Concreto1 5

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Concreto Armado
Solicitações Normais
Introdução
Prof. M.Sc. Antonio de Faria
Fevereiro/2017
8.2.10.1 - Diagrama tensão deformação do concreto
 3,5% ε
2,0% ε
:C50 até classes de concreto para
0cu
0c2
=
= ( )
( )[ ] 100/f9035% 2,6% ε
 50-f0,085% 2,0% ε
:C90 até C55 de classes de concreto para
4
ck0 0cu
0,53
ck00c2
−⋅+=
⋅+=
( )[ ]4ck
ck
ck
n
c2
c
cdc
/100f-9023,4 1,4 n 
:50MPa f para
2 n :50MPa f para
ε
ε
-1-1f0,85 σ
⋅+=
>
=≤














⋅⋅=
Diagrama Tensão x Deformação 
Aço tipo A
σσσσs
fyd
A B
εεεεyd εεεε10%o
Região A σσσσs = Es . εεεεs Região B σσσσs = fyd
Diagrama Tensão x Deformação 
Aço tipo B
σσσσs
fyd
0,7.fyd
εεεεydεεεεypd 10%o εεεε
A
B C
Região A σσσσs = Es . εεεεs
Região C σσσσs = fyd
Região B
2
s 0,7
f
σ
.
45
1
E
σ
ε
yd
s
s
s






−+=








−+





−+−= 0,49ε45.0,7
E
22,5.f
E
22,5.f0,7..f
ε
ε
σ s
s
yd
s
yd
yd
s
s
s
2
Região B
Flexão Simples
Caracterização da Seção
As’
As
bw
d h
d’
d’’ εεεεc
εεεεs
x
Md
Linha
Neutra
Grandezas Fundamentais
Seção Transversal
� bw - Largura da seção transversal;
� h - Altura da seção transversal;
� d’ - Distância do C.G. da armadura tracionada 
ao bordo mais próximo deste;
� d’’ - Distância do C.G. da armadura comprimida 
ao bordo mais próximo deste;
� x- Distância do bordo comprimido à linha neutra da 
seção transversal;
Grandezas Fundamentais
Concreto:
� fck - Tensão de compressão no concreto;
� fcd - Tensão de compressão no concreto de 
cálculo - (fcd = fck/γc);
� εc - Deformação no concreto;
Aço:-
� fyk - Tensão Característica no Aço (tração ou 
compressão);
� fyd - Tensão de cálculo no aço - (fyd = fyk/γs);
� As - Área de aço tracionada;
� As’ - Área de aço comprimida;
� εs - Deformação no aço;
Cálculo no Estado Limite Último 
Solicitações Normais
A NBR 6118:2014 
estabelece que as 
seções de peças de 
Concreto Armado, 
submetidas à 
Solicitações Normais 
podem alcançar o 
Estado Limite Último 
por ruptura da 
Zona Comprimida do 
CONCRETO ou por 
Deformação Plástica 
da ARMADURA 
tracionada;
Hipóteses de Cálculo - Solicitações Normais
Despreza-se 
qualquer 
contribuição do 
Concreto 
Tracionado;
Até a ruptura, as 
seções Planas 
permanecem Planas;
Hipóteses de Cálculo - Solicitações Normais
• A distribuição das tensões no concreto se faz de acordo com
o diagrama parábola-retângulo, definido em 8.2.10.1, com
tensão de pico igual a αc.fcd, com fcd definido em 12.3.3. Esse
diagrama pode ser substituído pelo retângulo de
profundidade y = λ.x, onde o valor do parâmetro λ pode ser
tomado igual a:
( ) MPa; 50,0 f para 
400
50 - f
-0,8λ
ou MPa; 50,0 f para 0,8λ
ck
ck
ck
>=
≤=
( )




⋅=
=
200
50-f
-1,00,85 α
:C90 até C50 de acima classes de concretos Para
0,85 α
:C50 até classes de concretos Para
ck
c
c
Diagramas de Deformação e Tensão no Concreto
h
εεεεcu
x
ααααc.fcd
y
 
=
 
λ
λ λ
λ
.
x
ααααc.fcd
εεεεc2
( ) MPa; 50,0 f para 
400
50 - f
-0,8λ
ou MPa; 50,0 f para 0,8λ
ck
ck
ck
>=
≤=
( )




