C6_CURSO_A_PROF_MATEMATICA

Prévia do material em texto

1. TEOREMA
Sejam x, y ∈ � e n ∈ �. De -
monstra-se que
(x + y)n =( ) xny0 + ( ) xn – 1y1 +
+ ( ) xn – 2y2 + ... + +
+ ... + ( ) x0yn
O desenvolvimento de (x – y)n é feito
lembrando que (x – y)n = [ x + (– y) ]n.
Exemplo
(x + y)10 = ( ) x10y0 + 
+ ( )x9y1 + ( ) x8y2 … +
+ ( )x0y10 = x10 + 10x9y +
+ 45x8y2 + ... + 10xy9 + y10
2. TERMO GERAL
, para os ex-
 poentes de x em ordem decres cen te. 
, para os
expoentes de x em ordem crescente.
3. SOMA DOS COEFICIENTES
Para obter a soma S dos coe fi -
cien tes dos termos do desenvol -
vimen to de (ax ± by)n, em que 
a, b ∈ �* são constantes e x, y ∈ �*
são as va riá veis, basta substituir, em
(ax ± by)n, x e y por 1. 
Assim, . 
n
0
n
1
n
2
n( )xn – kykk
n
n
10
0
10
1
10
2
10
10
n
Tk + 1=( )xn – k ykk
n
Tk + 1 = ( )xk yn – kk
S = (a ± b)n
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
– 93
FRENTE 1 Álgebra
MÓDULO 47 Teorema do Binômio de Newton
1. INTRODUÇÃO
Para se chegar a 50 063 860
jogos na Megassena (total de agru -
pamentos de 6 números esco lhidos
entre um total de 60) ou a 4 782 969
resultados possíveis na Lo te ria
Esportiva (palpites para 14 par tidas
de futebol), são usados prin cípios de
Análise Combinatória.
Esse ramo da Matemática aborda
problemas de contagem e nos
per mite descobrir, ainda, de quantas
maneiras diferentes podem ser
formadas filas de pessoas ou quan tas
senhas distintas um banco con segue
emitir para seus clientes, além de
possibilitar a resolução de inú me ras
situações da vida prática.
2. CONTAGEM
As quantidades obtidas nas re so -
lu ções dos problemas variam de
poucas unidades a muitos milhões.
Em alguns casos é vantagem
contar, uma a uma, todas as pos sibi -
li da des, anotando de maneira orde -
nada os possíveis agrupa men tos que
satisfazem o problema.
Exemplo 1
Um quadrado ABCD de lado 3
centímetros teve seus lados divididos
em partes de 1 centímetro cada uma
e os pontos ligados por segmentos de
reta, como ilustra a figura a seguir.
Para saber quantos quadrados
podem ser destacados do desenho,
devemos levar em conta que, além do
quadrado ABCD e dos 9 “qua dra -
 dinhos”, numerados de 1 a 9, te mos
mais 4 de lado 2 centímetros cada
um. 
O total, portanto, é 1 + 4 + 9 = 14
quadrados.
Essa contagem pode ser feita
como segue.
I) 1 quadrado de lado 3 cen tíme -
tros;
II) 4 quadrados de lado 2 cen tí -
me tros, que são os constituídos pela
união dos “quadradinhos” (1, 2, 4, 5),
(2, 3, 5, 6), (4, 5, 7, 8) e (5, 6, 8, 9); 
III) 9 quadrados de lado 1 cen -
tíme tro.
Exemplo 2
Para determinar quantas se quên -
 cias de 7 elementos cada uma
podem ser formadas com os elemen -
MÓDULO 48
Princípio Fundamental da 
Contagem e Arranjos Simples
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 93
tos distintos A e B, sendo exa ta mente
3 deles iguais a “A” e que devem estar
em po si ções consecutivas, não é
difícil escrever e contar as 5
possibili da des, que são (A, A, A, B,
B, B, B), (B, A, A, A, B, B, B), (B, B, A, A,
A, B, B), (B, B, B, A, A, A, B) e (B, B, B,
B, A, A, A).
Conclui-se, entretanto, que, sem
nenhuma restrição, são 128
sequên cias com 7 elementos cada
uma, formadas com A e B. Porém,
chegar a tal número de sequências,
escrevendo e contando todas, seria
uma tarefa muito trabalhosa. Vere mos,
a seguir, como resolver esse tipo de
problema utilizando o Prin cí pio Fun -
da mental da Contagem.
3. PRINCÍPIO 
FUNDAMENTAL
DA CONTAGEM
Considere um acontecimento
com posto de dois estágios suces -
sivos e independentes.
Se o primeiro estágio pode
ocorrer de m modos distintos e, em
seguida, o segundo estágio pode
ocorrer de n modos distintos, então o
número de maneiras de ocorrer esse
acontecimento é igual ao produto
m.n.
No caso das sequências com os
elementos A e B, sem restrições, cita -
das anterior mente, devemos notar
que cada uma pode iniciar-se de
dois modos distintos (A ou B). Para
cada uma des sas possibilidades,
existem outras duas (A ou B) para a
segunda posição e assim suces -
sivamente.
Até o terceiro estágio, os 8 ca -
sos podem ser dispostos de acordo
com o seguinte diagrama:
Observe que, seguindo esse racio -
cínio, chega-se ao número total, que é 
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 27 = 128.
4. TÉCNICAS DE CONTAGEM
Basicamente, são dois os tipos
de agrupamentos utilizados em Aná -
lise Combinatória: arranjos e com -
bi na ções.
Para diferenciar um do outro, to -
me mos os seguintes exemplos:
Exemplo 1
Considere quatro pontos, A, B, C
e D, distintos de um mesmo plano, de
modo que três quaisquer deles não
estejam alinhados, como na figura.
