FLEXÃO SIMPLES DE SEÇÕES RETANGULARES DE CONCRETO AMADO COM ARMADURA SIMPLES

Prévia do material em texto

FLEXÃO SIMPLES DE SEÇÕES RETANGULARES DE CONCRETO AMADO COM ARMADURA 
SIMPLES – DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FLEXÃO 
INTRODUÇÃO 
O cálculo da armadura necessária para resistir a um momento fletor (que causa tensões 
normais nas seções em que atua) é um dos pontos mais importantes no detalhamento das 
peças de concreto armado. O dimensionamento é feito no estado-limite último de ruína, 
impondo que na seção mais solicitada sejam alcançadas as deformações-limites específicas dos 
materiais, ou seja, o estado-limite-último pode ocorrer tanto pela ruptura do concreto 
comprimido quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. 
O momento fletor que a seção é capaz de resistir é γ vezes maior que aquele que poderá vir 
realmente a atuar. Tal discussão sobre qual valor de ϒ deve ser usado e como obtê-lo é feita na 
norma NBR 8681 (2003). 
O estudo das seções de concreto armado tem por objetivo comprovar que, sob solicitações 
(efeitos das ações) de cálculo, a peça não supera os estados-limite, supondo que o concreto e 
o aço tenham, como resistências reais, as resistências características minoradas (resistências 
de cálculo). Assim, as solicitações de cálculo são aquelas que, se alcançadas, levarão a 
estrutura a atingir um estado-limite, caracterizando sua ruína. 
Na NBR 6118:2003, os conceitos e as condições de segurança são referidos na seção 10, 
“Segurança e estado-limite”, na seção 11, “Ações”, e na seção 12, “Resistências”. Os critérios 
de segurança foram estabelecidos com base na NBR 8681:2003: “Ações e segurança nas 
estruturas” 
TIPOS DE FLEXÃO 
O momento fletor causa flexão nos elementos estruturais, e nas seções transversais desses 
elementos surgem tensões normais (perpendiculares á seção). Há diversos tipos de flexão, 
sendo preciso identificar cada um deles para que seja possível calcular esses elementos. 
Apresentam-se, a seguir, o conceito de cada um dos tipos: 
a) Flexão normal (simples ou composta): ocorre quando o plano do carregamento ou 
da sua resultante é perpendicular à linha neutra (LN) – linha da seção transversal 
em que a tensão é nula, ou seja, quando o plano contém um dos eixos principais 
de inércia da seção; nesse caso, em seções simétricas (um eixo de simetria é 
sempre um eixo principal de inércia), o momento fletor atua no plano de simetria. 
 
Flexão Normal 
simples 
 
b) Flexão obliqua (simples ou composta): ocorre quando o plano de carregamento 
não é normal à linha neutra à linha neutra; ou quando o momento fletor tem uma 
componente normal ao plano de simetria; ou, ainda, quando a seção não é 
simétrica, pela forma ou por suas armaduras. 
 
 
 
Flexão Normal simples 
Pilar de borda – 
visualização em 3D 
Pilar de borda – visualização 
em planta 
 
 
c) Flexão pura: corresponde a um caso particular de flexão (simples ou composta), 
em que não há esforço cortante atuante (V=0); nas regiões da viga em que isso 
ocorre, o momento fletor é constante (figura 2 – do ponto B ao C). 
d) Flexão não pura: ocorre quando há esforço cortante atuando na seção; momento 
fletor variável (figura 2 – do ponto A ao B e do B ao D) 
Nas vigas, geralmente o esforço normal é desprezível (com exceção das vigas 
protendidas) e, dessa forma, serão consideradas inicialmente apenas as flexões 
normal, simples e pura, em que N=0 e V=0. 
PROCESSO DE COLAPSO DE VIGAS SOB TENSÕES NORMAIS 
Esteja uma viga de concreto armado simplesmente apoiada, figura 1, sujeita a um 
carregamento crescente que causa flexão pura na região central (V=0 e M=cte); na 
seção central, a viga é submetida a um momento fletor M crescente, que varia de zero 
até um valor que leve ao colapso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seção transversal central da viga de concreto armado, retangular neste caso, figura 
4, submetida a um momento fletor M crescente, passa por três níveis de deformação, 
denominados estádio, os quais determinam o comportamento da peça até sua ruína. 
Na figura 4 estão representadas as deformações e tensões no aço e no concreto, assim 
como as resultantes dessas tensões. 
 
