Pesquisa Operacional Como Ferramenta De Tomada De Decisão

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DESCRIÇÃO
A Pesquisa Operacional e sua aplicação na análise de decisões, a Programação Linear na solução de problemas complexos e o método gráfico para a
solução de modelos de Programação Linear.
PROPÓSITO
Compreender o conceito, a origem e as aplicações da Pesquisa Operacional para fins de apoio ao processo de tomada de decisão na atuação como
gestor, em especial, na solução de problemas complexos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos uma régua para aplicar o método gráfico. Também são necessários uma calculadora ou um software editor
de planilhas eletrônicas para realizar as operações matemáticas necessárias.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever conceitos gerais de Pesquisa Operacional e sua importância no processo de tomada de decisão
MÓDULO 2
Descrever as principais características e propriedades de um modelo de Programação Linear
MÓDULO 3
Aplicar o método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear
INTRODUÇÃO
É comum termos dificuldades para identificar a melhor solução quando nos deparamos com um problema complexo. Afinal, são tantos os dados e
possíveis cenários que não conseguimos processar sozinhos tantas informações. Esse tipo de situação é comum em nossas vidas pessoais e,
especialmente, nos negócios.
Acabamos, nesses casos, tomando decisões com base em opiniões, intuições ou em experiências passadas – nossas ou mesmo de outras pessoas
ou empresas. Sem dúvidas, esses caminhos são importantes e devem ser sempre considerados no processo de tomada de decisão. No entanto, em
situações complexas, o desenvolvimento de modelos pode ser uma poderosa ferramenta de auxílio à tomada de decisão.
Modelos são simplificações do objeto ou do problema de decisão que representam. A grande vantagem em adotar um modelo para apoio ao processo
de tomada de decisão é a possibilidade de examinar diferentes cenários, em geral, de forma mais rápida e barata do que se fosse analisado na
realidade.
Entre os diversos tipos de modelo que podem ser utilizados, destacam-se os modelos matemáticos, que adotam a lógica e a formulação matemática
para representar o problema estudado.
A Pesquisa Operacional (PO) é o campo do conhecimento que trata do desenvolvimento de modelos matemáticos e algoritmos para auxiliar o decisor
na análise de problemas complexos. A PO se destaca por fornecer uma ferramenta quantitativa para apoio ao processo de tomada de decisão para
problemas complexos.
No primeiro módulo, iremos abordar os principais conceitos da Pesquisa Operacional, sua origem e a importância de sua aplicação no ambiente
gerencial. A PO compreende diferentes técnicas, como programação matemática, simulação, cadeias de Markov, métodos estatísticos, Teoria das
Filas, Teoria dos Jogos, Teoria dos Grafos, heurística e meta-heurísticas. Neste conteúdo, iremos focar em programação matemática, mais
precisamente na Programação Linear.
No segundo módulo, conheceremos as técnicas de Programação Linear para o desenvolvimento de modelos matemáticos e da aplicação do método
gráfico para a solução de problemas de Programação Linear.
MÓDULO 1
 Descrever conceitos gerais de Pesquisa Operacional e sua importância no processo de tomada de decisão
APRESENTAÇÃO DO TEMA
Neste vídeo você conhecerá o conceito de Pesquisa Operacional, sua origem e as áreas de aplicação:
PESQUISA OPERACIONAL
A Pesquisa Operacional (PO) é definida pela Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SOBRAPO) como:

A ÁREA DE CONHECIMENTO QUE ESTUDA, DESENVOLVE E APLICA MÉTODOS
ANALÍTICOS AVANÇADOS PARA AUXILIAR NA TOMADA DE MELHORES DECISÕES
NAS MAIS DIVERSAS ÁREAS DE ATUAÇÃO HUMANA.
SOBRAPO, 2021
A Pesquisa Operacional fornece ferramentas quantitativas ao processo de tomada de decisões (PRADO, 2016). Dessa forma, a PO auxilia o decisor
na análise de variados aspectos e situações de um problema complexo, por meio de uso de técnicas de modelagem matemática e eficientes
algoritmos computacionais. Isso permite a tomada de decisões efetivas e a construção de sistemas mais produtivos (SOBRAPO, 2021).
O estudo da PO permite o domínio de diversas técnicas relacionadas à programação e modelagem matemática.
Por meio desses conceitos e das ferramentas quantitativas, poderemos analisar os mais variados tipos de problemas, e fornecendo dados e
informações concretos para auxiliar no processo de tomada de decisão.
 SAIBA MAIS
Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional
Fundada em 1969, a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SOBRAPO) reúne os profissionais de Pesquisa Operacional que atuam no País –
em universidades, na iniciativa privada e no setor público –, com o objetivo de incentivar o desenvolvimento desse campo do conhecimento.
Além de organizar simpósios anuais, a SOBRAPO mantém as revistas Pesquisa Operacional e Pesquisa Operacional para Desenvolvimento,
buscando incentivar a publicação sobre o tema.
ORIGEM – CIRCO DE BLACKETT
A PO teve seus primeiros casos de aplicação no meio militar, durante a Segunda Guerra Mundial. Na ocasião, foram formados grupos de
cientistas de diferentes especialidades a fim de oferecer apoio quantitativo aos comandantes das operações militares inglesas e norte-americanas para
a solução de complexos problemas de natureza logística e de tática e estratégia militar (BELFIORE; FÁVERO, 2012).
 SAIBA MAIS
Entre os grupos formados, destacou-se o aquele liderado por Patrick Maynard Stuart Blackett – o Barão de Blackett. A equipe do Barão de Blackett,
composta por membros de formações diversas – físicos, matemático, topógrafos, astrofísicos e fisiólogos –, era conhecida como o Circo de Blackett. A
equipe foi responsável pela publicação de um dos primeiros artigos sobre Pesquisa Operacional.
O artigo apresentava um modelo matemático para analisar o emprego dos meios antiaéreos das tropas aliadas para fazer frente aos bombardeiros
alemães (Stuckas). Outros problemas típicos abordados na ocasião se referiam ao tamanho e roteamento de comboios, ao gerenciamento da
produção e à distribuição de armamentos e munições, à coleta e distribuição de correspondência, ao problema de escala e à localização de radares,
de modo a maximizar as áreas de cobertura.
 