A • • B
D • C •
Os triângulos ABC e ABD são
diferentes. Diferem pela natu re za
(C ≠ D) de pelo menos um de seus
elementos.
No entanto, ABC e ACB repre -
sen tam o mesmo triângulo. A
ordem de leitura dos vértices não
dife rencia um do outro.
Esses agrupamentos que dife -
rem apenas pela natureza de
pelo menos um de seus elementos
(não pela ordem) são chamados
combinações.
Exemplo 2
Considere, agora, os algaris mos
1, 2, 3 e 4.
Os números 123 (cento e vinte e
três) e 124 (cento e vinte e quatro)
são di fe rentes. Diferem pela natu -
reza (3 ≠ 4) de pelo menos um de
seus elementos.
Os números 123 e 132, embora
cons tituídos pelos mesmos algaris -
mos, também são diferentes. Diferem
pela ordem de seus elementos.
Esses agrupamentos que dife -
rem pela natureza de pelo menos
um de seus elementos e também
diferem pela or dem deles são
chamados arranjos.
5. ARRANJOS SIMPLES
Como vimos, são agrupamentos
que diferem entre si pela ordem ou
pela natureza de seus ele men tos. O
número de arranjos simples de n
elementos tomados k a k, ou classe
k, com n ≥ k, é dado por
Exemplo 1
A10,3 = =
= =
= 10 . 9 . 8 = 720
Exemplo 2
A9,4 = =
= =
= 9 . 8 . 7 . 6 = 3024
Exemplo 3
Com os algarismos de 1 a 9 po -
dem ser formados A9,4 = 3024 núme -
ros de 4 algarismos distintos. Note
que cada número difere de outro pela
natureza ou pela ordem de seus
elementos.
An,k = n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1) =
n!
= –––––––––
(n – k)!
10!
––––––––––
(10 – 3)!
10 . 9 . 8 . 7!
––––––––––––––
7!
9!
–––––––
(9 – 4)!
9 . 8 . 7 . 6 . 5!
––––––––––––––
5!
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
94 –
MÓDULO 49 Permutações
1. PERMUTAÇÕES SIMPLES
São arranjos simples de n ele men tos tomados k a k
em que n = k. Assim, permutações simples são
agru pamentos que diferem entre si apenas pela
ordem de seus ele mentos.
Podemos dizer que uma per mu ta ção de n elementos
é qualquer agru pa mento orde nado desses n ele mentos.
Por exemplo, as permuta ções dos elementos distintos
A, B e C são ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
O número de permutações sim ples de n elementos
é dado por
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 94
1. CONCEITO DE 
PROBABILIDADE
Seja uma experiência em que
pode ocorrer qualquer um de n
resultados possíveis. Cada um dos n
resultados possíveis é chamado
ponto amostral e o conjunto S de
todos os pontos amostrais é chamado
espaço amostral; qualquer sub -
con junto A do espaço amostral S é
chamado de evento.
Chama-se probabilidade de ocor -
rer um evento A de um espaço amos 
tral S ≠ Ø ao número ,
em que n(A) é o nú mero de elementos
n(A)
P(A) = –––––
n(S)
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
– 95
1. COMBINAÇÕES SIMPLES
São agrupamentos que diferem
entre si apenas pela natureza de
seus elementos.
Podemos dizer que uma com -
 binação de n elementos dis tintos to -
mados k a k ( n ≥ k) é uma escolha
não ordenada de k dos n elementos
dados.
Por exemplo, as combinações
dos 4 elementos distintos A, B, C e D,
tomados 3 a 3, são ABC, ABD, ACD
e BCD.
É bom notar queABC e BAC,
bem como todas as permutações de
A, B e C, representam a mesma com -
binação. O mesmo acontece com
cada um dos agrupamentos ABC,
ACD e BCD.
O número de combinações sim -
ples de n elementos, tomados k a k,
ou classe k (n ≥ k), é dado por
2. ARRANJOS 
COM REPETIÇÃO
O número de arranjos com repe -
tição de n elementos k a k é dado por
3. COMBINAÇÕES 
COM REPETIÇÃO
O número de combinações com
repetição de n elementos k a k é dado
por
An,k n! n 
Cn,k = –––––– = –––––––––– =� �Pk k!(n – k)! k 
n!
Cn,k = ––––––––––k!(n – k)!
A*n, k = n
k
n + k – 1
C*n,k = Cn+k – 1,k = ( )k
2. PERMUTAÇÃO 
COM REPETIÇÃO
Sejam α elementos iguais a a, β
elementos iguais a b, γ elementos
iguais a c, …, λ elementos iguais a i,
num total de α + β + γ + … + λ = n
elementos.
O número de permutações dis tin -
tas que podemos obter com esses n
elementos é
3. PERMUTAÇÕES
CIRCULARES
O número de permutações cir cu -
lares de n elementos é dado por 
✍ Exercícios Resolvidos
1. De quantas maneiras quatro livros
diferentes de Matemática, seis de
Física e três de Química podem
ser dispostos em uma pra teleira,
de modo que os de uma mesma
matéria fiquem juntos?
Resolução
Só os de Matemática: P4
Só os de Física: P6
Só os de Química: P3
Como para cada uma dessas 
ma nei ras podemos permutar os
três grupos, obtém-se
(P4 . P6 . P3) . P3 =
= (24 . 720 . 6) . 6 = 622 080.
Resposta: 622080
2. Um carrinho de montanha-russa é
formado por três bancos de dois
lugares cada um. De quan tas ma -
neiras três casais podem se aco -
 mo dar nesse veículo, de mo do que
nenhum casal seja sepa ra do?
