Funções modelo normal

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Notas de aula de Cálculo Diferencial e Integral
Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal
Sumário
1 Funções reais de uma variável real 3
1.1 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Operações com intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Definição de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Cálculo da função para um determinado valor de x . . . . . . 11
1.5 Alguns tipos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Função crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Função decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.3 Função par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.4 Função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.5 Função algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.6 Função transcendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.7 Função polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.8 Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.9 Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.10 Função polinomial de grau maior que 2 . . . . . . . . . . . . . 50
1.5.11 Funções definidas por intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.5.12 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.5.13 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.6 Funções algébricas com potências racionais . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.7 Álgebra de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.7.1 Adição, subtração, produto e divisão de funções . . . . . . . . 79
1.7.2 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1
SUMÁRIO
1.7.3 Função injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.7.4 Função sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.7.5 Função bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.7.6 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.8 Funções Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.8.1 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.8.2 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.8.3 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.8.4 Equações exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . 107
1.8.5 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.9 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2 Notas de aula de Cálculo - FURG
Capítulo 1
Funções reais de uma variável real
Uma função descreve as mudanças sofridas por uma grandeza provocadas
pela variação de outra ou de várias outras. Por exemplo, na Geometria, o volume da
esfera pode estar associado ao seu raio, porém o raio pode variar com o tempo, logo
o volume variará com o tempo e assim por diante. Em Economia, o lucro de uma
empresa pode estar associado ao custo de produção e ao número de funcionários
envolvidos. Em Biologia, o número de bactérias em uma cultura depende do tempo
do experimento. Quando definimos uma função tem-se a descrição, isto é, a lei que
explica como acontece esta variação.
Neste capítulo revisam-se os principais tópicos relacionados às funções
elementares e às mais utilizadas, considerando neste momento apenas aquelas que
dependem de uma única grandeza chamada de variável real. Estuda-se como é
possível definir e representar geometricamente uma função. Além disso, classificam-
se as funções como algébricas ou transcendentes e apresentam-se suas aplicações em
situações cotidianas e em diferentes áreas da Ciência.
1.1 Conjuntos numéricos
Inicia-se o estudo de funções com uma revisão sobre conjuntos numéricos
para entender onde estão definidas as variáveis e as funções aqui estudadas, pois no
Cálculo trabalha-se com o conjunto dos números reais.
O conjunto dos números reais é constituído de diversos subconjuntos de
números:
3
1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
a) Conjunto de números naturais: É o conjunto mais simples, utilizado no
processo de contagem. Ele é descrito por
N = {0, 1, 2, 3, ...}.
Exemplo 1.1.1. São números naturais: 0; 1; 2; 15; 235 e 999.
b) Conjunto dos números inteiros: É formado pela expansão dos naturais ao
se incluir os números negativos. Sua representação é
Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Exemplo 1.1.2. São números inteiros: 1;−1; 15;−15; 0; 999 e −999.
c) Conjunto dos números racionais: É constituído pelos números que podem
ser expressos como quociente de dois números inteiros, ou seja,
Q =
{a
b
∣∣∣ a, b ∈ Z, b 6= 0} .
Exemplo 1.1.3. São números racionais:
1
3
;
7
5
;−15
2
e 0, 2 =
2
10
=
1
5
.
Quando expressos sob forma decimal, os racionais são finitos ou são dízimas
periódicas:
Exemplo 1.1.4. 0, 3 =
3
10
; 0, 03 =
3
100
;
3
8
= 0, 375;
1
3
= 0, 333333... e
13
11
= 1, 181818....
É importante salientar que todo número inteiro é racional, pois pode ser ex-
presso como ele mesmo dividido por 1:
Exemplo 1.1.5. 7 =
7
1
; 225 =
225
1
; −12 = −12
1
.
d) Conjunto dos números irracionais I: É formado pelos números que não
podem ser expressos como quociente de dois inteiros.
Exemplo 1.1.6. Raízes inexatas e dízimas não periódicas são exemplos de
números irracionais:
√
2;
√
3;
√
5 +
√
7; 3, 563498756393669... e pi.
O conjunto dos números reais R é o conjunto constituído pela união
do conjunto dos números racionais e do conjunto do números irracionais, como pode
ser visto na Figura 1.1.
4 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.2. INTERVALOS NUMÉRICOS
Figura 1.1: Representação gráfica dos conjuntos numéricos
Observação 1.1.1. Os números complexos (ou imaginários) são representados pela
forma z = a+bi, onde a e b ∈ R e i é a chamada unidade imaginária que representa o
valor de
√−1. São exemplos de números complexos: 3+2i, 5−6i, −2+i. O conjunto
dos números reais constitui um subconjunto dos números complexos, bastando que
b = 0. Por exemplo, 3 + 0i = 3, −5 + 0i = −5, 0 + 0i = 0. Quando a = 0 e b 6= 0,
então tem-se o os números imaginários puros, como 0 + 3i = 3i, 0 − 4i = −4i e
√−25 = √25√−1 = 5i.
Os números complexos são utilizados em várias áreas como engenharia,
eletromagnetismo, física e matemática. Em todas essas áreas estudam-se análise
complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em
resolução de equações algébricas e equações diferenciais. No entanto, no Cálculo
Diferencial e Integral, especificamente, estudam-se apenas os números reais.
1.2 Intervalos numéricos
Um subconjunto dos números reais pode ser representado na reta real por
um segmento de reta denominado intervalo. As desigualdades podem ser utilizadas
para escrevê-los. Por exemplo, no intervalo a ≤ x ≤ b, a e b são conhecidos como
extremos do intervalo. Se os extremos estão incluídos no intervalo, este é chamado
de fechado, caso contrário, de aberto. Quando apenas um dos extremos está incluído
no intervalo, dizemos que este é fechado à direita ou fechado à esquerda. Observe a
Tabela 1.
Tabela 1: Representação de intervalos numéricos.
5 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.2. INTERVALOS NUMÉRICOS
Rep. por compreensão Rep. geométrica Rep. por intervalo
{x ∈ R| a ≤ x ≤ b} [a, b]
Intervalo fechado a b
{x ∈ R| a < x < b} (a, b), ]a, b[
Intervalo aberto a b
{x ∈R| a < x ≤ b} (a, b], ]a, b]
Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita a b
{x ∈ R| a ≤ x < b} [a, b), [a, b[
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita a b
{x ∈ R|x < a} (−∞, a), ]−∞, a[
Intervalo infinito e aberto à direita a
{x ∈ R|x ≤ a} (−∞, a], ]−∞, a]
Intervalo infinito e fechado à direita a
{x ∈ R|x > a} (a,∞), ]a,∞[
Intervalo infinito e aberto à esquerda a
{x ∈ R|x ≥ a} [a,∞), [a,∞[
Intervalo infinito e fechado à esquerda a
1.2.1 Operações com intervalos numéricos
a) União: a união de dois conjuntos A e B, que se indica por A ∪ B, é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B, ou
seja, A ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Exemplo 1.2.1. Considere os conjuntos A = [1, 5[ e B =]2, 6]. Qual o resul-
tado de A ∪B?
Solução:
Para visualizar a operação de união entre os intervalos A e B, veja a
representação geométrica na Figura 1.2.
Percebe-se que A ∪ B contém todos os elementos de A e B. Assim,
A ∪B = [1, 6].
b) Intersecção: a intersecção de dois conjuntos A e B, que se indica por A∩B, é o
6 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.2. INTERVALOS NUMÉRICOS
1 50
A
20 6
B
1 2 50 6
AUB
Figura 1.2: Representação geométrica de A, B e A ∪B
conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto
B, ou seja, A ∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Exemplo 1.2.2. Considere os conjuntos A = [−1, 5[ e B =]2, 6]. Qual o
resultado de A ∩B?
Solução:
Para visualizar a operação de intersecção entre os intervalos A e B, ob-
serve a representação geométrica na Figura 1.3.
-1 50
A
20 6
B
2 50 6
A
U
B
-1
Figura 1.3: Representação geométrica de A, B e A ∩B
O conjunto A ∩B contém apenas elementos comuns a A e B, portanto,
A ∩B =]2, 5[.
Exercício 1.2.1. Para os intervalos numéricos A e B definidos a seguir, represente-
os por compreensão e geometricamente. A seguir, determine a intersecção e união.
a) A = (−2, 4] e B = [−1, 5).
b) A = [−3, 5] e B = [−1,−1].
c) A = (0, 3] e B = [4,+∞).
Respostas dos exercícios
7 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.3. PLANO CARTESIANO
1.2.1. Compreensão Geometricamente A ∪B A ∩B
a) • {x ∈ R| − 2 < x ≤ 4} x -2 0 4 (−2, 5) [−1, 4]
• {x ∈ R| − 1 ≤ x < 5} -1 0 5x
b) • {x ∈ R| − 3 ≤ x ≤ 5} -3 0 5x [−3, 5] [−1,−1]
• {x ∈ R|x = −1} 0 1x
c) • {x ∈ R|0 < x ≤ 3} 0 3x (0, 3] ∪ (4,+∞) ∅
• {x ∈ R|x > 4} x 0 4
1.3 Plano cartesiano
Assim como os números reais são utilizados como coordenadas para pon-
tos de uma reta, pares de números reais podem ser utilizados como coordenadas
para pontos de um plano. Com este propósito se estabelece um sistema de coorde-
nadas retangulares no plano chamado de plano cartesiano. Desenham-se duas retas
perpendiculares no plano, uma horizontal e outra vertical. Estas retas são chamadas
de eixo x e eixo y, respectivamente, e seu ponto de intersecção chama-se origem.
As coordenadas são assinaladas com a origem como ponto zero e a mesma
distância unitária em ambos os eixos. O semi-eixo positivo dos x está à direita da
origem e o semi-eixo negativo dos x está à esquerda. O semi-eixo positivo dos y está
acima da origem e o semi-eixo negativo dos y está abaixo. Veja a Figura 1.4.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.4: Plano Cartesiano
Considera-se um ponto P qualquer do plano. Desenha-se uma reta por
P paralela ao eixo dos y, e seja x a coordenada do ponto em que a curva corta o
8 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
eixo dos x. Analogamente, desenha-se uma reta por P paralela ao eixo dos x, e seja
y a coordenada do ponto em que essa reta corta o eixo dos y. Os números x e y
assim determinados chamam-se coordenada x (abscissa do ponto) e coordenada y
(ordenada do ponto) de P . As coordenadas de P são escritas como um par ordenado
(x, y). Veja a Figura 1.5.
