GRA1594 CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110 ead-14901 01

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introdução
CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEISCÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS
REVISÃO DE DERIVADAS EREVISÃO DE DERIVADAS E
INTEGRAISINTEGRAIS
Autor: Me. Tal i ta Druziani Marchiori
Revisor : Ra imundo A lmeida
I N I C I A R
Introdução
Os primeiros conceitos do cálculo diferencial e do cálculo integral surgiram há séculos, a
princípio, sem ligação com os conceitos que temos atualmente. Depois de um período,
matemáticos puderam provar, por meio de resultados válidos até hoje, que os conceitos
do cálculo diferencial e do cálculo integral são o inverso um do outro.
O cálculo diferencial surgiu com problemas relacionados a retas tangentes. Já o cálculo
integral originou-se em problemas de quadratura, que é uma operação que determina a
área de um quadrado equivalente a uma dada �gura geométrica. Porém, hoje, sabemos
que as aplicabilidades dessas teorias estendem-se a áreas variadas do conhecimento,
como física, química, engenharias, biologia, economia, dentre outras. Apesar de você,
estudante, já ter estudado esses conceitos, vamos revisar, nesta unidade, as principais
de�nições e propriedades presentes no cálculo diferencial e integral. Além disso,
estudaremos o conceito de integração por frações parciais.
Salientamos que, como se trata da revisão de uma matéria extensa, não conseguiremos
abordar todos os conceitos presentes. Com isso, enriqueceria o seu estudo buscar
exemplos e exercícios em outras bibliogra�as para completar a sua revisão e aprofundar o
seu conhecimento. Esperamos que o seu aprendizado seja produtivo.
Neste tópico, relembraremos as principais de�nições e propriedades das derivadas de
funções reais de uma variável real. No que segue, representaremos por f(x) uma função
real de uma variável real, de�nida sobre um subconjunto X dos números reais.
Considere uma função f(x) como uma função qualquer e sua derivada f′(x) é a nova função
que, em um determinado ponto x, o valor da derivada é de�nido por
f′(x)=limh→0
f(x+h)−f(x)
h
se o limite existir.
Assim, se o limite existe para x=a, a função f diz-se diferenciável em a. Consideramos a
função f derivável em um intervalo aberto, se esta for diferenciável para todos os números
Uma Breve Revisão Sobre as DerivadasUma Breve Revisão Sobre as Derivadas
de Funções Reais de uma Variável Realde Funções Reais de uma Variável Real
Fonte: luckybusiness / 123RF.
do intervalo.
Exemplo 1.1: determine f′(x) se f(x)=x².
Solução: pela de�nição que acabamos de enunciar,
f′(x)=limh→0
f(x+h)−f(x)
h
=limh→0
(x+h)2−x2
h
.
Como:
(x+h)2−x2
h
=2x+h,h≠0,
segue que:
f′(x)=limh→0
f(x+h)−f(x)
h
=limh→0
(x+h)2−x2
h
=2x
Portanto, f′(x)=2x.
Usando a notação tradicional y=f(x) para indicar que a variável independente é x, e y é a
variável dependente, então y′
dy
dx
 e 
df
dx
 são consideradas notações alternativas quando
consideramos a derivada de f em relação a x.
O processo de determinar a derivada de uma função por meio do cálculo de um limite, na
maioria das vezes, é um processo demorado. Porém, há regras de derivação que auxiliam
em uma solução mais simples para o cálculo. Quando utilizamos tais soluções,
conseguimos determinar a derivada de uma função sem necessitar recorrer à sua
de�nição. A seguir, enunciamos algumas dessas regras.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando que n é um número real qualquer, então:
[xn]′=nxn−1.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE: considerando que c é uma constante e f é
uma função derivável, podemos dizer que:
[cf(x)]′=cf′(x).
REGRA DA SOMA: considerando que f e g são funções deriváveis, então:
f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x).
REGRA DO PRODUTO: considerando que f e g são funções diferenciáveis com g(x)≠0,
então:
reflitaRe�ita
Em muitos problemas de cálculo que envolvem curvas, precisamos calcular a reta tangente em um
certo ponto da curva. Contudo, a reta tangente a uma curva y=f(x) em um ponto P(a,f(a)) é a reta que
passa por P e tem a inclinação
m=limx→a
f(x)−f(a)
x−a
,
desde que esse limite exista. Isto é, a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto P(a,f(a)) é o
mesmo que a derivada de f em a. Com isso, se usarmos a forma ponto-inclinação da equação de uma
reta, podemos escrever uma equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto P(a,f(a)), como:
y−f(a)=f′(a)(x−a)
Logo, re�ita sobre esse processo.