Resolução
Sejam (a1, a2) . (b1,b2) e (c1,c2) os
três casais dispostos nessa or -
dem, respectivamente, nos ban -
 cos 1, 2 e 3. Ocupando esses
lugares, eles podem se dispor de
2 . 2 . 2 = 23 = 8 maneiras
diferentes. Para cada uma des sas
possibilidades, os casais podem
ser colocados de P3 = 3! = 6
modos nos três bancos.
O número de maneiras de acomo -
dá-los, de acordo com o enun -
ciado, é, portanto, igual a 
23 . 3! = 8 . 6 = 48.
Resposta: 48
n!
Pn = An,n = ––––––––– = n!(n – n)!
Pn = n!
n!
Pn
(α, β, γ, ..., δ)
= ––––––––––––––––
α! . β! . γ! … λ!
P’n = (n – 1)!
MÓDULOS 50 e 51 Combinações Simples, Arranjos com Repetição
MÓDULO 52 Probabilidades, Definição e União de Eventos
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 95
de A, e n(S) é o número de elementos
de S.
Na prática, costuma-se dizer que
probabilidade é o quociente entre
o número de casos favoráveis,
que é n(A), e o número de casos
possíveis, que é n(S).
2. PROPRIEDADES
Sendo S ≠ Ø um espaço qual quer,
A, um evento de S e A
—
, o com -
plementar de A em S, valem as
seguintes propriedades:
• P(Ø) = 0
• P(S) = 1
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(A) + P(A
—
) = 1
3. UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Sejam A e B dois eventos de um
espaço amostral S ≠ Ø.
A probabilidade de ocorrer A ou
B é dada por
Observe que o número de ele -
mentos de A ∪ B, n(A ∪ B), é dado por
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) ⇔
⇔ = + – ⇔
⇔ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Se A ∩ B = Ø, A e B são chama -
dos eventos mutuamente exclusivos.
Neste caso,
Se A ∩ B = Ø e A ∪ B = S, A e B
são chamados eventos exaustivos.
Então,
Generalizando: sejam n eventos
A1, A2, A3, ..., An de um espaço
amostral S, tais que
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An = S.
Assim, 
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) =
= P(S) = 1
Além disso, se A1, A2, A3, ... , An
são, dois a dois, mutuamente exclu si -
vos, então eles são eventos exausti vos.
Assim sendo,
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) =
= P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1
✍ Exercício Resolvido
Numa urna, existem 10 bolas nu -
meradas de 1 a 10. Retirando-se,
ao acaso, uma bola dessa urna,
qual a probabilidade de se ter
a) um múltiplo de 2 ou um múlti -
plo de 3?
b) um número ímpar ou um múlti -
plo de 6?
Resolução
O espaço amostral é
S = {1; 2; 3; ... ; 10} e n(S) = 10.
a) 1) O evento “múltiplo de 2” é
A = {2; 4; 6; 8; 10} e n(A)= 5.
2) O evento “múltiplo de 3” é 
B = {3; 6; 9} e n(B) = 3.
3) A ∩ B = {6} e n(A ∩ B) = 1.
4) P(A) = = ,
P(B) = = e
P(A ∩ B) = = .
5) P(A∪B) =P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Logo,
P(A ∪ B) = 
= + – = = 70%
b) 1) O evento “número ímpar” é 
A = {1; 3; 5; 7; 9} e n(A) = 5.
2) O evento “múltiplo de 6” é
B = {6} e n(B) = 1.
3) A ∩ B = Ø e n(A ∩ B) = 0 
(A e B são mutuamente ex -
clusivos).
4) P(A) = = ,
P(B) = = e
P(A ∩ B) = 0.
5) P(A ∪ B) =
=P(A)+P(B)–P(A∩B)=P(A)+P(B)
Logo,
P(A∪B)= + = = 60%.
Respostas: a) 70% b) 60%
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
n(A ∪ B)
––––––
n(S)
n(A)
––––
n(S)
n(B)
––––
n(S)
n(A ∩ B)
––––––
n(S)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1
n(A)
––––
n(S)
5
––
10
n(B)
––––
n(S)
3
––
10
n(A ∩ B)
––––––––
n(S)
1
–––
10
5
––
10
3
––
10
1
––
10
7
––
10
n(A)
––––
n(S)
5
––
10
n(B)
––––
n(S)
1
––
10
5
––
10
1
––
10
6
––
10
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
96 –
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 96
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
– 97
MÓDULO 53
Probabilidade Condicional 
e Intersecção de Eventos
1. PROBABILIDADE
CONDICIONAL
Dados dois eventos A e B de um
espaço amostral S ≠ Ø, chama-se
proba bilidade de A condicionada a B
a probabilidade de ocorrer A, saben -
do-se que já ocorreu ou vai ocorrer o
evento B.Indica-se por P(A/B).
Observe que 
P(A/B) = ⇔
⇔ P(A/B) = ⇔
⇔ P(A/B) =
2. EVENTOS 
INDEPENDENTES
Os eventos A e B de um espaço
amos tral S são independentes se
.
3. INTERSECÇÃO 
DE DOIS EVENTOS
❑ Propriedade
Se A e B são independentes,
então P(B/A) = P(B) e
.