−1 1 2 3
−1
1
2
3
x
y
P = (1,2)
Figura 1.5: Representação gráfica do ponto de abscissa x = 1 e ordenada y = 2
1.4 Definição de função
Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender
do valor de uma segunda. Por exemplo, a demanda do consumidor por um certo
produto x pode depender de seu preço de mercado atual p; a poluição atmosférica
a de uma determinada área metropolitana pode depender do número de indústrias
i localizadas nessa área; o preço de um carro c pode depender de quanto tempo t se
passou desde sua montagem. Tais relações podem ser frequentemente representadas
matematicamente por funções. Em cada caso, o valor de uma variável depende da
outra.
Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto um único ele-
mento de outro conjunto é chamada de função. Os conjuntos podem ser de qualquer
tipo e não precisam ser iguais.
Definição 1.4.1. Seja A um dado conjunto de números reais. Uma função f definida
do conjunto A para o conjunto B é uma regra ou lei de correspondência que atribui
9 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
um único número real y de B a cada x de A.
Chama-se x a variável independente, porque ela é livre para assumir
qualquer valor do domínio. O conjunto A que contém x é o domínio da função.
Designa-se y como a variável dependente porque seu valor numérico depende do
valor de x. O conjunto B que contém y é o contradomínio da função. A imagem da
função está contida no contradomínio e é o conjunto de todos os valores de y que
correspondem a algum valor de x.
y = f(x) lê-se y é igual a f de x.
Imagemf
Figura 1.6: Representação da relação funcional
O domínio de uma função representa um conjunto de valores que a
variável independente pode assumir a fim de que a função tenha valores sobre o
conjunto dos números reais. Em outras palavras, o domínio delimita para quais
valores de x a função produz resultados reais para y. Por exemplo, para a função
f(x) =
1
x
: o domínio é D(f) = R−{0}, pois x = 0 é o único valor que não produzirá
um y que pertença a R.
A imagem de uma função é o conjunto de valores que a variável depen-
dente recebe quando a variável independente varia sobre o domínio da função, ou
seja, são todos os possíveis valores de y que a função pode produzir. Por exemplo,
para a função f(x) = x2: a imagem é Im(f) = [0,+∞[, pois qualquer número real
elevado a uma potência de índice par, como x2, sempre produzirá valores f(x) = y
não negativos.
O gráfico de uma função f é o lugar geométrico dos pontos que satsfazem
a sua lei de associação. Uma função da forma f : D ⊂ R → R tem como gráfico o
10 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
subconjunto do plano cartesiano R2
G(f) = {(x, y) ∈ R2|x ∈ D ∧ y = f(x)}.
1.4.1 Cálculo da função para um determinado valor de x
Frequentemente a função é abreviada pela letra y e, muitas vezes, é
conveniente falar da "função f(x)". Por exemplo, a função y = 2x2 + 1 refere-se à
função f para qual f(x) = 2x2 + 1. Desta forma, basta substituir o valor desejado
de x em f para se obter um f(x) correspondente.
Exemplo 1.4.1. Sendo f(x) = x+ 3, qual o valor de f(4)?
Solução:
O cálculo de f(4) é realizado através das substituição da variável x pelo
número 4 da seguinte forma:
f(x) = x+ 3
f(4) = (4) + 3
f(4) = 7.
Ou seja, ao valor de x = 4 corresponde o valor de y = 7 na função f .
Atenção: A necessidade de que uma função associe um, e somente
um, valor de y para cada valor de x em seu domínio, corresponde à
condição geométrica de que dois pontos distintos do gráfico não
podem possuir a mesma abscissa. Ou seja, o gráfico de uma função
não pode passar acima ou abaixo de si mesmo.
Exemplo 1.4.2. Considere a equação descrita por y2 = x2 − 1 e que tem gráfico
dado pela Figura 1.7. Esta equação pode ser tomada como uma relação funcional?
Solução:
Como pode ser visto na Figura1.7, para um mesmo ponto x podem
existir dois valores y a ele associado, portanto, a equação descrita não pode ser
considerada como lei de definição de uma função.
11 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
x
y
Figura 1.7: Gráfico de y2 = x2 − 1
Exemplo 1.4.3. Considere o gráfico dado pela Figura 1.8. Este gráfico representa
uma relação funcional, isto é, o gráfico de uma função?
x
y
Figura 1.8: Gráfico do Exemplo 10
Solução:
Como pode ser visto no gráfico, para um mesmo ponto x não existem
mais do que um valor de y a ele associado. Portanto, o gráfico em questão é de uma
função. Poderia ser dito que existem dois valores de x para um mesmo valor de y,
contudo isso é aceitável, pois a restrição na definição de função é não se ter mais de
um valor de y associado a cada valor de x.
Exemplo 1.4.4. Observe o gráfico de f(x) na Figura 1.9 e responda:
a) Qual é o domínio de f(x)?
b) Qual é a imagem de f(x)?
12 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
c) O valor de f(0) é positivo ou negativo?
d) O valor de f(3) é positivo ou negativo?
e) Qual o valor de f(2)?
f) Para quais valores de x, f(x) é nula?
g) Para quais valores de x, f(x) é positiva?
h) Para quais valores de x, f(x) é negativa?
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 1.9: Gráfico de f(x)
Solução:
Alguns pontos questionados foram marcados na Figura 1.10 para melhor
visualização.
a) Qualquer valor real atribuído a x produzirá um valor de y correspondente. Então,
D(f) = R.
b) Não existe nenhum valor de x que produzirá um valor de y maior do que 4.
Logo, Im(f) =]−∞, 4]
c) Percebe-se que o gráfico está acima do eixo x quando x = 0. Portanto, f(0) é
positivo.
d) Observa-se que o gráfico está abaixo do eixo x quando x = 3. Logo, f(3) é
negativo.
e) Verifica-se que o gráfico intercepta o eixo x quando x = 2 pois f(2) = 0.
13 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
yA(0,4)
B(3,-5)
C(2,0)
Figura 1.10: Gráfico de f(x)
f) É preciso que se identifique em quais pontos o gráfico intercepta o eixo x. Isso
ocorre quando x = −2 e, como se observou no item anterior, quando x = 2.
g) Deve-se investigar para quais valores de x o gráfico está posicionado acima do
eixo x. Isso se verifica para todos os valores de x maiores que −2 e menores
que 2. Então, f(x) > 0 ⇔ x ∈ ]− 2, 2[.
h) Basta identificar para quais valores de x o gráfico está posicionado abaixo do
eixo x. Isso acontece para todos os valores de x menores que −2 e maiores que
2. Então, f(x) < 0 ⇔ x ∈ ]−∞,−2[∪ ]2,+∞[.
Exemplo 1.4.5. Suponha que o custo total c(q) de uma quantidade q de unidades
produzidas de um produto seja dado pela função c(q) = q3 − 30q2 + 500q + 200.
Determine:
a) o custo para produzir 10 unidades desse produto;
b) o custo para produzir a décima unidade desse produto.
Solução:
a) Almeja-se encontrar c(10). Para tanto, basta substituir q por 10 na expressão
dada e calcular o resultado. Então:
c(10) = (10)3 − 30(10)2 + 500(10) + 200
= 1.000− 30(100) + 5.000 + 200
= 1.000− 3.000 + 5.000 + 200
c(10) = 3.200.
14 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
b) Como já foi investigado o custo para se fazer 10 unidades do produto, agora
basta subtrair o valor do custo para se fazer 9 unidades. Em outras palavras,
deve-se calcular c(10) − c(9). Calcula-se c(9) da mesma forma como foi feito
no item anterior:
c(9) = (9)3 − 30(9)2 + 500(9) + 200
= 729− 30(81) + 4.500 + 200
= 729− 2.430 + 4.500 + 200
c(9) = 2.999.
Agora, é possível encontrar o custo de produção da 10a unidade:
c(10)− c(9) = 3.200− 2.999
c(10)− c(9) = 201.
Exemplo 1.4.6. Considere a função definida por
f(x) =

2, se x < −2
1− x, se − 2 ≤ x ≤ 1
1 + x2, se 1 < x ≤ 3
√
x, se x > 3
, determine:
a) f(−2)
b) f(−4)
c) f(0)
d) f(2)
e) f(4)
Solução:
Antes de substituir o valor de x nas expressões, é necessária uma investi-
gação para saber a qual intervalo esse valor pertence, para só depois calcular o valor
numérico na lei de definição correspondente a tal intervalo.
a) Para calcular f(−2), nota-se que o valor x = −2 se encontra no intervalo
−2 ≤ x ≤ 1, portanto, a lei de definição a ser utilizada é f(x) = 1 − x.
15 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Então, calcula-se o valor numérico:
f(x) = 1− x
f(−2) = 1− (−2)
= 1 + 2
f(−2) = 3.
b) Para calcular f(−4), como o valor x = −4 se encontra no intervalo x < −2, en-
tão, a lei de definição a ser utilizada é f(x) = 2. Calculando o valor numérico:
f(x) = 2
f(−4) = 2.
c) Para calcular f(0), como o valor x = 0 se encontra no intervalo −2 ≤ x ≤ 1,
logo, a lei de definição a ser utilizada é f(x) = 1 − x. Basta calcular o valor
numérico:
f(x) = 1− x
f(0) = 1− (0)
f(0) = 1.
d) Para calcular f(2), já que o valor x = 2 se encontra no intervalo 1 < x ≤ 3,
portanto, a lei de definição a ser utilizada é f(x) = 1 + x2. Fazendo o cálculo
do valor numérico obtemos:
f(x) = 1 + x2
f(2) = 1 + (2)2
= 1 + 4
f(2) = 5.
e) Para calcular f(2), uma vez que o valor x = 4 se encontra no intervalo x > 3,
então, a lei de definição a ser utilizada é f(x) =
√
x. Calculando o valor nu-
mérico temos:
f(x) =
√
x
f(4) =
√
(4)
f(4) = 2.
Exemplo 1.4.7. A velocidade v do sangue, no interior de uma artéria, é dada em
cm/s, pela lei v(r) = 1, 28−20.000r2, em que r é a distância de um ponto considerado
16 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
ao centro da artéria. Sabendo-se que o raio da artéria é r = 8× 10−3 cm, determine
a velocidade do sangue:
a) no centro da artéria;
b) na parede da artéria.
Exercício 1.4.1. Com base na definição de funções, considere a seguinte situação
e responda: numa pesquisa para detectar as emissoras de rádio de maior audiência,
os pesquisadores associam cada aparelho ligado à emissora na qual está sintonizado.
a) Essa situação caracteriza uma função?
b) Se associássemos cada emissora aos rádios ligados, isto seria uma função?