[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
REGRA DO QUOCIENTE: considerando que f e g forem deriváveis, então:
[
f(x)
g(x)
],=
f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g(x)2
.
REGRA DA CADEIA: se g for derivável em x, e f for derivável em g(x), então, a função
composta h=f∘g, de�nida por h(x)=f(g(x)), será derivável em x, e h′ será dada pelo produto:
h′(x)=f′(g(x))g′(x).
Em muitas situações, deparamo-nos com problemas de funções exponenciais, logarítmicas
e trigonométricas, por isso, resumimos as fórmulas de derivação para estas funções:
               
d
dx
sen x=cos x;                      
d
dx
(cosec x)=−cosec x cotg x;
               
d
dx
cos x=−sen x;                 
d
dx
(cotg x)=−cosec2 x;
               
d
dx
tg x=sec2x;                       
d
dx
(ex)=ex;
               
d
dx
sec x=sec x tg x;            
d
dx
(ln x)=
1
x
.
Exemplos 1. 2: derive:
a) h(x)=5
1
x2
.
b) f(x)=ex x.
c) F(x)=
2x+3
x2+1
.
d) h(x)=sen(x2+1).
Solução: a) Pelas regras da constante e da potência:
h′(x)=5(
1
t2
)′=−
10
t3
.
b) Pela regra do produto, temos:
f′(x)=(ex)′ x+ex(x)′=ex x+ex.
c) Pela regra do quociente:
F′(x)=
(2x+3)′x2+1−2x+3(x2+1)′
(x2+1)2
=
−2x2−6x+2
(x2+1)2
.
d) Pela regra da cadeia, considerando f(x)=sen x e g(x)=x2+1, temos que:
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=2x cos (x2+1).
Como f’ também é uma função chamada derivada primeira de f, podemos derivá-la. Se a
derivada de f’ existir, esta será chamada derivada segunda de f e será denotada por f’’.
Seguindo esse raciocínio, a derivada enésima da função f, onde n é um número inteiro
positivo maior do que 1, é a derivada primeira da derivada (n-1) ésima de f. Denotamos a
derivada enésima de f por fn. Por exemplo, temos que f″(x)=96x2+30x−2, se 
f(x)=8x4+5x3−x2+7, pois f′(x)=32x3+15x2−2x.
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que o cálculo diferencial possui aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento.
Logo, dominar seus conceitos e propriedades é relevante em nossa formação acadêmica. Com
base na teoria que acabamos de revisar neste tópico, assinale a alternativa correta.
a) Com a definição de derivada de uma função, concluímos que f′(x)=3x−1, se f(x)=x3−x.
b) Se g(x)= 3x2+1 3, temos que g(x)= 3  3x2+1 2
c) A derivada de t(x) = 0,5  é dada pela função t(x)= 0,5.
d) Temos que g(4)=−1, uma vez que g(x) = h(x) 1/x, onde  h(4) = 32  e h(4) = 4.
( ) ( )
e) Se  f(x) = 2x3+ex e g(x) = x2−4x+1, [
f(x)
g(x)
]′ = 
2x4−32x3+6x2+ex  x2+2x+5
2x3+ex 2
.
( )
( )
Os problemas de otimização consistem em determinar a melhor maneira de fazer algo, ou
seja, requerem minimizar ou maximizar uma situação. Como é de nosso conhecimento, as
derivadas nos ajudam localizar os valores de máximo e mínimo de funções. Logo, os
problemas de otimização são uma das aplicações mais importantes do cálculo diferencial. 
Antes de resolver um problema de otimização, vamos enunciar os principais resultados e
de�nições já estudados por nós, que envolvem a derivada primeira e segunda e fornecem-
nos técnicas para determinar os valores extremos de uma função.
Teorema 1.1: se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f′(c) existir, então, f′(c)=0.
Problemas de OtimizaçãoProblemas de Otimização
Figura 1.1: Quadro. 
Fonte: Jozef Polc / 123RF.