P(A ∩ B)
P(A/B) = –––––––––––
P(B)
n(A ∩ B)
–––––––––
n(B)
n(A ∩ B)
–––––––––
n(S)
––––––––––––
n(B)
––––
n(S)
P(A ∩ B)
––––––––
P(B)
P(A/B) = P(A) OU P(B/A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B)
A e B independentes ⇔
⇔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
A e B dependentes ⇔
⇔ P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B) 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
MÓDULO 54 Lei Binomial de Probabilidade
Considere uma experiência que é
realizada várias vezes, sempre nas
mes mas condições, de modo que o
resul tado de cada uma seja indepen -
dente das demais. Considere, ainda,
que cada vez que a experiência é rea -
li zada ocorre, obrigatoriamente, um
evento A cuja probabili da de é
p ou o complemento A
—
cuja
probabilidade é 1 – p.
1. PROBLEMA
Realizando-se a experiência des -
cri ta exatamente n vezes, qual é a
probabilidade de ocorrer o evento A
somente k vezes?
2. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
a) Se ocorre apenas k vezes o
evento A, num total de n experiên -
cias, então deverá ocorrer exata men -
te n – k vezes o evento A
—
.
b) Se a probabilidade de ocorrer
o evento A é p e do evento A
—
é 
1 – p, então a probabilidade de ocor -
rer k vezes o evento A e n – k
vezes o evento A
—
, numa certa
ordem, é
p . p . p . ... . p .
k fatores
. (1 – p) . (1 – p) . (1 – p) . ... . (1 – p) =
(n – k) fatores
= pk . (1 – p)n – k
c) As k vezes em que ocorre o
evento A são quaisquer entre as n
vezes possíveis. O número de manei -
ras de escolher k vezes o evento A é,
pois, Cn, k.
d) Existem, portanto, Cn,k even -
tos diferentes, todos com a mesma
probabilidade pk . (1 – p)n – k e,
assim sendo, a probabilidade procu -
ra da é
Observações
a) Fala-se em lei binomial de pro -
ba bilidade, porque a fórmula repre sen -
ta o termo Tk + 1 do de sen vol vi men to
de [p + (1 – p)]n.
b) O número Cn, k pode ser subs -
tituído por Cn, n – k ou Pn
k, n – k, já que
Cn, k = Cn,n – k = Pn
k, n – k = .
Cn,k . p
k . (1 – p)n – k
n!
–––––––––
k! (n – k)!
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 97
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
98 –
1. DEFINIÇÃO
Sendo M uma matriz de ordem n e In a matriz
unidade de ordem n, define-se:
M–1 é inversa de M ⇔ M . M–1 = In = M
–1 . M
2. EXISTÊNCIA DA INVERSA
det M ≠ 0 ⇔ M é invertível (não singular)
det M = 0 ⇔ M é não invertível (singular)
3. REGRA PRÁTICA
• Calcular det(M)
• Determinar a matriz dos cofa to res de M : M'
• Determinar a matriz adjunta de M: 
—
M = (M')t
• Aplicar a fórmula: M–1 = 
__
M
Observação
Para encontrar um elemento da inversa de M, aplicar
a fórmula:
bij de M
–1 = 
1
–––––––
det (M)
cofator do aji de M––––––––––––––––––
det M
FRENTE 2 Álgebra
MÓDULO 24 Definição e Cálculo da Matriz Inversa
1. DEFINIÇÃO
Sendo M uma matriz de ordem n e In a matriz
unidade de ordem n, define-se:
M–1 é inversa de M ⇔ M . M–1 = In = M
–1 . 
2. EXISTÊNCIA DA INVERSA
det M ≠ 0 ⇔ M é invertível (não singular)
det M = 0 ⇔ M é não invertível (singular)
3. REGRA PRÁTICA
• Calcular det(M)
• Determinar a matriz dos cofa to res de M : M'
• Determinar a matriz adjunta de M: 
—
M = (M')t
• Aplicar a fórmula: M–1 = 
__
M
Observação
Para encontrar um elemento da inversa de M, aplicar
a fórmula:
bij de M
–1 = 
4. PROPRIEDADES
• Se A é invertível, então A–1 é úni ca.
• Se A é invertível, então (A–1)–1 = A.
• Se A e B são invertíveis e de mesma ordem, então
(A . B)–1 = B–1 . A–1.
• Se A é invertível, então (At)–1 = (A–1)t.
• Se A é invertível, então
det (A–1) = .1
–––––––
det (M)
cofator do aji de M––––––––––––––––––
det M
1
–––––––
det (A)
MÓDULO 25
Propriedades da Matriz
Inversa e Equações Matriciais
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 98
1. SISTEMAS LINEARES
• Um sistema (S) de m equa ções lineares (m ∈ �*)
com n incógnitas (n ∈�*), x1, x2, x3, …, xn, é um conjunto
de equações da forma:
com m ≥ 2 e n ≥ 2
no qual os coeficientes aij são núme ros reais não todos
nulos simultanea mente e os termos bi são números reais
quaisquer.
• Se todos os mesmos bi forem nulos (i = 1, 2 …,
m), então (S) é um sistema linear homogêneo.
• Dizemos que a n-upla de nú me ros reais (α1, 
α2, …, αn) é uma SOLUÇÃO do sistema (S) se forem
verdadeiras todas as sentenças de (S) fazendo-se 
xi = αi.
• Um sistema (S) é COMPATÍ VEL (ou possível) se
existir pelo me nos uma solução; (S) é INCOM PATÍVEL (ou
impossível) se não admite so lução.
Se "V" é o conjunto-solução (ou conjunto verdade) do
sistema (S), en tão devemos ter uma das seguintes
situações:
– Compatível e determina do: quando V é um
conjunto unitário.
– Compatível e indetermi na do: quando V é
um conjunto infinito.
– Incompatível: quando V é o conjunto vazio.
❑ Matrizes de um sistema
Num sistema linear, definem-se as duas matrizes
seguintes:
que recebem o nome de:
MI = matriz incompleta.
MC = matriz completa (ou as socia da ao sistema).