Foto: Shutterstock.com
Os bons resultados obtidos com a aplicação das técnicas de Pesquisa Operacional durante a Segunda Guerra levaram à disseminação
desse conhecimento entre organizações de diversas áreas após o fim do período de combate.
A partir de 1947, é crescente o interesse das indústrias na utilização das técnicas desenvolvidas na área militar para auxiliar no planejamento e
controle da produção.
 ATENÇÃO
A disseminação da Pesquisa Operacional na área de planejamento e controle, no entanto, só foi possível devido aos avanços que ocorriam
no campo da informática. Tais avanços permitiram o advento de microcomputadores, bem como o aumento da velocidade e de capacidade de
processamento computacional.
APLICAÇÃO DA PO NA ANÁLISE DE DECISÃO
Empresas dos mais diversos setores, atualmente, empregam técnicas de Pesquisa Operacional com intuito de tornar seu processo de tomada de
decisão mais eficiente e assertivo. Além do meio militar, a PO é aplicada em indústrias de manufaturas, empresas de transporte, empresas de
construção, de telecomunicações, bancos, em assistência médica e até no serviço público.
Veja algumas empresas que utilizam a PO:
PETROBRÁS
A Petrobrás é uma empresa petroleira que possui diversos especialistas em pesquisa operacional em seu quadro de funcionários. Esses especialistas
utilizam modelos matemáticos para analisar e criar cenários para diferentes problemas de natureza complexa.
Entre os problemas resolvidos com auxílio da PO, podemos citar o dimensionamento da frota e a roteirização de helicópteros para o transporte de
pessoal para as plataformas offshore, a previsão de reservas de petróleo, a programação de operações em poços de petróleo, a alocação de equipes
em diversas atividades ou o gerenciamento da distribuição de derivados de petróleo.
MRS LOGÍSTICAA MRS Logística – operador ferroviário que atua na Malha Regional Sudeste da antiga Rede Ferroviária Federal S.A. – também é um exemplo de
empresa brasileira que adota diferentes técnicas de pesquisa operacional para apoiar seus diferentes processos de tomada de decisão.
A MRS possui especialistas em diversas técnicas de PO que utilizam seu conhecimento para apoiar a solução de problemas complexos. Entre esses
problemas, estão a alocação eficiente da tripulação nos trens, a alocação de locomotivas e vagões nas diferentes composições de trens, a
programação de manutenção preventiva de seus ativos, ou o processo de planejamento e programação do transporte ferroviário de carga.
CONSULTORIA ESPECIALIZADA
Existem empresas de consultoria especializadas em Pesquisa Operacional, que fornecem seus serviços para auxiliar outras organizações na solução
em seus processos de tomada de decisão. Tais empresas utilizam conceitos das diversas áreas da PO – como programação matemática, simulação
ou Inteligência Computacional – para modelar os problemas de seus clientes.
As empresas conseguem, com isso, rodar diversas análises, fornecendo dados aos seus clientes sobre como o evento em estudo se comportaria em
diversos cenários, sujeito a alterações dos parâmetros.
PROBLEMAS DO COTIDIANO
É evidente a importância da Pesquisa Operacional na análise de decisão, em especial no ambiente gerencial. No entanto, as técnicas de pesquisa
operacional também podem auxiliar a tomar decisões no seu dia a dia.
 EXEMPLO
Vamos supor que você queira comprar seu primeiro carro. Para isso, tem economizado a remuneração que recebe no estágio e deseja selecionar
investimentos para obter o melhor rendimento possível. Nesse caso, o planejamento financeiro pode ser modelado por um modelo matemático que
auxiliará a maximizar os seus rendimentos.
O planejamento financeiro é apenas um exemplo de como você pode aplicar conceitos de PO em sua vida cotidiana.
Ao aplicar conceitos de PO para a solução de um problema, desenvolvemos um modelo matemático para representar o fenômeno estudado.
Dessa forma, conseguimos analisar diversos cenários e ter estimativas baseadas em uma análise quantitativa.
As decisões, portanto, não serão tomadas apenas com base em opiniões, intuições ou experiências passadas de outras pessoas ou empresas. Ao
modelar um problema, temos um processo decisório mais criterioso e com menos incertezas.
 
Foto: Shutterstock.com
MODELO

"UM MODELO É UMA REPRESENTAÇÃO ABSTRATA E SIMPLIFICADA DE UM SISTEMA
REAL, COM O QUAL SE PODE EXPLICAR, REPRODUZIR, SIMULAR OU TESTAR SEU
COMPORTAMENTO, NO TODO OU EM PARTES".
COUGO, 1997
Um mapa é um modelo, assim como uma maquete que o arquiteto utiliza para que seus clientes consigam ter noção da visão espacial, em 3D, do
projeto desenvolvido. Uma formulação matemática usada para expressar um fenômeno físico também é um modelo.
É importante ter em mente que os modelos são versões simplificadas do objeto ou problema de decisão que representam.
Entretanto, para que seja válido, o modelo precisa representar, de forma precisa, as características relevantes do objeto ou problema de decisão
estudado. Afinal, espera-se que o modelo melhore os processos de tomada de decisão ao ser implementado.
 ATENÇÃO
A modelagem permite explicitar objetivos, bem como a possibilidade de ganhar conhecimento e entendimento sobre o problema investigado. Além
disso, a implantação de um modelo quantifica as decisões, permitindo a análise de cenários que seriam impossíveis de serem analisados na realidade.
Outra vantagem da construção de modelos é a economia de recursos e de tempo.
Na PO, modelamos os problemas matematicamente e, a partir do modelo obtido, usamos algoritmos para encontrar soluções para diferentes cenários
do problema a ser analisado. Podemos utilizar diferentes tipos de modelos, como veremos a seguir nesta aula.
Os diferentes tipos de modelo nos levam a adotar diferentes técnicas de PO, como Programação Linear, Programação Não Linear, Teoria das
Filas, Simulação, Inteligência Computacional e Teoria dos Jogos. Nesta aula, vamos conhecer os modelos de Programação Linear.
Veja o posicionamento da Associação Brasileira de Pesquisa Operacional (ABEPRO) sobre Disciplinas da pesquisa Operacional:
DISCIPLINAS DA PESQUISA OPERACIONAL
DISCIPLINAS DA PESQUISA OPERACIONAL
A Associação Brasileira de Pesquisa Operacional (ABEPRO) é a instituição representativa de docentes, discentes e profissionais de Engenharia de
Produção no País. Em 2017, a ABEPRO organizou as áreas do conhecimento relacionadas à Engenharia de Produção, tanto na graduação quanto na
Pós-Graduação, na pesquisa e nas atividades profissionais.
A Pesquisa Operacional, por ser uma importante área do conhecimento para a Engenharia de Produção, foi incluída na organização da ABEPRO.
De acordo com o documento da ABEPRO, a PO envolve resolução de problemas reais, envolvendo situações de tomada de decisão, por meio de
modelos matemáticos processados computacionalmente. Aplica conceitos e métodos de outras disciplinas científicas na concepção, no planejamento
ou na operação de sistemas para atingir seus objetivos. Procura, assim, introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada
de decisão, sem descuidar dos elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que caracterizam os problemas.
O documento ainda organiza as principais disciplinas de PO em:
Modelagem, Simulação e Otimização
Programação Matemática
Processos Decisórios
Processos Estocásticos
Teoria dos Jogos
Análise de Demanda
Inteligência Computacional
O foco deste tema é a Programação Matemática.
MODELOS MATEMÁTICOS
Ragsdale (2009) define um modelo matemático como:
Conjunto de relacionamentos matemáticos e suposições lógicas, geralmente implementados em um computador, como representação de algum
problema ou fenômeno de decisão do mundo real.
O modelo matemático usa a lógica e a formulação matemática para obter uma representação do problema ou do evento a ser analisado e, a partir de
então, analisar, desenvolver cenários e obter soluções para a situação modelada.
O uso de modelos matemáticos é mais barato do que replicar a estrutura real, além de permitir testar todas as possíveis soluções para
diferentes cenários (RODRIGUES et al., 2014).
COMPOSIÇÃO
Um modelo matemático em pesquisa operacional é composto, basicamente, por variáveis de decisão, funções objetivo e restrições. O
modelo de otimização busca os valores das variáveis de decisão que otimizam – maximizam ou minimizam – a função objetivo, ao mesmo tempo em
que atendem às restrições às quais o problema é submetido. Vejamos alguns exemplos:
FUNÇÃO OBJETIVO - MAXIMIZAR OU MINIMIZAR
Maximizar lucro de uma empresa
SUJEITO A RESTRIÇÕES
Disponibilidade de matérias-primas, de mão de obra etc.
Por exemplo, para aplicar o dinheiro que você conseguiu economizar com a remuneração de seu estágio, você vai ao banco verificar as
diferentes opções de investimento disponíveis.
Nesse problema, você deseja maximizar seu rendimento – função objetivo. Os recursos que você aplicará em cada opção de investimento são as
variáveis de decisão. Além disso, você está sujeito às restrições relativas ao total de recurso disponíveis e às exigências do banco para que sejam
realizadas as diferentes aplicações.
CLASSIFICAÇÃO
Os modelos matemáticos de otimização, segundo Winston (2004), podem ser classificados em:
MODELOS ESTÁTICOS OU DINÂMICOS
As variáveis de decisões nos modelos estáticos não envolvem sequências de decisões em múltiplos períodos de tempo, ao contrário do que ocorre em
modelos dinâmicos.
Em outras palavras, em um modelo estático, analisamos o problema em um único intervalo de tempo. Já em um modelo dinâmico, analisamos o
problema ao longo do tempo.
MODELOS LINEARES OU NÃO LINEARES
Quando as funções objetivo e restrições envolvem apenas equações lineares, temos um modelo linear. Quando a função objetivo ou alguma restrição
é função polinomialou de qualquer outro tipo, temos modelos não lineares.
A solução de modelos não lineares é mais complexa do que a de modelos lineares.
MODELOS INTEIROS OU NÃO INTEIROS
Quando todas as variáveis de decisão estão livres para assumir valores fracionais, temos um modelo não inteiro. No entanto, se uma ou mais variáveis
de decisão adotadas no modelo matemático necessitam ser inteiras, temos um modelo inteiro.
MODELOS DETERMINÍSTICOS OU ESTOCÁSTICOS
Os componentes são definidos a priori, ou seja, sem aleatoriedade. No entanto, quando os elementos apresentam probabilidade de ocorrência – ou
seja, há aleatoriedade –, temos um modelo estocástico.
Neste conteúdo, abordaremos apenas os modelos determinísticos.
FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL
Winston (2004) propõe um procedimento composto por sete passos para o desenvolvimento de modelos matemáticos em estudos de pesquisa
operacional, conforme apresentado na imagem abaixo:
 