O Teorema 1.1 apresenta que devemos procurar por valores máximos e mínimos de f nos
números c, em que f′(c)=0 ou onde f′(c) não existe. Chamamos os valores c tais que f′(c)=0 ou
f′(c) não existe de número crítico de f.
Quando uma função f é contínua, considerando um intervalo fechado [a,b], temos um
método para determinar seus valores extremos (valor de máximo e valor de mínimo) em 
[a,b]. Primeiramente, encontramos os valores de f nos números críticos de f em (a,b).
Depois, encontramos os valoresde f nas extremidades a e b. Então, o maior valor é o valor
de máximo e o menor valor é o valor de mínimo.
Exemplo 1.3: o valor máximo de  f(x)=x3+x2−x+1 em −2, 1/2  é f(−1)=2.
Solução: observe que f é contínua no intervalo −2, 1/2  e f(x)=3x2+2x−1. Como f′(x) existe
para todos os números reais, os únicos números críticos de f serão os valores x para os
quais f(x)=0. Mas
f(x)=0⇔3x2+2x−1 =0,
em que concluímos que os números críticos de f são x=  e x=−1. Ainda
f(−2) = −1, f(−1) = 2, f( ) = 
22
27
, f 1/2   = 
7
8
.
Portanto, o valor máximo f em −2, 1/2  é f(−1) = 2.
O próximo resultado diz se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um número
crítico. Chamamos-o de Teste da Primeira Derivada.
Teorema 1.2: considere que c seja um número crítico de uma função contínua f. Dessa
forma, podemos a�rmar que:
a)  caso o sinal de f′ mude de positivo para negativo em c, dizemos que f tem um máximo
local em c.
b)  caso o sinal de f′ mude de negativo para positivo em c, dizemos que f tem um mínimo
local em c.
c)  se f′ não mudar de sinal em c, então, f não tem máximo ou mínimo locais em c.
Exemplo 1.4: encontre os valores máximos e mínimos da função f(x) = x3−6x2+9x+1.
Solução: note que f(x)=3x2−12x+9 e f(x) = 0 ⇔ x=3, x=1. Ademais, se x⟨1, f(x)⟩0; se 1<x<3, f′(x)<0;
e se x>3, f(x)>0. Então, pelo Teste da Primeira Derivada, f ′ =5 é um valor de máximo local de
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
f, e f(3)=1 é um valor de mínimo local de f.
O próximo resultado é conhecido como Teste da Segunda Derivada.
Teorema 1.3: suponha que f″ seja contínua nas proximidades dos valores de c:
a)  se f′(c)=0 e f″(c)>0, então, f tem um mínimo local em c.
b)  se f′(c)=0 e f″(c)<0, então, f tem um máximo local em c.
Exemplo 1.5: sendo f(x)=x4 +
4
3
x3−4x2, utilize o Teste da Segunda Derivada para encontrar os
máximos e mínimos locais de f.
Solução: temos que f(x)=4x3+4x2−8x e f(x)=12x2+8x−8. Então, os pontos críticos de f (valores
onde  f(x) = 0) são −2,0e1. Contudo, f(−2)>0, f(0)⟨0, f(1)⟩0. Logo, f possui um valor de mínimo
local em f(−2)=−
32
2
, um valor de máximo local em f(0)=0 e um mínimo local em f(1)=−
5
3
.
Agora, veremos dos exemplos de problemas de otimização.
Exemplo 1.6: uma empresa possui seu lucro descrito pela função 
L(x) = −0,02x2 + 300x − 200000, em que x representa o número de unidades produzidas.
Quantas unidades a empresa precisa produzir para que seu lucro seja máximo?
Solução: observe que, como a L(x) = −0,04x + 300, teremos a , ou seja, x=7500 é o número
crítico de L. Contudo, L(x)⟨0, x⟩7500 e L(x)>0, x<7500. Portanto, pelo Teste da Primeira
Derivada, a empresa precisa produzir 7500 unidades para que seu lucro seja máximo.
Exemplo 1.7: construa uma caixa fechada, de base quadrada e com 200 cm³ de volume. O
material utilizado para a tampa e para a base deve custar R$ 3,00 para cada centímetro
quadrado e o material utilizado para os lados custa R$ 1,50 para cada centímetro
quadrado. Com quais dimensões esta caixa possui custo total mínimo?
Solução: adotando como x o comprimento (em centímetros) de um lado da base quadrada
e C(x) o custo total do material, a área da base será x2 cm2. Adotando y como a
profundidade (em centímetros), o volume da caixa será x2y = 200 cm3, onde y = 
200
x2
.
