Revisao de Calculo Notas de Aula

Prévia do material em texto

1 REVISA˜O DE CA´LCULO
Notas de aula de Ca´lculo Nume´rico A - 2018
Sa´vio B. Rodrigues
Dept. Matema´tica - UFSCar
1 Revisa˜o de Ca´lculo
Precisaremos de va´rios resultados de Ca´lculo 1. Ale´m do material descrito aqui, voceˆ precisa
ter certeza que voceˆ consegue calcular derivadas corretamente e encontrar ma´ximos e mı´nimos
corretamente. Certifique-se tambe´m que voceˆ sabe utilizar os outros teoremas descritos aqui.
Calcule as derivadas:
1. (( senx+ x)(x3 − lnx))′
2. d
dx
sen (x3 − x2)
1.1 Ma´ximos e mı´nimos de func¸o˜es
Voceˆ deve revisar as definic¸o˜es de ma´ximo/mı´nimo global e local do Ca´lculo 1, para isto, sugiro o
livro do Stewart de onde vem esta figura:
Esta figura mostra mı´nimos e ma´ximos globais e locais. Os pontos a, c, e e sa˜o mı´nimos locais
no qual a e´ o mı´nimo global. Os pontos b e d sa˜o ma´ximos locais no qual d e´ ma´ximo global.
Ha´ um me´todo para determinar o ma´ximo (mı´nimo) global de f num intervalo fechado [a, b]
resumido a seguir:
Ma´ximo e mı´nimo global em intervalo fechado
Seja f(x) : [a, b]→ R for cont´ınua e diferencia´vel.
1. Encontre todos os pontos c em [a, b] tal que f ′(c) = 0.
2. Calcule os valores f(a) e f(b).
3. Tome o maior/menor valor entre todos os valores de f(x) do item 1 e do item 2.
Exerc´ıcio: use este procedimento para encontrar o ma´ximo global de f(x) = x3 − 3x2 + 1 no
intervalo [−1/2, 4]. Esboce o gra´fico desta func¸a˜o e localize os pontos onde a derivada vale zero.
1
1.2 Teorema de Rolle 1 REVISA˜O DE CA´LCULO
1.2 Teorema de Rolle
O seguinte teorema sera´ muito u´til:
Teorema de Rolle
Seja f(x) : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua e diferencia´vel. Se f(a) = f(b) enta˜o existe
c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Veja a interpretac¸a˜o gra´fica.
Isto mostra para func¸o˜es diferentes que sempre e´ poss´ıvel encontrar algum c, talvez mais de um,
no qual a derivada de f vale zero.
Ha´ mais de uma forma de usar o teorema de Rolle, podemos tambe´m usa-lo da seguinte forma
equivalente:
Teorema do valor me´dio da derivada
Seja f(x) : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua e diferencia´vel. Enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a .
Veja a interpretac¸a˜o gra´fica. As retas por P1 e P2 tem a mesma inclinac¸a˜o que a reta que vai
de A a B.
2
1.3 Como a derivada afeta o crescimento da func¸a˜o 1 REVISA˜O DE CA´LCULO
Outras formas u´teis de reescrever esta mesma fo´rmula sa˜o
f(b)− f(a) = f ′(c) · (b− a)
ou ainda, com b = a+ h, tem-se
f(a+ h) = f(a) + f ′(c)h.
Quando a func¸a˜o f descreve a posic¸a˜o de um ve´ıculo em func¸a˜o do tempo, o valor c representa
o instante de tempo em que o ve´ıculo esta´ com a velocidade instantaˆnea igual a velocidade me´dia
do percurso. Note tambe´m uma informac¸a˜o importante: se a derivada de f for pequena enta˜o a
func¸a˜o f quase na˜o varia, ela e´ quase constante.
1.3 Como a derivada afeta o crescimento da func¸a˜o
Os intervalos de crescimento/decrescimento podem estar separados por pontos de ma´ximo/mı´nimos
locais onde f ′(x) = 0.