Se a matriz M.I. for quadrada, o seu determinante é
dito determinante do sistema (D).
Exemplo
• O sistema
é possível e determinado, pois apre sen ta uma única solução
que é S = {(1, 2)}.
• O sistema 
é possível e indeterminado, pois apre senta infinitas
soluções da forma S = {(k, k – 2)}.
Observe, nesse exemplo, que a se gunda equação é a
primeira com am bos os membros multiplicados por 2.
• O sistema 
é impossível, pois não existe par or de nado (x, y) que torne
as duas sen tenças verdadeiras "simultanea men te".
• No sistema , de finem-se:
Ml = e MC = 
e o determinante do sistema D = det MI = 
2. SISTEMA NORMAL
• O sistema linear (S) com "m" equações e "n"
incógnitas será "NORMAL" quando:
e 
❑ Resolução de um sistema normal
• Teorema de Cramer
Qualquer sistema normal admite uma e uma só
solução dada por:
(s) �
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
……………………….....……………...
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
MI = �
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
…………………………
…………………………
am1 an2 … amn
�
MC = �
a11 a12 … a1n b1
a21 a22 … a2n b2
…………………….……
……………………….…
am1 an2 … amn bm
�
{x + 2y = 5x + y = 3
{x – y = 22x – 2y = 4
{x – y = 2x – y = 4
{x + 2y = 53x + 4y = 11
� 13
2
4 � �
1
3
2
4
5
11 �
1
3
2
4
m = n D ≠ 0
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
– 99
MÓDULO 26
Sistema Normal, 
Regra de Cramer e Escalonamento
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 99
x1 = ; x2 = 
x3 = ; …; xn = onde:
– D é o determinante do sistema.
– Di é o determinante que se ob tém de D, trocando
a iésima coluna da matriz M.I. por b1, b2, b3, …, bn.
Exemplo
• O sistema 
é normal, pois o número de equações é igual ao número
de incógnitas e o determinante do sistema:
D = = – 2 ≠ 0
O Teorema de Cramer nos garan te que a solução é
única e obtida por:
x = = = 1, pois Dx = = – 2 
y = = = 2, pois Dy = = – 4
5
11
2
4
– 2
–––
– 2
Dx–––
D
1
3
5
11
– 4
–––
– 2
Dy–––
D
1
3
2
4
{x + 2y = 53x + 4y = 11
Dn–––
D
D3–––
D
D2–––
D
D1–––
D
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
100 –
1. DEFINIÇÃO: SISTEMAS EQUIVALENTES
Dizemos que dois sistemas são equivalentes se e
somente se apresentarem o mesmo conjunto solução.
Para transformar um sistema num sistema equiva -
lente mais simples, pode-se
• permutar duas equações;
• multiplicar qualquer uma das equações por um
número real dife rente de zero;
• multiplicar uma equação por um número real e
adicioná-la à outra equação.
Exemplo
Vamos resolver o sistema:
x – y + z = –2 (a1)
(l) x – 2y – 2z = –1 (b1){
2x + y + 3z = 1 (c1)
transformando-o num sistema equi valente mais simples,
seguindo o se guin te roteiro:
• para obter (b2), multiplique (a1) por –1 e adicione o
resultado a (b1);
• para obter (c2), multiplique (a1) por –2 e adicione
o resultado a (c1).
x – y + z = –2 (a1)
(ll) – y – 3z = 1 (b2){
3y + z = 5 (c2)
• para obter (b3), multiplique (b2) por (–1); para obter
(c3), multiplique (b2) por 3 e adicione o resultado a (c2).
x – y + z = –2 (a1)
(lll) y + 3z =–1 (b3){
– 8z = 8 (c3)
Assim, como (l), (ll) e (lll) são equi valentes:
• de (c3), obtém-se z = –1;
• substituindo-se em (b3), obtém-se y = 2 e
substituindo-o em (a1), obtém-se x = 1.
Logo, V = {(1; 2; –1)}
2. DISCUSSÃO
Se for possível transformar um sistema (S) num
sistema equivalente mais simples do tipo
pode-se discuti-lo em função da variação de a e de b.
Assim, se
• a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.
• a = 0 e b = 0 ⇒ o sistema é possível e
indeterminado.
• a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível.
x – y + z = – 2
y + 3z = – 1
az = b�
MÓDULO 27 Escalonamento (Método de Gauss)
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 100
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
– 101
1. POSIÇÃO DOS PONTOS DE UM 
PLANO EM RELAÇÃO A UMA RETA
❑ Seja o plano cartesiano e r uma de suas retas.
• Em relação à reta r, os pontos do plano podem
assumir uma das seguintes posições relativas:
a) pertencem à reta r.
b) pertencem ao semiplano (1) (sem considerar os
pontos de r).
c) pertencem ao semiplano (2) (sem considerar os
pontos de r).
• Sendo P(x0; y0) um ponto gené rico do plano carte -
siano e r a reta de equação ax + by + c = 0, verifica-se
que:
a) ax0 + by0 + c para todos os pontos da reta r.
b) ax0 + by0 + c para todos os pontos de um
dos semiplanos (sem considerar os pontos da reta r). 
c) ax0 + by0 +c para todos os pontos do ou tro
semiplano (sem considerar os pontos da reta r). 
• Para sabermos qual dos semipla nos é positivo
ou negativo, procede-se da seguintemaneira:
a) Procura-se o valor numérico do trinômio ax + by + c
para o ponto O (0; 0) – (origem).
b) Se o resultado é positivo, o semiplano que con -
tém a origem é positivo e o outro, negativo. 
c) Se o resultado for negativo, o semi plano que
contém a origem é negativo e o outro, posi ti vo.
d) Se o resultado der “zero”, signi fica que a origem
per tence à reta e devemos, pois, tomar um outro ponto
(exem plo: (1; 0), (2; 0), (0; 1) etc.) externo à reta para,
então, recairmos no estudo anterior.