Exercício 1.4.2. Calcule os valores indicados das funções dadas:
a)h(x) =
x
x2 + 1
h(−1), h(0), h(1)
b) f(x) =
√
x2 + 2x+ 4 f(−4), f(0), f(2)
c) g(x) = 4 + |x| g(−2), g(0), g(2)
d)m(x) =

3, se x < −5
x+ 1, se − 5 ≤ x ≤ 5
√
x, se x > 5
m(−6),m(−5),m(0),m(16)
Exercício 1.4.3. Dada a função f : R→ R definida por f(x) = 3x+ 1, calcule:
a) f(−2)
b) f(0)
c) f
(
1
3
)
d) x para f(x) = 4
e) x para f(x) = 0.
Exercício 1.4.4. Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma fábrica de
sapatos indica que um trabalhador médio que chega ao trabalho às 8h terá finalizado
um total de f(x) = x3 + 6x2 + 15x pares de sapatos x horas mais tarde. Responda:
17 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
a) Quantos pares de sapatos serão finalizados por um trabalhador médio às 10h?
b) Quantos pares de sapatos serão finalizados por um trabalhador médio entre 9h
e 10h?
Exercício 1.4.5. Um objeto foi lançado do alto de um prédio. Sua altura h(t) após
t segundos é dada pela função h(t) = −16t2 + 256. Responda:
a) A que altura estava o objeto 2 segundos após o lançamento?
b) Qual distância o objeto terá percorrido entre 2 e 3 segundos após o lançamento?
c) Que altura tem o prédio?
d) Quando o objeto atingirá o solo?
Exercício 1.4.6. Uma pesquisa sobre a desvalorização de bens tecnológicos estimou
qual seria o preço p(x) dos computadores de uma certa marca daqui a x meses de
acordo com a função p(x) = 4.000 +
3.000
x+ 1
unidades monetárias (u.m). Responda:
a) Qual será o preço daqui a 5 meses?
b) Em relação ao quarto mês,quanto cairá o preço no quinto mês?
c) Quando o preço será igual a 4.300 u.m?
d) O que acontecerá com o preço a longo prazo?
Exercício 1.4.7. Um estudo ambiental de uma certa comunidade urbana sugere
que o nível médio diário de monóxido de carbono no ar será de c(p) = 0, 3p + 1
ppm, quando a população for de p mil. Estima-se que, t anos a partir de agora, a
população da comunidade será de p(t) = 9 + 0, 2t2 mil.
a) Expresse o nível de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo.
b) Qual será o nível de monóxido de carbono daqui a dois anos?
c) Quando o nível de monóxido de carbono atingirá 5, 2 ppm?
Exercício 1.4.8. Estima-se que t anos a partir de agora, o número de habitantes
de uma certa cidade será de h(t) = 20− 5
t+ 1
mil. Responda:
a) Qual será o número de habitantes dessa cidade daqui a 9 anos?
18 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
b) O que acontece com h(t) à medida que t cresce mais e mais?
Exercício 1.4.9. Observe o gráfico de f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 4) na Figura 1.11
e responda atentamente às seguintes perguntas:
a) Qual o domínio de f(x)?
b) Qual a imagem de f(x)?
c) Qual é o valor de f(−1)?
d) Qual é o valor de f(4)?
e) Para quais valores de x, f(x) é positiva?
f) Para quais valores de x, f(x) é negativa?
g) A função f(x) é contínua?
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.11: Gráfico de f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 4)
Exercício 1.4.10. Responda às perguntas abaixo referentes à função f(x) = y =
1 +
√
x:
a) Para quais valores de x, y = 4?
b) Para quais valores de x, y = 0?
19 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
c) Qual é a função de x descrita por f(x+ 1)?
Exercício 1.4.11. Determine o domínio das funções:
a) f(x) = 1− x
3
b) f(x) = x2 + x
Respostas dos exercícios
1.4.1. a) Sim. b) Não.
1.4.2. a) h(−1) = −1
2
, h(0) = 0, h(1) =
1
2
b) f(−4) = 2√3, f(0) = 2, f(2) = 2√3
c) g(−2) = 6, g(0) = 4, g(2) = 6
d) m(−6) = 3, m(−5) = −4, m(0) = 1, m(16) = 4
1.4.3. a) f(−2) = −5 b) f(0) = 1 c) f(1
3
) = 2 d) x = 1 e) x = −1
3
1.4.4. a) f(2) = 62 b) f(2)− f(1) = 40
1.4.5. a) H(2) = 192 b) h(3)− h(2) = 80 c) h(0) = 256 d) t = 4
1.4.6. a) p(x) = 4.500
b) Diminuirá em 100.
c) 9 meses.
d) p(x) se aproximará cada vez mais de 4.000.
1.4.7. a) c(t) = 3, 7 + 0, 06t2 b) c(2) = 3, 94 ppm c) t = 5
1.4.8. a) P (9) = 19, 5 mil
b) A população cada vez mais se aproxima de 20 mil.
1.4.9. a) D(f) = R
b) Im(f) = R
c)f(−1) = −30
d) f(4) = 0
20 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
e) {x ∈ R|1 < x < 2 ∨ x > 4}
f) {x ∈ R|x < 1 ∨ 2 < x < 4}
g) Sim
1.4.10.a) x = 9 b) Não há. c) f(x+ 1) = 1 +
√
x+ 1
1.4.11.a) D(f) = R b) D(f). = R
1.5 Alguns tipos de funções
1.5.1 Função crescente
Uma função f(x) é dita crescente se para todos os pontos x1 e x2 per-
tencentes ao seu domínio, tais que x1 < x2, então f(x1) < f(x2). Ou seja, quanto
maior o valor de x, maior será o valor de y correspondente. A Figura 1.12 mostra
um exemplo de gráfico de uma função crescente.
−3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 1.12: Gráfico de uma função crescente
1.5.2 Função decrescente
Uma função f(x) é dita decrescente se para todos os pontos x1 e x2
pertencentes ao seu domínio, tais que x1 < x2, então f(x1) > f(x2). Ou seja,
quanto maior o valor de x, menor será o valor de y correspondente. A Figura 1.13
mostra um exemplo de gráfico de função decrescente.
21 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
−2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 1.13: Gráfico de uma função decrescente
1.5.3 Função par
Uma função f(x) é par se, para todo x no domínio de f(x), −x pertence
também ao domínio de f(x), e f(−x) = f(x). Pode-se dizer que elementos opostos
desse tipo de função têm imagens iguais. O gráfico de uma função par é simétrico
em relação ao eixo vertical, como pode ser visto na Figura 1.14.
−3 −2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 1.14: Gráfico de uma função par
Exemplo 1.5.1. Verifique se as seguintes funções são pares:
a) f(x) = x4
b) g(x) = cos(x).
Solução:
a) A função será par se f(−x) = f(x), para qualquer x do domínio de f . Como
nesse caso D(f) = R, então dado um x = a, com a ∈ R tem-se que:
f(a) = (a)4 = a4.
22 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Agora basta fazer o mesmo procedimento para x = −a e comparar os
resultados obtidos:
f(−a) = (−a)4 = a4.
Percebe-se que f(a) = f(−a) para todo a ∈ D(f). Logo, a função
f(x) = x4 é par.
b) Para a função ser par f(−x) = f(x), para qualquer x do domínio de f . Como
nesse caso D(f) = R, então dado um x = a, com a ∈ R tem-se que:
f(a) = cos(a).
Agora é só fazer o mesmo procedimento para x = −a e comparar os
resultados obtidos:
f(−a) = cos(−a) = cos(a).
Assim, nota-se que f(a) = f(−a) para todo a ∈ D(f). Logo, a função
f(x) = cos(a) é par.
1.5.4 Função ímpar
Uma função f(x) é ímpar se, para todo x no domínio de f(x), −x per-
tence também ao domínio de f(x) e f(−x) = −f(x). Pode-se dizer que elementos
opostos desse tipo de função têm imagens opostas. O gráfico de uma função ímpar
é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.15: Gráfico de uma função ímpar
Exemplo 1.5.2. Verifique se as seguintes funções são ímpares:
23 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
a) f(x) = x5
b) g(x) = sen(x).
Solução:
a) A função será ímpar se f(−x) = −f(x), para qualquer x do domínio de f .
Como nesse caso D(f) = R, então dado um x = a, com a ∈ R tem-se que:
f(−a) = (−a)5 = −a5.
Agora, calcula-se −f(a) e se compara os resultados obtidos:
−f(a) = −(a)5 = −a5.
Percebe-se que f(−a) = −f(a) para todo a ∈ D(f). Logo, a função
f(x) = x5 é ímpar.
b) Para a função ser ímpar f(−x) = −f(x), para qualquer x do domínio de f .
Como nesse caso D(f) = R, então dado um x = a, com a ∈ R tem-se que:
f(−a) = sen(−a).
Agora, calcula-se −f(a) e se compara os resultados obtidos:
−f(a) = −sen(a) = sen(−a).
Nota-se que f(−a) = −f(a) para todo a ∈ D(f). Logo, a função f(x) =
sen(a) é ímpar.
Observação 1.5.1. Simetria de gráficos
a) Em relação ao eixo y: Dada uma curva qualquer, ao se substituir o valor de x
por −x em sua lei de definição, obtém-se uma curva simétrica à curva dada
em relação ao eixo y. Veja na Figura 1.16.
b) Em relação ao eixo x: Dada uma curva qualquer, ao se substituir o valor de y
por −y em sua lei de definição, obtém-se uma curva simétrica à curva dada
em relação ao eixo x. Veja na Figura 1.17.
c) Em relação à origem: Dada uma curva qualquer, ao se substituir os valores de
x e y por −x e −y, respectivamente, obtém-se uma curva simétrica à curva
dada em relação à origem do plano cartesiano. Veja na Figura 1.18.
24 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
x
y
(- , )xy ( , )xy
Figura 1.16: Curvas simétricas em relação ao eixo y
x
y
( , )xy
( ,- )x y
Figura 1.17: Curvas simétricas em relação ao eixo x
x
y
( , )xy
(- ,- )x y
Figura 1.18: Curvas simétricas em relação à origem
1.5.5 Função algébrica
Uma função algébrica é qualquer função cuja regra é um polinômio ou
que pode ser obtida a partir de um polinômio por adição, subtração, multiplicação,
divisão ou potência inteira ou racional. As funções algébricas incluem:
a) Funções polinomiais: São funções da forma p(x) = a0+a1x+a2x2+ ...+anxn.
25 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Exemplo 1.5.3. São funções polinomiais: f(x) = x3− 2x+4, g(x) = x2 + 1.
b) Funções racionais:São funções da forma f(x) =
p(x)
q(x)
, onde p(x) e q(x) são
funções polinomiais tais que q(x) 6= 0.