Teste de crescimento e decrescimento
Se f ′(x) > 0 num intervalo enta˜o f e´ crescente neste intervalo.
Se f ′(x) < 0 num intervalo enta˜o f e´ decrescente neste intervalo.
Por exemplo, os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x) = 3x4−4x3−12x2+5 podem
ser encontrados calculando f ′ e escrevendo-a como
f ′(x) = 12x(x− 2)(x+ 1)
encontramos os pontos x = 0, x = 2 e x = −1 como pontos em que a derivada vale zero. Calculando
os valores de f(x) nestes pontos, e sabendo os intervalos de crescimento e decrescimento onde
analisamos o sinal de f ′(x),
3
1.4 Teorema do Valor Intermedia´rio 1 REVISA˜O DE CA´LCULO
fica fa´cil esboc¸ar o gra´fico da func¸a˜o:
Havera´ va´rios exerc´ıcios de revisa˜o sobre gra´ficos.
1.4 Teorema do Valor Intermedia´rio
Pode-se ver no exemplo anterior que a func¸a˜o f(x) = 3x4− 4x3− 12x2 + 5 cruza o eixo x em algum
ponto entre x = 0 e x = 2. Ou seja, a func¸a˜o f tem um zero neste intervalo. Basta ver que f(0) > 0
e f(2) < 0. Portanto a func¸a˜o tem que cruzar o eixo x em algum lugar. Esta afirmac¸a˜o pode ser
formalizada matematicamente usando o seguinte teorema:
Teorema do valor intermedia´rio
Se f e´ cont´ınua em [a, b] e k ∈ R esta´ entre f(a) e f(b) enta˜o existe c em [a, b] tal que f(c) = k.
Este e´ um resultado muito u´til para encontrar zeros de func¸o˜es.
1.5 Ma´ximo global de func¸o˜es com mo´dulo
Em ca´lculo nume´rico precisaremos encontrar o ma´ximo global do mo´dulo de uma func¸a˜o. Por
exemplo, considere novamente a func¸a˜o f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 da Sec. 1.3. Queremos
encontrar o ma´ximo de |f(x)| no intervalo [−1, 2.5], denotaremos o ma´ximo por:
max
x∈[−1,2.5]
|f(x)|.
O mo´dulo “rebate” valores negativos de f(x) < 0 para −f(x) > 0. Ou seja o ma´ximo de |f(x)|
pode ocorrer no valor mais positivo ou no mais negativo de f(x). Deve-se encontrar o ma´ximo
global de f e o mı´nimo global de f e enta˜o a resposta sera´ o maior valor em mo´dulo. No
exemplo, temos que o ma´ximo global de f e´ 5 (ocorre em x = 0) e o mı´nimo global e´ −27 (ocorre
em x = 2). Logo a respostas e´
max
x∈[−1,2.5]
|f(x)| = 27.
Exerc´ıcio: encontrar o valor de
max
x∈[0,1]
∣∣∣∣2− ex + 2x3
∣∣∣∣ .
1.6 Aproximac¸a˜o linear e Teorema de Taylor
E´ bastante u´til aproximar uma func¸a˜o f(x) pela reta tangente L(x) = f(a) + f ′(a)(x− a), ou seja,
f(x)≈f(a) + f ′(a)(x− a)
4
1.6 Aproximac¸a˜o linear e Teorema de Taylor 1 REVISA˜O DE CA´LCULO
Claramente a aproximac¸a˜o de f(x) por L(x) fica melhor a medida que x se aproxima de a.
Visivelmente a aproximac¸a˜o tende a piorar quando x se afasta de a.
Importantes questo˜es que procuramos responder em Ca´lculo Nume´rico sa˜o: “Qual o erro desta
aproximac¸a˜o?” e “Quando consigo garantir que a aproximac¸a˜o e´ boa o suficiente para minha
aplicac¸a˜o?” Usaremos o teorema de Taylor para responder tais questo˜es.