Imagem: Operations research: applications and algorithms. WINSTON, W. L., & GOLDBERG, J. B. 2004, página 5. Adaptado por: Renata Albergaria de
Mello Bandeira e Rodrigo Pessôa.
 Procedimento para desenvolvimento de modelos matemáticos em estudos de pesquisa operacional.
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
O passo inicial do procedimento proposto por Winston (2004) consiste em entender e definir o problema a ser analisado. Para tanto, é preciso
identificar os objetivos e processos organizacionais que precisam ser estudados antes de resolver o problema. De tal forma, é fundamental ouvir
aquele que lida com o problema.
A comunicação com o cliente, nesse momento, é indispensável para entender a situação real a ser modelada. No exemplo da seleção dos
investimentos a serem realizados com a remuneração de seu estágio, o problema consiste em maximizar os rendimentos de suas aplicações
financeiras.
OBSERVAÇÃO DO SISTEMA
É necessário, em seguida, observar o sistema para descobrir o que deve ser determinado – as variáveis do problema – e aquilo que está disponível –
os dados do problema. Nessa etapa, devem ser coletados os dados necessários para estimar os valores das variáveis e os parâmetros que afetam o
problema analisado. Tais estimativas são adotadas no desenvolvimento do modelo (passo 3) e em sua análise (passo 4).
É nesse momento que coletamos os dados para nossos parâmetros e as variáveis de entrada. É importante ressaltar a importância do processo de
coleta de dados, pois a qualidade dos dados de entrada é fundamental para a qualidade dos resultados obtidos pelo modelo.
No exemplo da seleção dos investimentos a serem realizados com a remuneração de seu estágio, é preciso que você conheça as taxas de
administração do banco, o rendimento de cada opção de investimento e o valor mínimo que deve ser aplicado em cada opção.
FORMULAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
O modelo matemático é desenvolvido nessa etapa, com a identificação das variáveis de decisão, sua função objetivo e suas restrições. Ao longo desta
aula, desenvolveremos a formulação de vários modelos matemáticos para a solução de problemas.
VERIFICAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO E USO PARA PREDIÇÃO
Após o desenvolvimento do modelo matemático, é necessário se certificar de que o modelo é válido e representa a realidade de forma fidedigna.
Deve-se ter em mente que não basta aplicar cegamente o modelo desenvolvido.
Caso ocorram modificações na situação real que está sendo analisada, é necessário que tais modificações possam ser incorporadas no modelo. No
exemplo da seleção dos investimentos, novas opções de investimento poderiam ser oferecidas pelo banco, e você deve poder incorporá-las em sua
análise.
SELEÇÃO DA MELHOR ALTERNATIVA
Este é o momento de selecionar a alternativa – ou as alternativas, afinal, podemos ter mais de uma solução ótima – que otimiza a função objetivo do
problema analisado.
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
As melhores alternativas e os diferentes cenários devem ser apresentados ao decisor, para que ele tenha todas as informações necessárias para uma
tomada de decisão mais assertiva. Nesse momento, pode ser que o decisor não esteja contente com os resultados apresentados.
Isso pode ocorrer em função de alguma definição incorreta do problema analisado, devido a problemas na etapa de formulação do problema – etapa 1
–, ou mesmo à falha por parte do modelador em envolver o decisor no projeto desde o início. Desse modo, pode ser necessário retornar para os
passos 1, 2 ou 3.
IMPLANTAÇÃO E ANÁLISE DAS RECOMENDAÇÕES
O sistema deve ser constantemente monitorado, e qualquer alteração deve ser incorporada ao modelo, de modo que as recomendações permitam que
a organização atinja seus objetivos.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A MODELAGEM MATEMÁTICA CONSISTE NA ARTE (OU TENTATIVA) DE DESCREVER UM FENÔMENO PELA
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS, A FIM DE PREVER O COMPORTAMENTO DELES OU PROPOR SOLUÇÕES NÃO
PREVISTAS. COM RELAÇÃO AO PROCESSO DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM PESQUISA OPERACIONAL,
ASSINALE A ALTERNATIVA INCORRETA. 
 
FONTE: QUESTÃO ADAPTADA DO CONCURSO DA FUNDAÇÃO O DE DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA – UFMG
(FUNDEP) PARA INDÚSTRIAS NUCLEARES DO BRASIL (INB) 2018 PARA O CARGO DE ENGENHEIRO DE
PRODUÇÃO.
A) A qualidade da solução do modelo depende da qualidade dos dados de entrada no modelo.
B) Modelos matemáticos são objetos abstratos que procuram representar as principais características de um objeto real.
C) Modelos matemáticos podem ser classificados como estáticos ou dinâmicos em função de como a variação do tempo é considerada no processo de
modelagem.
D) Uma das vantagens relacionadas à modelagem matemática é a possibilidade testar todas as possíveis soluções para diferentes cenários,
geralmente, a um custo reduzido e em menor intervalo de tempo.
E) Todas as variáveis de decisão devem ser inteiras para que um modelo matemático seja considerado inteiro.
2. A QUALIDADE DA SOLUÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTICO DEPENDE DA QUALIDADE DOS DADOS DE
ENTRADA NO MODELO. PARA O DESENVOLVIMENTO DE MODELOS MATEMÁTICOS EM ESTUDOS DE PESQUISA
OPERACIONAL, O PROCESSO DE COLETA DE DADOS OCORRE NO SEGUINTE PASSO:
A) Formulação do problema
B) Observação do sistema
C) Formulação do modelo matemático
D) Verificação do modelo matemático e uso para predição
E) Seleção da melhor alternativa
GABARITO
1. A modelagem matemática consiste na arte (ou tentativa) de descrever um fenômeno pela representação de sistemas, a fim de prever o
comportamento deles ou propor soluções não previstas. Com relação ao processo de modelagem matemática em Pesquisa Operacional,
assinale a alternativa INCORRETA. 
 
Fonte: questão adaptada do Concurso da Fundação o de Desenvolvimento da Pesquisa – UFMG (FUNDEP) para Indústrias Nucleares do
Brasil (INB) 2018 para o cargo de Engenheiro de Produção.
A alternativa "E " está correta.
 
Basta que apenas uma variável de decisão seja inteira para termos um modelo inteiro. Todas as variáveis de decisão precisam estar livres para
assumir valores fracionais para o modelo ser não inteiro.
2. A qualidade da solução de um modelo matemático depende da qualidade dos dados de entrada no modelo. Para o desenvolvimento de
modelos matemáticos em estudos de Pesquisa Operacional, o processo de coleta de dados ocorre no seguinte passo:
A alternativa "B " está correta.
 
Após a formulação do problema, os dados necessários devem ser coletados, na fase de observação do sistema, para que sejam estimados os valores
das variáveis e os parâmetros a serem adotados na modelagem do problema analisado. Tais estimativas são adotadas no desenvolvimento do modelo
(passo 3) e em sua análise (passo 4).
MÓDULO 2
 Descrever as principais características e propriedades de um modelo de Programação Linear
PROGRAMAÇÃO LINEAR
A Programação Matemática – geralmente chamada de otimização –, pode ser definida como:

UM CAMPO DA CIÊNCIA DE GERENCIAMENTO QUE ENCONTRA A MANEIRA IDEAL OU
MAIS EFICIENTE DE USAR RECURSOS LIMITADOS PARA ATINGIR OS OBJETIVOS DE
UM INDIVÍDUO OU DE UMA EMPRESA.
RASGADALE, 2009
AProgramação Linear, por sua vez, é uma das técnicas mais difundidas de otimização, e sua aplicação é indicada para a solução de problemas de
otimização que podem ser modelados por meio de equações lineares.
 SAIBA MAIS
A Programação Linear vem sendo aplicada em problemas de indústrias de diferentes setores, como bancos, petroleiras, empresas de educação ou em
operadores de transportes. Empresas como a Fedex e a Amazon, por exemplo, utilizam essas técnicas para programar as rotas e determinar o
caminho mínimo na gestão de suas cadeias de distribuição.
No processo de modelagem, é preciso entender as características do problema a fim de traduzi-las para uma linguagem matemática. No caso
específico da Programação Linear, essa “tradução” ocorre por meio do desenvolvimento de uma série de equações lineares, que representam as
características do problema analisado.
 ATENÇÃO
A Programação Linear, em suma, é uma técnica de solução de problemas que visa determinar o máximo ou o mínimo de uma função linear cujas
variáveis estão sujeitas a um conjunto de restrições representadas por um sistema de equações ou inequações lineares.
CARACTERÍSTICAS
As principais características de problemas de Programação Linear são:
Todas as equações são da forma linear, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Há sempre um objetivo a ser otimizado – maximizado ou minimizado. Isso significa que há sempre a busca pela melhor solução entre várias
alternativas. Apenas um objetivo pode ser otimizado por vez, sendo representado pela função objetivo.
No problema, há fatores controláveis que serão analisados, verificando-se os valores desses fatores que levam ao melhor resultado para otimizar
o objetivo. Tais fatores controláveis são as variáveis de decisão (x1, x2, ..., xm). A função objetivo é escrita em termos das variáveis de decisão.
No problema, há fatores não controláveis que influenciam os resultados encontrados para as variáveis de decisão. Esses fatores não controláveis
são os parâmetros (a1, a2, ..., am).
ELEMENTOS
Um modelo de Programação Linear apresenta elementos principais – as variáveis de decisão, os parâmetros, a função objetivo e o conjunto de
restrição. A seguir, vejamos cada um deles.
a1 x1 + a2 x2 + … + am xm = an 
VARIÁVEIS DE DECISÃO
São os fatores controláveis do problema a ser analisado. Trata-se, portanto, das incógnitas a serem definidas na solução do problema de otimização.
Podemos citar como exemplo a quantidade de um produto a ser transportado da origem i para o destino j, xij, sendo x a quantidade do produto a ser
transportado de i para j.
PARÂMETROS
São os fatores não controláveis do problema a ser analisado, ou seja, os dados de entrada que devem ser coletados antes da etapa de modelagem do
problema. Os parâmetros influenciam diretamente os valores obtidos para a solução ótima do problema de otimização.
Como exemplo, podemos citar o custo de transportar uma unidade de um produto por quilômetro, cij. Nesse caso, c corresponde ao custo por
quilômetro percorrido no transporte de um determinado produto de i para j – R$/km.
FUNÇÃO OBJETIVO
É a expressão matemática do objetivo a ser maximizado ou minimizado na situação analisada. Por exemplo, pode-se desejar minimizar o custo total
do transporte de um produto de n origens i para m possíveis destinos j. Dessa forma, a função objetivo seria Min Custo= 
RESTRIÇÕES
É um conjunto de equações lineares que traduzem o limite físico à solução do problema, ou seja, são os limitantes dos valores das variáveis de
decisão. Por exemplo, a quantidade total de um produto que pode ser transportado da origem i para o destino j não pode ser infinita.
Esse total é limitado pela disponibilidade de produtos na origem i. Desse modo, temos que , sendo Si a disponibilidade de produto
na origem i
REPRESENTAÇÃO
Podemos representar um modelo de Programação Linear da seguinte forma:
ONDE AS FUNÇÕES SÃO LINEARES.
∑ni=1 ∑
m
j=1 cijxij
∑mj=1 xij ≤ Si,   ⊽ i
Otimizar :  z  =  f (x1,x2, . . . ,xn)
sujeito a :  g1(x1,x2, . . . ,xn)
 g2(x1,x2, . . . ,xn)
. . . . . . . . . . . . . . . .
  gm(x1,x2, . . . ,xn)  
⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
Os valores das variáveis de decisão
devem satisfazer um 
conjunto de restrições.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PASSO A PASSO PARA A CONSTRUÇÃO 
DE UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Uma vez compreendidas as principais características e os principais elementos de problemas de Programação Linear, podemos passar para a
construção de modelos matemáticos de Programação Linear.
No processo de modelagem, devemos transformar a linguagem do problema em uma linguagem matemática. Para isso, devemos começar definindo
as variáveis de decisão e, posteriormente, a função objetivo e as restrições.
Sugerimos que seja seguida uma sequência de três passos para a modelagem de um problema de Programação Linear, conforme apresentado na
imagem a seguir:
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Procedimento para desenvolvimento de modelos de Programação Linear.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO
O passo inicial do procedimento proposto consiste em identificar as variáveis desconhecidas a serem determinadas – variáveis de decisão.
IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO
Nessa etapa, deve-se identificar o objetivo a ser atingido e representá-lo como uma função linear das variáveis de decisão. Conforme Rodrigues et al.
(2014) orientam, essa etapa é explicitada no enunciado do problema, bastando uma leitura atenta do texto.
Deve-se prestar especial atenção a alguns sinalizadores, como:
Deseja-se minimizar o custo total de transporte – minimização.
Deseja-se maximizar o lucro da empresa. - maximização.
IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES
Nessa etapa, devem ser listadas todas as restrições do problema, sendo expressas como equações (=) ou inequações lineares (>,<) em termos das
variáveis de decisão. Tal como na identificação da função objetivo, uma leitura atenta do enunciado é a melhor forma de identificar os limitantes à
função objetivo.
Segundo Rodrigues et al. (2014), deve-se dar especial atenção a passagens do problema em que aparecem expressões como:
A quantidade transportada não poderá ultrapassar (...)
A quantidade recebida não poderá ser menor do que (...)
O máximo de horas disponíveis é (...), entre outras.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
No vídeo a seguir você conhecerá o conceito de Programação Linear, os principais elementos de um modelo de Programação Linear e os passos para
a construção desse tipo de modelo:
APLICAÇÃO DO PASSO A PASSO PARA A 
CONSTRUÇÃO DE UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Agora, iremos revisar os conceitos de Programação Linear estudados até aqui a partir de um exemplo. Com isso, serão reforçados os elementos e as
principais características de um problema de Programação Linear por meio da construção de um modelo. Para isso, seguiremos os passos
apresentados previamente.
 EXEMPLO
A Fitwear S/A é uma confecção de roupas esportivas e tem uma linha fitness feminina. Essa linha produz roupas de ginástica exclusivas para
mulheres, como tops e calças de lycra.
Cada top de ginástica é vendido por R$ 80,00 e utiliza R$ 20,00 de matéria-prima, como tecido e alinhamentos, e R$ 32,00 com mão de obra. Além
disso, são demandados 30 minutos de corte e 15 minutos de costura para a confecção de um top de ginástica.
Cada calça de ginástica é vendida por R$ 120,00 e utiliza R$ 35,00 de matéria-prima, como tecido e alinhamentos, e R$ 40,00 de mão de obra. São
demandados 15 minutos de corte e 30 minutos de costura para a confecção de uma calça de ginástica.
A Fitwear só pode contar com 100 horas de corte por semana e 160 horas de costura. A confecção não tem problemas no fornecimento de
matérias-primas, de modo que o seu suprimento pode ser considerado ilimitado assim como a demanda semanal de seus produtos.
A Fitwear deseja planejar sua produção semanal de modo a maximizar seus lucros.
Vamosusar, a seguir, os passos do procedimento proposto para construção do modelo de Programação Linear para o caso da Fitwear S/A.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO
As variáveis de decisão devem descrever completamente as decisões a serem tomadas. No caso da Fitwear, a empresa deve decidir os produtos a
serem confeccionados. Com isso, a definição da Variável de Decisão seria:
xi – quantidade de produto i confeccionada
Desse modo, temos:
x1 = Número de tops de ginástica confeccionados a cada semana.
x2 = Número de calças de ginástica confeccionadas a cada semana.
IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO
Em qualquer problema de Programação Linear, o analista sempre deseja maximizar ou minimizar alguma função das variáveis de decisão. No
enunciado do problema, devemos procurar pelo propósito que se procura atingir. Dessa forma, saberemos o que deve ser maximizado ou minimizado
a fim de definirmos a função objetivo.
No caso da Fitwear, a empresa deseja maximizar seu lucro semanal:
A Fitwear deseja planejar sua produção semanal de modo a maximizar seus lucros.
 ATENÇÃO
Lucro semanal = lucro semanal oriundo da venda de tops + lucro semanal oriundo da venda de calças.
Precisamos, portanto, determinar o ganho semanal obtido com a venda dos produtos e subtrair destes os gastos semanais com matéria-prima e mão
de obra. Vejamos:
GANHO SEMANAL DA VENDA DE TOPS E CALÇAS
Cada top é vendido por R$ 80,00, e cada calça é vendida por R$ 120,00. Logo, o ganho semanal é igual a 80x1 + 120x2.
Observe que também devemos considerar os custos. Vejamos:
GASTO SEMANAL COM MATÉRIA-PRIMA
Cada top utiliza R$ 20,00 em matéria-prima, e cada calça utiliza R$ 35,00.
Logo, o gasto semanal com matéria-prima é igual a 20x1 + 35x2.
GASTO SEMANAL COM MÃO DE OBRA
Para confeccionar cada top, gasta-se R$ 32,00 em mão de obra. Para cada calça, gasta-se R$ 40,00. Logo, o gasto semanal com mão de obra é igual
a 32x1 + 40x2.
Desse modo, para determinar a função objetivo, tem-se:
(+) GANHO SEMANAL COM VENDAS: (80X1 + 120X2)
(-) CUSTO DE MATÉRIA-PRIMA: – (20X1 + 35X2 )
(-) CUSTO DE MÃO DE OBRA: – (32X1 + 40X2 )
(80X1 + 120X2 ) – (20X1 + 35X2 ) – (32X1 + 40X2 )
= 28X1 + 40X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função objetivo, portanto, é
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira adaptada por Rodrigo Pessôa
Os coeficientes da função objetivo indicam a contribuição de cada variável nos lucros da Fitwear.
IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES
Observa-se que os valores dos coeficientes da função objetivo para o problema de Programação Linear do caso da Fitwear são positivos, e este é um
problema de maximização. Desse modo, à medida que x1 e x2 crescem, o valor da função objetivo aumenta. No entanto, x1 e x2 não podem crescem
indefinidamente, pois existem as restrições.
 COMENTÁRIO
No caso do problema da Fitwear, foram consideradas ilimitadas a demanda por seus produtos e a oferta de matéria-prima, de modo que não
entram como restrições no modelo matemático.
Existem, no entanto, duas restrições relacionadas ao tempo disponível para corte e ao tempo disponível para a costura.
Essas restrições devem ser definidas em termos das variáveis de decisão x1 e x2. Com isso, temos:
RESTRIÇÃO 1: 100 HORAS DE CORTE POR SEMANA.
Cada top de ginástica requer 30 minutos de corte, e cada calça de ginástica requer 15 minutos de corte para sua confecção. Além disso, a Fitwear só
pode contar com 100 horas de corte por semana.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(total de horas de corte/semana) = (0,5x1 + 0,25x2)
Logo, a restrição 1 é dada por: 0,5x1 + 0,25x2 ≤ 100.
RESTRIÇÃO 2: 160 HORAS DE COSTURA POR SEMANA.
Cada top de ginástica requer 15 minutos de costura, e cada calça de ginástica requer 30 minutos de costura para sua confecção. Além disso, a Fitwear
só pode contar com 160 horas de corte por semana.
(total de horas de costura/semana) = (horas de costura/top) * (tops produzidos/semana) + (horas de costura/calça) * (calças produzidas/semana)
(total de horas de corte/semana) = (0,25x1 + 0,5x2)
Logo, a restrição 2 é dada por: 0,25x1 + 0,5x2≤160.
RESTRIÇÃO 3: RESTRIÇÃO DE NÃO NEGATIVIDADE DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO.
Há ainda a restrição de não negatividade das variáveis de decisão, uma vez que não se pode produzir um número negativo de calças e tops de
ginástica.
Logo, a restrição 3 é dada por: x1, x2≥0.
Após seguirmos os passos indicados para a construção de um modelo de Programação Linear, temos a formulação matemática para o problema da
Fitwear S/A, conforme apresentado a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Devemos considerar que o modelo está sujeito a:
0,5x1 + 0,25x2 ≤ 100  restrição de horas de corte
0,25x1 + 0,5x2 ≤ 160  restrição de horas de costura
x1, x2 ≥ 0  restrição de não negatividade das variáveis de decisão
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ENTRE OS PRINCIPAIS ELEMENTOS DE UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR, OS FATORES NÃO
CONTROLÁVEIS DO PROBLEMA A SER ANALISADO, OU SEJA, OS DADOS DE ENTRADA QUE DEVEM SER
COLETADOS PREVIAMENTE A ETAPA DE MODELAGEM DO PROBLEMA, SÃO DENOMINADOS:
A) Variáveis de decisão
B) Variáveis condicionantes
C) Parâmetros
D) Função objetivo
E) Restrições
Máx Z  =  28x1  +  40x2
2. UM SAPATEIRO CONSERTA 3 SAPATOS POR HORA, SE SOMENTE CONSERTAR SAPATOS. PARA FAZER UM PAR
DE SAPATOS NOVOS, O SAPATEIRO LEVA 2 HORAS, SE FIZER SOMENTE SAPATOS. ELE GASTA 4 UNIDADES DE
COURO PARA FABRICAR UM PAR DE SAPATOS. PARA CONSERTAR UMA UNIDADE DE SAPATO, ELE GASTA UMA
UNIDADE DE COURO. 
 
SABE-SE QUE O TOTAL DISPONÍVEL DE COURO É DE 12 UNIDADES E QUE O SAPATEIRO TRABALHA 10 HORAS
POR DIA. O LUCRO UNITÁRIO POR PAR DE SAPATOS É DE 8 UNIDADES MONETÁRIAS E O DO CONSERTO DE UMA
UNIDADE DE SAPATO É DE 2 UNIDADES MONETÁRIAS. O SAPATEIRO DESEJA PLANEJAR SEU SISTEMA DE
PRODUÇÃO DIÁRIO DE MODO A MAXIMIZAR SEU LUCRO POR HORA. 
 
PEDIDO 1 – A FUNÇÃO OBJETIVO DO PROBLEMA É:
A) Max Z = x1 + 2x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
B) Max Z = 2x1 + 8x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
C) Max Z = 2x1 + 8x2, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato consertada.
D) Max Z = 2x1 + 4x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
E) Max Z = 2x1 + 4x2, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato consertada.
3. PEDIDO 2 – A RESTRIÇÃO EM REFERENTE À DISPONIBILIDADE DE COURO É:
A) x1 + 2x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
B) x1 + 2x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato consertada.
C) x1 + 4x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
D) x1 + 4x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato consertada.
E) 3x1 + x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
4. PEDIDO 3 – A RESTRIÇÃO REFERENTE ÀS HORAS TRABALHADAS É:
A) , sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
B) , sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
C) , sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
D) , sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
E) , sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
GABARITO
1. Entre os principais elementos de um modelo de programação linear, os fatores não controláveis do problema a ser analisado, ou seja, os
dados de entrada que devem ser coletados previamente a etapa de modelagem do problema, são denominados:
A alternativa "C " está correta.
 
Os principais elementos de um modelo de programação linear são as variáveis de decisão, os parâmetros, a função objetivo e o conjunto de restrição.
As variáveis de decisão são os fatores controláveis do problemaa ser analisado, ou seja, são as incógnitas a serem definidas na solução do problema
de otimização. Os parâmetros são os fatores não controláveis do problema a ser analisado, ou seja, são os dados de entrada que devem ser coletados
previamente à etapa de modelagem do problema.
3x1  +  x2  ≤  10
3x1  +  2x2  ≤  10
+ x2 ≤ 10
x1
3
+ 2x2 ≤ 10
x1
3
3x1  +  x2  ≥  10
É importante ressaltar que os parâmetros influenciam diretamente os valores obtidos para a solução ótima do problema de otimização.
2. Um sapateiro conserta 3 sapatos por hora, se somente consertar sapatos. Para fazer um par de sapatos novos, o sapateiro leva 2 horas,
se fizer somente sapatos. Ele gasta 4 unidades de couro para fabricar um par de sapatos. Para consertar uma unidade de sapato, ele gasta
uma unidade de couro. 
 
Sabe-se que o total disponível de couro é de 12 unidades e que o sapateiro trabalha 10 horas por dia. O lucro unitário por par de sapatos é
de 8 unidades monetárias e o do conserto de uma unidade de sapato é de 2 unidades monetárias. O sapateiro deseja planejar seu sistema
de produção diário de modo a maximizar seu lucro por hora. 
 
Pedido 1 – A função objetivo do problema é:
A alternativa "D " está correta.
 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão, que, no caso, são:
x1: unidade de sapato consertada.
x2: unidade de sapato fabricada.
O lucro por unidade de sapato fabricada é de 4,00 unidades monetárias (8,00 pelo par). O lucro por unidade de sapato consertado é de 2,00 unidades
monetárias. Logo, a função objetivo é: Max Z = 2x1 + 4x2.
3. Pedido 2 – A restrição em referente à disponibilidade de couro é:
A alternativa "A " está correta.
 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão. Nesse caso, as variáveis de decisão são:
x1: unidade de sapato consertada.
x2: unidade de sapato fabricada.
O sapateiro tem disponível um total de 12 unidades de couro, de modo que a restrição será uma inequação do tipo ≤.
O sapateiro gasta uma unidade de couro para consertar uma unidade de sapato e 4 unidades de couro para fabricar um par de sapatos. Com isso,
para fabricar uma unidade de sapato, o sapateiro precisa de 2 unidades de couro. Podemos afirmar, portanto, que a restrição referente à
disponibilidade de couro para a produção ou conserto de sapatos é x1 + 2x2 ≤ 12.
4. Pedido 3 – A restrição referente às horas trabalhadas é:
A alternativa "C " está correta.
 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão, que são:
x1: unidade de sapato consertada.
x2: unidade de sapato fabricada.
A jornada diária do sapateiro é de 10 horas. Logo, ele trabalha um total de 10 horas diárias, no máximo, e podemos concluir que a restrição será uma
inequação do tipo ≤.
O sapateiro conserta 3 sapatos por hora, se somente consertar sapatos. Logo, ele leva 20 minutos (1/3 da hora) para consertar cada unidade de
sapato. O sapateiro leva 2 horas para fazer um par de sapatos novos. Desse modo, ele fabrica uma unidade de sapato por hora, levando 1 hora para
fabricar cada unidade de sapato.
Podemos afirmar, portanto, que a restrição referente às horas trabalhadas para a produção ou o conserto de sapatos é + x2 ≤ 10
x1
3
MÓDULO 3
 Aplicar o método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear
APLICAÇÃO DO MÉTODO GRÁFICO PARA A SOLUÇÃO 
DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
No módulo anterior, aprendemos a modelar um problema de Programação Linear e aplicamos o conhecimento adquirido para o caso da Fitwear S/A.
Dessa forma, conseguimos construir o modelo de Programação Linear.
Agora, temos outra questão a resolver:
Como podemos solucionar o modelo de Programação Linear de modo a definir a solução que corresponde ao melhor valor possível da função
objetivo? Em outras palavras, como encontramos essa solução ótima?
ESPAÇO DE SOLUÇÕES
As restrições de um modelo de Programação Linear delimitam a região de suas possíveis soluções, ou seja, definem o conjunto de soluções viáveis.
Nesse sentido, o conjunto de restrições delimita o chamado espaço de soluções.
O espaço de soluções é formado por todos os pontos que satisfazem as restrições do problema.
Vamos determinar, a seguir, o espaço de soluções para o caso da Fitwear.
Voltando ao problema da Fitwear, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
0,5x1 + 0,25x2 ≤ 100  restrição de horas de corte
0,25x1 + 0,5x2 ≤ 160  restrição de horas de costura
x1, x2 ≥ 0  não negatividade das variáveis de decisão
RESTRIÇÃO DE HORAS DE CORTE
A figura a seguir mostra a área delimitada pela restrição referente ao número de horas de corte disponíveis pela Fitwear por semana, considerando a
condição de não negatividade das variáveis de decisão.
Máx Z  =  28x1  +  40x2
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Espaço de soluções para a restrição de horas de corte.
RESTRIÇÃO DE HORAS DE COSTURA
Já a figura a seguir mostra a área delimitada pela restrição referente ao número de horas de corte disponíveis pela Fitwear por semana, considerando
a condição de não negatividade das variáveis de decisão.
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Espaço de soluções para a restrição de horas de costura.
DELIMITAÇÃO DO ESPAÇO DE SOLUÇÕES
A figura a seguir destaca, em roxo, o espaço de soluções para o problema da Fitwear. Desse modo, a figura mostra a área delimitada pelo conjunto de
restrições para o caso em análise.
0,5X1 + 0,25X2 ≤ 100  RESTRIÇÃO DE HORAS DE CORTE
0,25X1 + 0,5X2 ≤ 160  RESTRIÇÃO DE HORAS DE COSTURA
X1, X2 ≥ 0  NÃO NEGATIVIDADE DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Espaço de soluções para problema da Fitwear.
Conseguimos visualizar, na figura acima, o espaço de soluções para o problema da Fitwear, que consiste no quadrilátero formado pelos pontos ABCD.
Desse modo, sabemos que todas as possíveis soluções viáveis para o problema da Fitwear se encontram nesse quadrilátero.
É preciso responder, no entanto, a duas questões fundamentais:
Qual ponto corresponde ao melhor valor possível da função objetivo?
Como determinar a solução ótima, ou seja, aquela que maximiza o lucro da confecção?
Já conhecemos o espaço de soluções no caso da Fitwear. Agora, só é preciso determinar qual dos pontos do quadrilátero ABCD nos proporciona o
maior valor de Z= 28x1 + 40x2.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, para qualquer Z, temos que x2 = 0,25 * Z – 0,7*x1. Essas são as linhas de isocusto, que são paralelas entre si.
 ATENÇÃO
Retas paralelas
Duas retas são paralelas quando ocupam o mesmo plano e não possuem nenhum ponto em comum. Desse modo, as retas paralelas nunca se
cruzam.
Duas retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. Logo, se o coeficiente angular de uma reta s é ms, e esta reta é paralela a uma reta r cujo
coeficiente angular corresponde a mr, podemos afirmar que:
No caso da Fitwear :  Max Z  =  28x1  +  40x2
Se Z  =  10  →  28x1  +  40x2  =  10  →  x2  =  0, 25  −  0, 7x1
Se Z  =  20  →  28x1  +  40x2  =  20  →  x2  =  0, 5  −  0, 7x1
Se Z  =  30  →  28x1  +  40x2 =  30  →  x2  = 0, 75  −  0, 7x1
⎫⎪
⎬
⎪⎭
Essas retas são parale
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba, ainda, que a reta x2= 0,25 * Z – 0,7*x1 é perpendicular ao vetor (28,40), formado pelos coeficientes da função objetivo. Vejamos:
Z = 28X1 + 40X2  VETOR (28,40)  X2 = 40/28 * X1= 10/7 * X1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Retas perpendiculares
No ponto de intersecção de duas retas perpendiculares, é formado um ângulo reto (de medida igual a 90°).
Duas retas perpendiculares têm os seus coeficientes angulares opostos e inversos. Logo, se o coeficiente angular de uma reta s é ms, e esta reta é
perpendiculara uma reta r cujo coeficiente angular corresponde a mr, podemos afirmar que:
MS = –1 / MR OU MS . MR = –1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO ÓTIMA
O passo para finalizar o problema da Fitwear consiste em escolher o ponto no espaço viável que maximiza o valor da função objetivo. Para tanto,
devemos plotar o vetor (28,40) no espaço de soluções e determinar a reta perpendicular que pertence ao espaço de soluções (quadrilátero ABCD) e
possui o maior valor para Z.
A figura a seguir apresenta o espaço de soluções e o vetor (28,40). Ao se desenhar as retas paralelas (linhas de isocusto) perpendiculares ao vetor
(28,40), temos que a reta que possui maior valor de z e ainda pertence ao espaço de soluções corresponde a z = 13.226,67 (linha destacada em
vermelho), sendo x1 igual a 53,33 e x2 igual a 293,33.
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Solução ótima para o problema da Fitwear.
Para o problema da Fitwear, temos que o planejamento de produção semanal que traz o maior lucro possível para a empresa é a confecção de 53,33
tops e 293,33 calças de ginástica. Dessa forma, a Fitwear teria um lucro semanal equivalente a R$ 13.226,67.
ms  =  mr
Note que o problema da Fitwear possui apenas duas variáveis de decisão. Esse tipo de problema mais simples, com apenas duas variáveis de
decisão, pode ser resolvido com relativa facilidade por meio de um método chamado de Método Gráfico. Logo, para encontrar a solução ótima,
precisamos seguir os passos do Método Gráfico, apresentados a seguir:
1. Desenhe as retas correspondentes às restrições do problema e encontre o espaço de soluções.

2. Desenhe o vetor z.

3. Desenhe linhas ortogonais ao vetor z. Essas são as linhas de isocusto, isto é, são as retas que possuem o mesmo valor de z.

4. Calcule o valor de z no ponto ótimo, ou seja, a linha de isocusto com maior z que ainda toca o espaço de soluções.
SITUAÇÕES PARTICULARES DA SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA 
DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PELO MÉTODO GRÁFICO
Após resolver um problema de otimização, seja pelo Método Gráfico seja por qualquer outro método, podemos chegar a quatro situações particulares:
Solução ótima única e identificada.
Inviável, ou seja, não existem soluções viáveis para o problema apresentado.
Ilimitado, ou seja, a função objetivo pode crescer infinitamente.
Múltiplas soluções, ou seja, o problema possui mais de uma solução ótima (infinitas).
Vejamos, a seguir, cada uma dessas situações representados graficamente.
Solução ótima única
Na figura a seguir vemos um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema com uma única solução ótima.
 
