Revisao de Calculo Lista 2

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2 EXERCI´CIOS DE MA´XIMOS E MI´NIMOS
Lista de exerc´ıcios 2 - CNA - 2018
Sa´vio B. Rodrigues
Dept. Matema´tica - UFSCar
1 Exerc´ıcios, derivadas e gra´ficos
1. Calcule as derivadas:
(a).
(
ex+sinx
tanx
)′
(b). d
dx
ln
(
x2
x−2
)
(c). d
dx
(2x2 + 2)1/3
(d). (arctg x2)′ dado que (arctgx)′ = (1 + x2)−1
2. Encontre a reta tangente ao gra´fico de f(x) = xex
2
que passa pelo ponto (1, e)
3. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3
4. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x/(x− 1)
5. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x+ senx, identifique se ha´ pontos de ma´ximo ou mı´nimo
locais.
6. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x
√
x+ 1
7. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 + 3x2 − 9x+ 6
2 Exerc´ıcios de ma´ximos e mı´nimos
1. Encontre o ma´ximo do mo´dulo da derivada da func¸a˜o
f(x) = −(1/36)x3 − (1/12)x2 + (3/4)x+ 5/6 no intervalo −5 ≤ x ≤ 3.6.
2. Encontre o valor de: maxx∈[1,1.5] |f (3)(x)| onde f (3)(x) e´ a terceira derivada da func¸a˜o
f(x) = 1
3
x3 + x2 lnx.
3. Encontre o valor de maxx∈[−1,0] |f (4)(x)| onde f (4)(x) e´ a quarta derivada da func¸a˜o
f(x) = 3
2
ex + e−x − 1
8
x4.
4. Encontre o valor de maxx∈[0,1] |f (4)(x)| onde f (4)(x) e´ a quarta derivada da func¸a˜o
f(x) = 3
2
ex + e−x − 1
8
x4.
5. Encontre o valor de maxx∈[−5,3] |f ′(x)| no qual
f(x) = (1/30)x3 + (1/10)x2 − (4/5)x− 7/5.
6. Encontre o valor de:
max
x∈[0,1]
∣∣∣∣ −2x(x2 + 1.2)2
∣∣∣∣ .
7. Encontre o valor de maxx∈[0,0.25] |2 sen (2x)|.
1
3 EXERCI´CIOS DA SEC. 1.1 DO LIVRO TEXTO
8. Encontre o valor de: maxx∈[2,4] |f ′(x)| onde
f(x) = 1
2
(
x+ 4
x
)
.
9. Encontre o valor de: maxx∈[0,1.5] |x3 − x− 1|.
10. Encontre o valor de maxx∈[0,0.15] |f (2)(x)| no qual f (2)(x) e´ a segunda derivada da func¸a˜o
f(x) = xe2x.
11. Encontre o valor de maxx∈[0,0.25] |xex|.
3 Exerc´ıcios da Sec. 1.1 do livro texto
Lista de exerc´ıcios da sec. 1.1 (numerac¸a˜o referente a` 8a ed. do livro texto).
Transcrevi o enunciado do livro para facilitar para os alunos que ainda na˜o conseguiram o livro.
Por favor, providencie o livro pois no futuro passarei a referir aos exerc´ıcios somente pelo nu´mero.
1 (a), 1 (c), 2 todos os itens, 3 todos os itens, 4 (a), 4 (b), 4 (d), 5, 6, 8, 9 (a), 9 (b), 11 (a),
11 (b), 15 (15 tem dificuldade me´dia), 21, e 26.
1 Mostre que as seguintes equac¸o˜es tem ao menos uma soluc¸a˜o no intervalo dado
a. x cosx− 2x2 + 3x− 1 = 0, intervalo [0.2, 0.3] e [1.2; 1.3]
c. 2x cos(2x)− (x− 2)2 = 0, intervalo [2; 3] e [3; 4]
2 Encontre intervalos em que as seguintes equac¸o˜es tem ao menos uma soluc¸a˜o
a. x− 3−x = 0
b. 4x2 − ex = 0
c. x3 − 2x2 − 4x+ 2 = 0
d. x3 + 4.001x2 + 4.002x+ 1.101 = 0
3 Mostre que f ′(x) e´ zero ao menos uma vez no intervalo
a. f(x) = 1− ex + (e− 1) sen (pix/2), intervalo [0, 1]
b. f(x) = (x− 1)tgx+ x sen (pix), intervalo [0, 1]
c. f(x) = x sin(pix)− (x− 2) lnx, intervalo [1, 2]
d. f(x) = (x− 2) senx ln(x+ 2), intervalo [−1, 3]
4 Encontre maxa≤x≤b |f(x)| para as seguintes func¸o˜es e intervalos
a. (2− ex + 2x)/3, intervalo [0, 1]
b. (4x− 3)/(x2 − x), intervalo [0.5, 1]
d. 1 + e− cos(x−1), intervalo [1, 2]
5 Use os teoremas de Valor Intermedia´rio e de Rolle para mostrar que o gra´fico de f(x) =
x3 + 2x+ k cruza o eixo x uma u´nica vez, independe do valor k.