Exemplo 1.5.4. São funções racionais: h(x) =
x2 + 2x
x2 − 1 , t(x) =
x3 − 7
x+ 5
.
c) Funções modulares: São funções que envolvem o cálculo de valor absoluto.
Exemplo 1.5.5. São funções modulares: c(x) = |x2 − 4|, l(x) = |x3|.
d) Funções com potências fracionárias: São funções onde a variável indepen-
dente se encontra em um radicando.
Exemplo 1.5.6. São funções com potências fracionárias: k(x) =
√
x, m(x) =
3
√
x, n(x) =
5
2
√
x+ 3
e v(x) =
√
4− x2.
1.5.6 Função transcendente
Toda função que não é algébrica é chamada de transcendente. São exem-
plos de funções transcendentes as funções trigonométricas, hiperbólicas, exponenci-
ais e logarítmicas.
Exemplo 1.5.7. São funções transcendentes: f(x) = sen(x+1), g(x) = log(x2+4),
h(x) = 2x e m(x) = senh(x).
1.5.7 Função polinomial
As funções polinomiais mais simples são as potências de x com expoentes
inteiros não-negativos 1, x, x2, x3, ..., xn. Se uma quantidade finita delas é multipli-
cada por constantes e os resultados são somados, obtemos um polinômio da forma:
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3 + ...+ anx
n.
O grau de um polinômio corresponde ao maior expoente de x que aparece
nele. Se an 6= 0, o grau de p(x) é n. Por exemplo, f(x) = 6− 4x+ 2x2 − 5x3 é uma
função polinomial de grau 3 com coeficientes a0 = 6, a1 = −4, a2 = 2 e a3 = −5. O
coeficiente do termo de maior grau é chamado de coeficiente principal.
26 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1.5.8 Função Afim
Definição 1.5.1. Uma função da forma f(x) = ax+ b, com a, b ∈ R, é chamada de
função afim.
A constante a é chamada de coeficiente angular, inclinação da reta ou
taxa de variação da função e a constante b, de coeficiente linear da reta. A função
afim pode ter as seguintes denominações de acordo com seus coeficientes:
Função constante a = 0 e b ∈ R
Função linear a 6= 0 e b = 0
Função identidade a = 1 e b = 0
Toda função afim tem domínio D(f) = R, imagem Im(f) = R, com
exceção da função constante f(x) = b, que tem domínio D(f) = R e imagem
Im(f) = {b}, sendo b o coeficiente linear de f . De qualquer forma, toda função
afim é representada graficamente por uma reta, como pode ser visto nas Figuras
1.19 e 1.20.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
(0, b)
(raiz, 0)
Figura 1.19: Gráfico da função afim f(x) = ax+ b.
Raiz de uma função afim:
É o valor de x para o qual f(x) = 0. Geometricamente, a raiz se encontra
no ponto em que a reta descrita por f corta o eixo x.
27 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.20: Gráfico da função constante f(x) = −1.
Sinal de uma função afim:
O estudo do sinal de uma função procura investigar para quais intervalos
de x, f(x) > 0 (onde a função é positiva) ou, f(x) < 0 (onde a função é negativa).
Antes de fazer esse estudo, é interessante já saber qual a raiz da função, onde
f(x) = 0, e qual o sinal de seu coeficiente angular a. Veja na Tabela 2 uma forma
geométrica de se representar o estudo do sinal.
Tabela 2: Estudo de sinal da função afim.
a > 0→ reta crescente a < 0→ reta decrescente
x
+
raiz raiz x
+
Esboço do gráfico de uma função afim:
Para esboçar o gráfico de uma função afim, basta encontrar dois pontos
que pertençam à sua reta. Uma forma de fazê-lo consiste em atribuir valores x1 e
x2 e, calculando f(x1) e f(x2), encontrar os valores y1 e y2 correspondentes. Final-
mente, traça-se uma reta que passa pelos pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2).
Observação 1.5.2. Os pontos de intersecção da reta descrita por uma função afim
podem auxiliar a construção do gráfico. O ponto em que a reta corta o eixo x é
28 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
(x0, 0), com x0 sendo a raiz da função. A intersecção com o eixo y é o ponto (0, b),
onde b é o coeficiente linear da reta.
Exemplo 1.5.8. Seja a equação da função afim f(x) = 3x− 6, determine:
a) a taxa de variação;
b) o coeficiente linear;
c) seu domínio;
d) sua imagem;
e) a raiz da função;
f) o estudo de sinal da função;
g) o seu gráfico.
Solução:
a) A taxa de variação é a constante que multiplica o valor de x na lei de definição.
Logo, a = 3.
b) A constante que não está multiplicada por x é o coeficiente linear, então b = −6.
c) D(f) = R, como em toda função afim.
d) Im(f) = R, como em qualquer função afim com a 6= 0.
e) Para encontrar a raiz é só calcular o valor de x para que f(x) = 0. Então:
f(x) = 3x− 6
0 = 3x− 6
3x = 6
x =
6
3
x = 2.
f) Como a > 0, então os valores de x menores que a raiz produzem valores negativos
de y, enquanto que valores maiores que a raiz produzem valores positivos de
y. Logo, f(x) < 0: {x ∈ R|x < 2} e f(x) > 0: {x ∈ R|x > 2}.
29 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
g) Para esboçar o gráfico de f , basta encontrar dois pontos utilizando sua lei de
definição, e então traçar uma reta que passe por esses pontos. Dois pontos
notórios são: P1(0, b) e P2(raiz, 0). Nesse caso, P1(0,−6) e P2(2, 0). O gráfico
então fica com a seguinte forma:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
x
y
Exemplo 1.5.9. Uma locadora de veículos A cobra como taxa fixa 25 u.m.(unidades
monetárias), mais 0,60 u.m. por quilômetro x percorrido. A locadora B cobra como
taxa fixa 30 u.m. mais, 0,50 u.m. por quilômetro x rodado. Qual é a locadora que
oferece melhor negócio?
Solução:
Para modelar essa situação é necessário se construir as funções de custo
total para cada locadora. O custo vai depender da distância x percorrida, por isso
as funções serão CA(x) e CB(x). Para construir a lei de definição dessas funções, é
preciso multiplicar a distância x pelo preço cobrado por quilômetro, e depois somar
esse produto à taxa fixa da locadora em questão. Observe a Tabela 3.
Tabela 3: Relação dos custos das locadoras A e B.
Locadora Custo fixo Custo por Km Função do custo total
A 25 0,6 CA(x) = 25 + 0, 6x
B 30 0,5 CB(x) = 30 + 0, 5x
Utilizando as funções, procura-se qual a extensão do percurso em que as
duas locadoras cobram o mesmo valor, ou seja, qual o valor de x para que CA(x) =
CB(x). Calculando:
30 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
CA(x) = CB(x)
25 + 0, 6x = 30 + 0, 5x
0, 6x− 0, 5x = 30− 25
0, 1x = 5
x = 50.
Agora, observe a Tabela 4, onde serão atribuídos três valores distintos
para x (50, 30 e 100), e comparados os resultados das duas locadoras. Perceba
que esses valores são arbitrários, apenas seguindo a seguinte condição: o primeiro
representa a distância em que as duas locadoras cobram o mesmo preço (que já foi
calculado), o segundo é menor e o terceiro é maior do que esse valor. Na Tabela 4,
esses valores serão colocados em ordem crescente para melhor visualização.
Tabela 4: Quadro comparativo entre A e B.
x Custo total de A Custo total de B
30 CA(30) = 25 + 0, 6(30) = 43 CB(30) = 30 + 0, 5(30) = 45
50 CA(50) = 25 + 0, 6(50) = 55 CB(50) = 30 + 0, 5(50) = 55
100 CA(100) = 25 + 0, 6(100) = 85 CB(100) = 30 + 0, 5(100) = 80
100
80
60
40
20
0 20 40 60 80 100
c
u
s
t
o
percurso
Mesmocustoparaas
duaslocadoras
Locadora B
Locadora A
Figura 1.21: Representação gráfica das funções CA(x) e CB(x).
Conclui-se que para um percurso de 50Km as duas locadoras cobram o
mesmo valor, para um percurso inferior a 50Km, a locadora A cobra menos e para
um percurso superior a 50Km, a locadora B cobra menos. Veja a representação
gráfica na Figura 1.21.
31 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Inequaçõesde 1o grau:
São sentenças abertas que usam algum símbolo de desigualdade, tais
como: <,>, ≤, ≥ e 6= para relacionar a expressão algébrica do 1o membro com a do
2o membro. Resolver uma inequação significa encontrar todos os valores da variável
(ou variáveis) que tornam a sentença aberta verdadeira. Esse conjunto de valores é
denominado conjunto-solução da sentença aberta.
As principais regras utilizadas no trabalho com desigualdades são:
a) Se a > 0 e b < c, então ab < ac.
b) Se a < 0 e b < c, então ab > ac.
c) Se a < b, então a+ c < b+ c, para qualquer número c.
Exemplo 1.5.10. Resolva a inequação 6(x− 1) > 8x, considerando como conjunto
universo o conjunto dos números reais.
Solução:
Resolvendo a inequação:
6(x− 1) > 8x
6x− 6 > 8x (propriedade distributiva)
6x− 6 + 6 > 8x+ 6 (somou-se 6 a ambos os membros)
6x > 8x+ 6
6x− 8x > 8x+ 6− 8x (subtraiu-se 8x de cada membro)
−2x > 6
−2x(−1) < 6(−1) (multiplicou-se por (-1) ambos os membros e
inverteu-se o sinal da desigualdade)
2x < −6
2x
2
<
−6
2
(dividiu-se por 2 cada membro)
x < −3.
Conjunto solução: S = {x ∈ R|x < −3}.
Exercício 1.5.1. Determine se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhuma
das duas opções:
32 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
a) f(x) = 3x4 − 2x2 + 1 d) f(y) = y
3 − y
y2 + 1
b) f(x) = 5x3 − 2x e) f(x) = x− 1
x+ 1
c) f(x) = x2 + 2x+ 2 f) f(x) =
1
2
(ax + a−x)
Exercício 1.5.2. Para cada uma das seguintes funções:
f(x) = −5x
g(x) = 4x− 8
h(x) = 2.
a) Determine a raiz da função;
b) Determine o ponto de intersecção com o eixo y;
c) Explicite o domínio e a imagem da função;
d) Faça o estudo do sinal da função;
e) Esboce o gráfico da função.
Exercício 1.5.3. Uma das dimensões de um piso retangular é 4m e sua área é
menor que 132m2, sendo x a outra dimensão do piso. Para essa situação:
a) escreva a inequação que x deve satisfazer;
b) resolva a inequação obtida no item anterior.