Dessa forma, podemos escrever que a área da tampa e da base juntas é 2x2 e, para os
lados, é  4xy. Com isso, $C\left( x \right)~=~3~\left( 2x{}^\text{2} \right)~+~1,5~\left( 4xy
\right)$ ou, equivalentemente,
C(x) = 6x2 + 
12000
x
,
em que:
C(x) = 12x − 
12000
x2
 ,  C(x) = 12x + 
12000
x3
.
Assim, C’(x) não existe x=0, mas como 0 não pertence ao domínio de C, os únicos números
críticos serão os valores de x, tais que C(x)=0, ou seja, x=10. Por outro lado, C(10)>0 então,
pelo Teste da Derivada Segunda, x=10 é um mínimo local de C. Com isso, o custo total do
material será mínimo, quando o lado da base quadrada for 10 cm, a profundidade for 20
cm e a área da base for 100 cm².
praticar
Vamos Praticar
Na economia, se x unidades forem vendidas e o preço por unidade for p(x), então, a receita total
será R(x)=xp(x), sendo R chamada função receita. Representado por C(x), a função custo é o valor
gasto para a produção de x unidades. Se x unidades forem vendidas, então, o lucro total será 
L(x)=R(x)−C(x), então, L será chamada função lucro. Certa empresa possui as funções de custo e
receita dadas por R(x)=−0,5x2+2000x e C(x)=800x+500000, respectivamente. Analise as alternativas
abaixo e assinale a correta.
a) O lucro desta empresa será máximo para x=1200.
b) O lucro desta empresa será máximo para x=800.
c) O lucro desta empresa será máximo para x = 36√5.
d) O lucro desta empresa será máximo para x=60.
e) O lucro desta empresa será máximo para x = 20√3.
Uma função F(x) é chamada antiderivada da função f(x) se F(x)=f(x), seja qualquer x
pertencente ao domínio de f. Como a derivada de uma constante é zero, a antiderivada de
uma função não é única. Por exemplo, F(x)=x2 e H(x)=x2+10 são antiderivadas da função 
f(x)=2x, uma vez que F(x)=H(x)=2x=f(x).
Representamos o conjunto de todas as antiderivadas de f(x) utilizando o símbolo:
∫f(x) dx=F(x)+C,
que é chamado integral inde�nida de f(x), em que F é uma antiderivada de f. Para qualquer
função derivável F, ∫F′(x) dx=F(x)+C . Da ligação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral
por meio das antiderivadas, podemos listar propriedades para integração inde�nida
resultante de propriedades existentes para as derivadas. 
REGRA DA CONSTANTE: considerando qualquer constante k, ∫k dx=kx+C.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando qualquer n≠−1,∫xn dx=
xn+1
n+1
+C.
REGRA DO LOGARÍTMO: considerando qualquer x≠0,∫
1
x
 dx=ln |x|+C.
Uma Breve Revisão Sobre as IntegraisUma Breve Revisão Sobre as Integrais
de Funções Reais de uma Variável Realde Funções Reais de uma Variável Real
REGRA DA EXPONENCIAL: considerando qualquer constante k≠0 , ∫ekx dx=
1
k
ekx+C.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: considerando qualquer constante f, 
∫k f(x) dx=k∫f(x) dx.
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: ∫f(x) ± g(x) dx=∫f(x) dx±∫g(x) dx.
Exemplo 1.8: calcule:
a) ∫
3
x
 dx.
b) ∫
x3−8x2+2x
x
 dx.
Solução: a) Pelas regras do logaritmo e da multiplicação por uma constante,
∫
3
x
 dx=3∫
1
x
 dx=3 ln |x|+C.
b) Usando a regra da soma, da diferença, da multiplicação por uma constante, da
constante e da potência, temos:
∫
x3−8x2+2x
x
 dx=∫x2 dx−8∫x dx+∫2 dx=
x3
3
−4x2+2x+C.
Muitas integrais exigem, além das regras enunciadas acima, métodos especiais para
resolvê-las. Um destes é o método da substituição. Tal método consiste em escolhermos
uma substituição u=u(x)), para simpli�car o integrando f(x) e expressar toda a integral em
termos de u e du=udx. Com isso, a integral deve estar ∫f(x) dx=∫g(u) du na forma. Se possível,
calcule essa integral, determinando uma antiderivada G(u) de g(u). Para �nalizar,
substituímos u por u(x), obtendo uma antiderivada G(u(x)) para f(x), de modo que 
∫f(x) dx= G(u(x)) + C.
