Amostragem_e_Int-de-Confianca

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Exerc´ıcios resolvidos e propostos do livro: ESTATI´STICA
APLICADA A` ECO E ADM, de Leonard J. Kazmier.
Problemas Resolvidos
DlSTRIBUIC¸A˜O DE AMOSTRAGEM DA ME´DIA pg132.
8.1 Sabe-se que a vida u´til de operac¸a˜o de um tubo de imagem para TV de certa marca e´, em
me´dia, µ = 9.000 horas com um desvio padra˜o de σ= 500 horas. Determinar o valor esperado e
o erro padra˜o da distribuic¸a˜o de amostragem para a me´dia, sendo o tamanho da amostra n = 25.
Interpretar o significado dos valores calculados.
Resp. E(X) = µ = 9000.
σX =
σ√
n
= 50025 =
500
5 = 100.
Estes ca´lculos indicam que, a longo prazo, a me´dia de um grande grupo de me´dias de amostra,
cada uma baseada em amostra de tamanho n = 25, sera´ igual a 9.000 horas. Ale´m disto, a vari-
abilidade destas me´dias amostrais, com respeito ao valor esperado de 9.000 horas, e´ expressa por
um desvio padra˜o de 100 horas.
8.2 Um analista financeiro toma uma amostra aleato´ria de 10 % de 300 contas e acha que
o saldo me´dio das contas e´ X= 148,50 com um desvio padra˜o de S = $ 35,75. Com base nesta
informac¸a˜o, qual o valor estimado do erro padra˜o da me´dia?
SX =
S√
n
√
N−n
N−1 =
35,75√
30
√
300−30
300−1 =
35,75
5,4772
√
0, 9030 = (6,5271)(0,9503) = $6,20
8.3 Supor que, no Problema 8.2, a me´dia da populac¸a˜o das 300 contas e´ , de fato, µ = 138,00.
Qual a probabilidade de se obter uma me´dia de amostra igual ou superior a $ 148,50?
Resp. Uma vez que E(X) = µ = 138,00 e que SX = $ 6,20 (do Problema 8.2),
Z= X−µSX =
148,50−138,00
6,20 =
10,50
6,20 = + 1,69.
Portanto, P (X ≥ 148, 50) = P (Z ≥ +1, 69) ⇒ P (Z ≥ +1, 69) = 0,5000 - 0,4545 = 0,0455.
[Nota: Seja ou na˜o a populac¸a˜o das contas normalmente distribu´ıda, a distribuic¸a˜o normal pode
ser usada porque o tamanho da amostra e´ pelo menos n = 30 (Teorema do Limite Central).]
8.4 Este e os dois problemas seguintes servem para ilustrar o significado da distribuic¸a˜o de
amostragem da me´dia fazendo refereˆncia a uma populac¸a˜o grandemente simplificada. Suponha que
uma populac¸a˜o consiste apenas nos seguintes quatro valores: 3, 5, 7 e 8. Calcular (a) a me´dia da
populac¸a˜o, µ, e (b) o desvio padra˜o da populac¸a˜o, σ.
Resp. Com refereˆncia a Tabela 8,4,
a) µ = Σ
N
i=1Xi
N =
23
4 = 5,75 (b) σ =
√
ΣNi=1X
2
i
N − (
ΣNi=1Xi
N )
2 =
√
147
4 − (234 )2 =
.
√
36, 75− (5, 75)2 = √36, 75− 33, 0625 = 1,92
Tabela 8.4 Folha para o Problema 8.4
1
Xi X
2
i
3 9
5 25
7 49
8 64
ΣNi=1Xi = 23 Σ
N
i=1X
2
i = 147
8.5 Da populac¸a˜o descrita no Problema 8.4, suponha que sejam tomadas amostras aleato´rias
simples de tamanho n = 2. Para cada amostra, o primeiro item sorteado na˜o e´ reposto na populac¸a˜o
antes de se sortear o segundo.
(a) Listar todos os poss´ıveis pares de valores que podem constituir uma amostra.
(b) Para cada um dos pares identificados em (a), calcular a me´dia da amostra, X, e mostrar que
a me´dia de todas as poss´ıveis me´dias amostrais, µX , e´ igual a me´dia da populac¸a˜o da qual foram
extra´ıdas as amostras.