Imagem: Métodos quantitativos, OLIVEIRA, 2015, página 26. Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira.
 Solução ótima única.
Problema inviável
Esta figura apresenta um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema inviável. Nesses casos, as restrições não formam nenhum
espaço de soluções viáveis.
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Problema inviável.
Problema ilimitado
Veja um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema ilimitado, ou seja, com solução tendendo ao infinito. Nesses casos, as restrições
formam um espaço aberto de soluções viáveis, conforme pode ser observado no exemplo da figura a seguir.
Observe que se trata de um problema de maximização.
 
Imagem: Métodos quantitativos, OLIVEIRA, 2015, página 19. Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira.
 Problema Ilimitado.
Problema de múltiplas soluções
Aqui vemos um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema de múltiplas soluções, ou seja, com mais de uma solução ótima. Esse tipo
de problema também pode ser denominado de problemas com soluções alternativas.
Nesses casos, a linha de isocusto, ao abandonar o espaço de soluções viáveis, intersecciona com uma linha inteira, e não somente um ponto desse
conjunto. Isso ocorre porque a linha de isocusto é, na verdade, paralela à reta dessa restrição, conforme pode ser observado no exemplo da figura a
seguir.
Observe que várias soluções são simultaneamente ótimas nesse tipo de problema.
 
Imagem: Métodos quantitativos, OLIVEIRA, 2015, página 21. Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira.
 Problema com múltiplas soluções.
MÉTODO GRÁFICO
No vídeo a seguir, você verá os principais passos a serem seguidos na solução de um problema de Programação Linear pelo Método Gráfico e as
situações particulares dos resultados que podem ser obtidos:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UTILIZE O MÉTODO GRÁFICO PARA A SOLUÇÃO DO PROGRAMAÇÃO LINEAR A SEGUIR: 
 
MAX: 350X1 + 300X2 
 
SUJEITO A: 
 
1X1 + 1X2 <= 200 
 
9X1 + 6X2 <= 1566 
 
12X1 + 16X2 <= 2880 
 
X1 >= 0 
 
X2 >= 0 
 
O VALOR DE Z PARA A SOLUÇÃO ÓTIMA PARA O PROBLEMA APRESENTADO É IGUAL A:
A) Zero
B) 54.000
C) 60.900
D) 64.000
E) 66.100
2. AO SOLUCIONAR UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PELO MÉTODO GRÁFICO, FOI OBTIDO O
SEGUINTE GRÁFICO:
 SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR.
DE ACORDO COM O GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE SE TRATA DE UM PROBLEMA DE:
A) Minimização com uma solução ótima
B) Maximização com uma solução ótima
C) Maximização com múltiplas soluções alternativas
D) Maximização ilimitado
E) Maximização inviável
GABARITO
1. Utilize o Método Gráfico para a solução do Programação Linear a seguir: 
 
MAX: 350X1 + 300X2 
 
Sujeito a: 
 
1X1 + 1X2 <= 200 
 
9X1 + 6X2 <= 1566 
 
12X1 + 16X2 <= 2880 
 
X1 >= 0 
 
X2 >= 0 
 
O valor de z para a solução ótima para o problema apresentado é igual a:
A alternativa "E " está correta.
 
A resposta correta é 66.100, conforme pode ser verificado na solução obtida pelo Método Gráfico apresentada na figura a seguir:
 Solução pelo método gráfico.
2. Ao solucionar um problema de Programação Linear pelo Método Gráfico, foi obtido o seguinte gráfico:
 Solução para um problema de programação linear.
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que se trata de um problema de:
A alternativa "D " está correta.
 
Trata-se de um problema de maximização ilimitado. Observe que o vetor Z está apontando para cima – na direção oposta da origem –, o que nos
mostra que este é um problema de maximização.
Não há uma região de espaço de soluções delimitada pelo cruzamento das retas do conjunto de restrições. Dessa forma, as restrições formam um
espaço aberto de soluções viáveis, de modo que a solução tende ao infinito, caracterizando um problema ilimitado.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, visitamos os principais conceitos da Pesquisa Operacional, abordando a sua origem e evolução como campo do conhecimento.
Verificamos a sua importância e a aplicabilidade de suas técnicas e ferramentas no apoio ao processo de tomada de decisão em diferentes campos de
atuação e setores.
Trabalhamos o conceito de modelo e vimos como um modelo nos traz benefícios na análise de decisão. Nesse sentido, um modelo é uma
simplificação do problema a ser analisado, de modo que nos permite avaliar diferentes cenários em um menor tempo e com menos recursos.
Para que possamos de fato usufruir desses benefícios, é fundamental que o modelo e a qualidade dos dados de entrada sejam fidedignos. Nesse
contexto, foram apresentados os principais passos a serem seguidos para o desenvolvimento de um modelo matemático em estudos de Pesquisa
Operacional.
Uma das técnicas mais difundidas de Pesquisa Operacional é a Programação Linear, cujos conceitos também foram apresentados. Aprendemos sobre
os principais elementos de um modelo de Programação Linear e vimos como construir esse tipo de modelo e encontrar sua solução por meio do
Método Gráfico. Todo esse conhecimento foi apresentado por meio do desenvolvimento do modelo matemático para o exemplo da Fitwear!
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
COUGO, P. Modelagem conceitual e projeto de banco de dados. Rio de Janeiro: Elsevier Brasil, 2013.
FÁVERO, L. P.; BELFIORE, P. Pesquisa operacional para cursos de administração. Rio de Janeiro:Elsevier Brasil, 2012.
OLIVEIRA, F. Métodos quantitativos. Rio de Janeiro, 2016. (Notas de aula).
PRADO, D. Programação linear. Vol. 1. São Paulo: Falconi, 2016.
RAGSDALE, C. T. Modelagem e análise de decisão. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
RODRIGUES, L. H.; AHLERT, F.; LACERDA, D. P.; CAMARGO, L. F. R. & LIMA, P. Pesquisa operacional: programação linear passo a passo –
do entendimento do problema à interpretação da solução. São Leopoldo: Unisinos, 2014.
SOBRAPO – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (2021). O que é Pesquisa Operacional? Disponível em meio eletrônico. Consultado
em: 04 fev. 2021.
WINSTON, W. L.; GOLDBERG, J. B. Operations research: applications and algorithms. Vol. 3. Belmont, Califórnia: Thomson/Brooks/Cole, 2004.
EXPLORE+
Assista ao vídeo O que é Pesquisa Operacional?, da Sociedade Britânica de Pesquisa Operacional (OR Society), disponível no YouTube, para
entender melhor o que é a Pesquisa Operacional, o desenvolvimento desse campo do conhecimento e suas possibilidades de aplicação.
Leia os capítulos 1 e 2 do livro Pesquisa operacional na tomada de decisões, de G. Lachtermacher, publicado em 2016.
Leia os capítulos 1 e 2 do livro Modelagem e análise de decisão, de C. T. RAGSDALE, publicado em 2009.
CONTEUDISTA
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 CURRÍCULO LATTES
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