Material_GA_Matrizes

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1 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
FACULDADE PITÁGORAS LONDRINA 
 
NOTAS DE AULA - CONTEÚDO: MATRIZES 
 
 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA VETORIAL. 
 
 
MATRIZES 
 
Objetivo: Definir as matrizes e operações envolvendo essas aplicações, tipos particulares de 
matrizes, matriz transposta e matriz inversa. 
 
 
DEFINIÇÕES INICIAIS 
 
As matrizes constituem um importante instrumento de cálculo, utilizada na Estatística, 
Economia, Física atômica, Engenharia e Informática. 
Matriz é um agrupamento retangular de elementos, dispostos em m linhas e n colunas, onde m 
e n são números inteiros maiores ou iguais a 1. 
Dada a matriz A do tipo mxn, denomina-se o elemento 
ija
ao componente da matriz que 
ocupar a linha i e a coluna j, onde 
mi 1
e 
nj 1
. 
 
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ 
 
 
 
 
ou 
mxnijmxn aA ][
 ou 
mxnijmxn aA )(
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, temos que: 
 
 
2 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
11a
é o elemento localizado na 1ª linha e 1ª coluna. 
12a
é o elemento localizado na 1ª linha e 2ª coluna. 
32a
 é o elemento localizado na 3ª linha e 2ª coluna. 
 
Exemplos: 
 









123
580
A
 matriz de ordem 2 x 3. 
 
 1053B
 matriz de ordem 1 x 4. 
 













712
045
301
C
 matriz de ordem 3 x 3. 
 


















3
1
2
5
0
D
 matriz de ordem 5 x 1.2 
 
Mais alguns exemplos (construção de uma matriz): 
 
1) Determine a matriz 
32][ xijaA 
, tal que 
jiaij  2
. 
Resolução: 
A ordem da matriz deve ser 2x3 (2 linhas e 3 colunas). A lei de formação da matriz A é dada 
por 
jiaij  2
. Para determinarmos cada elemento dessa matriz, atribuímos à lei de formação 
os valores de i e j correspondentes ao elemento. 
Logo, 













765
543
232221
131211
aaa
aaa
A
 . 
 
 
2) Construa a matriz 
23][ xijbB 
, tal que 
 
 
Resolução: 
 
 
3 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
MATRIZES ESPECIAIS 
 
Matriz linha: é toda matriz que possui uma única linha, de forma genérica é uma matriz de 
ordem 1 x n, m = 1 e n > 1. 
 
xnnxn
aaaA
1112111

 Exemplo: 
 
5151
30521
xx
A 
 
 
Matriz coluna: é toda matriz que possui uma única coluna, de forma genérica é uma matriz 
de ordem m x 1, m > 1 e n = 1. 















1
21
11
1
m
mx
a
a
a
A  Exemplo: 
13
13
2
5
0
x
xA











 
 
Matriz nula: é a matriz em que todos os seus elementos são nulos. 
Exemplo: 
32
32
000
000
x
xA 






 
 
Matriz quadrada: é toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas, ou 
seja, se m = n , a matriz m x m é dita quadrada. 
mxmmmmm
m
m
mxm
aaa
aaa
aaa
A

















21
22221
11211
 Exemplo: 
44
44
0345
2102
7430
11251
x
xA















 
 
Em toda matriz quadrada é possível determinar a diagonal principal e diagonal secundária. 
 
 
 
 
4 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada, onde 
0ija
 para 
ji 
, isto é, todos os elementos 
que não pertencem à diagonal principal são nulos. 
Exemplo: 
33
33
300
010
008
x
xA












 matriz diagonal de ordem 3. 
 
Matriz identidade: é uma matriz quadrada, cujos elementos da diagonal principal são todos 
iguais a 1 e os demais são todos nulos. 
 
Exemplo: 











100
010
001
3I
 
 
Matriz oposta: a matriz oposta da matriz A é aquela que possui elementos opostos 
correspondentes ao da matriz A. 
A matriz oposta de 
mxnijmxn aA ][
 é a matriz 
mxnijmxn aA ][
. 
Exemplo: 
mxn
mxnA 







13
50
 
mxn
mxnA 








13
50
 
 
Matriz transposta 
 
Dada a matriz 
mxnijmxn aA ][
, denomina-se transposta de A, a matriz 
nxmjinxm bB ][
, tal que 
ijji ab 
, ou seja, para determinar a matriz transposta da matriz A, basta trocar suas linhas por 
colunas ou suas colunas por linhas. Representamos a matriz transposta por tA . 
 