. Resp. (a) e (b) Da Tabela 8.5,
µX =
ΣN
A
i=1Xi
NA
= 34,56 = 5, 75, em que N
A = C24 = 6, n
o de amostras.
[ que e´ igual a µ, tal como foi calculado no Problema 8.4 (a)]
Tabela 8.5 Amostras poss´ıveis e me´dias amostrais para o Problema 8.5
Amostras poss´ıveis Xi
(3 ; 5) 4,0
(3; 7) 5,0
(3; 8) 5,5
(5; 7) 6,0
(5; 8) 6,5
( 7; 8) 7,5∑6
i=1Xi = 34,5
8.6 Para a situac¸a˜o de amostragem descrita nos Problemas 8.4 e 8.5, calcular o erro padra˜o da
me´dia atrave´s da determinac¸a˜o do desvio padra˜o das seis me´dias amostrais poss´ıveis identificadas
no Problema 8.5 com respeito a` me´dia populacional µ. Calcu1ar, depois, o erro padra˜o da me´dia
usando a fo´rmula apropriada deste cap´ıtulo para σ conhecido e populac¸a˜o finita. Verificar que os
valores dos dois erros padro˜es sa˜o iguais.
Resp. Com refereˆncia a` Tabela 8.5,
Tabela 8.6 Folha de ca´lculo para o Problema 8.6
Xi X
2
i
4,0 16,00
5,0 25,00
5,5 30,25
6,0 36,00
6,5 42,25
7,5 56,25∑6
i=1Xi = 34,5
∑6
i=1X
2
i = 205,75
. Primeiro me´todo:
σX =
√
P6
i=1X
2
i
NA
−
(
P6
i=1Xi
NA
)2
=
√
205,75
6 −
(
34,5
6
)2
=
√
34, 2917− (5, 75)2 =√34, 2917− 33, 0625
= 1,11
2
. Segundo me´todo:
σX =
σ√
n
√
N−n
N−1 =
1,92√
2
√
4−2
4−1 =
1,92
1,414
√
0, 6666= 1,358(0,816) = 1,11.
Obviamente, o segundo me´todo e´ utilizado sempre na determinac¸a˜o do erro padra˜o da me´dia
em situac¸o˜es de dados reais. Pore´m, conceitualmente, o primeiro me´todo ilustra mais diretamente
o significado do erro padra˜o da me´dia.
3
INTERVALOS DE CONFIANC¸A PARA A ME´DIA UTILIZANDO
A DISTRIBUIC¸A˜O NORMAL
8.7 Suponha que o desvio padra˜o da vida u´til de uma determinada marca de tubo de imagem
de TV e´ conhecido e e´ igual a σ = 500, mas que a me´dia da vida u´til e´ desconhecida. Supo˜e-se
que a vida u´til dos tubos de imagem tem uma distribuic¸a˜o aproximadamente normal. Para uma
amostra de n = 15, a me´dia da vida u´til e´ X= 8.900 horas de operac¸a˜o. Construir (a) um intervalo
de confianc¸a de 95 % e (b) de 90% para estimar a me´dia da populac¸a˜o.
Resp. A distribuic¸a˜o normal de probabilidade pode ser usada neste caso porque a populac¸a˜o e´
normalmente distribu´ıda e σ e´ conhecido.
(a) X ± z0,025σX = 8900 ± 1,96 σ√n = 8900 ± 1,96 500√15 = 8900 ± 1,96
500
3,87 = 8900 ± 1,96 (129,20)
= 8647 a 9153
(b) X ± z0,05σX = 8900 ± 1,65(129,20) = 8687 a 9113 h.
8.8 Com respeito ao Problema 8.7, suponha que a populac¸a˜o da vida u´til dos tubos na˜o possa
ser considerada como normalmente distribu´ıda. Contudo, a me´dia da amostra X = 8.900 horas
esta baseada numa amostra de n = 35. Construir um intervalo de confianc¸a de 95% para estimar
a me´dia da populac¸a˜o.
