notação
∫
f(x)dx, a função f denomina-se integrando.
Observação 1.7. Quando estamos tratando integrais indefinidas, nunca podemos esque-
cer a constante k, pois existem infinitas primitivas para uma função f e se suprimirmos
a constante, teremos encontrado apenas uma das infinitas possibilidades.
Exemplo 1.8. ∫
x2dx =
x3
3
+ k.
Das fórmulas de derivação já vistas, seguem as seguintes primitivas imediatas:
(a)
∫
cdx = cx+ k (b)
∫
exdxex + k
(c)
∫
xαdx = x
α+1
α+1
+ k, α 6= −1 (d)
∫
cosxdx = sinx+ k
(e)
∫
sinxdx = − cosx+ k (f)
∫
1
x
dx = lnx+ k, x > 0
(g)
∫
1
x
dx = ln(−x) + k, x < 0 (h)
∫
sec2 xdx = tanx+ k
(i)
∫
1√
1−x2dx = arcsinx+ k
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