Exercício 1.5.4. Determine o conjunto-solução de cada uma das seguintes inequa-
ções no conjunto dos números reais.
a)
2y
3
− 3(y − 1)
6
<
1
2
b) −2t+ 1
3
≤ 1
c) 3(2x+ 1)− 3x < 5x− 1
d) 3(x− 2) + 2(x+ 3) ≥ 2x− 3(2x− 7)
e)
9
4
<
5
2
+
2
3
x
33 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Exercício 1.5.5. Em uma disciplina há duas provas mensais, a primeira com peso
2 e a segunda com peso 3. Se o aluno não alcançar média 7 nessas provas, fará o
exame. Sua média final será a média entre a nota do exame com peso 2 e a média
das provas mensais, com peso 3. Marcelo obteve 4 e 5 nas provas mensais. Se a
média final para a aprovação é 5, qual deve ser sua nota na prova final para ser
aprovado?
Exercício 1.5.6. Uma pessoa tinha no banco um saldo de 560,00 reais. após um
saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de 50 reais, expresse a lei da
função que fornece o novo saldo em termos do número de notas x retiradas.
Exercício 1.5.7. Quando dobra o percurso em uma corrida de taxi, o custo da
nova corrida é igual ao dobro, maior que o dobro ou menor que o dobro da corrida
original?
Respostas dos exercícios
1.5.1. a) Par. b)Ímpar. c) Nem par, nem ímpar.
d) Ímpar. e) Nem par, nem ímpar. f) Par.
1.5.2.
f(x) = −5x g(x) = 4x− 8 h(x) = 2
a) x = 0 x = 2 Não há raiz.
b) (0, 0) (0,−8) (0, 2)
c) D(f) = R e Im(f) = R D(g) = R e Im(g) = R D(h) = R e Im(h) = 2
d) f(x) > 0 : {x ∈ R|x < 0} g(x) > 0 : {x ∈ R|x > 2} h(x) > 0 : ∀x ∈ R
f(x) < 0 : {x ∈ R|x > 0} g(x) < 0 : {x ∈ R|x < 2}
e)
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
1.5.3. a) 4x < 132 b) S = {x ∈ R|x < 33}
1.5.4. a) S = {y ∈ R|y < 0} b) S =
{
t ∈ R|t ≥ −1
3
}
c) S = {x ∈ R|x > 2}
34 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
d) S =
{
x ∈ R|x ≥ 7
3
}
e) S =
{
x ∈ R|x > −3
8
}
1.5.5.
1.5.6.S(x) = 560− 50x.
1.5.7.Menor que o dobro da corrida original.
1.5.9 Função Quadrática
A função quadrática, ou função polinomial de 2o grau, possui sua lei de
definição na forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a 6= 0. O gráfico dessa função é
representado por uma parábola, que pode ter uma das formas presentes na Figura
1.22, dependendo do sinal do coeficiente principal a.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
a <0
y
V
x
V
V
a >0
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
y
V
x
V
V
Figura 1.22: Gráfico da função quadrática.
Em ambos os casos, a parábola é simétrica em torno de uma reta vertical
paralela ou coincidente ao eixo y. Essa reta de simetria corta a parábola em um
ponto chamado de vértice V (xV , yV ). Se a > 0, o vértice é o ponto mais baixo da
curva, pois a parábola tem concavidade voltada para cima. Analogamente, se a < 0,
o vértice é o ponto mais alto da parábola, que nesse caso tem concavidade voltada
para baixo.
Raízes de uma função quadrática:
35 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
As raízes de uma função quadrática são determinadas através do cálculo
de f(x) = 0. Para resolver a equação resultante ax2+bx+c = 0, aplica-se a fórmula
de Bhaskara, encontrando x1 e x2 da seguinte forma:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
.
Portanto, as raízes são
x1 =
−b+√b2 − 4ac
2a
e x2 =
−b−√b2 − 4ac
2a
.
Observação 1.5.3. Assumindo 4 = b2−4ac, as seguintes considerações podem ser
feitas:
• Se 4 > 0, então a função possui duas raízes reais e distintas.
• Se 4 = 0, então a função possui duas raízes reais e iguais.
• Se 4 < 0, então a função não possui raízes reais.
Exemplo 1.5.11. Determine as raízes reais das funções:
a) f(x) = x2 − 2x− 2
b) g(x) = x2 − 16
c) h(x) = x2 − 3x
d) m(x) = −x2 + 2x− 5
Solução:
a) Fazendo f(x) = 0, a equação resultante é x2 − 2x− 2 = 0, com a = 1, b = −2 e
c = −2. Agora, calcula-se x1 e x2:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
x =
−(−2)±√(−2)2 − 4(1)(−2)
2(1)
x =
2±√12
2
x1 = 1 +
√
3
x2 = 1−
√
3.
36 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
b) Atribuindo g(x) = 0, tem-se a equação x2−16 = 0, com a = 1, b = 0 e c = −16.
Essa equação está incompleta, pois b = 0, e nesse caso ela pode ser calculada
da seguinte forma:
x2 − 16 = 0
x2 = 16
x = ±√16
x = ±4.
Ou seja, x1 = 4 e x2 = −4.
c) Assumindo h(x) = 0, obtém-se a equação x2 − 3x = 0, com a = 1, b = −3 e
c = 0. Como no item anterior, essa equação também está incompleta, mas
agora porque c = 0. Nesse caso, podemos resolver da seguinte maneira:
x2 − 3x = 0
x(x− 3) = 0
Quando uma multiplicação tem resultado igual a zero, então tem-se duas
opções: ou o primeiro fator é zero, ou o segundo fator é zero. A partir dessas
duas situações, calcula-se:
x = 0 ou x− 3 = 0
x = 0 ou x = 3.
Logo, x1 = 0 e x2 = 3.
d) Estabelecendo m(x) = 0, encontra-se a equação −x2 +2x− 5 = 0, com a = −1,
b = 2 e c = −5. Calculando x1 e x2:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−(2)±√(2)2 − 4(−1)(−5)
2(−1)
x1 =
2 +
√−16
−2
x2 =
2−√−16
−2 .
Portanto, m(x) não possui raízes reais.
Observação 1.5.4. Relações de Girard
37 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Através dos coeficientes a, b e c de uma função quadrática, podem-se
determinar as raízes x1 e x2 através das relações:
a) Soma das raízes: x1 + x2 = − b
a
b) Produto das raízes: x1 · x2 = c
a
Fatoração de uma função quadrática:
A lei de definição da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c pode ser
reescrita na forma fatorada f(x) = a(x− x1)(x− x2), onde x1 e x2 são as raízes de
f(x) e a é o coeficiente principal dessa função.
Exemplo 1.5.12. Reescreva a função f(x) = 2x2−11x+14 emsua forma fatorada.
Solução:
Utilizando a fórmula de Bhaskara, encontram-se raízes de f(x), x1 =
7
2
e x2 = 2, e o coeficiente principal a = 2. Logo, a forma fatorada de m(x) será:
f(x) = a(x− x1)(x− x2)
= (2)
[
x−
(
7
2
)]
[x− (2)]
f(x) = 2
(
x− 7
2
)
(x− 2).
Observe que ao se calcular os produtos da forma fatorada, retorna-se
para a forma inicial da função.
Vértice de uma parábola:
Seja uma função quadrática f(x) = ax2 + bx+ c, o ponto que representa
o vértice da parábola é
V (xV , yV ) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
.
Demonstração:
Observa-se que xV representa a média entre as raízes x1 e x2 de f , pois
ambas são equidistantes do vértice. Calculando a média:
38 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
xV =
x1 + x2
2
=
−b+√b2 − 4ac
2a
+
−b−√b2 − 4ac
2a
2
xV =
−b
a
2
xV = − b
2a
.
Basta calcular o valor de f(xV ) para se obter yV . Então:
yV = f(xV )
= a(xV )
2 + b(xV ) + c
= a(− b
2a
)2 + b(− b
2a
) + c
=
ab2
4a2
− b
2
2a
+ c
=
b2
4a
− b
2
2a
+ c
=
b2 − 2b2 + 4ac
4a
=
−b2 + 4ac
4a
=
−(b2 − 4ac)
4a
yV = −4
4a
.
Logo, V
(
− b
2a
,−4
4a
)
.
Domínio e imagem de uma função polinomial de 2o grau:
O domínio da função quadrática corresponde ao conjunto dos números
reais, ou seja, D(f) = R. A imagem vai depender do valor do coeficiente a da
seguinte forma:
• Se a > 0, então Im(f) = {y ∈ R|y ≥ yV }, com yV = −4
4a
.
39 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
• Se a < 0, então Im(f) = {y ∈ R|y ≤ yV }, com yV = −4
4a
.
Esboço do gráfico de uma função quadrática:
O gráfico de uma função polinomial de 2o grau é uma parábola, e têm-se
as situações apresentadas na Tabela 5.
Tabela 5: Tipos de gráficos de funções quadráticas.
4 > 0 4 = 0 4 < 0
a > 0
x
y
y
V
x
V
V
x
1
x
2
y
x
1
x
2
=
x
y
x
V
y
V
V
a > 0
x
y
y
V
x
1
x
V
x
2
V
x
y
x
1
x
2
=
x
y
y
V
V
x
V
Com as coordenadas do vértice e as raízes da parábola, pode-se esboçar
o gráfico da função quadrática. Se necessário, escolhe-se mais pontos para que o
gráfico fique mais preciso, como P (0, c), que é o ponto onde a parábola intercepta o
eixo y.
Estudo do sinal da função quadrática:
Estuda-se o sinal da função quadrática analisando a variação dos valores
da função diretamente no gráfico, como pode ser visto na Tabela 6.
40 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Tabela 6: Estudo do sinal da função quadrática.
a > 0 a < 0
4 > 0
x
y
++ x
y
++
4 = 0
+ x
y
+ x
y
4 < 0
x
y
+ + x
y
Exemplo 1.5.13. Para as funções quadráticas f(x) = x2 − 2x− 2 e g(x) = −x2 +
2x− 5, determine:
a) o domínio;
b) as raízes, se houver;
c) o vértice da parábola;
d) a imagem;
e) o estudo do sinal;
f) a forma fatorada da função;
g) o esboço do gráfico.
Solução:
Primeiro será mostrada a resolução para a função f(x) = x2 − 2x− 2.
a) D(f) = R, como em qualquer função quadrática.
