Geometria Plana e Espacial

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GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
PROF. LUIZ CARLOS MARTINS JR 
ENGENHARIA BÁSICA 
UNIVERSIDADE PAULISTA (UNIP) 
2017
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 1 
 REAS DE FIGURAS PLANAS
Algumas definições 
Segmentos congruentes: Dois segmentos são congruentes quando têm as mesmas medidas. 
Ângulos congruentes: Dois ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas. 
Ângulo agudo: menor que 90º. 
Ângulo obtuso: Maior que 90º. 
Ângulo reto: igual a 90º. 
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta chamados lados de modo que 
cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são 
denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é 
muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono. Perímetro do polígono é a soma de todas as medidas 
dos lados do polígono. 
Diagonal de um polígono: é qualquer segmento de reta que une 2 vértices não consecutivos. 
Polígono regular: é um polígono onde todos os lados e ângulos são congruentes. 
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão 
no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento 
tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. 
Exemplos: 
 
 
 
 
Não são polígonos polígono convexo polígono não convexo polígono regular 
 
Nomenclatura: Os polígonos podem ser classificados segundo o número de lados. 
Polígono No de lados Polígono No de lados 
Triângulo 3 Quadrilátero 4 
Pentágono 5 Hexágono 6 
Heptágono 7 Octógono 8 
Eneágono 9 Decágono 10 
Undecágono 11 Dodecágono 12 
Triângulos 
Os triângulos são polígonos de três lados. Podem ser classificados segundo seus lados ou ângulos: 
 Quanto aos lados os triângulos podem ser eqüiláteros (todos os lados iguais), isósceles (dois lados 
iguais) ou escaleno (todos os lados diferentes). 
 Quanto aos ângulos os triângulos pode ser acutângulo (todos os ângulos agudos), obtusângulo (1 
ângulo obtuso) ou retângulo (1 ângulo reto). 
 
 
 
 
Equilátero Isósceles Escaleno 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos
 
 
 
 
Acutângulo 
 
Algumas propriedades: 
 A soma dos ângulos internos é igual a 180º
 Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados 
 Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem
 Num triângulo, ao maior lado opõem
 Note que todo triângulo têm 3 bases, e portanto, 3 alturas (relativas a essas bases)
 O triângulo eqüilátero é um polígono regular.
 
Fórmulas para o cálculo da área de um triângulo
 Considere o triângulo abaixo
 
 
 
 
 
 Chamando de ܣ a área do triângulo, temos:
 I: Fórmula Básica: ܣ = ௕௛
ଶ
 
 II: Fórmula do seno: ܣ = ௔௕
 III: Fórmula de Heron: ܣ = ඥ
 onde 
Observações: 
 Note que a fórmula I necessita de 1 lado enquanto
conhecidos, e a fórmula 
 O ângulo da fórmula II é formado pelos lados conhecidos a e b.
Paralelogramo 
Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode
paralelogramo: 
 Os lados opostos são congruentes;
 Os ângulos opostos são congruentes;
 A soma de dois ângulos consecutivos vale 180
 As diagonais cortam-se ao meio.
 
Fórmula para o cálculo da 
área de um paralelogramo: ܣ =
 
 
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 Obtusângulo Retângulo 
A soma dos ângulos internos é igual a 180º. 
Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados de mesma medida opõem-
Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados de mesma medida
Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo. 
Note que todo triângulo têm 3 bases, e portanto, 3 alturas (relativas a essas bases)
riângulo eqüilátero é um polígono regular. 
Fórmulas para o cálculo da área de um triângulo 
baixo, onde: ቐ
ܽ, ܾ, ܿ são os comprimentos dos lados
 ܣ, ܤ, ܥ são os vértices 
ܣመ, ܤ෠, ܥመ são as medidas dos ângulos nos
a área do triângulo, temos: 
ୱ୧୬ ஼መ
ଶ
 
