Cálculo I Lista 3

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Universidade Federal de Sergipe
Departamento de Matema´tica - DMA
Equipe de Unificac¸a˜o - 2013-1
Ca´lculo I - Lista 3 Aplicac¸o˜es da Derivac¸a˜o
1. Se a e b sa˜o nu´meros positivos, ache o valor ma´ximo de f(x) = xa (1− x)b, 0 ≤ x ≤ 1.
2. Mostre que 5 e´ um nu´mero cr´ıtico da func¸a˜o
g(x) = 2 + (x− 5)3
mas g na˜o tem um valor extremo local em 5.
3. Prove que a func¸a˜o
f(x) = x101 + x51 + x + 1
na˜o tem nem ma´ximo nem mı´nimo locais.
4. Mostre que a equac¸a˜o x4 + 4x + c = 0 tem no ma´ximo duas ra´ızes reais.
5. Mostre que
√
1 + x < 1 +
1
2
x se x > 0.
6. Use o Teorema do Valor Me´dio para provar a desigualdade
|sen a− sen b| ≤ |a− b|
para todos a e b.
7. Encontre uma func¸a˜o cu´bica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d que tenha um valor ma´ximo
local 3 em −2 e um valor mı´nimo local 0 em 1.
8. Para quais valores de a e b a func¸a˜o
f(x) = axebx
2
tem o valor ma´ximo f(2) = 1?
9. Mostre que a func¸a˜o g(x) = x |x| tem um ponto de inflexa˜o em (0, 0), mas g′′(0) na˜o
existe.
10. Se f ′ for cont´ınua , f(2) = 0 e f ′(2) = 7, avalie
lim
x→0
f(2 + 3x) + f(2 + 5x)
x
.
11. Para quais valores de a e b a equac¸a˜o a seguir e´ va´lida?
lim
x→0
(
sen 2x
x3
+ a +
b
x2
)
= 0
1
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 Licenciatura em Matemática
12. Mostre que as retas y = (b/a)x e y = −(b/a)x sa˜o ass´ıntotas inclinadas da hipe´rbole
(x2/a2)− (y2/b2) = 1.
13. Seja f(x) =
(x3 + 1)
x
. Mostre que
lim
x→∞
[
f(x)− x2] = 0.
Isso mostra que o gra´fico de f tende ao gra´fico de y = x2, e dizemos que a curva
y = f(x) e´ uma ass´ıntota da para´bola y = x2. Use esse fato para ajuda´-lo no esboc¸o
do gra´fico de f .
14. Um cil´ındro circular reto e´ inscrito em uma esfera de raio r. Encontre a maior a´rea
superficial poss´ıvel para esse cil´ındro.
15. Um pedac¸o de fio com 10m de comprimento e´ cortado em duas partes. Uma parte e´
dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra e´ dobrada na forma de um
triaˆngulo equila´tero. Como deve ser cortado o fio de forma que a a´rea total englobada
: (a) um ma´ximo? (b) um mı´nimo?
Sugesto˜es e Respostas
1. O valor ma´ximo de f e´ f
(
a
a + b
)
=
aabb
(a + b)a+b
.
2. Note que g(x) < g(5) para x < 5, e g(x) > g(5) para x > 5.
3. Observe que, se a func¸a˜o possui extremo local em c, enta˜o f ′(c) = 0.
4. Comece supondo por absurdo que a equac¸a˜o possui 3 ra´ızes, e enta˜o busque uma
contradic¸a˜o usando o Teorema de Rolle.
5. Defina f(x) = 1 + 1
2
x − √1 + x. Enta˜o, use o Teorema do Valor Me´dio para um
intervalo [0, b].
6. Lembre-se que |cosx| ≤ 1, ∀x ∈ R.
7. Use as hipo´teses para chegar a um sistema. Depois, resolva-o usando escalonamento.
8. a =
1
2
e1/2 e b = −1
8
.
9. Use o fato de |x| = √x2.
10. Use a Regra de L’Hospital.
11. a =
4
3
e b = −2.
12. Use a definic¸a˜o de ass´ıntota inclinada.
2