Por exemplo, podemos calcular a integral inde�nida ∫(5x+3)6 dx pelo método da
substituição. Denotando u=5x+3, temos du=5dx ou dx=1/5. Assim:
∫(5x+3)
6 dx=∫u
6 
1
5
 du  =
1
5∫
u6  du=
1
35
(5x+3)7 +C.( )
Agora, considere f(x) uma função contínua no intervalo a≤x≤b. Julgue que este intervalo
tenha sido dividido em n partes iguais de largura Δx=
b−a
n
 e seja x∗i um número qualquer
pertencente ao intervalo de ordem i, para qualquer i=1, 2, …, n. A soma:
[f(x∗1)Δx + f x
∗
2 Δx+....+f(x
∗
nΔx)]
é conhecida como soma de Riemann.
Dessa forma, a integral de�nida de f(x) no intervalo a≤x≤b, representada pelo símbolo
b
∫
a
f(x) dx
é dada pelo limite da soma de Riemann, sempre que n→∞, caso o limite exista.
A integral de�nida ∫b
a
f(x) dx é um número. Se a > b, temos que ∫b
a
f(x) dx=−∫a
b
f(x) dx; se a=b,
temos que ∫b
a
f(x) dx=0. Como, para as integrais inde�nidas, existem regras de integração
que nos auxiliam a determinar as integrais de�nidas, suponha que f e g são funções
contínuas, sendo válida a:
REGRA DA CONSTANTE: para qualquerconstante k, ∫b
a
k dx=k(b−a).
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: ∫b
a
f(x)±g(x) dx=∫b
a
f(x) dx+∫b
a
g(x) dx.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: para qualquer constante k,
b
∫
a
k f(x) dx=k 
b
∫
a
f(x) dx.
REGRA DO INTERVALO: para qualquer c∈[a,b], ∫b
a
f(x) dx=∫c
a
f(x) dx+∫b
c
f(x) dx.
Exemplo 1.9: sendo ∫10
0
f(x) dx=17 e ∫8
0
f(x) dx=12, temos que ∫10
8
f(x) dx=5.
Solução: primeiramente, devemos escrever:
10
∫
0
f(x) dx=
8
∫
0
f(x) dx+
10
∫
8
f(x) dx.
Então:
( )
10
∫
8
f(x) dx=17 − 12 = 5.
Para �nalizar este tópico, vamos enunciar a primeira e a segunda parte do Teorema
Fundamental do Cálculo. Este é um dos mais importantes resultados do cálculo, pois
relaciona o conceito de integral de�nida ao conceito de antiderivação, ou seja, o Teorema
Fundamental do Cálculo relaciona o cálculo diferencial e o cálculo integral.
Teorema 1.4 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1): se f for contínua em [a,b], então,
a função g de�nida por g(x)=∫x
a
f(t) dt (a≤x≤b) é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) e 
g(x)=f(x).
Teorema 1.5 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2): se f for contínua em [a,b], então:
b
∫
a
f(x) dx=F(b)−F(a)
em que F é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que F=f.
Exemplo 1.10: calcule:
a)  ∫3
1
ex dx.
b) ∫8
5
2x+1 dx.
Solução: a) Note que F(x)=ex é uma antiderivada de f(x)=ex, então, pela Parte 2 do Teorema
Fundamental do Cálculo,
∫3
1
ex dx= F(3)−F(1)=e3−e.
b) Com o raciocínio do item anterior e com o auxílio das regras de integração, temos:
∫8
5
2x+1 dx=  82−52 +(8−5)=42.
praticar
Vamos Praticar
Podemos utilizar as integrais para solucionar muitas situações problemas do nosso cotidiano e do
nosso meio pro�ssional. Com base na teoria sobre integrais inde�nidas e de�nidas revisadas
neste tópico, assinale a alternativa correta.
a) ∫x2−2x dx = x3−2x2 + C.
b) ∫− cos x dx = sen x + C.
c) ∫t3 cos  t4 +2  dt =
1
4
 cos  t4 +2  + C.
d) ∫1
0
x3+1  dx=
5
4
.
e) ∫ 1
−1
x2 dx=1
( )
( ) ( )
( )
Uma função f(x) é denominada função racional, se f(x)=
R(x)
Q(x)
, em que R(x) e Q(x) são
polinômios. Se o grau de R é menor que o grau de R, f é chamada de função racional
própria; f(x) é denominada função racional imprópria, se o grau de R é maior ou igual que o
grau de Q.