ඥ݌(݌ − ܽ)(݌ − ܾ)(݌ − ܿ) 
onde ݌ = ௔ା௕ା௖
ଶ
 é chamado de semi perímetro. 
Note que a fórmula I necessita de 1 lado enquanto que a fórmula II
e a fórmula III, de 3 lados conhecidos. 
O ângulo da fórmula II é formado pelos lados conhecidos a e b. 
um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode
Os lados opostos são congruentes; 
os opostos são congruentes; 
s ângulos consecutivos vale 180o; 
se ao meio. 
= ܾℎ 
 
ܣ ܥ 
ܤ 
ܾ 
ܿ ܽ 
ℎ 
ܾ 
ℎ 
 Geometria plana e espacial 
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Retângulo 
-se ângulos iguais. 
de mesma medida. 
Note que todo triângulo têm 3 bases, e portanto, 3 alturas (relativas a essas bases) 
lados 
 
nos respectivos vértices
  
a fórmula II, precisa de 2 lados 
um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num 
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Paralelogramos importantes: 
 Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos 
congruentes (e portanto retos). 
Obs: ficando claro que a figura trata-se de um retângulo, 
não é necessário indicar que os ângulos são todos de 90º. 
Área: ܣ = ܾℎ 
Propriedades: 
- lados opostos com a mesma medida 
- 4 ângulos retos 
- diagonais com mesma medida que se “cruzam” exatamente ao meio 
 
 Quadrado: É um paralelogramo com os 4 lados congruentes e os 4 
ângulos congruentes. Logo, é ao mesmo tempo um losango (ver 
definição abaixo) e um retângulo. O quadrado é um polígono regular. 
Área: ܣ = ܾଶ 
Propriedades: 
- 4 lados com medidas iguais 
- 4 ângulos retos (90º ) 
- diagonais perpendiculares e de mesma medida 
 
 Losango: Paralelogramo que tem todos os 4 lados congruentes. As 
diagonais de um losango formam um ângulo reto. Sendo ܦ o 
comprimento da diagonal maior e ݀ a medida da diagonal menor, temos: 
Área: ܣ = ஽ௗ
ଶ
 
Propriedades: 
- 4 lados com mesma medida (congruentes) 
- ângulos opostos iguais (congruentes) 
- diagonais perpendiculares que se cruzam ao meio (bissectam) 
Trapézio 
Trapézio: é um quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos 
com comprimentos distintos, denominados base menor ܾ e base maior ܤ. 
Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não 
paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média 
aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio. 
Área: ܣ = (௕ା஻)௛
ଶ
 
 
Os trapézios podem ser: escaleno quando todos os lados têm medidas diferentes; isósceles quando os 
lados não paralelos são congruentes (neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados 
congruentes); retângulo quando têm 2 ângulos consecutivos retos. 
 
 
 
Trapézio escaleno Trapézio isósceles Trapézio retângulo 
ℎ 
ܾ 
ܾ 
ܾ 
ܦ ݀ 
ܾ 
ܤ 
ℎ 
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Círculo e circunferência 
Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos 
de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é 
denominamos de centro da circunferência (ponto O). A distância 
constante denominamos de raio 
Círculo é a reunião da circunferência com seu interior.
Vejamos alguns elementos da circunferência:
 Qualquer segmento que une o Centro a qualque
(r). 
 Qualquer segmento 
circunferência chama-
 Dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência definem dois 
circunferência. 
 A corda que passa pelo centroda circunferência chama
a maior corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do 
raio. Vamos indicar o diâmetro por d, logo 
 
 
 
 
 
 
 
Corda
 
Fórmulas: 
 Área do círculo de raio r: 
 Comprimento da circunferência de raio r: 
 
Para calcular o comprimento de um arco de circunferência e/ou a área de 
um setor circular, usamos as fórmul
Círculo
Setor 
Circular
 