⋅=
=
200
50-f
-1,00,85 α
:C90 até C50 de acima classes de concretos Para
0,85 α
:C50 até classes de concretos Para
ck
c
c
Concreto Armado
Estado Limite Último (de ruína)
d
10%o
h
As’
As
d’’
Alongamento Encurtamento
d’
εεεεc
Deformação Plástica 
Excessiva
Aço
0 <= εεεεs <= 10%o
Reta a:- Tração Uniforme
d
10%o
h
As’
As
d’’
Alongamento Encurtamento
d’
a
εεεεc
Domínio 1:- Tração não uniforme, sem 
Compressão
d
10%o
h
a
1
As’
As
d’’
Alongamento Encurtamento
d’
εεεεc
Domínio 2:- Flexão Simples ou Composta, sem ruptura 
à Compressão (εc < 3,5%ο), e com o máximo de 
Alongamento permitido para a Armadura de Tração.
d
10%o
h
a
1
As’
As
d’’
2
Alongamento Encurtamento
d’
εεεεc
Ruptura
Concreto
0 <= εεεε <= εεεεc 
Domínio 3:- Flexão Simples (Seção 
Subarmada), com Ruptura à Compressão do 
Concreto e com Escoamento do Aço. (εs >= εyd)
d
10%o
h
a
1
As’
As
d’’
2
3
Alongamento Encurtamento
d’
εεεεyd
εεεεc
Domínio 4:- Flexão Simples (Seção Superarmada), com 
ruptura à Compressão do Concreto e Aço Tracionado 
sem Escoamento (εs < εyd)
d
10%o
h
a
1
As’
As
d’’
2
3
4
Alongamento Encurtamento
d’
εεεεyd
εεεεc
Domínio 4A:- Flexão Composta, 
com armaduras comprimidas
d
10%o
h
a
1
As’
As
d’’
2
3
4
4a
Alongamento Encurtamento
d’
εεεεyd
εεεεc
Domínio 5:- Compressão não 
uniforme, sem tração
d
10%o
h
a
1
As’
As
d’’
2
3
4
4a
5
3/7h
A
Alongamento Encurtamento
d’
εεεεyd
εεεεc2 εεεεc
Reta b:- Compressão Uniforme
d
10%o
h
a
1
As’
As
d’’
2
3
4
4a
5
3/7h
b
A
εεεεyd
εεεεc2
Alongamento Encurtamento
d’
εεεεc
Considerações:
1 - O Encurtamento de Ruptura do Concreto
nas seções não inteiramente comprimidas é de
εc (domínios 3, 4 e 4A). Nas seções
inteiramente comprimidas (domínio 5), o
encurtamento da borda mais comprimida, na
ocasião da ruptura, será menor que εc ,
mantendo-se inalterada e igual a εc 2 a
deformação a 3/7 da altura total da seção, a
partir da borda mais comprimida;
Considerações:
2 - O alongamento máximo permitido ao longo
da armadura de tração é de 10%o (domínios 1
e 2), a fim de previnir deformação plástica
excessiva;
Considerações:
3 - A distribuição das tensões do concreto na
seção se faz de acordo com o diagrama
parábola-retângulo, baseado na hipótese do
item 8.2.4 da NBR 6118:2014. Permite-se a
substituição desse diagrama pelo retângulo de
altura λ.x, com a seguinte tensão:
� αc.fcd = αc.fck/γc - no caso da largura da seção
medida paralelamente à linha neutra não diminuir a
partir desta para a borda mais comprimida;
� 0,9.αc.fcd = 0,9.αc.fck/ γc - no caso contrário
Considerações Finais:
O coeficiente αc que aparece minorando a
tensão fcd, tem como causa:
� a) Levar em conta o efeito da diminuição da
resistência do Concreto quando solicitado por cargas
de longa duração (Efeito RUSCH);
� Levar em conta a diminuição da resistência do
Concreto em consequência da evaporação mais
rápida da água que aflora na parte superior do
elemento estrutural quando do processo de
hidratação do cimento.
Propriedades Mecânicas dos Aços
Aço fyk(MPa) fyd(MPa) εεεεyd (%) Kx3-4=x/d
CA-25 250 217 0,104 0,7709
CA-32 320 278 0,132 0,7254
CA-40 400 348 0,166 0,6788
CA-40-B 400 348 0,366 0,4891
CA-50 500 435 0,207 0,6283
CA-50-B 500 435 0,407 0,4623
CA-60 600 552 0,248 0,5900
CA-60-B 600 552 0,448 0,4384
Dimensionamento da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal:
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
∑ =→=→= cctscctsh F F 0 F - F 0 F ∑ ⋅=→= zF M M M ccdd
z F M tsd ⋅= ( ) xbf F wcdccc ⋅⋅⋅⋅= λα
2
x
 - d z ⋅= λ
( )
 
2
x
-dxbf zF M wcdcccd 




 ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=
λλα
Resolvendo a equação obtém-se x, o qual define a posição da linha neutra e o valor de z 
Conhecida a tensão no aço fyd, obtêm-se: ydz
d
s
fdk
M
 A
⋅⋅
=
( )
 