Se uma função f(x)=
P(x)
Q(x)
 é racional imprópria, podemos dividir os polinômios P por Q até o
resto R(x) ser obtido, em que o grau de R é menor que o grau de Q. Com isso, podemos
Integração de Funções Racionais porIntegração de Funções Racionais por
Frações ParciaisFrações Parciais
reescrever f(x) como a soma de um polinômio S(x) e uma função racional própria 
R(x)
Q(x)
, ou
seja, f(x)=S(x)+
R(x)
Q(x)
.
Quando não conseguimos resolver a integral de uma função racional própria, podemos
decompô-la em frações parciais, usando a seguinte estratégia: primeiramente, fatoramos
o denominador Q como produto de fatores lineares e quadráticos, em que os fatores
quadráticos não possuem raízes reais, isto é, são irredutíveis.
Na resolução dos exemplos a seguir, veremos três casos desta técnica.
Exemplo 1.12: determine:
a) ∫
x2+2x−1
2x3+3x2−2x
 dx.
b) ∫
x3−1
x2(x−2)3
 dx.
c) ∫
x2+1
x3+3x
 dx.
Solução: a) Note que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador, logo, a
função f(x)=
x2+2x−1
2x3+3x2−2x
 é racional própria, e não precisamos dividir o numerador pelo
denominador. Observe que
2x3+3x2−2x=x(2x−1)(x+2)
ou seja, o polinômio Q(x)= a1x+b1 a2+b2 ... an+bn pode ser decomposto em fatores lineares
e nenhum fator é repetido. Neste caso, escrevemos:
R(x)
Q(x)
= 
A1
a1 x+b1
+
A2
a2+b2
+...
An
an+bn
Então,
x2+2x−1
2x3+3x2−2x
=
x2+2x−1
x(2x−1)(x+2)
=
A1
x
+
A2
2x−1
+
A3
x+2
.
( ) ( ) ( )
Com isso, temos que:
x2+2x−1= 2A1+A2+2A3 x
2+ 3A1+2A2−A3 x−2A1
em que a igualdade de polinômios é:
A1=1/2 , A2=1/5 e A3=−1/10.
Portanto,
∫
x2+2x−1
2x3+3x2−2x
 dx=
1
2∫
1
x
 dx +
1
5∫
 
1
2x−1
dx − 
1
10∫
 
1
x+2
dx.
=
1
2
ln |x|+
1
10
ln |2x−1|−
1
10
ln |x+2|+C.
b)Temos que:
x2 = x . x . (x−2). (x−2). (x−2)
ou seja, o polinômio Q(x) decompõe-se em fatores lineares com termos repetidos. Se o
fator aix+bi repete p vezes, teremos, correspondente a esse fator, uma soma de p frações
parciais da forma:
 
A1
ai x+bi
+
A2
ai x+bi
2
+...
Ap
(ai x+bi)
p
.
Então,
x3−1
x2(x−2)3
=
A1
x
+
A2
x2
+
B1
(x−2)
+
B2
(x−2)2
+
B3
(x−2)3
em que:
x3−1=A1 x(x−2)
3 +A2(x−2)
3+B1 x
2(x−2)2 +B2 x
2(x−2) +B3x
2
Se x=0, A2=1/8; se x=2, B3=7/4. Para determinar A1, B1 e B2, substituímos os valores já
encontramos na equação acima e resolvemos o sistema de polinômios obtendo 
A1=3/16, B1=−3/16 e B2=5/4.
Com isso,
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
∫
x3−1
x2(x−2)3
=
3
16
∫
1
x
dx+
1
8
∫
1
x2
dx−
3
16
∫
1
(x−2)
dx+
5
4
∫
1
(x−2)2
dx+
7
4
∫
1
(x−2)3
dx =
3
16
ln |x|−
1
8x
−
3
16
ln |x−2|−
5
4(x−2)
+
7
8(x−2)2
+C
c) Neste caso,
x3+3x = x  x2+3
em que o fator x2+3 é irredutível, pois não possui raízes reais, isto é, o polinômio Q(x) é
decomposto por fatores lineares e quadráticos, porém nenhum fator quadrático é
repetido. Todo fator quadrático irredutível ax2+bx+c terá uma fração parcial da forma:
Ax+B
ax2+bx+c
.