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é a figura geométrica formada por todos os pontos 
de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é 
da circunferência (ponto O). A distância 
 (indicado por ݎ). Veja figura ao lado. 
é a reunião da circunferência com seu interior. 
Vejamos alguns elementos da circunferência: 
Qualquer segmento que une o Centro a qualquer ponto da circunferência chama
Qualquer segmento de reta que une dois pontos quaisquer e distintos de uma 
-se corda. 
Dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência definem dois 
passa pelo centro da circunferência chama-se diâmetro
a maior corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do 
raio. Vamos indicar o diâmetro por d, logo ݀ = 2ݎ. 
Corda Diâmetro
Outros nomes 
Área do círculo de raio r: ܣ = ߨݎଶ 
Comprimento da circunferência de raio r: ܥ = 2ߨݎ 
comprimento de um arco de circunferência e/ou a área de 
um setor circular, usamos as fórmulas acima e regra de 3 simples direta: 
Arco 
Círculo Semicírculo Trapézio 
Circular 
Segmento 
Circular 
Setor 
Circular 
Setor de 
Coroa 
Coroa 
Circular 
Lúnula 
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é a figura geométrica formada por todos os pontos 
de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é 
da circunferência (ponto O). A distância 
r ponto da circunferência chama-se raio 
que une dois pontos quaisquer e distintos de uma 
Dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência definem dois arcos de 
diâmetro. Assim, o diâmetro é 
a maior corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do 
Diâmetro 
 
Segmento 
 
 
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Exercícios em aula 
1) Encontre a fórmula para a altura 
2) Encontre a fórmula para a área de um hexágono regular de lado 
3) Encontre a fórmula para a área de um polígono regular em função do semi perímetro p e da 
apótema. (Obs: apótema = raio da circunferência inscrita)
4) Um terreno retangular tem 72m de perímetro. O comprimento é o dobro da largura. Calcule sua 
área. 
5) Qual é a área de um paralelogramo no qual dois lados consecutivos medem 7 cm e 5 cm, sabendo
se que eles formam um ângulo de 120º?
6) Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste 
triângulo é: 
a) 20 cm2. b) 10 cm2. 
7) Num triângulo ABC, ܾ =
8) Sabendo que BD=12, qual a área 
9) Determine a área do quadrado de
10) As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?
11) Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?
12) Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio d
13) Qual é a área de uma coroa circular com raio externo de 20 cm e largura de 5 cm?
Área do setor: ࡿ = ࢻࡾ
૛
૛
 ou 
Comprimento do arco: ࡸ =
ܵ 
ܮ
S = área do 
segmento circular
 
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Encontre a fórmula para a altura ℎ e a área ܣ de um triângulo eqüilátero de lado 
Encontre a fórmula para a área de um hexágono regular de lado ܽ. 
Encontre a fórmula para a área de um polígono regular em função do semi perímetro p e da 
. (Obs: apótema = raio da circunferência inscrita) 
Um terreno retangular tem 72m de perímetro. O comprimento é o dobro da largura. Calcule sua 
rea de um paralelogramo no qual dois lados consecutivos medem 7 cm e 5 cm, sabendo
se que eles formam um ângulo de 120º? 
Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste 
. c) 24 cm2. d) 18 cm2. e) 12 cm2. 
√3 e ܿ = √2 e a área vale √଺ସ . Calcule o valor de 
Sabendo que BD=12, qual a área do quadrilátero e do segmento circular abaixo.
 
Determine a área do quadrado de diagonal igual a 7 cm. 
As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?
Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?
Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm? 
Qual é a área de uma coroa circular com raio externo de 20 cm e largura de 5 cm?
(ߙ em radianos) 
ou ࡿ = ࡸࡾ
૛
 
= ࢻࡾ 
ܮ 
S = área do 
segmento circular 
S´ = área do setor 
circular 
S´´ = área 
triângulo
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de um triângulo eqüilátero de lado ܽ. 
Encontre a fórmula para a área de um polígono regular em função do semi perímetro p e da 
Um terreno retangular tem 72m de perímetro. O comprimento é o dobro da largura. Calcule sua 
rea de um paralelogramo no qual dois lados consecutivos medem 7 cm e 5 cm, sabendo-
Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste 
o valor de ݏ݁݊ ܣመ. 
e do segmento circular abaixo. 
 