Este teorema tambe´m permitira´ encontrar expresso˜es que sejam melhores para avaliac¸a˜o nume´rica,
ou seja, expresso˜es nos quais os erros de arredondamento na˜o sejam ta˜o pronunciados.
Teorema de Taylor
Seja f ∈ Cn+1[a, b] e x0 ∈ [a, b]. Para todo x em [a, b] existe um ξ entre x e x0 tal que
f(x) = Pn(x) +Rn(x)
onde Pn e´ o polinoˆmio de Taylor
Pn(x) =f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + f
′′(x0)
2!
(x− x0)2 + · · ·
· · ·+ f
n(x0)
n!
(x− x0)n,
e onde
Rn(x) =
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!
(x− x0)n+1.
O termo Pn(x) e´ chamado de polinoˆmio de Taylor e o termo Rn(x) e´ chamado de resto de
Lagrange ou simplesmente de resto. No caso especial em que x0 = 0, Pn(x) tambe´m e´ chamado
polinoˆmio de Maclaurin.
Este teorema permite ter duas informac¸o˜es importantes: podemos aproximar func¸o˜es f(x) por
um polinoˆmio e podemos saber o tamanho do erro presente na aproximac¸a˜o.
Vamos agora exemplificar como usar este teorema. Por exemplo, dada a func¸a˜o f(x) = ln(2x)
e uma aproximac¸a˜o e´ 2x− 1. Podemos enta˜o investigar a resposta para a seguinte pergunta: “Em
qual intervalo de x e´ poss´ıvel garantir que o erro e´ inferior a 10−5?”
Usando o teorema, vamos escolher f(x) = ln(2x), x0 = 0.5 e vamos tomar n = 1. Seguindo a
fo´rmula, o polinoˆmio de Taylor fica igual a
P1(x) = ln(2 · 0.5) +
(
1
0.5
)
(x− 0.5)
ou seja, P1(x) = 1 − 2x, esta e´ a func¸a˜o que aproxima ln(2x). Sabemos que para x = 0.5 a
5
2 APLICAC¸O˜ES DO TEOREMA DE TAYLOR
aproximac¸a˜o coincide com a func¸a˜o. Mas a aproximac¸a˜o piora gradualmente a medida que x se
afasta de 0.5.
Gostar´ıamos de responder a pergunta: “Em qual intervalo de x, com x > 0.5, e´ poss´ıvel garantir
que o erro | ln(2x)− (1− 2x)| seja inferior a 10−5?”
Observe que este erro e´ dado pela expressa˜o |f(x) − P1(x)| a qual e´ exatamente o mo´dulo do
resto: |R1(x)|. Portanto, considere o termo do resto R1(x), sua expressa˜o se traduz para
Rn(x) =
f′′(ξ)
2!
(x− 0.5)2.
Calculando a segunda derivada temos f ′′(x) = (ln(2x))′′ = − 1
x2
. Ou seja,
Rn(x) =
− 1
ξ2
2
(x− 0.5)2.
Segundo o teorema, sabemos que ξ e´ um valor entre 0.5 e x (ele na˜o e´ igual ao valor x). Vamos
agora limitar (ou seja, majorar) o mo´dulo do resto por uma expressa˜o que podemos calcular:
|Rn(x)| =
∣∣∣∣− 12ξ2 (x− 0.5)2
∣∣∣∣ ≤ maxξ∈[0.5,x]
∣∣∣∣− 12ξ2
∣∣∣∣ · ∣∣(x− 0.5)2∣∣ .
Calculando
max
ξ∈[0.5,x]
∣∣∣∣− 12ξ2
∣∣∣∣ = 12(0.5)2
isto porque 1
2ξ2
e´ uma func¸a˜o decrescente em ξ, logo, o ma´ximo ocorre no menor valor de ξ ∈ [0.5, x],
ou seja, em ξ = 0.5. Agora podemos escrever
|Rn(x)| ≤ 1
2(0.5)2
· (x− 0.5)2.