Resp. A distribuic¸a˜o normal de probabilidade pode ser usada neste caso, invocando-se o Teorema
do Limite Central, o qual estabelece que, para n ≥ 30, a distribuic¸a˜o de amostragem pode ser
considerada normal mesmo que a populac¸a˜o na˜o seja normalmente distribu´ıda. Enta˜o,
X ± z0,025σX = 8900 ± 1,96 σ√n =8900 ± 1,96 500√35 = 8900 ± 1,96
500
5,92 = 8900 ± 1,96 (84,46)=
8734 a 9066 h.
8.9 Com respeito ao Problema 8.8, suponha que a populac¸a˜o possa ser considerada normalmente
distribu´ıda, mas que o desvio padra˜o da populac¸a˜o seja desconhecido. Em lugar disso, suponha
um desvio padra˜o na amostra s = 500 e X = 8.900. Estimar a me´dia da populac¸a˜o, usando um
intervalo de confianc¸a de 90%.
Resp. Uma vez que n ≥ 30, a distribuic¸a˜o normal pode ser utilizada como uma aproximac¸a˜o a`
distribuic¸a˜o t. Como a populac¸a˜o e´ normalmente distribu´ıda, na˜o precisa ser invocado o Teorema
do Limite Central. Assim,
X ± z0,05σX = 8900± 1,65 500√35 = 8900± 1,65(84,46) = 8761 a 9039h.
8.10 Com relac¸a˜o aos Problemas 8.8 e 8.9, suponha que a populac¸a˜o na˜o possa ser considerada
normalmente distribu´ıda e que, ale´m disso, o σ populacional seja desconhecido. Como antes, n =
35, s = 500, e X= 8.900. Estimar a me´dia da populac¸a˜o utilizando um intervalo de confianc¸a de
99%.
. Resp. Neste caso, invoca-se o Teorema do Limite Central, como no Problema 8.8, e
usa-se z como uma aproximac¸a˜o de t, como no Problema 8.9.
X ± z0,005σX = 8900± 2,58 500√35 = 8900 ± 2,58(84,46) = 8682 a 9118 h
8.11 Um analista de mercados obte´m dados de uma amostra de 100 consumidores de um total
de 400 que adquiriram uma ”oferta especial”. As 100 pessoas gastaram, na loja, uma me´dia de X
= $ 24,57 com um desvio padra˜o de s = $ 6,60. Usando um intervalo de 95% de confianc¸a, estimar
(a) o valor me´dio de compras para todos os 400 clientes, e (b) o valor total das compras dos 400
clientes.
Resp. (a) SX =
S√
n
√
N−n
N−1 =
6,60√
100
√
400−100
400−1 =
6,60
10
√
0, 7519= 0,660(0,867) = 0,57.
4
X ± z0,025SX = = 24,57± 1,96(0,57)= $23,45 a $25,69
b) N (X ± z0,025SX) = 400($23,4 a $25,69) = $9380 a $10.276
ou
N.X ± N.(z0,025SX) = 400(24,57) ± 400(1,12) = 9828 ± 448 = $9380 a $10.276
(Nota: o intervalo de confianc¸a para o valor em dinheiro do total das compras e´ simplesmente o
nu´mero total de consumidores na populac¸a˜o multiplicado pelos limites de confianc¸a para a me´dia
do valor das compras para cada cliente. Tal valor populacional e´ referido, em alguns livros, como
quantidade total).
DETERMINAC¸A˜O DO TAMANHO NECESSA´RIO DA AMOSTRA PARA ES-
TIMAR A ME´DIA.
8.12 Um comprador potencial deseja estimar o valor me´dio das compras por cliente em uma
loja de brinquedos em um aeroporto. Com base em dados de outros aeroportos similares, o desvio
padra˜o de tais valores de vendas e´ estimado em cerca de σ = $ 0,80. Qual o tamanho mı´nimo que
deveria ter uma amostra aleato´ria se ele deseja estimar a me´dia das vendas dentro de $ 0,25 e com
uma confianc¸a de 99%?
Resp. n=
(
z(0,005)σ
Erro
)2
=
[
(2,58)(0,80)
0.25
]2
= (8, 256)2 = 68, 16 ∼= 69
8.13. Com refereˆncia ao Problema 8.12, qual o tamanho mı´nimo da amostra se a distribuic¸a˜o
das vendas na˜o for considerada normal e ele desejar estimar a me´dia dos valores de venda dentro
de $ 0,50 com uma confianc¸a de 99%?
