1aVE MB A1

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UFF - IME - Departamento de Matema´tica Aplicada
Turma A1 - Prof. Leonardo Silvares
Nome:
1a VE de Matema´tica Ba´sica
10/05/17
Questa˜o Valor Nota
1 2,0
2 2,0
3 2,0
4 2,0
5 2,0
Total: 10,0
Atenc¸a˜o: Todas as afirmac¸o˜es feitas na soluc¸a˜o das questo˜es desta prova devem estar devida-
mente justificadas. Soluc¸o˜es sem justificativas na˜o sera˜o consideradas. Argumentos “geome´tricos”
ou “visuais” na˜o sera˜o aceitos, salvo quando forem expressamente solicitados.
1. Considere a proposic¸a˜o
Se x ∈ R e x+1
x−2 > 2, enta˜o −1 < x < 6.
.
(a) Qual e´ a hipo´tese e qual e´ a tese desta proposic¸a˜o?
(b) Esta proposic¸a˜o e´ falsa ou verdadeira? Se for falsa, apresente um contraexemplo. Se for
verdadeira, demonstre.
(c) Escreva a rec´ıproca da proposic¸a˜o dada e diga se ela e´ verdadeira ou falsa, justificando.
(d) Escreva a contrapositiva da proposic¸a˜o dada e diga se ela e´ verdadeira ou falsa, justificando.
(e) Pode-se dizer que
x + 1
x− 2 > 2⇔ x ∈ (−1, 6) ?
Justifique
2. De um tabuleiro quadrado de n por n casas, sa˜o retiradas duas casas quaisquer.
(a) Determine, em func¸a˜o de n, o nu´mero de casas do tabuleiro.
(b) O nu´mero de casas restantes no tabuleiro pode ser divis´ıvel por 4? Justifique.
(c) Prove que, apo´s retiradas as duas casas, o tabuleiro na˜o pode ser totalmente coberto, sem so-
breposic¸a˜o, com as pec¸as abaixo. Dica: Prove por absurdo!
3. Um nu´mero real m e´ dito o cota superior de um conjunto X, quando, para todo nu´mero real x,
se x ∈ X enta˜o x 6 m.
(a) Escreva, sem utilizar palavras, a condic¸a˜o para m ser cota superior de um conjunto.
(b) Quando um nu´mero real m na˜o e´ cota superior do conjunto X?
(c) Se m e´ cota superior do conjunto X e p > m, prove que, para todo x ∈ X, p > x.
4. Determine em R, utilizando as propriedades alge´bricas do mo´dulo, o conjunto soluc¸a˜o da
inequac¸a˜o
|2x| 6 |x− 2|+ 1.
5. Sa˜o dadas treˆs premissas sobre um conjunto A.
i. A ⊂ N.
ii. Se x ∈ A, enta˜o x + 1 ∈ A.
iii. Se 3 /∈ A, enta˜o 2 ∈ A.
Considerando as premissas acima e justificando com argumentos va´lidos, responda:
(a) Podemos afirmar que 3 ∈ A?
(b) Podemos afirmar que 1 ∈ A?
(c) Podemos afirmar que 15 ∈ A?
(d) Quais sa˜o os poss´ıveis conjuntos A satisfazendo as condic¸o˜es acima?