Como queremos garantir que o erro seja inferior a 10−5, procuramos x tal que
2(x− 0.5)2 ≤ 10−5,
ou seja, x ≤ 0.5 + 2.23607× 10−3. Resposta: Para 0.5 ≤ x ≤ 0.50223607 o erro | ln(2x)− (1− 2x)|
e´ garantidamente inferior a 10−5.
Exerc´ıcio: use o teorema para encontrar um limitante para o erro ao aproximar ln(x) por
P3(x) com x0 = 1 no intervalo x ∈ [0.9, 1.1].
Exerc´ıcio: considere f(x) = ex/2, encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 2 expandindo f por
x0 = 0. Encontre o resto R2(x). Encontre um limitante para o erro ao aproximar f(0.2) por P2(0.2).
Compare com o erro da calculadora, sera´ que e´ pro´ximo ao limitante?
2 Aplicac¸o˜es do Teorema de Taylor
Nesta aplicac¸a˜o, o polinoˆmio de Taylor e´ usado para evitar a subtrac¸a˜o de nu´meros pro´ximos. Isto
porque subtrac¸a˜o de expresso˜es parecidas podem ser aproximada por uma derivada.
Considere a expressa˜o y =
√
2 − √2− 10−8 a ser calculada com 10 d´ıgitos. Note o grande
cancelamento de d´ıgitos significativos quando subtra´ımos
y =
√
2−
√
2− 10−8 ≈ 1.414213562− 1.414213558 = 4.0000000× 10−9.
6
3 CO´DIGOS PARA GERAR GRA´FICOS COM LEGENDAS
Utilizando Taylor, aproximamos √
2 + x ≈
√
2 + (2
√
2)−1x (1)
e substitu´ımos na expressa˜o, e usando x = −10−8. Resulta em
y ≈ (2
√
2)−1 · 10−8 ≈ 3.535533906× 10−9
que ja´ e´ muito pro´ximo do resultado dado pelo Octave: 3.5355340877174513 × 10−9. A lista de
exerc´ıcios traz dois exerc´ıcios onde esta te´cnica e´ usada.
Exerc´ıcio: Encontre um limitante para o erro nesta aproximac¸a˜o de Taylor
√
2 + x ≈ √2 +
(2
√
2)−1x quando x = 10−8.
Exerc´ıcio: Repita a aproximac¸a˜o (1) colocando mais um termo no polinoˆmio de Taylor:
√
2 + x ≈
√
2 + (2
√
2)−1x− (8
√
23)−1x2.
Compare com a resposta exata 3.53553391035215 · · · × 10−9.
Ha´ outros truques para evitar a subtrac¸a˜o de nu´meros pro´ximos. Quando b e´ pro´ximo de
√
b2 + �
enta˜o pode-se usar multiplicac¸a˜o pelo conjugado da raiz
b−
√
b2 + � =
(b−√b2 + �) · (b+√b2 + �)
b+
√
b2 + �
=
−�
b+
√
b2 + �
.
Ao inve´s de uma diferenc¸a, tem-se uma soma no denominador. Este truque e´ usado para melhorar
a precisa˜o da fo´rmula de Baskara (veja Sec. 1.2 do livro) e tambe´m pode ser usado no exemplo
anterior.
Experimente mostrar que
y =
√
2−
√
2− 10−8 = 10
−8
√
2 +
√
2− 10−8 .
Este e´ o modo mais preciso para avaliar a expressa˜o. Infelizmente o reperto´rio de truques e´ limitado.
Taylor e´ a melhor opc¸a˜o para o caso geral.