41 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
b) Fazendo f(x) = 0, a equação resultante é x2 − 2x− 2 = 0, com a = 1, b = −2 e
c = −2. Agora, calcula-se x1 e x2:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−(−2)±√(−2)2 − 4(1)(−2)
2(1)
x =
2±√12
2
x1 = 1 +
√
3
x2 = 1−
√
3.
c) O vértice da parábola descrita por f é dado por V (xV , yV ), com xV = − b
2a
e
yV = −4
4a
. Então:
xV = − b
2a
yV = −b
2 − 4ac
4a
xV = − −2
2(1)
yV = −(−2)
2 − 4(1)(−2)
4(1)
xV = 1 yV = −4 + 8
4
xV = 1. yV = −3.
Logo, V (1,−3).
d) Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e o valor de yV
(ordenada do vértice) representa o menor valor possível que y pode assumir.
Sendo yV = −3, então Im(f) = {y ∈ R|y ≥ −3}.
e) Sabe-se que a parábola está voltada para cima, então os valores de x em que
f(x) < 0 estão em um intervalo aberto limitado pelas raízes x1 e x2, e os valores
em que f(x) > 0 são todos os números reais que estão fora desse intervalo,
exceto as raízes. Assim:
f(x) < 0: {x ∈ R|1−√3 < x < 1 +√3}
f(x) > 0: {x ∈ R|x < 1−√3 ∧ x > 1 +√3}
f) Como a = 1, x1 = 1 +
√
3 e x2 = 1−
√
3, então:
42 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
f(x) = a(x− x1)(x− x2)
f(x) = 1[x− (1 +√3)][x− (1−√3)].
g) Esboça-se o gráfico localizando as raízes, o vértice e a intersecção com o eixo y.
A figura ilustra o resultado.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Agora, será feito o mesmo para a função g(x) = −x2 + 2x− 5.
a) D(g) = R, como em qualquer função quadrática.
b) Fazendo f(x) = 0, a equação resultante é −x2 + 2x− 5 = 0, com a = −1, b = 2
e c = −5. Agora, calcula-se x1 e x2:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−(2)±√(2)2 − 4(−1)(−5)
2(−1)
x =
−2±√−16
−2 .
Logo, a função g não possui raízes reais.
c) O vértice da parábola descrita por g é dado por V (xV , yV ), com xV = − b
2a
e
yV = −4
4a
. Então:
43 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
xV = − b
2a
yV = −b
2 − 4ac
4a
xV = − 2
2(−1) yV = −
(2)2 − 4(−1)(−5)
4(−1)
xV = 1 yV = −4 + 8
4
xV = 1. yV = −4.
Assim, V (1,−4).
d) Como a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e o valor de yV
(ordenada do vértice) representa o maior valor possível que y pode assumir.
Sendo yV = −4, então Im(g) = {y ∈ R|y ≤ −4}.
e) Observou-se que a função g não possui raízes reais e que a < 0, então g(x) < 0
para todo x ∈ R e não se tem nenhum valor real de x para que g(x) > 0.
f) Não se pode fatorar a função g, pois ela não possui raízes reais.
g) Esboça-se o gráfico localizando as raízes, o vértice e a intersecção com o eixo y.
A figura ilustra o resultado.
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
x
y
Exemplo 1.5.14. Um campo retangular deve ser cercado com 500m de cerca ao
longo de três lados e tem um rio reto como quarto lado, como pode ser visto na Figura
1.23. Seja x o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento
de cada lado paralelo ao rio:
a) Expresse y em termos de x;
44 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
b) Expresse a área A do campo em termos de x;
c) Qual é a maior área que pode ser cercada?
Rio
x
y
x
Figura 1.23: Representação do campo retangular.
Solução:
a) Para cercar os lados há 500m de cerca, assim x + y + x = 500. Isolando y na
equação, escrevemos y em termos de x: y = 500− 2x.
b) A área do retângulo é o produto da base pela sua altura. A base do campo
retangular é y = 500 − 2x, e a altura é x, portanto, A = x(500 − 2x) =
500x− 2x2.
c) A maior área cercada M corresponde à ordenada do vértice da parábola que
descreve a área A = 500x − 2x2. Para esta função, a = −2, b = 500 e c = 0.
Calculando:
M = yV
M = −4
4a
= −500
2 − 4(−2)(0)
4(−2)
M =
−250.000
−8
M = 31.250.
A maior área que pode ser cercada, então, é de 31.250m2.
Inequações polinomiais do 2o grau:
45 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Para a resolução de inequações polinomiais do 2o grau, utiliza-se o estudo
de sinal da função quadrática. Veja no exemplo a seguir.
Exemplo 1.5.15. Resolva a inequação x2−x−6 ≤ 0 , considerando como conjunto
universo o conjunto dos números reais.
Solução:
A inequação descrita pode ser resolvida através do estudo de sinal da
função f(x) = x2−x−6. Nesse caso, x2−x−6 ≤ 0 seriam os valores onde f(x) ≤ 0
para a função f , com a = 1, b = −1 e c = −6. Agora, procura-se as raízes, onde
f(x) = 0, e depois constrói-se o gráfico para ajudarna visualização do estudo de
sinal:
f(x) = 0
x2 − x− 6 = 0
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−(−1)±√(−1)2 − 4(1)(−6)
2(1)
=
1±√25
2
x1 = 3
x2 = −2.
Como a > 0, a parábola é de concavidade voltada para cima, e seu gráfico
pode ser esboçado da seguinte forma:
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
Agora, ao se observar o gráfico, percebe-se que os valores de x para que
f(x) ≤ 0 estão situados entre as raízes x1 = 3 e x2 = −2, e esses valores formam o
46 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
conjunto solução da inequação estudada. Então, S = {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 3}.
Exercício 1.5.8. Dadas as funções quadráticas:
f(x) = x2 + 2
g(x) = x2 + 2x− 3
h(x) = −x2 + x
m(x) = (x− 2)2.
a) Determine suas raízes (se houver) e seu vértice;
b) Obtenha a intersecção com o eixo y;
c) Explicite seu domínio e sua imagem;
d) Estude seu sinal;
e) Esboce seu gráfico.
Exercício 1.5.9. Considere a função real f(x) = px2 − 5x + 6. Determine o valor
de p para que x = 3 seja raiz da função.
Exercício 1.5.10. Determine o valor de m para que g(x) = −2x2− 2mx− 8 tenha
duas raízes reais e iguais.
Exercício 1.5.11. Seja a função f(x) = ax2+ bx+ c, onde a, b e c são constantes e
a 6= 0, encontre os valores dos coeficientes a, b e c se f(0) = 3, f(1) = 2 e f(2) = 9.
Exercício 1.5.12. Um terreno retangular deve ser cercado com dois tipos de cerca.
Dois lados opostos terão cercas mais grossas, custando 3,00 u.m. (unidades mone-
tárias) por metro, enquanto que os outros dois terão cerca comum que custa 2,00
u.m. por metro. Está disponível para as cercas 600,00 u.m.. Seja x o comprimento
de cada lado a receber a cerca grossa e y cada lado a receber a cerca comum.
a) Expresse y em termos de x;
b) Encontre uma expressão para a área A do terreno em termos de x;
c) Mostre qual a maior área que pode ser cercada.
Exercício 1.5.13. Resolva as inequações, considerando como conjunto universo o
conjunto dos números reais.
47 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
a) 1− x ≤ 2x2
b) x2 + 4x− 21 > 0
c) x2 > 6x− 9
Exercício 1.5.14. Qual das seguintes funções possui uma única raiz x = −3 e cujo
gráfico passa pelo ponto A(−2, 5)?
a) f(x) = 5x2 + 30x+ 45
b) f(x) = −5
4
x2 − 5
4
x+
15
2
c) f(x) = −5x2 − 20x− 15
d) f(x) = x2 + 10x+ 21
e) f(x) = −x2 + 9
Exercício 1.5.15. Um pastor deseja fazer um cercado retangular para suas ovelhas
e dispõe de 100m de cerca. Se x é o comprimento de um lado do cercado, mostre
que a área cercada é A(x) = 50x− x2.
Exercício 1.5.16. Uma pessoa quer plantar um jardim retangular ao longo de um
dos lados da casa, e construir uma cerca nos outros três lados do jardim. Expresse
a área do jardim em função de um de seus lados sabendo que serão utilizados 20 m
de cerca.
Exercício 1.5.17. Um posto de combustível vende 10.000 litros a 2,40 reais por
litro. Seu dono percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro,
eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do
álcool foi de 2,38 reais foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em
centavos, do desconto de cada litro, e V o valor, em rais, arrecadado por dia, então
determine a expressão que relaciona V e x.
Respostas dos exercícios
48 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1.5.8.
f(x) = x2 + 2 g(x) = x2 + 2x− 3
a) Não há raízes reais. x1 = 1 e x2 = −3
Vf (0, 2) Vg(−1,−4)
b) f(0) = 2 g(0) = −3
c) D(f) = R D(g) = R
Im(f) = {y ∈ R|y ≥ 2} Im(g) = {y ∈ R|y ≥ −4}
d) ∀x ∈ R, f(x) = 0 g(x) > 0 : {x ∈ R|x < −3 ∨ x > 1}
g(x) < 0 : {x ∈ R| − 3 < x < 1}
e)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
h(x) = −x2 + x m(x) = (x− 2)2
a) x1 = 1 e x2 = 0 x1 = x2 = 2
Vh
(
1
2
,
1
4
)
Vm(2, 0)
b) h(0) = 0 m(0) = 4
c) D(h) = R D(m) = R
Im(h) = {y ∈ R|y ≤ 1
4
} Im(m) = {y ∈ R|x ≥ 0}
d) h(x) > 0 : {x ∈ R|0 < x < 1} m(x) > 0 : {x ∈ R|x 6= 2}
h(x) < 0 : {x ∈ R|x < 0 ∨ x > 1} m(x) < 0 : {}
e)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
x
y
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
1.5.9. p = 1.
1.5.10. m = ±4.
49 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1.5.11. a = 4, b = −5 e c = 3.
1.5.12.a) y =
300− 3x
2
b) A = x
(
300− 3x
2
)
com 0 ≤ x ≤ 100 c) M = 3.750m2
1.5.13.a) {x ∈ R|x ≤ −1 ∨ x ≥ 1
2
} b) {x ∈ R|x < −7 ∨ x > 3} c){x ∈ R|x 6= 3}
1.5.14. Opção a).
1.5.16. A(x) = 20x− 2x2, com 0 ≤ x ≤ 10
1.5.10 Função polinomial de grau maior que 2
Equação biquadrada:
Equações biquadradas são aquelas que contêm somente expoentes pares.