Exemplo: 
 
Seja 
23
23
52
64
01
x
xA













, temos que a transposta de A, 
32
32
560
241
x
x
tA 








. 
 
Matriz triangular 
Matriz triangular é a matriz de ordem quadrada de ordem n cujos elementos, acima ou abaixo 
da diagonal principal, são todos nulos. Nesse tipo de matriz, 
0ija
para i<j ou 
0ija
 para i>j. 
Exemplo: 
 
 
5 
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






10
162
A
 









 

600
500
135
B
 
 
IGUALDADE DE MATRIZES 
Duas matrizes 
mxnijmxn aA ][
 e 
mxnijmxn bB ][
 são iguais quando 
ijij ba 
 para todo i = 1,...,m e 
todo j = 1,...,n. 
Exemplos: 
Determine os valores de x e y, para que as matrizes A e B sejam iguais. 
 
1) 







3
52
x
A
 e 







31
2 y
B
 












1
5
1
5
x
y
x
y 
 
2) 









133
32
y
x
A
 e 








343
37
y
B
 












4
5
3413
72
y
x
yy
x 
 
3) 









32
547 yx
A
 e 








342
87
yx
B
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES 
 
ADIÇÃO DE MATRIZES 
 
Dadas duas matrizes 
mxnijmxn aA ][
 e 
mxnijmxn bB ][
, denomina-se soma ou adição da matriz A 
com a matriz B, e indicada por A + B, a matriz 
mxnijmxn cC ][
 tal que 
ijijij bac 
. 
 
 
 
6 
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Propriedades: 
 
Se A, B e C são matrizes de mesma ordem (m x n), então valem as seguintes propriedades: 
a) Comutativa 

 A + B = B + A 
b) Associativa 

 (A+B)+C = A + (B+C) 
c) Elemento neutro 

 A + 0 = 0 + A = A 
d) Elemento oposto ou simétrico 

 A+(- A) = (- A) + A = 0 
 
Exemplos: 
1) Sejam 





 

304
185
A
 e 









136
442
B
, temos que, 









432
5123
BA
 
 
2) Sejam 














2
3
5
7
A e 















2
1
1
4
B , temos que 












2
4
3
BA
 
 
 
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
 
Dadas duas matrizes 
mxnijmxn aA ][
 e 
mxnijmxn bB ][
, denomina-se diferença da matriz A com a 
matriz B, e indicada por A - B, a matriz soma de A com a oposta de B (A – B = A + (-B)). 
 
MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR POR UMAMATRIZ 
 
O produto de um escalar (ou número real) k pela matriz 
mxnijmxn aA ][
, cuja notação é 
Ak 
, é a 
matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por k. 
mxnijakAk )( 
 
Exemplos: 
Seja 
23
23
17
98
25
x
xA













. Vamos calcular 5A e (-3)A. 
 
 
 
7 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 


























535
4540
1025
17
98
25
55A
 e 



























321
2724
615
17
98
25
)3()3( A
 
 
 
 
PRODUTO DE MATRIZES 
 
Dada duas matrizes 
mxnijmxn aA ][
e 
nxpjkmxn bB ][
, define-se produto AB a matriz 
mxpikmxp cC ][
, tal que o elemento 
ikc
 é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos 
da linha i de A pelos elementos da coluna k de B e somando-se esses produtos obtidos. 
Observe que só é possível multiplicar duas matrizes se o número de colunas da 
primeira matriz (A) for igual ao número de linhas da segunda matriz (B). A matriz 
resultante tem o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz 
B. 
 
Exemplo: 
1) Sejam 
22
43
12
x
A 








 e 
22
13
26
x
B 






. Vamos determinar 
BA
 e 
AB 
. 
 