Exemplo
Representar graficamente o con jun to dos pontos do
plano (x; y), tais que 2x – 3y – 6 ≥ 0.
Resolução
O problema pede a representação gráfica dos pon -
tos da reta e do semiplano positivo.
A partir da representação gráfica da reta 2x – 3y – 6 = 0,
observamos que o semiplano que contém a origem é
negativo, pois 2 . 0 – 3 . 0 – 6 < 0.
A representação gráfica da ine qua ção 
2x – 3y – 6 ≥ 0 é:
= 0
> 0
< 0
FRENTE 3 Geometria Analítica
MÓDULO 24
Posição dos Pontos de um Plano em 
Relação a uma Reta e Distância de Ponto à Reta
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 101
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
102 –
2. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA
Seja a reta r, de equação ax + by + c = 0 e o ponto
P(x0; y0), não pertencente à reta. A distância do ponto P
à reta r será:
Exemplo
A distância do ponto P(5; 1) à reta de equação 
3x + 4y – 4 = 0 é:
� 3 . 5 + 4 . 1 – 4 �
d = ––––––––––––––––––– = = 3
�								32+42
3. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
Dadas duas retas r e s paralelas com equações:
r: ax + by + c = 0
s: ax + by + c’ = 0
conclui-se que a distância entre r e s é:
4. LUGARES GEOMÉTRICOS
❑ Definição
Lugar geométrico (L.G.) é um conjunto de pontos,
no qual todos os pontos e somente eles possuem uma
propriedade comum. Dessa maneira, uma curva é um
lugar geométrico quando todos os seus pontos e
unicamente eles admitem uma propriedade comum.
❑ Resolução de problemas
Resolver um problema de lugar geométrico significa
determinar a equação de uma curva e interpretar
essa equação no plano cartesiano, isto é, dizer que tipo
de curva representa a equação obtida.
Para resolver um problema de L.G., devemos se guir
os seguintes passos:
1o.) Tomar um ponto genérico P(x; y) do plano.
2o.) Impor, analiticamente, (geral mente, por meio das
fórmulas de dis tân cias), condições para que o pon to
pertença ao lugar geométrico.
3o.) Obter a equação do lugar geométrico.
4o.) Interpretar essa equação no plano cartesiano.
Exemplo
Dadas as retas (r) 3x – 6y – 1 = 0 e (s) 2x + y + 1 = 0,
de terminar as equações das retas bissetrizes de r e s.
Obs.: As bissetrizes constituem o L.G. dos pontos
do plano equidistantes de r e s.
Resolução
Seja P(x; y) um ponto genérico do plano, então:
dP,r = dP,s
� 3x – 6y – 1 � � 2x + y + 1 �
Portanto: –––––––––––––– = –––––––––––––– ⇔
�									 9 + 36 �								 4 + 1 
⇔ � 3x – 6y – 1 � = 3 . � 2x + y + 1 � ⇔
3x – 6y – 1 = 6x + 3y + 3 ⇔ 3x + 9y + 4 = 0
⇔{ou3x – 6y – 1 = – 6x – 3y – 3 ⇔ 9x – 3y + 2 = 0
As bissetrizes de r e s constituem um par de retas
perpendiculares entre si.
� ax0 + by0 + c �
dP,r = ––––––––––––––––––
�											 a2 + b2
| c’ – c |
dr,s = ––––––––––
�										 a2 + b2
15
–––
5
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 102
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
– 103
MÓDULO 25 Circunferência: Equações Reduzida e Geral
A circunferência é um dos mais importantes lugares
geométricos (L.G.), merecendo, pois, um estudo
detalhado.
1. DEFINIÇÃO
Dado um ponto C de um plano (chamado centro) e
uma medida r não nula (chamada raio), denomina-se
circunferência ao lugar geo métrico (L.G.) dos pontos do
plano que distam r do ponto C.
2. EQUAÇÃO REDUZIDA 
(OU CARTESIANA) DA CIRCUNFERÊNCIA
Seja a circunferência de centro C(a; b) e raio r.
Considerando um ponto genérico P(x; y) pertencente à
circunferência, teremos:
P ∈ circunferência ⇔ dPC = r ⇔
⇔ �																						(x – a)2 + (y – b)2 = r ⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 
A equação 
é denominada equação reduzida da circunferência.
• Caso particular: Se o centro da circunferência é a
origem, C(0; 0), então a equação reduzida resulta 
Exemplos
1) Obter a equação reduzida da circunferência de
centro C(– 2; 3) e raio 5.
Resolução
A partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, resulta:
(x – (–2))2+ (y –3)2 = 52 ⇔ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25,
denominada equação reduzida.
2) Obter a equação reduzida da cir cunferência de
centro na origem e raio 5.
Resolução
A partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos: 
(x – 0)2 + (y – 0)2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25
3. EQUAÇÃO GERAL 
(OU NORMAL) DA CIRCUNFERÊNCIA
Desenvolvendo a equação reduzida da circunfe rên -
cia: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos:
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 ⇔
⇔ x2 + y2 –2ax– 2by+a2+b2 – r2 = 0
Fazendo-se – 2a = m; – 2b = n e a2 + b2 – r2 = p,
resulta:
que é denominada equação geral da circunferência.
Exemplo
Determine a equação geral da cir cun ferência de
centro C(–1; 3) e raio 5.