As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície? 
Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm? 
 
Qual é a área de uma coroa circular com raio externo de 20 cm e largura de 5 cm? 
S´´ = área do 
triângulo 
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14) Calcule a área, em cm2
transversos iguais a 0,5dm. 
Exercícios propostos 
1) Calcule a área do triângulo 
2) Numa figura retangular a diagonal mede 10cm e um dos lad
3) Uma piscina tem 8m de comprimento, 4m de largura e 1,20m de profundidade. Deseja
azulejos quadrados de 0,20m de lado nas paredes laterais e no fundo da piscina. Quantos azulejos 
serão necessários? 
4) Vamos calcular a área de um losango, sabendo qu
menor mede 2,4 cm. 
5) Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura 
mede 5 cm. Calcule a área deste trapézio. 
6) Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato 
para isso, quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi dito, o 
número mínimo de cerâmicas que serão usadas é igual a:
a) 3100 b) 2100. c) 1500. 
7) A figura ao lado representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um 
hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos 
hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a
a) 3√3 b) 2√3 
8) Um arco de circunferência mede 300º, e seu comprimento é 2 km. Qual 
o número inteiro mais próximo da medida do raio em metros?
a) 157 b) 284 c) 382 d
9) O perímetro de um setor circular d
radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado 
a) గ
ଷ
 b) 2 c) 1 d) 
10) Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e 
Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a 
Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, deverá 
ser: 
a) 31 b) 32 c) 33 
11) Na figura ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto 
AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence a hipotenusa AC, de tal forma que DECF 
seja um paralelogramo. Se DE 
 
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2, de um trapézio isósceles de bases iguais a 12 cm e 40mm e lados 
transversos iguais a 0,5dm. 
Calcule a área do triângulo eqüilátero de 36 cm de perímetro. 
Numa figura retangular a diagonal mede 10cm e um dos lados mede 6cm. Calcule sua área.
Uma piscina tem 8m de comprimento, 4m de largura e 1,20m de profundidade. Deseja
azulejos quadrados de 0,20m de lado nas paredes laterais e no fundo da piscina. Quantos azulejos 
Vamos calcular a área de um losango, sabendo que sua diagonal maior mede 5 cm e a diagonal 
Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura 
mede 5 cm. Calcule a área deste trapézio. 
Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato retangular medindo 10 m por 4 m e, 
para isso, quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi dito, o 
número mínimo de cerâmicas que serão usadas é igual a: 
a) 3100 b) 2100. c) 1500. d) 1000. e) 500. 
representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um 
hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos 
hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a: 
 c) ଷ√ଷ
ଶ
 d) √3 e) √ଷଶ 
Um arco de circunferência mede 300º, e seu comprimento é 2 km. Qual 
o número inteiro mais próximo da medida do raio em metros? 
a) 157 b) 284 c) 382 d) 628 e) 764 
O perímetro de um setor circular de lado R e ângulo central medindo ߙ
radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então ߙ é igual a:
b) 2 c) 1 d) ଶగ
ଷ
 e) గ
ଶ
 
Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e medidas: 
 
AD = 20 m; AB = 60 m; BC = 16 m 
Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a 
Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, deverá 
 d) 34 e) 35 
Na figura ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto 
AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence a hipotenusa AC, de tal forma que DECF 
seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, calcule a área do paralelogramo DECF.
 