Resp. n =
(
z(0,005)σ
Erro
)2
=
[
(2,58)(0,80)
0.50
]2
= (4, 128)2 = 17, 04 ∼= 18.
Contudo, uma vez que a populac¸a˜o na˜o pode ser considerada como normalmente distribu´ıda,
o tamanho mı´nimo da amostra e´ n = 30, de tal forma que o Teorema do Limite Central possa ser
invocado para usar-se a distribuic¸a˜o normal de probabilidade para construir o intervalo de confianc¸a.
INTERVALOS DE CONFIANC¸A UNlLATERAIS PARAAME´DIA DA POPULAC¸A˜O
8.14 Um intervalo de confianc¸a unilateral pode, ocasionalmente, ter um interesse maior do
que o intervalo bilateral usual. Tal seria o caso se estivessemos interessados somente no maior valor
(ou somente no menor) da me´dia no grau de confianc¸a considerado. Um ”intervalo superior de
95%”estende-se desde um limite inferior calculado ate´ o infinito positivo, com uma proporc¸a˜o de
a´rea de 0,05 sob a curva normal estando a` esquerda do limite inferior. Similarmente, um ”intervalo
inferior de confianc¸a de 95%”estende-se desde o infinito negativo ate´ um limite superior calculado,
com uma proporc¸a˜o de a´rea de 0,05 sob a curva normal estando a` direita do limite superior.
. Suponha que um comprador potencial de uma loja de brinquedos localizada em um aero-
porto observa uma amostra aleato´ria de n = 64 vendas e acha a me´dia da amostra X = $ 4,63 e
o desvio padra˜o da amostra s = 1,20. Determinar o intervalo superior de confianc¸a de 95% de tal
sorte que o valor mı´nimo da me´dia da populac¸a˜o seja identificado com um grau de confianc¸a de
95%.
SX =
S√
n
= 1,20√
64
= 1,208 = 0,15 ⇒ Int. Sup. 95% = X - z(0,05)SX = 4,63 - 1,65(0,15) = $ 4,38
ou mais.
Enta˜o, com 95% de confianc¸a, podemos afirmar que o valor me´dio de vendas para todos os con-
sumidores e´ igual ou maior do que $ 4,38.
8.15 Com um n´ıvel de confianc¸a de 99%, qual a estimativa do valor ma´ximo da me´dia dos
5
valores de venda do Problema 8.14?
Resp. Uma vez que X = $ 4,63 e SX= 0,15, resulta
Int. Inf. 99% = X +z(0,001) SX = 4,63 + 2,33 (0,15) = $ 4,98 ou menos
Enta˜o, com um grau de confianc¸a de 99%, podemos afirrnar que o valor me´dio das vendas na˜o e´
maior do que $ 4,98.
INTERVALOS DE CONFIANC¸A PARA A ME´DIA BASEADOS NO USO
DAS DlSTRIBUIC¸O˜ES t-Student
8.16 No Problema 8.7, constru´ımos intervalos de confianc¸a para estimar a me´dia da vida u´til
de uma marca de tubos de imagens de TV com base na hipo´tese de que a vida u´til de todos os
tubos tinha distribuic¸a˜o aproximadamente normal e σ= 500, dada uma amostra de n = 15 com X
= 8.900 horas. Suponha que σ seja desconhecido e que o desvio padra˜o da amostra seja S = 500.
(a) Construir um intervalo de confianc¸a de 95% para estimar a me´dia da popu1ac¸a˜o e comparar
este intervalo com a resposta ao Problema 8. 7 (a).
(b) Construir um intervalo de confianc¸a de 90% para estimar a me´dia da populac¸a˜o e comparar
este intervalo com a resposta do Problema 8.7 (b).
(Nota: o uso de uma distribuic¸a˜o t, neste caso, e´ apropriado porque a populac¸a˜o e´ considerada
como normalmente distribu´ıda, σ na˜o e´ conhecido, e a amostra e´ pequena (n < 30).]
Resp.
(a)X ± t(0,025; gl=14) SX = = 8900 ± 2,145 S√n = 8900 ± 2.145 500√15 = 8900± 2,145
500
3,87 = 8900±
2.145(129,199) = 8623 a 9177 h
0 intervalo de confianc¸a e´ mais amplo do que o do Problema 8.7(a), refletindo a diferenc¸a entre a
distribuic¸a˜o t e a distribuic¸a˜o normal.
(b) X ± t(0,05; gl=14) SX= 8900± 1,761(129,199) =8672 a 9128 h
Novamente, o intervalo de confianc¸a e´ mais amplo do que o do Problema 8.7 (b ).
8.17 Como encarregado de compras de um supermercado, suponha que voceˆ toma uma amostra
aleato´ria de 12 latas n o 303 de vagens em conserva de um setor de enlatados. O peso l´ıquido de
cada lata de vagens esta apresentado na Tabela 8.7. Determinar (a)opeso l´ıquido me´dio das vagens
enlatadas em cada lata desta amostra, e (b) o desvio padra˜o da amostra. (c) Supondo queopeso
l´ıquido me´dio por lata seja normalmente distribu´ıdo, estimaropeso l´ıquido me´dio das vagens en-
latadas usando um intervalo de confianc¸a de 95%.
Tabela 8.7 Peso l´ıquido de vagens enlatadas em 12 latas no 303
Peso por lata 15,7 15,8 15,9 16,0 16,1 16,2
(em 10 gramas(Xi))
Nu´mero de latas(ni) 1 2 2 3 3 1
Resp. com refereˆncia a` Tabela 8.8,
(a) X =
P6
i=1 niXi
P6
i=1 ni
= 191,612 = 15,97.
(b) S =
√
n
P6
i=1 niX
2
i − (
P6
i=1 niXi)
2
n(n−1) =
√
12(3059,46)−(191,6)2
12(11) =
√
0, 0224 = 0,15.
(pg 138 )
(c) X ± t(0,025;gl=11) SX = 15,97 ± t(0,025;gl=11) S√n = 15,97 ± 2,201( 0,15√12) = 15,97 ± 2,201 (
0,15
3,46)
= 15,97 ± 2,201(0,043) = 15,88 a 16,06.
Tabela 8.8 Folha de ca´lculo para o Problema 8.17
6
Xi por lata No de latas Total Xi X2i por lata TotalX
2
i
15,7 1 15,7 246,49 246,49
15,8 2 31,6 249,64 499,28
15,9 2 31,8 252,81 505,62
16,0 3 48,0 256,00 768,00
16,1 3 48,3 259,21 777,63
16,2 1 16,2 262,44 262,44
Total n = 12
∑6
i=1 niXi= 191,6
∑6
i=1 niX
2
i = 3059,46
INTERVALOS DE CONFIANC¸A PARA A ME´DIA USANDO A DESIGUAL-
DADE DE CHEBYSHEV
8.18 Para uma amostra de tamanho n = 15 de tubos de imagem, a me´dia da vida u´til e´ X =
8.900 horas com um desvio padra˜o de S = 500 horas. Construir um intervalo de confianc¸a de 90%
para a me´dia da populac¸a˜o no caso de a vida u´til de todos os tubos na˜o ser considerada normal.
Comparar este intervalo com o constru´ıdo no Problema 8.7(b) usando a distribuic¸a˜o normal e com
o constru´ıdo no Problema 8.16 (b) usando a distribuic¸a˜o t.
Resp. Posto que
1 - 1
k20,05
= 0,90 (por definic¸a˜o)
1
k20,05
= 1 00 - 090 = 0,10 ⇒ 0,10 k20,05 = 1 ⇒ k20,05 = 10 ⇒ k0,05 =
√
10 = 3,162
Enta˜o
X ± k0,05 S√n = 8900± 3,162 500√15= = 8900 ± 3,16
500
3,87 = 8900 ± 3,16(129,199) = 8492 a 9308 h
Enta˜o, o intervalo e´ mais amplo do que os intervalos baseados na distribuic¸a˜o normal e na dis-
tribuic¸a˜o t, como era de se esperar. (Ver Sec¸a˜o 8.6.)
7
Problemas Suplementares
DISTRIBUIC¸A˜O DE AMOSTRAGEM DA ME´DIA, pg 138
8.19 O valor me´dio das vendas de um determinado produto durante o u´ltimo ano foi de µ= $
3.400 por varejista que trabalha com o produto, com um desvio padra˜o de σ= $ 200.
Se um grande nu´mero de varejistas trabalha com o produto, determinar o erro padra˜o da me´dia
para uma amostra de tamanho n = 25.
Resp. $ 40,00.
8.20 Com refereˆncia ao Problema 8.19, suponha que apenas 100 varejistas trabalham com o
produto. Determinar o erro padra˜o da me´dia para uma amostra de n = 25 e comparar a resposta
com a resposta ao Problema 8.19.
Resp. $ 34,80.
8.21 Com refereˆncia ao Problema 8.19, qual a probabilidade de que a me´diade uma amostra
aleato´ria de tamanho n = 25 seja (a) maior do que $ 3.500; (b) entre $ 3.350 e $ 3.450?
Resp. (a) 0,0062; (b) 0,7888.
8.22 Com refereˆncia ao Problema 8.20, qual a probabilidade de que a me´dia de uma amostra
aleato´ria de tamanho n = 25 seja (a) maior do que $ 3.500; (b) entre $ 3.350 e $ 3.450? Comparar
as respostas com as dadas no Problema 8.21.
Resp. (a) 0,0021; (b) 0,8502.
INTERVALOS DE CONFIANCA PARA A ME´DIA
8.23 Suponha que voceˆ deseja estimar a me´dia do valor de vendas, por estabelecimento vare-
jista, durante o u´ltimo ano, de um determinado produto. O nu´mero de estabelecimentos varejistas
e´ bastante grande. Determinar o intervalo de confianc¸a de 95% dado que os valores de venda sa˜o
considerados normalmente distribu´ıdos, X = $ 3.425, σ= $ 200, e n = 25.
Resp. $ 3.346,60 a $ 3.503,40.
8.24. Com refereˆncia ao Problema 8.23, determinar o intervalo de confianc¸a de 95%, dado que
a populac¸a˜o e´ normalmente distribu´ıda, X = $ 3.425, S = 200 e n = 25.
Resp. $ 3.342,44 a $ 3.507,56.
8.25 Com refereˆncia ao Problema 8.23, determinar o intervalo de confianc¸a de 95%, dado que a
populac¸a˜o na˜o e´ normalmente distribu´ıda, X = $ 3.425, S = $ 200 e n = 50.
Resp. $ 3.369,55 a $ 3.480,45.
8.26 Para uma amostra de 50 firmas tomada de uma determinada indu´stria, o nu´mero me´dio
de empregados por firma e´ 420,4 com um desvio padra˜o na amostra de 55,7. Nesta indu´stria, ha´
um total de 380 firmas. Determinar o erro padra˜o da me´dia para ser usado na estimac¸a˜o da me´dia
populacional por um intervalo de confianc¸a. Resp. 7,33.
8.27 Para o Problema 8.26, determinar o intervalo de confianc¸a de 90% para estimar o nu´mero
me´dio de trabalhadores por firma da indu´stria .
Resp. 408,3 a 432,5.
8.28 Para a situac¸a˜o descrita nos Problemas 8.26 e 8.27, determinar o intervalo de confianc¸a de
90% para estimar o nu´mero total de empregados na indu´stria .
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Resp. 155,154 a 164,350.
8.29 Um analista de um departamento de pessoal seleciona aleatoriamente os registros de 16
empregados horistas e acha que a taxa me´dia de sala´rio por hora e´ $ 7,50. Supo˜e-se que os sala´rios
na firma sejam distribu´ıdos normalmente. Se o desvio padra˜o dos sala´rios e´ conhecido, e igual a $
1,00, estimar a taxa me´dia de sala´rio na firma usando um intervalo de confianc¸a de 80%.
Resp. $ 7,18 a $ 7,82.
8.30 Com refereˆncia ao Problema 8.29, suponha que o desvio padra˜o da populac¸a˜o na˜o seja
conhecido, mas que o desvio padra˜o da amostra e´ $ 1,00. Estimar a taxa me´dia de sala´rio na firma
usando um intervalo de confianc¸a de 80%.
Resp. $ 7,16 a $ 7,84.
,
8.31 Suponha que os sala´rios da firma no Problema 8.29 na˜o possam ser considerados como
normalmente distribu´ıdos. Estimar a taxa me´dia de sala´rio na firma usando um intervalo de con-
fianc¸a de 90%.
Resp. $ 6,94 a $ 8,06.