Por exemplo, 3x4−5x2 = 0 e 7x4+3x2+2 = 0 são equações biquadradas. A resolução
desse tipo de equação se baseia na substituição de x2 por r, transformando a equação
de grau 4 em uma equação de grau 2 na variável r, da seguinte forma:
ax4 + bx2 + c = 0 → ar2 + br + c = 0
Para encontrar as raízes x1 e x2 de uma equação biquadrada, procuram-se
as raízes da equação em r (r1 e r2), e depois se utiliza a relação x12 = r1 e x22 = r2.
Exemplo 1.5.16. Resolva a equação x4 − 4x2 + 3 = 0.
Solução
A equação é biquadrada, pois contém apenas expoentes pares em suas
variáveis. A solução é obtida atribuindo-se x2 = r, e por conseguinte, x4 = r2, da
sequinte forma:
x4 − 4x2 + 3 = 0 → r2 − 4r ++3 = 0.
Agora resolve-se a equação em r, que é do 2o grau com coeficientes a = 1,
b = −4 e c = 3. Então:
50 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
r2 − 3r + 3 = 0
r =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−(−4)±√(−4)2 − 4(1)(3)
2(1)
=
4±√4
2
r1 = 3
r2 = 1.
Finalmente, calculam-se as raízes em x:
x1
2 = r1 x2
2 = r2
x1
2 = 3 x2
2 = 1
x1 = ±
√
3 x2 = ±
√
1
x1 = ±
√
3. x2 = ±1.
Então, o conjunto solução da equação x4−4x2+3 = 0 é S = {−√3,−1, 1,√3}.
Equações polinomiais de grau n:
Teorema 1.5.1. Toda equação de grau n, com n ≥ 1, possui exatamente n raízes
complexas.
Se uma função polinomial f(x) = anxn + an−1xn−1 + ...+ a3x3 + a2x2 +
a1x + a0, com an 6= 0, de coeficientes inteiros, admite uma raiz racional p
q
, em que
p ∈ Z e q ∈ Z+, e ainda p e q são primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor
de an.
Este teorema pode ser utilizado para determinar as raízes de funções
polinomiais. Na prática, podemos usá-lo para achar uma das raízes e as outras são
raízes da equação fatorada obtidas pelo algoritmo de Briot-Ruffini.
Todo polinômio de grau n, com n ≥ 1,
f(x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0,
pode ser decomposto em fatores lineares da forma
f(x) = an(x− x1)(x− x2)...(x− xn−1)(x− xn),
onde x1, x2, ..., xn−1, xn são raízes de f(x).
51 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Exemplo 1.5.17. Escreva a forma fatorada das seguintes funções.
a) p(x) = x2 − 2x− 2
b) q(x) = x2 − 16.
Solução:
a) As raízes de p(x) são x1 = 1 +
√
3 e x2 = 1 −
√
3, e o coeficiente do termo de
maior grau é a2 = 1. Portanto, sua forma fatorada será:
p(x) = a2(x− x1)(x− x2)
= (1)[x− (1 +√3)][x− (1−√3)]
p(x) = [x− (1 +√3)][x− (1−√3)].
b) As raízes de q(x) são x1 = 4 e x2 = −4, e o coeficiente do termo de maior grau
é a2 = 1. Então, a forma fatorada de função será:
q(x) = a2(x− x1)(x− x2)
= (1)[x− (4)][x− (−4)]
q(x) = (x− 4)(x+ 4).
Algoritmo de Briot-Ruffini:
O algoritmo de Briot-Ruffini consiste de um dispositivo prático para e-
fetuar a divisão de um polinômio p(x) por um binômio (x − a). Considere um
polinômio p(x) = anxn+an−1xn−1+ ...+a3x3+a2x2+a1x+a0, com n ≥ 1, pode-se
descrever esse dispositivo pelos seguintespassos:
1. Dispõem-se todos os coeficientes de p(x) na chave:
an an−1 ... a1 a0
2. Coloca-se à esquerda a raiz de (x− a):
a an an−1 ... a1 a0
52 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
3. Baixa-se o primeiro coeficiente an:
a an an−1 ... a1 a0
↓
an
4. Multiplica-se pela raiz a e soma-se o resultado ao segundo coeficiente de p(x),
que é an−1:
a an an−1 ... a1 a0
× a× an
an a× an + an−1 ...
5. Repetimos a última sequência para os coeficientes restantes.
Observação 1.5.5. Ao se aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini em um polinômio de
grau n, o polinômio resultante terá grau n−1. Qualquer polinômio pode ser fatorado
com esse algoritmo, basta que se saiba pelo menos uma das raízes do polinômio a
ser fatorado.
Exemplo 1.5.18. Determine as raízes das seguintes funções:
a) f(x) = x3 + 5x2 − 14x
b) g(x) = x3 + 8
c) h(x) = 3x3 − 13x2 + 5x+ 21.
Solução:
a) As raízes são encontradas resolvendo f(x) = 0. A variável x na equação re-
sultante x3 + 5x2 − 14x = 0 pode ser colocada em evidência, resultando na
expressão: x(x2 + 5x− 14) = 0. Obtêm-se uma multiplicação onde o produto
é nulo, consequentemente um dos termos do produto deve ser igual a zero, isto
é:
x = 0 ou x2 + 5x− 14 = 0.
Uma das raízes já foi encontrada, x1 = 0. As outras vêm da resolução
da equação x2 + 5x− 14 = 0, que é do segundo grau e pode ser resolvida com
53 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
a fórmula de Bhaskara:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−(5)±√(5)2 − 4(1)(−14)
2(1)
=
−5±√81
2
x2 = −7
x3 = 2.
Logo, as raízes de f são x1 = 0, x2 = −7 e x3 = 2.
b) Encontram-se as raízes resolvendo g(x) = 0. A equação resultante é x3 + 8 = 0
e pode ser resolvida seguindo os seguintes passos:
Passo 1: Encontrar pelo menos uma raiz da equação. Calculando:
x3 + 8 = 0
x3 = −8
x = 3
√−8
x1 = −2.
Passo 2: Escrever g(x) na forma de um polinômio completo.
g(x) = x3 + 8
g(x) = x3 + 0x2 + 0x+ 8.
Agora, a expressão polinomial que representa g(x) já pode ser fato-
rada utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini.
Passo 3: Colocar os coeficientes do polinômio completo e a raiz encontrada
no Passo 1 numa chave da seguinte forma:
1 0 0 8
−2
54 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Passo 4: Repetir o primeiro coeficiente na terceira linha de sua respectiva
coluna.
1 0 0 8
−2 ↓
1
Passo 5: Multiplicar o primeiro coeficiente da terceira linha pela raiz, colocar
o resultado na segunda linha, somar este valor com o segundo coeficiente
da primeira linha, colocando o resultado final na terceira linha.
1 0 0 8
−2 ↓ −2
1 −2
Passo 6: Repetir o Passo 5 com os demais coeficientes da primeira linha até
encontrar zero na terceira linha.
1 0 0 8
−2 ↓ −2 4
1 −2 4
1 0 0 8
−2 ↓ −2 4 −8
1 −2 4 0
Passo 7: Ao se aplicar o algoritmo, está se dividindo (x3 +8) por (x+2), e o
resultado é o polinômio x2 − 2x+ 4, que possui os coeficientes presentes
na terceira linha do algoritmo. Calculando as raízes do polinômio encon-
trado através da fórmula de Bhaskara:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−(−2)±√(−2)2 − 4(1)(4)
2(1)
x =
2±√−12
2
.
Essa equação não possui raízes reais, portanto, x1 = −2 é a única
raiz real de g.
55 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
c) Para encontrar as raízes, resolve-se h(x) = 0. Pode-se aplicar o algoritmo de
Briot-Ruffini para dividir o polinômio 3x3 − 13x + 5x + 21 por x− x1, sendo
x1 uma das raízes de h(x). Como não se tem nenhuma raiz conhecida, deve-se
atribuir um valor para x1 e testar o algoritmo: se o último termo da terceira
linha for nulo, então a escolha foi apropriada e x1 é de fato raiz de h(x).
Testando o algoritmo para x1 = −1:
Passo 1: Colocar os coeficientes de h(x) = 3x3−13x+5x+21 e a raiz x1 = −1
numa chave da seguinte forma:
3 −13 5 21
−1
Passo 2: Repetir o primeiro coeficiente na terceira linha de sua respectiva
coluna.
3 −13 5 21
−1 ↓
3
Passo 3: Multiplicar o primeiro coeficiente da terceira linha pela raiz, colocar
o resultado na segunda linha, somar este valor com o segundo coeficiente
da primeira linha, colocando o resultado final na terceira linha.
3 −13 5 21
−1 ↓ −3
3 −16
Passo 6: Repetir o Passo 3 com os demais coeficientes da primeira linha até
completar a terceira linha.
3 -13 5 21
−1 ↓ −3 16 −21
3 −16 21 0
56 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Como o último valor da terceira linha foi zero, então x1 = −1 é real-
mente raiz de h(x), e agora pode-se procurar as raízes do polinômio resultante
do algoritmo, formado pelos coeficientes da terceira linha. Então, calculando
através da fórmula de Bhaskara as raízes de 3x2 − 16x+ 21 = 0:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−(−16)±√(−16)2 − 4(3)(21)
2(3)
=
16±√4
6
x2 = 3
x3 =
7
3
.
Logo, S =
{
−1, 7
3
, 3
}
.
Exercício 1.5.18. Resolva as equações, no conjunto dos números reais.
a) −1
3
+
x
4
=
2x
3
− 7
12
b)
x− 2
3
+
x− 1
3
=
2x− 1
3
c)
2
3
+ 2x2 =
−3
x2
, x 6= 0.
Exercício 1.5.19. Para quais valores de k a equação 3x2− 7x− 2k+3 = 0 admite
raízes reais e idênticas?
Exercício 1.5.20. Determine, se houver, as outras raízes reais da equação x4−x3−
2x2 + 6x− 4 = 0, sabendo que duas raízes são x1 = −2 e x2 = 1.
Exercício 1.5.21. Uma das raízes da equação x3 + (m + 1)x2 + (m + 9)x + 9 = 0
é x1 = −1. Determine m para que as outras raízes sejam iguais.
Exercício 1.5.22. Qual é o número de raízes reais da equação (x2−1)(x2−1) = 0?
Encontre-as.
Exercício 1.5.23. Determine as raízes reais das equações:
57 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
a) x3 − x2 − 4x+ 4 = 0
b) x4 − 2x3 − 16x2 + 2x+ 15 = 0.
Exercício 1.5.24. Divida p(x) = x3 − x2 − 4x+ 4 por d(x) = x− 2.