2
x
-dxbf zF M wcdcccd 




 ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=
λλα
2
x
 - d z ⋅= λ
Dimensionamento da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal:
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADOVISTA
LATERAL FRONTAL
VISTA
M
A
d
s
s
-3,5%00
c
0,85fc cd
DEFORMAÇÕES
POSSÍVEIS
F
F
s
c
z
y=0,8x x
y=0,8xAs
 2
3
00
 10%
c
s
bw
dh
yd
 
 
zF M ccd ⋅=
yd
d
s
fz
M
 A
⋅
= ( ) x0,8bf85,0F wcdcc ⋅⋅⋅⋅= x0,4 - d z ⋅=
( ) ( ) ( )x0,4-dx0,68fb x0,4-dx0,8bf0,85 zf M cdwwcdccd ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=
( ) cdw2d fbx0,272-dx0,68 M ⋅⋅⋅⋅⋅=
Dimens. da armad. Long. em vigas sob flexão normal – Concreto ≤≤≤≤ C50:
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
Dividindo ambos os membros da equação anterior por: bw.d2.fcd , tem-se:
( )






⋅−⋅=
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅
2
2
cd
2
w
cdw
2
cd
2
w
d
d
x272,0
d
x0,68 
fdb
fbx0,272-dx0,68
 
fdb
M
2
xxMd k272,0k0,68 k ⋅−⋅=
d
x0,4-1 
d
x0,4-d
 
d
z
⋅=
⋅
=
:em resulta d,k z como e, 
fz
M
 A z
yd
d
s ⋅=
⋅
=
ydz
d
s
fdk
M
 A
⋅⋅
=
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
Tabela 3.1 Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares. 
 
KMD KX KZ εεεεc εεεεs KMD KX KZ εεεεc εεεεs 
0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,000 0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814 
0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,000 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971 
0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255 
0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,000 0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658 
0,0500 0,0758 0,9697 0,8205 10,000 0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170 
0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,000 0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785 
0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,000 0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496 
0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,000 0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297 
0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181 
0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,000 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144 
0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,000 0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181 
0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,000 0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287 
0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,000 0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459 
0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691 
0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981 
0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,000 0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324 
0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,000 0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719 
0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,000 0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162 
0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,000 0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649 
0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,000 0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179 
0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,000 0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748 
0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,000 0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355 
0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,000 0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997 
0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,000 0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672 
0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,000 0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100 
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,000 0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652 
0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283 
0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983 
0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732 
0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506 
0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106 
0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662 
0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204 
0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919 
0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
sc
c
scc εε
ε
 
d
x
 
εε
d
 
ε
x
+
=→
+
=
( )2xxcdw
d
cdwMd
d
k0,272-0,68.kfb
M
 d
 
.f.bk
M
 d
⋅⋅⋅
=
=
 
.f.bk
M
 d
cdwMd
d
mín
máx
=
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
 As = ( )[ ] +⋅⋅⋅ fdk0,4-1
M
ydlimx
lim
[ ] fd'-d
M-M
yd
limd
⋅
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
Variáveis adimensionais:
d
x
 k 
ε ε
ε
 k x
sc
c
x =
+
=
d
z
 k k
2
λ
 - 1 k zxz =





⋅=
2
x
2
cxc Md k
2
 - k k ⋅⋅⋅⋅= λαλα
Caso de armadura simples – (As’ = 0; As = As 1)
z Z M
fA D Z
xλbfα D
d1Rd1
ydsd1d1
wcdcd1
⋅=
⋅==
⋅⋅⋅⋅=
Dimen. da armad. Long. em vigas - flexão normal–Concreto > C50:
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
Dimensionamento com o fator kMd
zxcMd
cd
2
w
d
Md
zxwcdcRd1
wcdcRd1
kkλα k :então , 
fdb
M
 k
dk.dkλbfα M
zxλbfα M
⋅⋅⋅=
⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅=
Determinação da armadura:
ydz
d
s
fdk
M
 A
⋅⋅
=
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
Dimen. da armad. Long. em vigas - flexão normal–Concreto > C50:
Os valores de kMd relacionados a kx e kz são dados na tabela a seguir:
Avaliação dos parâmetros kx e kz analiticamente:
xlim
c
Md
x k 
k2
-1-1
 k ≤
⋅
= λ
α
d
z
 k k
2
λ
 - 1 k zxz =





⋅=
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
Dimen. da armad. Long. em vigas - flexão normal–Concreto > C50:
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
Dimen. da armad. Long. em vigas - flexão normal–Concreto > C50:
Caso de armadura dupla – (As’ > 0; As = As 1+ As 2)
yds2d2d2
yd's'd2
Rd2Rd1Sd
fA D Z
.fA D
M M M
⋅==
=
+=
Determinam-se As’ e As 2, a partir de MRd2; 
yd
Rd2
s2
f)'d'-(d
M
 A
⋅
=
Acréscimo na armadura inferior: 
yd'
Rd2
s'
f)'d'-(d
M
 A
⋅
=
Armadura superior: 
fyd’ � tensão no aço correspondente ao nível de deformação específica εs’ usualmente, fyd’ = fyd;
Dimens. da armad. Long. em vigas sob flexão normal
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
NBR 6118:2014
17.3.5.2 Valores-limites para armaduras longit. de vigas
17.3.5.2.1 Armadura de tração
Tabela 17.3 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO