Pesquisa operacional

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PESQUISA OPERACIONAL
P.O.
Modelagem Matemática
Prof. Valéria Cristina Tavares
ATIVIDADE DE PESQUISA OPERACIONAL 
	NOME:
	CPF:
Paulo Douglas Silva Pinto 355.775.658.04
	
						Atividade de Pesquisa Operacional do curso de Engenharia de Produção, 9ºsemestre abordando o tema: “Modelagem Matemática”, sob a orientação da Professora Valéria Tavares.
SÃO BERNARDO DO CAMPO
SUMÁRIO 
 1.INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL …………………………………............4
2.O PROCESSO DE TOMADA DE DECISÃO Á CONSTRUÇÃO DE MODELOS..........7
3.ALGUNS MODELOS MATEMÁTICOS.......................................................................12
4. PROGRAMAÇÃO LINEAR..........................................................................................13
5.ALGUMAS APLICAÇÕES DA P.L14...........................................................................14
 
INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
A Pesquisa operacional, ou simplesmente PO (Operational Research – Inglaterra ou Operations Research – EUA), surgiu na Inglaterra durante a Segunda Guerra Mundial (1939-1945) para a solução de problemas de natureza logística, tática e de estratégia militar, quando um grupo de cientistas foi convocado para decidir sobre a utilização mais eficaz dos recursos militares limitados, marcando a primeira atividade formal desse campo de estudo. Dentre os problemas estudados, destacam-se: projeto, manutenção e inspeção de aviões; projeto de explosivos, tanques e motores; melhoria da utilização de radar, canhões antiaéreos e táticas de bombardeios a submarino; dimensionamento de frota, entre outros.
Os resultados positivos alcançados pelo grupo de cientistas ingleses fizeram com que a PO fosse disseminada nos EUA e, em 1947, a equipe liderada por George B. Dantzig de origem ao método Simplex para resolução de problemas de programação linear. Desde então, esse conhecimento vem sendo aplicado, com sucesso, para a otimização de recursos em diversos segmentos industriais e comerciais de várias áreas de negócio (estratégia, marketing, finanças, microeconomia, operações e logística, recursos humanos, entre outras).
O avanço da PO tornou-se possível graças ao aumento da velocidade de processamento e à quantidade de memória de computadores nos últimos anos, tornando possível a solução de problemas complexos. Um profissional de PO deve ser capaz de identificar a técnica mais apropriada para a solução de determinado tipo de problema, os objetivos para a melhoria, as limitações físicas e computacionais do sistema, sendo o elemento humano fundamental nesse processo.
Em termos gerais, podemos dizer que a Pesquisa Operacional consiste na utilização de um método científico (modelos matemáticos, estatísticos e algoritmos computacionais) para a tomada de decisão. Dessa forma, a PO atua cada vez mais em um ramo multidisciplinar, envolvendo áreas de engenharias de produção, matemática aplicada, ciência da computação e gestão de negócios.
Existem atualmente diversas sociedades de PO no Brasil, com o objetivo de promover, por meio de reuniões, seminários, congressos, conferências, cursos, prêmios e publicações entre profissionais, estudantes e instituições, o desenvolvimento dos diversos campos de estudo que fazem uso de seus conceitos e aplicações. Entre as principais sociedades, destacam-se a SOBRAPO (Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional), INFORMS (Institute for Operations Research and Management Science), EURO (The Association of European Operational Research Societies), APDIO (Associação Portuguesa de Investigação Operacional), IFORS (International Federation of Operacional Research Societies) e ALIO (Associación Latino-Ibero-Americana de Invesgacion Operativa).
Devido à grande complexidade de um sistema real que é influenciado por diversas variáveis envolvidas no processo de tomada de decisão, a PO utiliza-se de modelos para sua simplificação. Os principais elementos que compõem um modelo são: variáveis de decisão e parâmetros, restrições e função objetivo. As variáveis de decisão podem ser classificadas de acordo com as seguintes escalas de mensuração:
contínua: podem assumir quaisquer valores em um intervalo de números reais (conjunto infinito ou não enumerável de valores). Como exemplos de variáveis de decisão contínuas, podemos citar:
Quantidade ótima a ser produzida (em litros) de cada tipo de refrigerante em uma empresa de bebidas;
Quantidade ótima a fabricar (em Kg) de cada tipo de cereal em uma empresa alimentícia;
Porcentagens ótimas de cada ativo a ser alocado na carteira de investimento.
discreta: podem assumir valores dentro de um conjunto finito ou uma quantidade enumerável de valores, sendo aquelas provenientes de determinada contagem. Como exemplos de variáveis discretas, podemos listar:
Número ideal de funcionários por turno de trabalho;
Unidades a fabricar de cada tipo de caminhão em uma indústria automobilística.
Binárias: também conhecidas por variáveis Dummy, podem assumir dois possíveis valores:
- 1 (quando a característica de interesse está presente na variável) ou;
- 0 (caso contrário).
	Como exemplos de variáveis de decisão binárias podemos mencionar:
Fabricar ou não determinado produto;
Abrir ou não uma nova localidade;
Percorrer ou não determinado roteiro.
Os parâmetros são os valores fixos previamente conhecidos do problema. Como exemplos de parâmetros contidos em um modelo matemático, podemos citar:
demanda de cada produto para um problema de mix de produção;
custo variável para produzir determinado tipo de móvel;
lucro ou custo por unidade de produto fabricado;
custo por funcionário contratado;
margem de contribuição unitária quando da fabricação e venda de determinado eletrodoméstico.
Diversas são as fases a serem consideradas em um estudo de Pesquisa Operacional: definição do problema, construção do modelo, solução do modelo, validação do modelo, implementação de resultados e validação final.
O PROCESSO DE TOMADA DE DECISÃO A CONSTRUÇÃO DE MODELOS
PROBLEMAS DE DECISÃO
Como se sabe, a tomada de decisão é a principal característica que distingue os gerentes dos outros funcionários da empresa: tomar decisões é provavelmente a maior tarefa de qualquer gerente.
A tomada de decisão envolve uma situação problema, onde o gerente se depara com várias alternativas de solução. Na verdade, se apenas uma solução se apresentar como viável, não há em princípio um problema de decisão. Em geral, existe mais de uma solução; a parte da tarefa do tomador de decisão é justamente pesquisar o maior número possível de soluções viáveis. Todo problema de decisão também apresenta aquilo que podemos chamar genericamente de dados, que nada mais são do que um conjunto de informações a partir das quais o problema deverá ser analisado.
A natureza e a variedade dessas informações dependem de cada caso particular: problemas com poucas informações e muitas dúvidas sem uma resposta precisa são problemas mal estruturados, cuja solução dependerá muito de qualidades pessoais de quem toma a decisão. Por outro lado, problemas com dados bem definidos, geralmente numéricos, onde inexistam indagações sem respostas, são chamados de problemas bem estruturados. Para eles, a aplicação de modelos formais de análise é bastante facilitada.
A análise formal de problemas de decisão é geralmente levada a efeito através de modelos matemáticos, que são representações simbólicas do problema em questão; o que se faz é procurar enquadrar o problema em um dos muitos modelos já disponíveis e de utilidade comprovada.
A maioria dos modelos utilizados em P.O. pertence por convenção ao campo da Ciência da Gerência, embora não todos; alguns modelos são bem simples, aplicáveis a situações bem definidas, enquanto que outros são muito mais complexos e aplicáveis a uma gama considerável de situações.
O processo de transformar dos dados de um problema e organizá-los segundo as necessidades formaisde um modelo matemático chama-se modelagem.
A CIÊNCIA DA GERÊNCIA
O estudo que abrange abordagens racionais e processos de tomada de decisão chamamos de “Ciência da Gerência” ou “Ciência da Decisão”. Nestas abordagens, são levadas em conta as características da situação que se está analisando, os objetivos da organização e os recursos disponíveis. Com o auxílio de modelos matemáticos, procura-se por soluções que melhor atendam aos interesses da organização.
A ABORDAGEM DOS PROBLEMAS
Em primeiro lugar, dificilmente se ataca um problema apenas com análises quantitativas, pois os aspectos qualitativos, são muitas vezes indispensáveis a uma análise criteriosa.
O processo de análise quantitativa pode ser descrito como uma sequencia de cinco passos:
a) definição do problema
b) desenvolvimento do modelo
c) preparação dos dados
d) solução do modelo
e) relatório dos resultados
Se o problema for bastante estruturado, ou seja, os dados são conhecidos e quantificáveis, é possível pensar-se em uma análise quantitativa de forma a obter uma solução matemática para ele.
Por outro lado se o problema for pouco estruturado, então muitas informações serão não quantificáveis ou até mesmo virão cercadas de alguma indefinição. Neste caso, não haverá muito lugar para a modelagem matemática e o gerente terá que tomar uma decisão baseada em sua experiência, poder de avaliação e julgamento da situação.
Definição do Problema
É a fase mais crítica do processo de análise quantitativa, exigindo imaginação, trabalho de equipe e um grande esforço no sentido de transformar descrições genéricas em um problema bem estruturado que possa ser atacado quantitativamente. Tanto os objetivos que se pretende com a solução, como as restrições que cercam o problema tem que ser definidos de uma forma clara e precisa.
Desenvolvimento do Modelo
Os modelos são representações simplificadas de objetos e situações reais. Podem ser de três tipos:
- icônicos – são réplicas físicas de um objeto real (ex: maquete de um prédio);
- analógicos – também são modelos físicos, mas não guardam a forma do objeto que está sendo representado. (ex: velocímetro, termômetro);
- matemáticos – são aqueles em que a situação problema ou as propriedades de um objeto são representadas por um sistema de símbolos e relações matemáticas, como equações e inequações, passíveis de manipulação na busca de uma solução.
Preparação dos Dados
Consiste na definição e preparação dos dados bem como a representação desses dados através de notações (letras e símbolos) para o desenvolvimento do modelo.
Solução do modelo
Depois de desenvolvido o modelo e colhido os dados, podemos proceder a solução do problema, tentando especificar os valores das variáveis que forneçam a melhor saída do modelo, segundo critérios pré-definidos. Esses valores das variáveis de decisão são chamados de solução ótima.
OBS: Existem variáveis que não podem ser controladas, impondo restrições sobre as soluções, podendo até mesmo fazer com que seja impossível de se chegar à solução ótima.
Relatório de resultados
É o processo final da análise quantitativa. Os resultados obtidos, junto com as considerações de ordem qualitativa (fatores imponderáveis) que não entraram no modelo, serão enviados ao tomador de decisão para a decisão final.
O relatório deve conter a solução recomendada e quaisquer outras informações úteis sobre o modelo (como exemplo as restrições) em uma linguagem simples.
ALGUNS MODELOS MATEMÁTICOS
O campo da ciência da gerência está sempre em evolução, entretanto existem alguns modelos de uso mais ou menos generalizado. Alguns deles são:
a) probabilidade e distribuição de probabilidade (Análise Estatística)
b) programação linear simples
c) programação linear completa
d) PERT (Program Evaluation and Review Technique) e CPM (Critical Path Method)
e) Simulação e Teoria dos Jogos
PROGRAMAÇÃO LINEAR
A Programação Linear é um modelo matemático desenvolvido para resolver determinados tipos de problemas onde as relações entre as variáveis relevantes possam ser expressas por equações ou inequações lineares. Pela relativa abundância de problemas com tais características, a P.L. é um dos modelos mais populares em Ciência da Gerência.
De forma geral a P.L. apresenta as seguintes características:
a) quer-se maximizar ou minimizar o resultado de alguma combinação de variáveis, como por exemplo, o lucro na venda de dois ou mais produtos, ou o custo envolvido na sua fabricação. Essa combinação de variáveis quando colocada na forma de expressão matemática recebe o nome de função objetivo (fo).
b) temos a necessidade de recursos, no caso de produtos: horas de máquina, pessoal ou matérias-primas, etc.
c) os recursos são limitados, no sentido de que suas qualidades são restritas a certos valores. Podem existir também restrições derivadas de normas legais, políticas da companhia ou mesmo do próprio cliente.