 
P 
a a a 
P 
P P Figura 1 – esquema estrutural 
P ∙ a P ∙ a 
Figura 2 - DMF 
B C A D 
P + 
− P Figura 3 - DEC 
Figura 4 
Pode-se caracterizar, então, os três estádios de deformação de uma viga de concreto na flexão 
normal simples: 
a) Estádio I (estado elástico) – sob ação de um momento fletor M1 de pequena 
intensidade, a tensão de tração no concreto não ultrapassa sua resistência 
característica à tração (ftk): 
 Diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear; 
 As tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações, 
correspondendo ao trecho linear do diagrama tensão-deformação do 
concreto; e 
 Não há fissuras visíveis. 
b) Estádio II (estado de fissuração) – aumentando o valor do momento fletor para MII, as 
tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores 
superiores ao da resistência característica do concreto à tração (ftk): 
 Considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração; 
 Admite-se que a tensão de compressão no concreto continua linear; e 
 As fissuras de tração no concreto na flexão são visíveis e aproximadamente 
perpendicular à direção das tensões principais de tração, ou seja, a inclinação 
das fissuras depende da inclinação das tensões principais de tração. Por esta 
razão, nas regiões de flexão pura, as fissuras são verticais. 
c) Estádio III – aumenta-se o momento fletor até um valor próximo ao de ruína (Mu): 
 A fibra mais comprimida do concreto começa a escoar a partir da deformação 
específica de 0,2% (2,0‰ – dois milímetros por metro), chegando a atingir, 
sem aumento de tensão, 0,35% (3,5‰ – três milímetros e meio por metro); 
 Diagrama de tensões tende a ficar vertical (uniforme), com quase todas as 
fibras trabalhando com sua tensão máxima, ou seja, praticamente todas as 
fibras atingem deformações superiores a 2‰ (item 8.2.10.1 e figura 8.2 da 
NBR 6118:2003); 
 A peça está bastante fissurada, com as fissuras se aproximando da linha 
neutra, fazendo com que sua profundidade diminua e, consequentemente, a 
região comprimida de concreto também; e 
 Supõe-se que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um 
diagrama parábola-retângulo, figura 4. 
Pode-se dizer, simplificadamente, que: 
 Estádios I e II → correspondem às situações de serviço (quando atuam as ações reais); 
 Estádio III → corresponde ao estado-limite último (ações majoradas; resistências 
minoradas), que só ocorre em situações extremas. 
O cálculo de dimensionamento das estruturas de concreto armado será feito no estado-limite 
último (Estádio III), pois seu principal objetivo é projetar estruturas que resistam aos esforços 
de forma mais econômica, sem chegar ao colapso. 
 
 
 
HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO 
As hipóteses para o cálculo no estado-limite último de elementos lineares sujeitos a 
solicitações normais estão no item 17.2.2 da NBR 6118:2003. 
a) As seções transversais permanecem planas após o início da deformação até o estado-
limite último; as deformações são, em cada ponto, proporcionais à sua distância até a 
linha neutra da seção (hipótese de Bernoulli). 
b) Solidariedade dos materiais: admite-se solidariedade perfeita entre o concreto e a 
armadura; dessa forma, a deformação específica de uma barra da armadura, em 
tração ou compressão, é igual à deformação específica do concreto adjacente. 
c) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, são desprezadas. 
d) A ruína da seção transversal (peça sob açõesmajoradas e materiais com resistências 
minoradas fcd e fyd), para qualquer tipo de flexão no estado-limite último, fica 
caracterizada por deformações específicas de cálculo do concreto (εc), na fibra menos 
tracionada, e do aço (εs), próximas à borda mais tracionada, em que uma delas ou 
ambas atingem os valores últimos (máximos) das deformações específicas desses 
materiais. 
Os diversos casos possíveis de distribuição das deformações do concreto e do aço na 
seção transversal definem os domínios de deformação. 
e) Encurtamentos últimos (máximos) do concreto: no estádio-limite último, o 
encurtamento específico de ruptura do concreto vale: 
 εcu = 3,5∙10
-3 (3,5‰) nas seções não inteiramente comprimidas (flexão); e 
 εcu = 2,0∙10
-3 (2,0‰) a 3,5∙10-3 (3,5‰) nas seções inteiramente comprimidas. 
f) Alongamento último das armaduras: o alongamento máximo permitido ao longo da 
armadura tracionada é de: 
 εcu = 10,0∙10
-3 (10,0‰), para prevenir deformações plásticas excessiva. 
g) A tensão nas armaduras é obtida a partir dos diagramas tensão versus deformação, 
com valores de cálculo definidos em tabela. 
h) Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o 
diagrama parábola-retângulo, figura 4, com base no diagrama tensão-deformação 
simplificado do concreto, com tensão máxima igual a 0,85∙fcd. O diagrama parábola-
retângulo é composto por uma parábola do 2º grau, com vértice na fibra 
correspondente à deformação de compressão de 2,0‰ e um trecho reto entre as 
deformações, 2,0‰ e 3,5‰. Permitida a substituição do diagrama parábola-retângulo 
por um retângulo de altura 0,8∙x, em que x é a profundidade da linha neutra, com a 
seguinte tensão: 
 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 =
0,85∙𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
→ zonas comprimidas de largura constante, ou crescente, 
no sentido das fibras mais comprimidas, a partir da linha neutra; e 
 0,80 ∙ 𝑓𝑐𝑑 =
0,80∙𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
→ zonas comprimidas de largura decrescente no sentido 
das fibras mais comprimidas, a partir da linha neutra 
No trecho de altura 0,2∙x, a partir da linha neutra, no diagrama retangular, as tensões de 
compressão no concreto são desprezadas; trecho restante (0,8∙x), a distribuição de tensões é 
uniforme. 
 