 
 
 
 
 
2) Dadas as matrizes 
32
254
801
x
A 






 e 
23
41
32
96
x
B











 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
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3) Determine os valores de x e y: 

















 
7
1
5
2
4
1
y
x 
 
 
 
Propriedades: 
a) Associativa 

 
)()( CBACBA 
 
b) Distributiva em relação à adição 

 
CABACBA  )(
 
 
CBCACBA  ))(
 
c) Elemento neutro 

 
AAIIA nn 
 
d) 
)()()( BkABAkBAk 
, onde k é um escalar. 
Observações: 
a) Em geral, 
ABBA 
 
b) Se 
0BA
, não necessariamente, A = 0 ou B = 0 
 
Propriedades: 
 
a) 
ttt BABA  )(
 
b) (
RkAkAk tt  ;).(
 
c) 
AA tt )(
 
d) 
ttt ABBA  )(
 
 
Matriz Inversa 
 
Uma matriz quadrada A, de ordem n, se diz inversível se existir uma matriz B, tal que 
nIABBA 
. A matriz B é dita inversa de A. Escrevemos 1 AB (lê-se: inversa de A). 
 Uma matriz que não admite inversa é denominada singular. 
Exemplo: 
Determine a matriz inversa de 







34
12
A
. 
 
 
 
 
9 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – MATRIZES 
 
1) (UFAL) Considere a matriz 
43][ xijaA 
, na qual 
 
O elemento 
32a
 da matriz tA , transposta de A, é: 
a) 4 b) 2 c) 1 d) – 1 e) – 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine a matriz oposta de C, sabendo que 
41][ xijcC 
, tal que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
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3) (FMJ) Determine a matriz transposta da matriz 
23][ xijaA 
, onde 
jiaij 32 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) (CFTMG) Sendo as matrizes 
][ ijaA 
 e 
][ ijbB 
, quadradas de ordem 2 com 
22 jiaij 
e 
22 jibij 
, Qual a matriz que representa A – B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Sejam as matrizes 








yx
A
24
01 e 









14
023 yx
B
. Calcule o valor de 
2
yx 
, sabendo 
que A = B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
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6) Sejam 







20
13
A
 e 







04
11
B
. Determine a matriz X, tal que X . A = B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Seja 





 

32
57
A
. Determinar: 
a) 2A b) AA 32  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Dadas as matrizes 
32
210
321
x
A 







e 
23
13
10
25
x
B













, determine a matriz X, tal que 
0 XBA t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
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9) (Mauá – Lins) Dadas as matrizes 
22][ xijaA 
 sendo 
i
ji
aij
32 

 e 








11
01
B
, determinar X 
tal que 3B + X = 2A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Sendo 








42
51
A
 e 









76
30
B
, determine: 
a) A + B b) B – A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
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c) A – B d) tt BA  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
tBA )( 
 
 
 
 
 
 
11) Dadas as matrizes 







27
43
A
 e 





 

65
12
B
, determine: 
a) A . B b) 2A 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
tAB )( 
 d) 
BA 32 
 
 
 
 
 
e) tAA  f) 
A
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
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12) Determine as matrizes X e Y, tais que 





BYX
AYX
3
2
, sendo 
32
61
11
x
A 








e 
32
317
103
x
B 






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Dada as matrizes 









72
24
A
 e 








32
20
B
, resolva o sistema 





BYX
AYX 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Calcule o produto das seguintes matrizes, se existirem: 
a) A . B 









1412
3201
A
 e 















24
31
20
15
B 
 
 
 
 
 
15 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
 
 
 
 
b) A . B 













102
114
201
A
 e 












134
201
012
B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A . B e B . A 







43
21
A
 e 
 53B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Determinar a inversa das matrizes: 
 
a) 







45
21
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 







32
14
A
 
 
 
16 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 









 

100
052
231
A
 
 
 
 
 
 
 
 
16) (UEL – 2003) Um nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão 
de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais), necessária para uma 
alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas)daqueles 
alimentos. A matriz M fornece a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos 
fornecida por cada grama ingerida dos alimentos citados. 
 
A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e 
carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é: 
 
a) 










20,454
30,36
20,18
 b) 










20,460
20,16
70,29
 c) 










40,432
00,36
30,48
 d) 










60,405
30,48
90,51
 e) 










00,411
50,21
90,75
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Uma indústria de perfumes utiliza quatro tipos de essências vegetais da Amazônia para a 
produção de 4 tipos de perfumes diferentes, sendo os dados de fabricação representados pela 
matriz A. A matriz B representa o custo de cada extrato. Utilizando a matriz C, para saber o 
preço de venda de cada perfume, o lucro da empresa na venda de 4 perfumes de cada uma 
das fragrâncias diferentes é: 
 