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, de um trapézio isósceles de bases iguais a 12 cm e 40mm e lados 
os mede 6cm. Calcule sua área. 
Uma piscina tem 8m de comprimento, 4m de largura e 1,20m de profundidade. Deseja-se colocar 
azulejos quadrados de 0,20m de lado nas paredes laterais e no fundo da piscina. Quantos azulejos 
e sua diagonal maior mede 5 cm e a diagonal 
Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura 
retangular medindo 10 m por 4 m e, 
para isso, quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi dito, o 
representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um 
hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos 
Um arco de circunferência mede 300º, e seu comprimento é 2 km. Qual 
ߙ 
é igual a: 
Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a ܣܤതതതത. 
Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, deverá 
Na figura ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto 
AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence a hipotenusa AC, de tal forma que DECF 
= 3/2, calcule a área do paralelogramo DECF. 
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12) Há um conhecido quebra cabeças que consiste em formar um quadrado com as partes de um 
triângulo eqüilátero como mostram as figuras. Partindo-se de um triângulo com 24cm de 
perímetro, determine o perímetro do quadrado formado. 
 
13) Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o 
centro de um deles, quanto vale a área da parte preenchida? 
 
a) 100. b) 20. c) 5. d) 10. e) 14. 
14) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo? 
15) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área 
deste trapézio? 
16) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro? 
17) As bases de um trapézio isósceles medem respectivamente 4cm e 12cm. Determinar a área desse 
trapézio sabendo que o perímetro do trapézio é igual a 26 cm. 
18) Determinar a área de um círculo sabendo que o comprimento de sua circunferência é igual a 8π 
cm. 
19) Determinar a área de coroa determinada por duas circunferências concêntricas de raios 15cm e 
12cm. 
20) A área de uma sala com a forma da figura abaixo é de: 
 
a) 30 m2 b) 26,5 m2 c) 28 m2 d) 24,5 m2 e) 22,5 m2 
21) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros. 
22) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a 
medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm2) não aproveitada da chapa? 
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a) 40 - 20 π b) 400 - 20 π c) 100 
23) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma 
semicircunferência de raio 2. Então a área da região 
a) గ
ଶ
+ 2 b) ߨ + 2 
24) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes 
dimensões: ܣܤതതതത = 25 m, ܤܥത
Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor total do terreno?
25) Na figura a seguir tem-se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3 cm. Os pontos A e 
B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45°.
A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é igual a:
a) ଷ
ସ
ቀߨ − √ଶ
ଶ
ቁ b) ଷ
ଶ
ቀగ
ସ
−
26) Considere a região R, pintada de preto, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado 
de lado medindo 4 cm. Sabendo
quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, determine a 
área da região R. 
27) A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em q
de três de seus lados. 
 
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20 π c) 100 - 100 π d) 20 - 20 e) 400 
Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma 
semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é: 
 
 c) ߨ + 3 d) ߨ + 4 e) 2ߨ
Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes 
ܤܥതതതത = 24 m, ܥܦതതതത = 15 m. 
 
Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor total do terreno?
se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3 cm. Os pontos A e 
B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45°. 
sombreada, em centímetros quadrados, é igual a: 
 
ቀ − √3ቁ c) ଽସ ቀ
గ
ଶ
− √2ቁ d) ଽଶ ቀ
గ
ସ
− √2ቁ e) 
Considere a região R, pintada de preto, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado 
Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do 
quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, determine a 
 
A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em q
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20 e) 400 - 100 π 
Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e umaߨ + 1 
Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes 
Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor total do terreno? 
se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3 cm. Os pontos A e 
e) ଽ
ସ
ቀగ
ଶ
− 1ቁ 
Considere a região R, pintada de preto, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado 
se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do 
quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, determine a 
A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), 
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A área do terreno, em km
a) 215 b) 210 c) 200 d) 220 e) 205
28) A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 
de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados.
a) 27 π b) 32 π c) 36 π d) 42 π e) 48 π
29) Na figura abaixo têm-se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e 
retângulo. Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros 
quadrados, é 
(Use: π=3,1). 
 