Resolução
A partir da equação 
(x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos a equa ção reduzida: 
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25, que, desen volvida, resulta:
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 25 ⇔
⇔ x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0,
denominada equação geral da circunferência.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 + y2 = r2
x2 + y2 + m . x + n . y + p = 0
MÓDULO 26 Determinação do Centro e do Raio
1. DETERMINAÇÃO DO CENTRO 
E DO RAIO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
❑ Equação reduzida
Dada a equação reduzida de uma circunferência:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 , de imediato conclui-se que
o centro é C(a ; b) e o raio é r.
Exemplo
A circunferência de equação (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9
tem centro C (2; – 5) e raio r = 3.
❑ Equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência,
x2 + y2 + m . x + n . y + p = 0, o centro e o raio são
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 103
obtidos comparando-se essa equação com a equa ção
x2 + y2 – 2a . x – 2b . y + a2 + b2 – r2 = 0.
Notando-se que os coeficientes de x2 e y2 são
iguais a 1, a obtenção do centro e do raio é feita da
seguinte forma:
• Na determinação das coordenadas do centro, os
coeficientes de x e y (m e n) devem ser divididos por 
(–2), pois a partir das equações, conclui-se que:
Assim, as coordenadas do centro são:
• Obtido o centro C(a; b), o raio é determinado a par tir
da fórmula: , (com a2 + b2 – p > 0),
visto que das equações, temos: 
p = a2 + b2 – r2 ⇔ r2 = a2 + b2 – p
Observações
• Quando a2 + b2 – p = 0, a equação representa
apenas o ponto C(a; b).
• Quando a2 + b2 – p < 0, a equação nada repre -
sen ta.
�
m
– 2a = m ⇔ a = ––––
– 2
n
– 2b = n ⇔ b = ––––
– 2
r = �													a 2 + b2 – p
m n 
C�––––; ––––�– 2 – 2
a b
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
104 –
Seja a circunferência de centro C(a; b) e raio r, com
equa ção (x – a)2 + (y – b)2 = r2 e um ponto P(x0; y0) do
plano cartesiano.
A posição do ponto P em relação à circunferência é
obtida pelo cálculo da distância do ponto P ao centro C
da circunferência e comparada com a medida do raio r.
Dessa forma, temos:
• P(x0; y0) pertence à circun fe rên cia ⇔
⇔ (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 = r2
• P(x0; y0) é interno à circun fe rência ⇔
⇔ (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 < r2
• P(x0; y0) é externo à circun fe rência ⇔
⇔ (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 > r2.
Exemplo 1
Representar gra ficamente os pon tos que satisfa -
zem à inequação x2 + y2 ≤ 9.
Resolução
A equação x2 + y2 = 9 repre senta uma circunferên cia
de centro C(0; 0) e raio r = 3. Des sa forma, a inequa ção
x2 + y2 ≤ 9 representa os pon tos da circunferência e os
pon tos internos a esta, e sua representação gráfica é:
Exemplo2
Representar gra ficamente os pon tos que satisfa -
zem à inequação (x – 3)2 + y2 > 4.
Resolução
A equação (x – 3)2 + y2 = 4 repre senta uma circun fe -
rên cia de centro C(3; 0) e raio r = 2. Dessa forma, a ine -
quação (x – 3)2 + y2 > 4 representa os pontos ex ternos a
essa cir cun fe rên cia, e sua repre sen ta ção grá fica é:
MÓDULO 27
Posição dos Pontos do Plano 
em Relação a uma Circunferência
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 104
1. DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
Seja um plano α, um ponto V ∉ α e
um círculo γ contido em α. Chama-se
cone circular a reunião de todos os
segmentos de reta com uma extre -
midade em V e a outra nos pon tos do
círculo γ considerado.
No cone circular da figura, têm-se
os seguintes elementos:
VÉRTICE: é o ponto V citado na
definição.
BASE: é o círculo γ citado na de -
fi nição.
ALTURA: é a distância (h) do
vértice ao plano da base.
GERATRIZES: são os segmen -
tos com uma extremidade em V e a
outra nos pontos da circunferência da
base.
RAIO DA BASE: é o raio do cír -
culo γ citado na definição.
2. CONE RETO
❑ Definição e elementos
Um cone circular é dito reto
quando a projeção ortogonal do vér -
tice sobre o plano da base é o centro
da base.
O cone circular reto é também
chamado cone de revolução, pois
pode ser gerado pela rotação de um
triângulo retângulo em torno de um de
seus catetos.
Na figura, temos:
VO = h é a altura do cone
OB = R é o raio da base
VB = g é a geratriz
g2 = h2 + R2
• Secção meridiana
É a intersecção do cone reto com
um plano que contém a reta VO
↔
(eixo
de rotação).
A secção meridiana de um cone
circular reto é um triângulo isósceles,
cuja área é dada por:
O triângulo isósceles VAB é uma
secção meridiana do cone circular
reto da figura.
• Desenvolvimento das
superfícies lateral e
total de um cone reto
A superfície lateral de um cone
circular reto de raio da base R e
geratriz g é equivalente a um setor
circular de raio g, cujo arco tem
comprimento 2 π R.
Assim, sendo Ab a área da base,
Al a área lateral e At a área total desse
cone circular reto, temos:
A� = ⇔
At = A� + Ab ⇔
• Volume do cone
Todo cone é equivalente a uma
pirâmide de base equivalente e de
mesma altura. Assim,
ou
3. CONE EQUILÁTERO
Um cone circular reto é dito equi -
látero quando a sua secção meri diana
é um triângulo equilátero.
No cone equilátero da figura, 
tem-se AB = AV = BV. 