2
4 EXERCI´CIOS SEC. 2.1 DO LIVRO TEXTO
6 Seja f ∈ C[a, b] e f ′ existe para todo x ∈ (a, b). Mostre que se f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b)
enta˜o existe no ma´ximo um ponto p ∈ [a, b] tal que f(p) = 0.
8 Encontre o polinoˆmio de Taylor P3(x) para a func¸a˜o
√
x+ 1 ao redor de x0 = 0. Aproxime
os valores
√
0.5,
√
0.75,
√
1.25, e
√
1.5, usando o P3(x); encontre o erro destas aproximac¸o˜es.
9 Encontre o polinoˆmio de Taylor P2(x) para a func¸a˜o e
x cosx ao redor de x0 = 0
a. Use P2(0.5) para aproximar f(0.5). Encontre um limitante para o erro |P2(0.5)− f(0.5)|
usando a fo´rmula para o resto, compare com o erro da aproximac¸a˜o.
b. Encontre um limitante para o erro |P2(x)− f(x)| ao usar P2(x) para aproximar f(x) no
intervalo [0, 1].
11 Encontre o polinoˆmio de Taylor P3(x) para a func¸a˜o f(x) = (x− 1) lnx usando x0 = 1
a. Use P3(0.5) para aproximar f(0.5). Encontre um limitante para o erro |f(0.5)−P3(0.5)|
usando a fo´rmula para o resto, compare com o erro da aproximac¸a˜o.
b. Encontre um limitante para o erro |f(x)− P3(x)| ao usar P3(x) para aproximar f(x) no
intervalo [0.5, 1.5].
15 Use o polinoˆmio de Taylor em torno do ponto x0 = pi/4 para aproximar cos 42
o com uma
precisa˜o de 10−6.
21 O polinoˆmio P2(x) = 1−x2/2 e´ usado para aproximar a func¸a˜o cosx no intervalo [−1/2, 1/2].
Encontre um limitante para o erro.
26 Seja f ∈ C[a, b], e x1 e x2 em [a, b]. Sejam c1 e c2 contantes positivas. Mostre que existe um
nu´mero ξ entre x1 e x2 tal que
f(ξ) =
c1f(x1) + c2f(x2)
c1 + c2
.
4 Exerc´ıcios Sec. 2.1 do livro texto
10 O nu´mero e pode ser definido por e =
∑∞
n=0(1/n!) no qual 0! = 1. Encontre o erro absoluto
e o erro relativo nas seguintes aproximac¸a˜o para e:
(a)
∑5
n=0(1/n!),
(b)
∑10
n=0(1/n!).
11 Seja
f(x) =
x cosx− senx
x− senx .
(a) Encontre limx→0 f(x).
(b) Use aritme´tica com quatro d´ıgitos, com arredondamento, para calcular f(0.1).
(c) Substitua as func¸o˜es trigonome´tricas pelo polinoˆmio de Maclaurin de garu 3, repita a parte
(b).
(d) O valor de fato e´ f(0.1) = −1.99899998. Encontre o erro relativo dos valores obtidos nas
partes (b) e (c).
3
4 EXERCI´CIOS SEC. 2.1 DO LIVRO TEXTO
12 Seja
g(x) =
ex − e−x
x
.
(a) Encontre limx→0 g(x).
(b) Use aritme´tica com treˆs d´ıgitos, com arredondamento, para calcular f(0.1).
(c) Substitua as func¸o˜es trigonome´tricas pelo polinoˆmio de Maclaurin de garu 3, repita a parte
(b).
(d) O valor de fato e´ f(0.1) = 2.003335000. Encontre o erro relativo dos valores obtidos nas
partes (b) e (c).
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