 
 
a) 24,8 b) 25,4 c) 26,2 d) 28,8 e) 32,4
30) Numa esquina cujas ruas se cruzam, formando um ângulo de 120°, está situado um terreno 
triangular com frentes de 20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na figura a seguir:
A área desse terreno, em m
a) 225. b) 225√2. c) 
31) O ponto O é o centro de uma circunferência de raio 
da região sombreada. 
32) Determine a área das seguintes figuras (em cm
 
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A área do terreno, em km2, é igual a: 
a) 215 b) 210 c) 200 d) 220 e) 205 
A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 
O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados.
 
a) 27 π b) 32 π c) 36 π d) 42 π e) 48 π
se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e 
Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros 
a) 24,8 b) 25,4 c) 26,2 d) 28,8 e) 32,4 
s ruas se cruzam, formando um ângulo de 120°, está situado um terreno 
triangular com frentes de 20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na figura a seguir:
 
A área desse terreno, em m2, é 
√2. c) 225√3. d) 450√2. e) 450√3.
O ponto O é o centro de uma circunferência de raio ݎ, conforme a figura. Se 
 
Determine a área das seguintes figuras (em cm2): 
 Geometria plana e espacial 
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A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 9√3 cm2. A área do círculo 
O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados. 
a) 27 π b) 32 π c) 36 π d) 42 π e) 48 π 
se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um 
Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros 
 
s ruas se cruzam, formando um ângulo de 120°, está situado um terreno 
triangular com frentes de 20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na figura a seguir: 
√3. d) 450√2. e) 450√3. 
, conforme a figura. Se ݎ = 4 cm ,calcule área 
 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
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a) b) 
c) d) 
33) Abaixo temos um resumo das fórmulas dos polígonos regulares de 3, 4 e 6 lados. Todos inscritos e 
circunscritos a circunferências de raios r e R. Prove cada uma dessas fórmulas. Note que todas estão em 
função comprimento de cada lado L. 
 
 
 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
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Respostas dos exercícios propostos 
1) 36√3 cm3 
2) 48cm² 
3) 1520 azulejos 
4) 6 m2 
5) 38,5 m2 
6) d 
7) e 
8) c 
9) b 
10) ଺ଷ
ଶହ
 u.a. 
11) 16√3ర cm 
12) Alternativa E 
13) Perímetro = 18cm Área = 9√3 cm2 
14) 25 unidades de área. 
15) 24 cm. 
16) base=12 e altura=6. 
17) 24 cm2 
18) 16π cm2 
19) Alternativa B 
20) A = 84 cm2 
21) Alternativa E 
22) Alternativa B 
23) $ 24.000,00 
24) Alternativa C 
25) (12 – ߨ) cm2 
26) Alternativa B 
27) Alternativa A 
28) Alternativa D 
29) Alternativa C 
30) 4(ߨ − 2) cm2 
31) 81π cm2 
32) a) 48cm² b) 48cm² c) 91cm² d) 150cm² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópicos de Matemática 
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 REA DA SUPERFÍCIE E 
Poliedro é um sólido limitado externamente por regiões planas 
poligonais no espaço. As regiões planas poligonais que limitam este 
sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as 
do poliedro. As interseções das arestas são os 
Exemplos de poliedros são o cubo, o paralelepípedo, o prisma e a pirâmide. Exemplos de sólidos que não são 
poliedros são o cilindro, o cone e a esfera.
Um poliedro é convexo se qualquer reta o corta em no máximo dois
ser chamado de não convexo ou de côncavo
Poliedros regulares 
Um poliedro convexo é regular quando:
 Suas faces são polígonos regulares e congruentes.
 Em todos os seus vértices concorre o mesmo número de arestas.
Num poliedro regular, percebe-se imediatamente que:
 Todas as faces têm o mesmo número de arestas (pois as faces são congruentes); 
 Todos os vértices são pontos em que co
É possível provar que existem apenas 5 poliedros regulares:
 