Em suma, os problemas típicos de programação linear contêm: uma expressão matemática (contendo variáveis de decisão) que se quer maximizar ou minimizar e um conjunto de restrições, expressas por equações ou inequações matemáticas, que devem ser obrigatoriamente obedecidas, ao mesmo tempo em que se maximiza ou minimiza a função objetivo.
ALGUMAS APLICAÇÕES DA P.L.
Existem aplicações muito conhecidas e utilizadas, que dão uma excelente idéia da riqueza prática do modelo. Aplicações em áreas como planejamento urbano, controle da poluição ambiental, planejamento de serviços, etc., que correspondem a casos não industriais, tem se tornado cada vez mais comuns. Aqui temos os exemplos clássicos:
5.1 Composição de Produtos
É um problema típico da P.O. Os recursos produtivos (máquinas, equipamentos, mão-de-obra, matérias-primas, espaço disponível, etc.) podem ser alocados a um conjunto conhecido de produtos. O problema consiste em descobrir quanto fazer de cada produto para. Ao mesmo tempo, atender a demanda de cada um deles e atingir o máximo lucro ou, alternativamente, o mínimo custo. Cada um dos recursos é limitado, e essas limitações correspondem, juntamente com as necessidades da demanda, às restrições do problema.
5.2 Planejamento Agregado
Dadas as necessidades previstas da demanda, os recursos existentes e as possibilidades de ampliação, contratação de pessoal, sub-contratação, fabricação para estoques, etc., o problema é atender a demanda ao mínimo custo anual de produção. Cada recurso tem seus limites e seus custos. Admita a hipótese de que todas as relações são lineares, e a disponibilidade de recursos computacionais, a Programação Linear é uma poderosíssima ferramenta para a solução do Planejamento Agregado.
5.3 O problema de transporte
O problema de transporte envolve o planejamento na distribuição de bens e serviços a partir de diversas fontes para diversos destinos. As fontes de suprimento (ex. fábricas) podem enviar produtos a um ou mais destinos (ex. armazéns), através de rotas de transporte conhecidas. Trata-se de descobrir a quantidade com que cada fonte suprirá cada destino; cada fonte possui geralmente uma capacidade limitada, bem como cada destino possui uma demanda conhecida. A função objetivo visa a minimização dos custos de transporte. A solução fornece automaticamente as rotas de transporte.
5.4 O problema da designação
O problema da designação encontra aplicações em várias áreas gerenciais, como na alocação de pessoas ou equipes a projetos, máquinas a trabalhos, auditores a empresas clientes, etc. Generalizando, trata-se de alocar recursos a trabalhos. A função objetivo envolve normalmente a minimização dos recursos utilizados, tendo em vista que todos os trabalhos devem ser cumpridos.
5.5 O problema do Portfólio
É um problema comum para gerentes financeiros e consiste em compor uma carteira de investimentos que podem em princípio consistir de ações de uma ou mais empresas, títulos, papéis de renda fixa, etc. Cada um dos papéis em consideração possui uma rentabilidade conhecidaou estimada. Dada uma restrição quanto ao total disponível, o problema procura determinar quanto se deve investir em cada alternativa, de modo a maximizar a rentabilidade. As restrições, além do total disponível, freqüentemente dizem respeito ao máximo ou mínimo que pode ser investido em cada papel, mercê de políticas de risco da companhia ou do tomador de decisão.
5.6. Seleção de mídia
O problema de seleção de mídia é característica de gerentes de Marketing, aos quais a P.L. ajuda a alocar uma quantia pré-fixada para promoção à vários meios de divulgação como jornais, rádio, TV, mala-direta, etc.
5.7 O problema da mistura
É uma das aplicações mais antigas da P.L. e interessa em particular a indústrias químicas e de produtos alimentícios. Devem-se misturar dois ou mais correspondentes para se obter um ou mais produtos. Os componentes têm um dado custo e contém ingredientes específicos que devem estar presentes no produto final, numa certa proporção. Geralmente o objetivo é determinar quanto se deve usar de cada componente para que a proporção dos ingredientes no produto final seja cumprida ao mínimo custo possível.
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