 
 
a) R$ 300,00 
b) R$ 396,00 
c) R$ 398,00 
d) R$ 405,00 
 
 
 
18 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
DETERMINANTES 
 
O determinante de uma matriz é um escalar obtido dos elementos da matriz, mediante 
operações específicas. Os determinantes são definidos somente para matrizes quadradas. 
Indicamos o determinante de uma matriz A por: 
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AA




21
22221
11211
det  
 
Cálculo do determinante 
Determinante de 1ª ordem ou do tipo 1 x 1 
O determinante da matriz 
][ 11aA 
 é dado por 
11det aA 
. 
Exemplo: 
9det]9[  AA
 
 
Determinante de 2ª ordem ou do tipo 2 x 2 
O determinante da matriz de ordem 2 x 2 é obtido calculando-se a diferença entre o produto 
dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Dada a matriz 







2221
1211
aa
aa
A
, o determinante é dado por: 
21122211
2221
1211
det aaaa
aa
aa
A 
. 
Exemplo: determinante da matriz 
95)3()1(6
15
36
det
15
36











 AA
 
 
Determinante de 3ª ordem ou do tipo 3 x 3 
Regra de Sarrus 
A regra de Sarrus é utilizada, unicamente, para determinantes de matrizes de 3ª ordem. 
Repetimos, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas dessa matriz. Para uma melhor 
compreensão, observe o exemplo abaixo: 
 
 
 
19 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
Determinante de ordem maior ou igual a 3. 
O determinante de matrizes de ordem maior ou igual a 3 é obtido utilizando o Teorema de 
Laplace. Antes de iniciarmos esse Teorema, temos que definir o que é menor complementar e 
cofator. 
 
Menor complementar: é a matriz que se obtém ao eliminarmos a linha e a coluna de um 
elemento previamente escolhido. 
Exemplo: Seja a matriz 











987
654
321
A
 
Escolhendo o elemento 6 e eliminando a linha e a coluna ao qual o elemento pertence, temos: 
 
Logo o menor complementar do 6, é o cálculo do determinante com os elementos que 
restaram. 
6148
87
21
23 D
 
 
O cofator de um elemento 
ija
de uma matriz quadrada A é obtido da seguinte forma: 
 
 
20 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
ij
ji
ij DA 
)1(
 
onde 
ijD
 é o menor complementar do elemento 
ija
. 
Pegando como exemplo a matriz anterior e eliminando a linha e a coluna onde se encontra o 
elemento 6, temos que, o cofator do elemento 
23a
 é dado por: 
 
6
)6.(1
)148()1(
87
21
)1(
23
23
5
23
32
23



 
A
A
A
A
 
Portanto, o cofator do elemento 
23a
 é 6. 
Já definimos menor complementar e cofator podemos seguir com a resolução do determinante 
de ordem > 3. 
Para calcularmos o determinante utilizando o Teorema de Laplace, somamos os produtos dos 
elementos de uma linha ou coluna da matriz A pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplo: 
1) Seja a matriz 












325
432
016
A
 
Primeiramente vamos escolher uma linha ou uma coluna qualquer para ser fixada, escolha a 
linha ou coluna que tenha mais “zeros”, para facilitar alguns cálculos posteriores. 
Fixando a primeira linha, temos que o determinante da matriz A é dado por: 
  
3
1 1313121211111
det
j jij
AaAaAaAaA
 
Retirando a 1ª linha e 1ª coluna: 
17)89(1
32
43
)1( 1111 

 A
 
Retirando a 1ª linha e 2ª coluna: 
14)206(1
35
42
)1( 2112 


 A
 
 
 
21 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
Retirando a 1ª linha e 3ª coluna: 
19)154(1
25
32
)1( 3113 

 A
 
Logo, 
88014102)19(0141)17(6det
3
1 1
 j jij DaA
 
Portanto o determinante da matriz A é -88. 
 
2) Seja a matriz 
















2056
0143
5210
4321
A , calcule o valor do determinante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas propriedades: 
1) Quando todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos, o determinante dessa matriz 
será zero. 
 
2) Quando duas linhas ou colunas são iguais, o determinante dessa matriz será zero. 
 
3) Quando duas linhas ou colunas são proporcionais (uma múltipla da outra), o determinante 
dessa matriz será zero. 
 
