Lista2 AMGA (determinante e inversão)

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Universidade Federal de Uberlaˆndia
Lista 2- AMGA - Data: 20 de marc¸o de 2018
Curso: Eng. Ele´trica - Turma : U
Professor: Dr. Adilson Lopes
Questo˜es-Determinante e Inversa˜o de Matrizes
1. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
A =

6 5 4 7
0 1 3 5
0 0 1 3
0 0 0 2
 , B =

7
√
2 21 −5
1 0 3 4
29 −14 −7 −pi
−21 −3√2 −63 15
 , C =

3 2 1 4
0 1 9 8
5 6 7 2
3 1 4 6
 , D =

5 −3 2
1 −1 −4√
2
√
7 −√3
1−√2 −1−√7 √3− 4
.
2. Calcular o determinante, pelo processo da triangulac¸a˜o, das seguintes matrizes:
A =

−2 −3 −1 −2
−1 0 1 −2
−3 −1 −4 1
−2 2 −3 −1
 e B =

2 4 −1 7
−8 5 12 −1
−2 −4 −3 4
8 6 −7 0
 .
3. Resolva a equac¸a˜o em cada um dos itens abaixo.
(a)
∣∣∣∣∣∣
x 3 2
5 x 1
1 3 1
∣∣∣∣∣∣ = 12.
(b)
∣∣∣∣∣∣
3 2 x
1 −2 x
2 −1 x
∣∣∣∣∣∣ = 8.
(c)
∣∣∣∣∣∣
4 6 x
5 2 −x
7 4 2x
∣∣∣∣∣∣ = −128.
(d)
∣∣∣∣∣∣
3 5 7
2x x 3x
4 6 7
∣∣∣∣∣∣ = 39.
(e)
∣∣∣∣∣∣
5 1 1
3x 0 1
7x 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 100.
(f)
∣∣∣∣∣∣
x+ 3 x+ 1 x+ 4
4 5 3
9 10 7
∣∣∣∣∣∣ = −7.
1
(g)
∣∣∣∣∣∣
12− x 1 1
18− 2x 3 2
15− 2x 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 10.
(h)
∣∣∣∣∣∣
x 3x 2x
5x 15x 10x
1 −3 12
∣∣∣∣∣∣ = −2.
(i)
∣∣∣∣∣∣
2 −3 −12
x x− 5 4
2 + x x− 8 −8
∣∣∣∣∣∣ = 0.
4. Dadas as matrizesA =
 3 4 1−5 −2 −9
7 8 6
 , B =
4 −1 33 0 1
7 2 −4
 , C =
 2 6 83 9 12
−1 −2 −3
 ,
calcular pelo processo de triangulac¸a˜o ou pela definic¸a˜o dada em sala de aula:
(a) det(A), det(B), det(C), det(A+B), det(A−B), det(2A−3B+4C), det(BC),
det(ACt), det((CB)A) e det(C(BA)).
(b) Verificar se det(A+B) = det(A) + det(B).
(c) Verificar se det(BC) = det(B)det(C).
5. Dada A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
, calcule
(a) A23.
(b) det(A23).
(c) ∆23.
(d) det(A).
6. Encontre A−1, onde A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
.
7. Para quais valores de x a matriz A =
1 0 x1 1 x2
2 2 x2
 e´ invert´ıvel? Para estes valores,
encontre A−1.
8. Mostre que ∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣ = (a− b)(b− c)(c− a).
9. Resolva os exerc´ıcios 4 a 26, das pa´ginas 499 a 501 do Steinbruch (link para download
no site).
2
10. Dada a matriz a =
2 1 −30 2 1
5 1 3
, calcule:
(a) adj(A).
(b) det(A).
(c) A−1.
11. Uma maneira de codificar uma mensagem e´ atrave´s de multiplicac¸a˜o por matrizes.
Vamos associar as letras do alfabeto aos nu´mero, segundo a correspondeˆncia abaixo:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Suponhamos que nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz
3× 3 assim: P U XA − V
I D A
 ,
que usando a correspondeˆncia nume´rica fica:15 20 231 0 21
9 4 1
 = M,
onde 0 representa espac¸o. Agora, seja C uma matriz qualquer 3× 3 invert´ıvel, por
exemplo:
C =
 1 0 1−1 3 1
0 1 1
 .
Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo
MC =
−5 83 581 21 22
5 13 14
 .
Transmitimos esta nova matriz (na pra´tica, envia-se a cadeia de nu´meros -5 83 58
1 21 22 5 13 14). Quem recebe a mensagem decodifica-a atrave´s da multiplicac¸a˜o
pela inversa ((MC)C−1 = M) e posterior transcric¸a˜o dos nu´meros para letras. A
matriz C e´ chamada matriz chave para o co´digo.
(a) Voceˆ recebeu a mensagem
−12 48 23 − 2 42 26 1 42 29
Utilizando a mesma chave traduza esta mensagem.
3
(b) Aconteceu que o inimigo descobriu a sua chave. O seu comandante manda
voceˆ substituir a matriz chave por
1 1 −11 1 0
0 0 2
. Voceˆ transmite a mensagem “CRE-
TINO...” a ele (codificada, naturalmente!). Por que na˜o sera´ poss´ıvel a ele decodi-
ficar sua mensagem?
(c) Escolha uma matriz-chave que deˆ para codificar palavras ate´ 16 letras. Co-
difique e descodifique a` vontade!
12. Dada a igualdade matricial:(
x2 − 2x log2 x2
1 3
)
=
(
0 2
1 3
)
= A,
determine o valor de x e encontre a matriz inversa de A.
13. Mostre que a matriz A =

√
3
2
1
2
0
−1
2
√
3
2
0
0 0 1
 e´ invert´ıvel e que A−1 = At.
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