Figura 5 – diagrama tensão-deformação 
 
 
 
 
Observa-se que a tensão de compressão do concreto adotada no diagrama é de 0,8 ou 0,85 de 
fcd. Por que ocorre uma nova redução do valor da resistência, uma vez que fcd já é uma redução 
de fck (fcd = fck/ϒc)? Há dois motivos: 
1) O primeiro corresponde ao modo como é obtido o valor de fck: o ensaio é feito com um 
corpo de prova cilíndrico, e, mesmo tendo-se o cuidado de colocar películas de 
material antiaderente para diminuir o atrito entre os pratos da prensa e as faces do 
corpo de prova, ele não é eliminado. Havendo o ATRITO nas extremidades do corpo de 
prova, estas seções, assim como as adjacentes, ficam impedidas de se deformar 
horizontalmente, resultando em um estado triplo de tensões e AUMENTANDO 
ARTIFICIALMENTE A RESISTÊNCIA DO CONCRETO. 
Trata-se de um princípio estabelecido por Saint Venant, que indica que o tipo de uma 
ação (concentrada ou parcialmente distribuída) só é sentido em seções cuja distância 
da seção de aplicação seja, no máximo, igual à menor dimensão desta última, ou seja, 
há impedimento em relação à deformação junto às faces extremas do corpo de prova, 
e este efeito é sentido até a altura de um diâmetro do corpo de prova a partir de cada 
face. 
Figura 6 
Figura 7 
 
 
2) O segundo motivo é que o concreto tem uma RESISTÊNCIA MAIOR PARA CARGAS 
APLICADAS RAPIDAMENTE, o que ocorre com os ensaios para a determinação da 
resistência à compressão, e as peças de concreto, na prática, estão submetidas a 
cargas permanentes que atuam durante toda a vida da estrutura. 
 
OBS.: à medida que o tempo aumenta, a resistência à compressão do corpo de prova, 
sob carga permanente, diminui (eleito Rüsch). 
 
NOMENCLATURA 
Grandezas envolvidas no cálculo 
d - Altura útil: distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal 
tracionada até a fibra mais comprimida de concreto; 
 
d’ - Distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida e a 
face mais próxima do elemento estrutural (fibra mais comprimida de concreto); 
 
MSd – Momento fletor solicitante de cálculo na seção (será designado Md): no 
dimensionamento, quando há um só tipo de carga acidental, é obtido multiplicando o 
memento em serviço (atuante) pelo coeficiente de ponderação ϒf. 
 
MRd – Momento fletor resistente de cálculo (calculado com fcd e fyd): máximo 
momento fletor que a seção pode resistir (deve-se ter sempre MSd ≤ MRd). 
 
bw – Largura da seção transversal de vigas de seção retangular ou da nervura (parte 
mais estreita da seção transversal), também chamada de alma das vigas de seção em 
forma de “T” 
 
h – Altura total da seção transversal de um peça. 
 
z – Braço de Alavanca: distância entre o ponto de aplicação da resultante das tensões 
normais de compressão no concreto até o da resultante das tensões normais de tração 
no aço (distância entre o centro de gravidade da armadura de tração e o centro de 
gravidade da região comprimida do concreto). 
Figura 7 
 
x – Altura (profundidade) da linha neutra: distância da borda mais comprimida do 
concreto até o ponto que tem deformação e tensão nulas (distância da linha neutra ao 
ponto de maior encurtamento da seção transversal de uma peça fletida). 
 
y – altura da linha neutra convencional: altura do diagrama retangular de tensões de 
compressão no concreto na seção transversal de uma peça fletida. É uma idealização 
que simplifica o equacionamento do problema e conduz a resultados bem próximos 
daqueles que seriam obtidos com o diagrama parábola-retângulo (y=0,8∙x). 
 
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL 
 
A ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado-limite último é 
caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço, que 
atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos (máximos) das deformações 
específicas desses materiais. 
Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço, ao longo de uma seção 
transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetida a ações 
normais, definem seis domínios de deformação, esquematizados na figura 8. Os 
domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par de 
deformações específicas de cálculo, εc e εs correspondem a um esforço normal, se 
houver, e a um momento fletor atuantes na seção. 
 