 
 
22 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
4) Quando os elementos de uma linha ou coluna forem multiplicados por um número real, o 
determinante dessa matriz será multiplicado por este número. 
 
5) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. 
 
6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal. 
 
7) Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então 
det (AB)= (det A).(det B) (Teorema de Binet). 
 
8) Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou 
coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de 
outra linha (ou coluna), formando a matriz B, então det A = det B. (Teorema de Jacobi). 
 
9) Seja A uma matriz quadrada invertível e 1A sua inversa. Então, 
A
A
det
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – DETERMINANTES 
1) Calcule os determinantes: 
a) 
10
= 
 
b) 
43
23

 = 
 
 
c) 
8
5
1
52  = 
 
 
d) 
514
351

 = 
 
 
 
e) 
baba
ba

= 
 
 
 
f) 
21
54

 = 
 
 
 
 
g) 
170
046
352

= 
 
 
h) 
325
461
231


= 
 
 
 
 
 
24 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
i) 
631
704
512


= 
 
j) 
412
965
412



= 
 
2) Dadas as matrizes 







20
31
A
e B=






02
31 , calcule o det(A.B). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Se 
0847
4203
5312
0001



R e 
5073
4062
3041
1235




S , calcule o valor de det (R) + det (S). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Utilizando o Teorema de Laplace, calcule o determinante da matriz 















2301
0123
2514
3231
. 
 
 
 
25 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Resolva as equações: 
a) 
2
53
62

x 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
0
11
53



x
x 
 
 
 
 
 
 
c) 
0
23
123


 xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
d) 
12
213
121
2










 xx
 
 
 
 
 
 
 
 
6) São dadas as matrizes 
 
22xij
aA 
, onde 
jiaij 32 
 e 
 
22xij
bB 
onde 






jiji
jiji
bij
,
, , 
nessas condições, se 
2)( ABX 
, o determinantes da matriz X é igual a: 
a) 224 
b) 286 
c) 294 
d) 306 
e) 324 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) (Fatec – Oswaldo Cruz) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua 
diagonal principal. Se os números inteiros x e y são tais que a matriz 










y
x
11
43
012
tem traço igual 
a 4 e determinante igual a -19, então o produto x . y é igual a: 
a) -4 
b) –3 
c) -1 
d) 1 
e) 3 
 
 
 
27 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
 
 
8) Sejam as matrizes 








3
25
y
A
 e 













452
2
1
5
220
y
yB . Para qual valor de y, temos 
BA detdet 
? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Sabendo que 













311
210
013
A
, calcule 
1det A
, se existir 1A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Objetivo: Estudar sistemas lineares com várias equações e várias incógnitas. Aplicar o conceito 
de matrizes para a resolução de sistemas de equações lineares, o que pode ser feito por meio 
da Regra de Cramer ou escalonamento de uma matriz. 
 
DEFINIÇÕES INICIAIS 
 
Equações lineares 
De modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode ser escrita na forma: 
cxaxaxaxa nn  332211
 
Na qual: 
nxxxx ,,,, 321 
são as incógnitas; 
naaaa ,,,, 321 
são números reais chamados coeficientes das incógnitas; 
c
é o termo independente. 
Exemplos: 
045
10232


tzyx
zyx
 
Observações: 
 Em uma equação linear os expoentes de todas as incógnitas são iguais a 1 
 Uma equação é denominada equação homogênea quando o termo independente é igual 
a zero. 
 Uma equação linear não apresenta o termo que contém o produto de duas ou mais 
incógnitas. 
 
Solução de uma equação linear 
 
 
 
29 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
O terno ordenado (1, 1, 0) é uma solução da equação 
12  zyx
, pois, 
10112 
 
Os ternos ordenados, (1; 1; 13), (0; -2; 0), (1; 2; -3) são soluções da equação 
1052  zyx
, 
pois todos os ternos satisfazem a igualdade da equação. 
Observações: 
 Podemos ter mais de uma solução para uma mesma equação linear. 
 Pode não existir solução para uma equação. 
 