3 Co´digos para gerar gra´ficos com legendas
Constantemente usaremos ferramentas computacionais para compreender o comportamento, val-
ores, zeros, ma´ximos e mı´nimos de func¸o˜es. Aqui esta˜o exemplos de como gerar gra´ficos bonitos no
Octave e em Python. Por “bonito” entende-se que o gra´ficos tenham eixos com legendas. Sempre
um gra´fico e´ usado num relato´rio ou apresentac¸a˜o e´ essencial que ele tenha um t´ıtulo e legendas nos
eixos.
Aqui esta´ um co´digo para fazer gra´ficos em Octave/Matlab
>> plot(x,y)
>> grid on
>> x = linspace(0,10,100);
>> y = sin(x);
>> plot(x,y)
>> grid on
>> xlabel(’x’)
>> ylabel(’y’)
>> title(’seno no intervalo 0 a 10’)
7
4 RESPOSTAS
O comando “linspace(a, b, n)” produz um vetor com n elementos comec¸ando no valor a, termi-
nando em b inclusive, com valores igualmente espac¸ados. Em Matlab os vetores comec¸am em 1,
logo, x(1) tem o valor zero e x(100) o valor 10. O co´digo em Python fica assim:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x=np.linspace(0,10,100)
y=np.sin(x)
plt.plot(x, y)
plt.grid()
plt.title(’seno no intervalo 0 a 10’)
plt.xlabel(’x’)
plt.ylabel(’y’)
plt.show()
4 Respostas
Derivadas:
1. (( senx+ x)(x3 − lnx))′
Resp:
(x+ sen (x))
(
3x2 − 1
x
)
+
(
x3 − ln (x)) (cos (x) + 1) .
2. d
dx
sen (x3 − x2)
Resp.:
cos(x3 − x2) · (3x2 − 2x).
• O ma´ximo global de f(x) = x3 − 3x2 + 1 no intervalo [−1/2, 4] e´ 17 e o mı´nimo global e´ -3.
Para fazer o gra´fico desta func¸a˜o no Octave,
>> x =-1/2:0.01:4;
>> y = x.^3 - 3*x.^2+1;
>> plot(x,y)
ou em Python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-0.5, 4., 0.01)
y = x**3 - 3*x**2 + 1
plt.plot(x, y)
plt.show()
8
4 RESPOSTAS
• Calculando o valor de
max
x∈[0,1]
∣∣∣∣2− ex + 2x3
∣∣∣∣
encontramos 0.462098.
• Quando f(x) = ex/2 o polinoˆmio de Taylor de grau 2 expandindo f por x0 = 0 e´ P2(x) =
1 + 0.5x+ 0.125x2. O resto R2(x) e´ dado por
R2(x) =
(1/2)3
3!
eξ/2 · x3
onde ξ e´ algum valor entre 0 e x. Um limitante para o erro |f(0.2)− P2(0.2)| e´ dado por
|R2(0.2)| ≤ (1/2)
3
3!
max
ξ∈[0,0.2]
|eξ/2| · (0.2)3 ≤ 1.8420× 10−4.
O erro e´ exatamente |f(0.2)−P2(0.2)| = |e0.1− (1 + 0.5 ·0.2 + 0.125 ·0.22)| ≈ 1.709181×10−4.
Comparando com o valor acima, vemos o limitante para o erro e´ um valor pro´ximo do erro,
apenas um pouco maior.
• Um limitante para o erro ao aproximar ln(x) por P3(x) com x0 = 1 no intervalo x ∈ [0.9, 1.1]
e´ dado por
1
4
· 1
0.94
· 0.14 ≤ 3.8104 · 10−5.
Assim, o erro e´ garantidamente menor que 3.8104× 10−5. Note que maximizamos separada-
mente
max
ξ∈[0.9,1.1]
∣∣∣∣ 14ξ4
∣∣∣∣
e
max
x∈[0.9,1.1]
∣∣(x− 1)4∣∣
isto porque queremos um limitante superior para o erro no pior caso.
9