PF de Algebra Linear III 2016 II

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE RIO DE JANEIRO
PROVA FINAL DE A´LGEBRA LINEAR III
07 de julho de 2017
NOME DO ALUNO :
TURMA : 7
INSTRUC¸O˜ES
1. Preencha o cabec¸alho acima.
2. A prova deve ser feita sem consulta a apontamentos, cadernos, livros ou colegas.
DURAC¸A˜O DA PROVA: 1 hora e 40 minutos
B O A P R O V A
1. (valor 2,5 pontos)O sistema seguinte na˜o tem soluc¸o˜es para quais valores de k? Exatamente uma soluc¸a˜o?
infinitas soluc¸o˜es?  x + y − kz = 23x + 4y + 2z = k
2x + 3y − z = 1
2. (valor 2,5 pontos) Considere o subespac¸o de R4 gerados pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 =
(−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
(a) O vetor (2,−3, 2, 2) ∈ span{v1, v2, v3, v4}?
(b) Exiba uma base de span{v1, v2, v3, v4}. Qual e´ a dimensa˜o?
(c) span{v1, v2, v3, v4} = R4?
3. (valor 2,5 pontos) Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4| x + y = 0 e z − t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4| x− y − z + t = 0 }
subconjuntos de R4.
(a) Mostre que W1 e W2 sa˜o subespac¸os vetoriais de R4.
(b) Determine W1 ∩W2 e W1 + W2. E´ verdade que W1 + W2 = R4?.
4. (valor 2,5 pontos) Ache B uma matriz de ordem 2 de modo que B2 = A, onde A =
[
3 −2
−4 3
]
.
5. (opcional) (valor 2,5 pontos) Considere o mapa linear T : R3 → R3, dado por T (x, y, z) = (z, x − y,−z).
Determine uma base do nu´cleo de T , deˆ a dimensa˜o da imagem de T . Diga se T e´ sobrejetora?, justifque.