Exercícios de Cálculo 2 prof Jesus Salvador UVA

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Calcule 
Calcule 
Calcule a integral, onde R e o triangulo no plano xy 
delimitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1. 
Calcule a integral, onde R e o triangulo no plano xy 
delimitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1. 
Se invertermos a ordem de integração e tentarmos calcular 
encontraremos problemas porque ((sen x)/x) dx não pode ser expressa em termos 
de funções elementares (não ha primitivas simples). 
Calcular 
Calcular 
Estabeleça os limites de integração no cálculo da 
integral dupla, sendo R a região dada na figura 
 
Tipo I 
Estabeleça os limites de integração no cálculo da 
integral dupla, sendo R a região dada na figura 
 
Tipo II 
Estabeleça os limites de integração no cálculo da 
integral dupla, sendo R a região dada na figura 
 
Esboce a região de integração para a integral 
e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. 
Esboce a região de integração para a integral 
e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. 
A região de integração e dada pelas desigualdades x2 ≤ y ≤ 2x e 0 ≤ x ≤ 2. 
Esta e, portanto, a região delimitada pelas curvas y = x2 e y = 2x entre x = 0 e x = 2 
Calcular Onde R é a região triangular compreendida 
pelas retas ݕ = −ݔ + ͳ, ݕ = ݔ + ͳ e ݕ = ͵ 
Calcular Onde R é a região triangular compreendida 
pelas retas ݕ = −ݔ + ͳ, ݕ = ݔ + ͳ e ݕ = ͵ 
Calcular Onde R é a região triangular compreendida 
pelas retas ݕ = −ݔ + ͳ, ݕ = ݔ + ͳ e ݕ = ͵ 
Encontre o volume do solido em forma de cunha que esta abaixo 
da superfície z = 16 – x2 – y2 e acima da região R delimitada pela 
curva y = 2 ݔ, a reta y = 4x – 2 e o eixo x. 
Encontre o volume do solido em forma de cunha que esta abaixo 
da superfície z = 16 – x2 – y2 e acima da região R delimitada pela 
curva y = 2 ݔ, a reta y = 4x – 2 e o eixo x. 
Encontre a área da região R limitada pela parábola y = x2 e a reta y = x + 2. 
Encontre a área da região R limitada pela parábola y = x2 e a reta y = x + 2. 
Encontre a área da região R limitada pela parábola y = x2 e a reta y = x + 2. 
Determine o volume do sólido limitado pelo 
plano z = 0 e pelo paraboloide z = 1 – x2 – y2. 
Determine o volume do sólido limitado pelo 
plano z = 0 e pelo paraboloide z = 1 – x2 – y2. 
Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z=x2+y2 , acima do plano xy 
e dentro do cilindro x2+y2=2x 
Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z = x2+y2 , acima do plano 
xy e dentro do cilindro x2+y2 = 2x 
x2+y2 = 2x x2 – 2x +y2 = 0 x2 – 2x +1 +y2 = 1 𝑟2 = ʹ 𝑟 cos 𝜃 Logo 𝑟 = ʹ cos 𝜃 
𝑉 = 𝑟2𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃2 cos 𝜃0𝜋0 
Encontre a área delimitada pela lemniscata r2 = 4 cos 2𝜃. 
Encontre a área delimitada pela lemniscata r2 = 4 cos 2𝜃. 
Usando integral dupla polar calcule a área 
compreendida pela rosácea de três pétalas r = sen 3θ. 
 
O valor médio de uma função integrável ƒ sobre uma região R é 
definido conforme segue: 
Encontre o valor médio de ƒ(x, y) = x cos xy sobre o retângulo R: 0 ≤ x ≤ ߨ, 0 ≤ y ≤ 1. 
Encontre o valor médio de ƒ(x, y) = x cos xy sobre o retângulo R: 0 ≤ x ≤ ߨ, 0 ≤ y ≤ 1. 
O valor médio de uma função integrável ƒ sobre uma região R é 
definido conforme segue: 
Determine a massa e o centro de massa de uma lamina triangular com vértices 
(0, 0), (1, 0) e (0, 2), se a função densidade é ߩ ݔ, ݕ = ͳ + ͵ݔ + ݕ. 
O centro de massa é o ponto (3/8 , 11/16) 
Uma carga elétrica está distribuída na região triangular D da Figura, de modo que 
a densidade de carga em (x, y) é 𝜎 ݔ, ݕ = ݔݕ, medida em coulombs por metro 
quadrado (C/m2). Determine a carga total a partir da integral dupla, 
 
Uma carga elétrica está distribuída na região triangular D da Figura, de modo que 
a densidade de carga em (x, y) é 𝜎 ݔ, ݕ = ݔݕ, medida em coulombs por metro 
quadrado (C/m2). Determine a carga total a partir da integral dupla,