Assim, 
e
ASM = R . h
Ab = π R
2
A� = π R g
g . 2π R
–––––––––
2
At = π R (g+R)
Ab . h
V = –––––––
3
π R2 h
V = ––––––––
3
g = 2 R h = R�		3
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
– 105
FRENTE 4 Geometria Métrica
MÓDULO 24 Cone Circular
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 105
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
106 –
1. SECÇÃO PARALELA 
À BASE DE UMA PIRÂMIDE
Quando interceptamos todas as
arestas laterais da pirâmide por um
plano paralelo à base, que não con -
tém esta, nem o vértice, obte mos uma
secção poligonal, tal que:
• As arestas laterais e a altura
ficam divididas na mesma razão. 
• A secção obtida e a base são
polígonos seme lhantes.
• A razão entre as áreas da sec -
ção (As) e da base (Ab) é igual ao
quadrado da razão entre suas distân -
cias ao vér tice.
• A razão entre os volumes das
pirâmides semelhantes VA’B’C’... e
VABC ... é igual ao cubo da razão
entre suas alturas.
• A “parte” (região) da pirâmide
compreendida entre a base e a cita da
secção é denominada TRON CO DE
PIRÂ MI DE DE BASES PARA LE -
LAS.
2. CÁLCULO DO VOLUME DE
UM TRONCO DE PIRÂMIDE
DE BASES PARALELAS
Sendo AB e Ab as áreas das ba -
ses, H, a altura (distância entre os
planos das bases) e V, o volume de
um tronco de pirâmide de bases pa -
ra lelas, tem-se:
3. TRONCO DE CONE DE
BASES PARALELAS
Seccionando-se um cone por um
plano paralelo à base dele, obtêm-se
dois sólidos: um novo cone e um tron -
co de cone de bases para lelas.
Sendo R e r os raios das bases e
h a altura do tronco de cone de ba ses
paralelas, tem-se que o seu volu me é
dado por:
e sua área lateral é dada por:
4. SÓLIDOS SEMELHANTES
Em sólidos semelhantes, a razão
entre as áreas é igual ao quadrado da
razão de semelhança, e a razão entre
os volumes é igual ao cubo da razão
de se melhança.
Assim, se dois sólidos de áreas,
respectivamente, iguais a A1 e A2, e
volumes, respectivamente, iguais a V1
e V2 são semelhantes numa razão K,
então:
e 
VA’ VB’ VC’ h
–––– = –––– = –––– = … = –––
VA VB VC H
As h2–––– = ––––
Ab H2
VVAB'C'... h3
––––––––– = ––––
VVABC... H3
H
V = ––– (AB + Ab + �										AB . Ab )3
π hVt = ––––– (R
2 + r2 + R r)
3
A� = π (R + r) g
V1–––– = K3
V2
A1–––– = K2
A2
MÓDULO 25 Troncos
MÓDULO 26 A Esfera e suas Partes
1. SUPERFÍCIE ESFÉRICA
É a superfície gerada pela revo lução completa de
uma semicircun ferência (ABA’) em torno de seu diâ metro
(AA’), como mostra a figura.
A área de uma superfície esfé rica de raio R é dada
por:
2. ESFERA
É o sólido limitado por uma su per fície esférica.
ASE = 4 π R
2
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 106
O volume de uma esfera de raio
R é dado por:
3. PARTES DA 
SUPERFÍCIE ESFÉRICA
• Fuso esférico
• Zona esférica
• Calota esférica
4. PARTES DA ESFERA
• Cunha esférica
• Setor esférico
• Segmento 
esférico de uma base
• Segmento 
esférico de duas bases
 π R
2 α°
Af = ––––––––90°
Azona = 2π R h
Acal = 2π R h
π R3 α° 
Vc = ––––––––
270° 
4
Vesf = ––– π R
3
3
2
V = –– π R2 h
3
π h
V = ––––– (3r2 + h2)
6
π h
V = –––– [3 (r1
2 + r2
2 ) + h2]
6
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
– 107
MÓDULO 27 Inscrição e Circunscrição de Sólidos
1. ESFERA 
INSCRITA NO CUBO
r + r = a ⇔
2. CUBO 
INSCRITO NA ESFERA
ar = ––– 
2
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 107
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
108 –
(2R)2 = (a�		2)
2
+ a2 ⇔
3. ESFERA 
INSCRITA NO CILINDRO
e
4. CILINDRO 
INSCRITO NA ESFERA
5. CILINDRO 
INSCRITO NO CUBO
e 
6. CUBO 
INSCRITO NO CILINDRO
e
7. ESFERA 
INSCRITA NO CONE
No triângulo retângulo BCA, de
acordo com o Teorema de Pitágoras,
tem-se:
Da semelhança dos triângulos
retân gulos DOA e BCA, resulta:
8. CONE 
INSCRITO NA ESFERA
No triângulo retângulo MAO, de
acordo com o Teorema de Pitágoras,
tem-se:
9. ESFERA INSCRITA NUMA
PIRÂMIDE REGULAR 
DE BASE QUADRADA
No triângulo retângulo AMV, de
acordo com o Teo rema de Pitágoras,
tem-se:
Da semelhança dos triângulos
retân gulos POV e AMV, resulta:
⇔
a�		3
R = ––––––
2 
h = 2 . Rr = R
(2R)2 = (2r)2 + h2
h = a 
aR = –––
2
h = a a�		2R = ––––––
2
g2 = h2 + R2
r h – r
––– = ––––––
R g
R2 = r2 + (h – R)2
� 2g2 = h2 + (––)2
2r h – r
––– = ––––––
� g
r h – r
–––– = ––––––
�/2 g
C6_AB_MAT_TEO_2012_Rose 18/04/12 08:24 Página 108