 
 
Para determinar a resistência de cálculo de uma dada seção transversal, é preciso saber 
primeiramente em qual domínio está situado o diagrama de deformações específicas de 
cálculo dos materiais (aço e concreto) 
Figura 8 
A reta a e os domínios 1 e 2 correspondem ao estado-limite último por deformação plástica 
excessiva (aço com alongamento máximo); domínios 3, 4, 4a, 5 e reta b correspondem ao 
estado-limite último por ruptura convencional (ruptura do concreto por encurtamento-limite). 
a) Domínio 1 – tração ão-uniforme, sem compressão 
 Início: εs = 10‰ e εc = 10‰; x = - ∞ → reta a → tração uniforme 
 Término: εs = 10‰ e εc = 0; x = 0; 
 O estado-limite último é caracterizado pela deformação εs = 10‰; 
 A reta de deformação gira em torno do ponto A (εs = 10‰); 
 A linha neutra é externa à seção transversal; 
 A seção resistente é composta por aço, não havendo participação do concreto, 
que se encontra totalmentetracionado e, portanto, fissurado; e 
 Tração simples (a resultante das tensões atua no centro de gravidade da 
armadura – todas as fibras têm a mesma deformação de tração – uniforme, 
reta a) ou tração composta (tração excêntrica – não uniforme -; as 
deformações de tração são diferentes em cada fibra) em toda a seção. 
 
b) Domínio 2 – flexão simples ou composta 
 Início: εs = 10‰ e εc = 0; x1 = 0; 
 Término: εs = 10‰ e εc = 3,5‰; x = x2; 
 O estado-limite último é caracterizado pela deformação εs = 10‰ (grandes 
deformações; 
 O concreto não alcança a ruptura (εc < 3,5‰); 
 A reta de deformação continua girando em torno do ponto A (εs = 10‰) 
 A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão); e 
 A seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido 
 
c) Domínio 3 – flexão simples (seção subarmada)ou composta 
 Início: εs = 10‰ e εc = 3,5‰; x = x2 = 0,259∙d; 
 Término: εs = εyd (deformação específica de escoamento do aço) e εc = 3,5‰; x 
= x3; 
 O estado-limite último é caracterizado pela deformação εc = 3,5‰ 
(deformação de ruptura do concreto); 
 O concreto não alcança a ruptura (εc < 3,5‰); 
 A reta de deformação gira em torno do ponto B (εc = 3,5‰); 
 A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão): na fronteira 
entre os domínios 3 e 4, sua altura (x = x3) é variável com o tipo de aço; 
 A seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido; 
 A ruptura do concreto ocorre simultaneamente ao escoamento da armadura: 
situação ideal, pois os dois materiais atingem sua capacidade resistente 
máxima (são aproveitados integralmente); 
 A ruína ocorre com aviso (grandes deformações); e 
 As peças que chegam ao estado-limite último no domínio 3 são denominadas 
“subarmadas” (ou normalmente armadas na fronteira entre os domínios 3 e 
4). 
 
d) Domínio 4 – flexão simples (seção superarmada) ou composta 
 Início: εs = εyd e εc = 3,5‰; x = x3; 
 Término: εs = 0 e εc = 3,5‰; x = x4 = d; 
 O estado-limite último é caracterizado por εc = 3,5‰ (deformação de ruptura 
do concreto); 
 A reta de deformação continua girando em torno do ponto B (εc = 3,5‰); 
 A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão); 
 No estado-limite último, a deformação da armadura é inferior a εyd (não atinge 
a tensão de escoamento); 
 A seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido; 
 A ruptura do concreto é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe sem que a 
armadura atinja sua deformação de escoamento (não á grandes deformações 
do aço nem fissuração do concreto que sirvam de advertência); e 
 As peças que chegam ao estado-limite último no domínio 4 são denominadas 
“superarmadas” e são antieconômicas, pois o aço não é utilizado com toda sua 
capacidade resistente; assim, se possível, devem ser evitadas(ou normalmente 
armadas na fronteira entre os domínios 3 e 4). 
 
 
e) Domínio 4a – flexão composta com armaduras comprimidas 
 A seção resistente é composta por aço e concreto comprimidos; 
 A ruptura do concreto é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com 
encurtamento da armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam de 
advertência) 
f) Domínio 5 – compressão não uniforme, sem tração 
 A seção resistente é composta por aço e concreto comprimidos; 
 Compressão simples (uniforme, na reta b) ou composta (excêntrica); 
 A ruptura do concreto é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com 
encurtamento da armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam de 
advertência).