Sistemas lineares 
 
Seja S um sistema de m equações lineares 
)1( m
e com n incógnitas. 
Esse sistema pode ser representado da seguinte forma: 











mnmnmm
nn
nn
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
S




2211
22222121
11212111
 
 
Forma matricial 
É possível escrever um sistema na forma de um produto de matrizes. 






































mnmnmm
n
n
c
c
c
x
x
x
aaa
aaa
aaa





2
1
2
1
21
22221
11211
 ou A . X = C 
Exemplo: 






13
732
yx
yx
S
pode ser escrito, na forma matricial, como 

















 
1
7
13
32
y
x 
 
Matrizes de um sistema 
A matriz incompleta, associada ao sistema anterior, é 













mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211
,formada 
somente pelos coeficientes das incógnitas do sistema. 
 
 
30 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
A matriz completa (ou matriz ampliada), associada ao sistema anterior, é 
 












mmnmm
n
n
caaa
caaa
caaa




21
222221
111211
, formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos 
independentes do sistema. 
 
Exemplo: 
 
Seja 






13
732
yx
yx
S
, temos





 

13
32
A
 e 





 

113
732
B
, sendo A, a matriz incompleta, 
formada apenas pelos coeficientes das incógnitas e B a matriz ampliada ou completa, formada 
pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes. 
 
Solução de um sistema linear 
 
A solução de um sistema de equações lineares é uma sequência ordenada de números reais 
),,,( 21 n 
que é solução de todas as equações do sistema. 
Exemplo: 
(5, 1) é solução do sistema 






1053
1332
yx
yx
S
, pois o par ordenado (5, 1) satisfaz as duas 
equações, 





101553
131352 . 
 
Quando C = 0, ou seja, 








































0
0
0
2
1
21
22221
11211





nmnmm
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
dizemos que o sistema é 
homogêneo. 
 
Discussão de um sistema linear 
 
 
31 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
A discussão de um sistema linear é feita em função do número de soluções que ele admite. 
 
1) Sistema possível e determinado (SPD): as incógnitas são perfeitamente determinadas. 
Exemplo: 






12
82
yx
yx
S
 x= 2 e y = 3, o sistema é possível e possui uma única solução. 
 
2) Sistema possível e indeterminado (SPI): o sistema admite várias soluções. 
Exemplo: 






1424
72
yx
yx
S
, é um sistema possível, mas indeterminado, pois, para cada valor diferente de 
x, y admite um valor diferente (infinitas soluções). A segunda equação é uma combinação 
linear da primeira. 
 
3) Sistema impossível (SI): não admite solução. 
Exemplo: 






4
3
yx
yx
S
, é um sistema impossível, pois não existe um valor de x e y que satisfaça as duas 
equações ao mesmo tempo. 
 
Determinante do sistema 
 
Quando o número de equações de um sistema linear for igual ao número de incógnitas (m = n) 
então a matriz incompleta será quadrada. Daí, existe um determinante D= det (A), denominado 
determinante do sistema. 
Se 
0)det(  AD
, o sistema é possível e determinado; se 
0)det(  AD
, o sistema ou possui 
infinitas soluções ou não tem solução. 
 
Regra de Cramer 
 
 
 
32 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
Na resolução de sistemas de equações, onde a matriz A é quadrada, empregamos uma regra 
prática conhecida pelo nome de Regra de Cramer, que permite encontrar facilmente a 
solução. 
Seja o sistema 











mnmnmm
nn
nn
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
S



2211
22222121
11212111
. 
O valor de cada incógnita 
)( ix
é obtido da seguinte maneira: 
D
Dx
x ii 
 
:ix
 variáveis do sistema; 
D: determinante formado pelos coeficientes das incógnitas (determinante do sistema). 
:iDx
determinante que se obtém substituindo-se a coluna dos coeficientes da incógnita 
procurada pelos termos (independentes) conhecidos 
nccc ,,, 21 
. 
 
Para resolvermos um sistema linear pelo método de Cramer, seguimos os seguintes passos: 
1º) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes. 
2º) Para cada incógnita, devemos substituir sua respectiva coluna pelos elementos da matriz 
dos termos independentes na matriz dos coeficientes e calcular seus respectivos determinantes 
),,( yx DD
. 
3º) Para achar o valor de cada incógnita, basta dividir o resultado encontrado no passo 2 pelo 
resultado encontrado no passo 1. 
 
Exemplos: 
Resolver os sistemas abaixo utilizando o método de Cramer: 
1) 






132
43
yx
yx
S
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
2) 









323
0324
13
zyx
zyx
zyx
S
 
 
 
 
 
 
Escalonamento de sistemas 
 
Para resolver sistemas de equações lineares que tenham mais de três equações, não é indicado 
utilizar a Regra de Cramer, pois será mais trabalhoso. Nesse caso, usa-se a técnica do 
escalonamento, para facilitar a resolução do sistema. 
 