Então,
x2+1
x3+3x
==
A
x
+
Bx+C
x2+3
.
Procedendo como nos itens anteriores, obtemos que A=
1
3
, B=
2
3
 e C = 0. Então,
∫
x2+1
x3+3x
 dx=
1
3∫
 
1
x
 dx+
2
3∫
x
x2+3
dx=
1
3
ln |x|+
1
3
ln  x2+3 +C.
Também podemos decompor Q(x) por fatores lineares e quadráticos irredutíveis, mas com
alguns fatores quadráticos repetidos. Nesse caso, se ax2+bx+c for um fator quadrático
irredutível que se repete p vezes, o fator (ax2+bx+c)
p
 possui p frações parciais da forma
A1x+B1
ax2+bx+c
+
A2x+B2
ax2+bx+c 2
+ ...+
Apx+Bp
(ax2+bx+c)
p
.
Por exemplo, para x2+3x+5 3, temos:
A1x+B1
x2+3x+5
+
A2x+B2
x2+3x+5 2
+
A3x+B3
x2+3x+5 3
.
Note que, na letra a) do exemplo 1.12, foi possível fatorar o denominador como
multiplicação de fatores lineares distintos. No item b), decompomos o denominador como
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
multiplicação de fatores lineares repetidos. Já no item c) do exemplo 1.12, a fatoração do
denominador continha fatores quadráticos irredutíveis, sem repetição. Acabamos de
observar, acima, outra forma de fatorar um polinômio, como multiplicação de fatores
lineares e quadráticos irredutíveis, com alguns termos quadráticos repetidos. Um
resultado da Álgebra garante que é sempre possível fatorar um polinômio de uma dessas
quatro maneiras. A forma de decompor a fatoração de cada caso em frações parciais,
exposta nos exemplos acima, vem do teorema de frações parciais.
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que algumas integrais de funções racionais próprias precisam ser decompostas em
frações parciais para serem resolvidas. Observe a integral a seguir:
∫
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 dx
Agora, assinale a alternativa correta.
a) A função f(x)=
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 é uma função racional própria.
b) A função f(x)=
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
  é uma função racional imprópria e  
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
=
1
x−1
+
2
(x−1)2
−
1
x+1
. 
c) Temos que ∫
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 dx=
x2
2
+x+ln |x−1|−
2
x−1
−ln |x+1|+C.
d) Temos que ∫
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 dx=
x2
2
+ln |x−1|−
2
x−1
+C.
e) Temos que ∫
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 dx=
x2
2
+x−
2
x−1
+C.
indicações
Material Complementar
FILME
Uma mente brilhante
Ano: 2001
 Comentário: o �lme conta a história de um matemático que,
mesmo doente, com esquizofrenia, venceu o Nobel de Economia,
por sua Teoria dos Jogos.
T R A I L E R
LIVRO
Cálculo
James Stewart
Editora: Cengage Learning
ISBN: 8522112584
Comentário: este livro aborda toda a teoria do cálculo
diferencial e integral que relembramos nesta unidade. Você
poderá conferir muitos exemplos resolvidos, o que contribuirá
com seus estudos.
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, pudemos revisar as de�nições e propriedades do cálculo diferencial e do
cálculo integral, que já havíamos aprendido em outro momentodo curso. Também
aprendemos um novo método de integração, a integração por frações parciais. Por meio
do Teorema Fundamental do Cálculo, relembramos que o cálculo diferencial e integral
estão interligados, pois um desfaz o que o outro faz. Como perceberam, não foi possível
explorar toda a teoria presente na disciplina do cálculo diferencial e integral, pois esta é
vasta.
Esperamos que tenham recordado o conteúdo e praticado os tópicos por meio dos
exemplos e exercícios, tornando essa revisão produtiva ao seu conhecimento e formação.
Sugerimos que pesquise sobre outras aplicações do cálculo diferencial e integral, que não
comentamos na unidade, pois isso motivará os seus estudos. Agradecemos toda a
dedicação e até uma próxima oportunidade!
referências
Referências Bibliográ�cas
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2001.
LEITHOULD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra Ltda., 1994.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2006.