8.32 diaˆmetro me´dio de uma amostra de n = 12 basto˜es cil´ındricos inclu´ıdos em um carrega-
mento e´ de 2,350 mm com um desvio padra˜o de 0,050 mm. A distribuic¸a˜o dos diaˆmetros de todos os
basto˜es inclu´ıdos no carregamento e´ aproximadamente normal. Determinar o intervalo de confianc¸a
de 99% para estimar o diaˆmetro me´dio de todos os basto˜es inclu´ıdos no carregamento.
Resp. 2,307 a 2,393 mm.
8.33 O diaˆmetro me´dio de uma amostra de n = 100 basto˜es inclu´ıdos em um carregamento e´
2,350 mm com um desvio padra˜o de 0,050 mm. Estimar o diaˆmetro me´dio de todos os basto˜es
inclu´ıdos no carregamento usando um intervalo de confianc¸a de 99%, dado que o carregamento
conte´m 500 basto˜es.
Resp. 2,338 a 2,362 mm.
8.34 O peso me´dio por basta˜o na amostra de 100 basto˜es do Problema 8.33 e´ 8,45 g com
um desvio padra˜o de 0,25 g. Estimar o peso total de todo o carregamento (exclusive material de
embalagem), usando um intervalo de confianc¸a de 99%.
Resp. 4.195 a 4.255 g.
8.35 Um departamento de manutenc¸a˜o recebeu um carregamento de 100 ma´quinas defeituosas.
Para uma amostra aleato´ria de 10 destas ma´quinas, o tempo me´dio necessa´rio para o conserto foi X
= 85,0 minutos, com um desvio padra˜o de S = 15,0 minutos. Estimar o tempo me´dio, por ma´quina,
necessa´rio para consertar as ma´quinas do carregamento, usando um intervalo de confianc¸a de 90%.
Resp. 70,7 a 99,3 minutos.
8.36 Estimar o tempo total necessa´rio para consertar todas as 100 ma´quinas do Problema 8.35,
usando um intervalo de confianc¸a de 90%.
Resp. 7.070 a 9.930 minutos, ou aproximadamente 118 a 166 horas.
DETERMINAC¸A˜O DO TAMANHO NECESSA´RIO DA
AMOSTRA PARA ESTIMAR A ME´DIA
8.37 Atrave´s de registros histo´ricos, sabe-se que o desvio padra˜o das vendas de certo produto,
por estabelecimento varejista, e´ σ= $ 200, supondo-se tambe´m que tais vendas sejam normalmente
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distribu´ıdas. Qual o tamanho mı´nimo de amostra necessa´rio para estimar a me´dia das vendas por
estabelecimento dentro de $ 100 e com 95% de confianc¸a?
Resp. 15,37 ∼= 16.
8.38 Um analista deseja estimar o sala´rio hora´rio me´dio dos trabalhadores de uma certa firma,
dentro de $ 0,25 e com 90% de confianc¸a. Estima-se que o desvio padra˜o dos sala´rios na˜o seja maior
do que $ 1,00. Qual o nu´mero de registros pessoais que devem ser amostrados, como um mı´nimo,
para satisfazer o objetivo da pesquisa?
Resp. 43,56 ∼= 44.
INTERVALOS DE CONFIANC¸A UNILATERAIS PARA A ME´DIA DA POPULAC¸A˜O
8.39 Em lugar do intervalo de confianc¸a bilateral constru´ıdo no Problema 8.23, suponha que
desejamos estimar o valor mı´nimo da me´dia de vendas por estabelecimento varejista para um certo
produto durante o u´ltimo ano. Como antes, a distribuic¸a˜o dos valores de venda por estabelecimento
e´ suposta ser aproximadamente normal. Determinar o mı´nimo valor da me´dia usando um intervalo
de confianc¸a de 95%, dado que X = $ 3.425, σ= $ 200 e n.= 25. Comparar o intervalo de confianc¸a
com o constru´ıdo no Problema 8.23.
Resp. µ ≥ $ 3.359.
8.40 Usando os dados do Problema 8.32, determinar o intervalo inferior de confianc¸a de 99%
para estimar o diaˆmetro me´dio de todos os basto˜es inclu´ıdos no carregamento. Comparar o inter-
valo com o constru´ıdo no Problema 8.32.
Resp. µ ≤ 2,388 mm.
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