Exercício 1.5.25. Fatore os seguintes polinômios, utilizando o algoritmo de Briot
Ruffini.
a) x3 − 7x2 + 15x− 9
b) x3 + x2 − 2x.
Exercício 1.5.26. Marque com um X a alternativa correta.
I. O valor de m para que a equação x2− 7x+
(
3− m
2
)
= 0 tenha uma raiz nula é:
a) 7 b) 6 c) 0 d) - 6 e) Nenhuma das alternativas anteriores.
II. A diferença entre a maior e a menor raiz da equação x4 − 13x2 + 36 = 0 é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Nenhuma das alternativas anteriores.
III. Dados os polinômios A e B, tais que A = 3x3− 2x2+x− 2 e B = x− 1, então:
a) A é divisível por B.
b) A não é divisível por B.
c) O resto da divisão de A por B é igual a x− 1.
d) O resto da divisão de A por B é igual a x+ 1.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Respostas dos exercícios
1.5.18. a) S =
{
3
5
}
b) S = R. c) S = {}
1.5.19. k = −13
24
1.5.20. Não há outras raízes reais.
1.5.21. m = −6 ou m = 6.
58 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1.5.22. São quatro raízes, S = {−1,−1, 1, 1}.
1.5.23. a) S = {−2, 1, 2}. b) S = {−3,−1, 1, 5}
1.5.24.
p(x)
d(x)
= (x− 1)(x+ 2)
1.5.25. a) (x− 1)(x− 3)(x− 3). b) x(x− 1)(x+ 2)
1.5.26. I. Alternativa b). II. Alternativa d). III. Alternativa a).
1.5.11 Funções definidas por intervalos
Em algumas situações, são necessárias mais de uma fórmula para definir
uma função. Por exemplo, em uma empresa de fotografias o custo das cópias digitais
é definido pela Tabela 7.
Tabela 7: Função custo P (x).
Número de cópias Preço Função P (x)
Até 10 0,7 P (x) = 0, 7x
De 11 a 100 0,6 P (x) = 0, 6x
De 101 a 200 0,5 P (x) = 0, 5x
Acima de 200 0,48 P (x) = 0, 48x
Nesse caso, a situação pode ser descrita por uma função definida por 4
intervalos que pode ser escrita como:
P (x) =

0, 7x, se 0 < x ≤ −2
0, 6x, se 11 ≤ x ≤ 100
0, 5x, se 101 < x ≤ 200
0, 48x, se x > 200.
Exemplo 1.5.19.A função de HeavisideH(t) é definida porH(t) =
 0, se t < 01, se t ≥ 0.
Essa função é usada no estudo de circuitos eletricos para representar o surgimento
repentino de corrente elétrica ou voltagem quando uma chave é instantaneamente
ligada.
a) Esboce o gráfico de H(t).
59 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
b) Esboce o gráfico da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada em t = 0s
e 120v forem aplicados instantaneamente no circuito. Escreva a fórmula para
V (t) em termos de H(t).
c) Esboce o gráfico de V (t) no circuito se uma chave for ligada em t = 5s e 240v
forem aplicados instantaneamente no circuito. Escreva a fórmula para V (t)
em termos de H(t).
Outro exemplo de função definida por intervalos é a função modular.
1.5.12 Função modular
A função modular, ou simplesmente módulo, é definida por f(x) = |x|,
onde:
|x| =
 −x, se x < 0x, se x ≥ 0.
O seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o intervalo
[0,+∞[. O gráfico de uma função modular pode ser visto na Figura 1.24.
Outra maneira de se definir o valor absoluto é |x| = max{x,−x}.
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 1.24: Gráfico da função modular f(x) = |x|.
Propriedades do valor absoluto
Seja k qualquer número positivo, então:
60 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1. |x| = k se, e somente se, x = ±k;
2. −|x| ≤ x ≤ |x|;
3. |x| ≤ k se, e somente se, −k ≤ x ≤ k;
4. |x| ≥ k se, e somente se, x ≥ k ou x ≤ −k;
5. Desigualdade triangular: |x+ y| ≤ |x|+ |y|;
6. |x− y| ≥ |x| − |y|.
Exemplo 1.5.20. Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = |x− 3| b) g(x) = |x2 − 4|.
Solução:
a) Utilizando a definição de módulo tem-se que:
|x− 3| =
 −(x− 3), se x− 3 < 0x− 3, se x− 3 ≥ 0.
Ou seja:
|x− 3| =
 −x+ 3, se x < 3x− 3, se x ≥ 3.
Para traçar o gráfico de uma função modular, que é uma função defi-
nida por intervalos, primeiro se investiga quais os valores de x que servem de
extremos para as duas leis de definição. No caso da função f , esse valor é
único e corresponde a x = 3. Agora, esboçam-se os gráficos das duas leis de
definição no mesmo plano cartesiano, mas cada gráfico se situará de um lado
desse extremo que divide o plano, de acordo com seu intervalo correspondente.
O gráfico então fica da seguinte forma:
b) Primeiro utiliza-se a definição de módulo para se encontrar o valor de x que
dividirá o gráfico de g em duas partes:
61 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
|x2 − 4| =
 −(x2 − 4), se x2 − 4 < 0x2 − 4, se x2 − 4 ≥ 0.
Resolvendo as inequações de segundo grau:
|x2 − 4| =
 −x2 + 4, se x < −2 ∨ x > 2x2 − 4, se − 2 ≤ x ≤ 2.
Percebe-se que o gráfico de g será particionado em dois pontos, quando
x = −2 e quando x = +2. Agora, basta identificar qual lei de definição utilizar
para se construir o gráfico em cada intervalo: primeiro para valores de x me-
nores do que −2 ou maiores do que 2, onde o gráfico representa uma parábola
de concavidade voltada para cima, e depois para valores entre −2 e 2, onde a
curva será uma parábola de concavidade para baixo. O resultado do gráfico
de g será:
Exercício 1.5.27. Considere a função f(x) = |x2 + 6x+ 5|:
a) determine seu domínio;
b) escreva a função definida por partes correspondente;
c) calcule f(1);
d) esboce seu gráfico.
Exercício 1.5.28. Responda às perguntas abaixo utilizando a função f(x) = 1+
√
x.
62 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
a) Qual função é descrita por f(x2)?
b) Qual função é descrita por f
(
1
x2
)
?
Respostas dos exercícios
1.5.27.a) D(f) = R
b) f(x) =
 −x2 − 6x− 5, se − 5 < x < −1x2 + 6x+ 5, se x ≤ −5 ∨ x ≥ −1
c) f(1) = 12
d)
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
1.5.28.a) f(x2) = 1 + |x| b) f
(
1
x2
)
= 1 +
1
|x|
63 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1.5.13 Funções Racionais
Resolução de inequações produto e quociente
Inequações produto são sentenças abertas que relacionam produtos no
primeiro membro e o valor zero no segundo membro. Ou seja, dadas duas ou mais
funções, denominam-se inequação produto as desigualdades do tipo:
f1(x) · f2(x) · ... · fn(x) > 0 f1(x) · f2(x) · ... · fn(x) < 0
f1(x) · f2(x) · ... · fn(x) ≥ 0 f1(x) · f2(x) · ... · fn(x) ≤ 0.
Considere duas funções, f(x) e g(x), inequações quociente são as desi-
gualdades do tipo:
f(x)
g(x)
> 0
f(x)
g(x)
< 0
f(x)
g(x)
≥ 0 f(x)
g(x)
≤ 0.
Para se resolver uma inequação produto ou quociente deve-se estudar o
sinal de cada função do 1o membro separadamente, transportar os resultados para
um quadro, efetuar o produto e/ou quociente dos sinais e, a seguir, determinar os
conjuntos que satisfazem a desigualdade dada.
Exemplo 1.5.21. Resolva as seguintes inequações, considerando como conjunto
universo o conjunto dos números reais.
a) (x− 1)(2x+ 1)(2− x) > 0
b)
x2 − x− 6
x+ 1
≥ 0
c)
x+ 2
2
+
2
x− 1 ≥ −
1
2
d)
(3x− 1)(−x+ 4)
x
≤ 0.
Solução:
a) Observe que cada fator de (x − 1)(2x + 1)(2 − x) representa uma função do
1o grau, assim deve-se resolvê-los determinando suas raizes e posteriormente
fazendo a análise de sinais, tanto das funções quanto de seu produto. Anali-
zando cada um dos fatores como função separadamente:
64 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
f1(x) = x− 1 raiz: x = 1
função afim a > 0: função crescente x
+
1
f2(x) = 2x+ 1 raiz: x = −12
função afim a > 0: função crescente x
+
-1_
2
f3(x) = 2− x raiz: x = 2
função afim a < 0: função decrescente 2 x
+
Agora, estuda-se o sinal do produto das funções. Para cada função,
destaca-se quais os intervalos que satisfazem a inequação. Lembre-se que as
raízes são os valores de x onde a função é nula, e isso vai determinar se os
intervalos serão fechados ou abertos. Como está se procurando apenas os
valores maiores que zero, então os intervalos destacados em cada função serão
abertos e corresponderão aos valores positivos. Depois, para representar o
produto, divide-se a reta dos números reais em intervalos limitados pelas raízes
de todas as funções fatores. Para cada intervalo, efetua-se o produto dos sinais
das funções, e destaca-se aqueles intervalos que satisfizerem a inequação. Veja
na figura:
1 x
f x( )
1
+
x
f x( )
2
+
-1_
2
2 x
f x( )
3
+
x
+
-1_
2
21
+
++
++
+
f x( )
1
f x( )
2
f x( )
3
..
Observa-se que os intervalos destacados seguem abertos na representação
do produto, pois qualquer valor positivo ou negativo multiplicado por zero
segue sendo igual a zero, e portanto, não faz parte da solução nesse caso.
A inequação terá como solução os intervalos destacados na representação do
produto, logo:
S = {x ∈ R|x < −1
2
∨ 1 < x < 2}.
65 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
b) Tem-se uma inequação quociente com o numerador x2−x−6 sendo uma função
quadrática f e o denominador x + 1, uma função afim g. Analisando cada
função separadamente:
f(x) = x2 − x− 6 raízes: x1 = −2 e x2 = 3
função quadrática a > 0: concavidade para cima
x
+ +
-2 3
g(x) = x+ 1 raiz: x = −1
função afim a > 0: função crescente x
+
-1
Da mesma forma que a inequação produto, destaca-se em cada função os
intervalos que satisfazem a inequação, nesse caso os valores maiores ou iguais
a zero, e depois compõe-se a representação do quociente dividindo a reta dos
números reais em intervalos limitados pelas raízes