Sistema escalonado 
É um sistema onde a disposição das linhas lembra uma escada. Um sistema escalonado é 
praticamente um sistema já resolvido. 
 
 
z = 3, y = 2 e x = 1 
 
Para resolvermos um sistema linear utilizando o escalonamento, seguimos os seguintes passos: 
1º) Colocar como 1ª equação uma das que tenha o coeficiente da 1ª incógnita diferente de 
zero; 
2º) Anular todos os coeficientes da 1ª incógnita nas demais equações utilizando a combinação 
entre linhas. 
3º) Anular todos os coeficientes da 2ª incógnita nas equações a partir da 3ª, utilizando a 
combinação entre linhas. 
4º) Repetir esse processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. 
5º) Encontrar os valores. 
 
 
34 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
Exemplo: 









3243
232
12
zyx
zyx
zyx
S
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 – SISTEMAS LINEARES 
1) Resolva a equação matricial, utilizando o método de eliminação de Gauss (escalonamento). 
 
 
35 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
































 8
2
2
115
632
741
z
y
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método do escalonamento: 
a) 








172
152
162
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
b) 








745
105
13432
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 











4
7
5
1
wyx
wzy
wzx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
d) 








833
622
3
yx
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 





5232
2
zyx
zyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de Cramer. 
a) 








132
2
122
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
b) 








27245
23523
18332
zyx
yyz
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








1423
0
8
zy
yx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) (UFRN) Três amigos, denominados X, Y e Z, utilizam o computador todas as noites. Em 
relação ao tempo em horas em que cada um usa o computador, por noite, sabe-se que: 
 O tempo de X mais o tempo de Z excede o tempo de Y em 2. 
 O tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a 3 mais o dobro do tempo de Y. 
 O tempo de X mais 9 vezes o tempo de Z excede em 10 o tempo de Y. 
A soma do número de horas de utilização do computador, pelos três amigos, em cada noite, é 
igual a: 
a) 4 h. 
b) 7 h. 
 
 
39 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
c) 5 h. 
d) 6 h. 
 
 
 
 
 
 
 
5) (PUC – SP) Alfeu, Bento e Cíntia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas 
escolhidas entre três tipos, gastando nessa compra os totais de R$ 134,00, R$ 115,00 e R$ 
48,00 respectivamente. 
Sejam as matrizes 











012
501
430
A
 e 











z
y
x
X
, tal que: 
 Os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas 
compradas por Alfeu (1ª linha), Bento (2ª linha) e Cíntia (3ª linha). 
 Os elementos de cada coluna de A correspondem às quantidades de um mesmo tipo de 
camisa. 
 Os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais de cada tipo de camisa. 
Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é: 
a) R$ 53,00 
b) R$ 55,00 
d) R$ 57,00 
e) R$ 62,00 
f) R$ 65,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine os valores de m para que o sistema linear 





0)3(2
7)5()2(
ymx
ymxm seja possível e 
determinado. 
 
 
 
40 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
 
 
 
8) Discuta os seguintes sistemas lineares. 
 
a) 





68
32
ymx
myx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 





1
2
yx
ymx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 








azyx
zyx
zyx
432
632
3
 
 
 
 
 
 
 
41 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Utilizando o método de eliminação de Gauss (escalonamento), determine k para que o 
sistema 








134
224
323
zy
zx
kyx
 seja possível e indeterminado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Seja o sistema linear 








875
343
1432
azyx
bzyx
zyx
, utilizando o método de eliminação de Gauss 
(escalonamento), calcule os valores de a e b pra que o sistema seja impossível. 
 
 
 
 
42 
PROF.ª ADRIANA CARNIÉLLI 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
CALDEIRA, André Machado; SILVA, Luiza Maria Oliveira; MACHADO, Maria Augusta Soares; 
MEDEIROS, Valéria Zuma (coord.). Pré-Cálculo. 2. ed. rev. São Paulo: Cengage Learning, 
2010. 
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, contexto e aplicações. 1. ed. São Paulo: Ática, 2011. 
 
DEMANA, Franklin D. et al. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson, 2009.