 Tetraedro hexaedro
 
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REA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DE FIGURAS ESPACIAIS
é um sólido limitado externamente por regiões planas 
poligonais no espaço. As regiões planas poligonais que limitam este 
do poliedro. As interseções das faces são as arestas 
estas são os vértices do poliedro. 
Exemplos de poliedros são o cubo, o paralelepípedo, o prisma e a pirâmide. Exemplos de sólidos que não são 
poliedros são o cilindro, o cone e a esfera. 
se qualquer reta o corta em no máximo dois pontos. Um poliedro que não é convexo pode 
côncavo. Os poliedros acima são convexos. Os poliedros 
 
Um poliedro convexo é regular quando: 
regulares e congruentes. 
Em todos os seus vértices concorre o mesmo número de arestas. 
se imediatamente que: 
Todas as faces têm o mesmo número de arestas (pois as faces são congruentes); 
Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo número de arestas; 
É possível provar que existem apenas 5 poliedros regulares: 
 
hexaedro octaedro dodecaedro 
 Geometria plana e espacial 
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Exemplos de poliedros são o cubo, o paralelepípedo, o prisma e a pirâmide. Exemplos de sólidos que não são 
 
 
pontos. Um poliedro que não é convexo pode 
poliedros abaixo são não convexos. 
 
Todas as faces têm o mesmo número de arestas (pois as faces são congruentes); 
 
 
 icosaedro 
Tópicos de Matemática 
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Prisma 
Um prisma é um poliedro convexo
inferior paralelas e congruentes. Essas faces são chamadas de bases.
Num prisma temos os seguintes elementos:
 bases (polígonos); 
 faces (paralelogramos); 
 arestas das bases (lados das bases); 
 arestas laterais (ladosdas faces 
 vértices (pontos de encontro das arestas); 
 altura (distância entre os planos das bases).
Quando as arestas laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é 
chamado de reto; caso contrário, de 
 
Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases.
 um prisma é triangular 
 um prisma é quadrangular
 um prisma é pentagonal
 um prisma é hexagonal
 Etc 
Prisma triangular Prisma quadrangular
 
Base:Triângulo Base:Quadrado
 
Um cuidado especial: Algumas vezes o prisma pode se apresentar “deitado”, ou seja, com uma das bases 
voltada para o lado de baixo. Ele continua sendo um pri
 
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convexo com uma face superior e uma face 
. Essas faces são chamadas de bases. 
Num prisma temos os seguintes elementos: 
faces (paralelogramos); 
arestas das bases (lados das bases); 
arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases); 
vértices (pontos de encontro das arestas); 
altura (distância entre os planos das bases). 
laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é 
; caso contrário, de oblíquo. 
 
Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases. Assim: 
triangular quando suas bases são triângulos; 
quadrangular quando suas bases são quadriláteros; 
pentagonal quando suas bases são pentagonais; 
hexagonal quando suas bases são hexagonais. 
Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal
 
 
Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono
Um cuidado especial: Algumas vezes o prisma pode se apresentar “deitado”, ou seja, com uma das bases 
voltada para o lado de baixo. Ele continua sendo um prisma! 
Prisma 
Reto 
Prisma 
Oblíquo 
 Geometria plana e espacial 
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laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é 
 
Prisma hexagonal 
 
Base:Hexágono 
Um cuidado especial: Algumas vezes o prisma pode se apresentar “deitado”, ou seja, com uma das bases 
 
Altura do prisma 
Tópicos de Matemática 
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Tipos especiais de prisma: 
Cubo: é um prisma em que todas as faces são 
altura é igual à medida da aresta da base.
hexaedro regular. 
Paralelepípedo: é um prisma cujas bases são paralelogramos
paralelogramos). Um paralelepípedo reto retângulo tem todas as faces formadas por retângulos.
 
Paralelepípedo oblíquo 
Prisma regular: um prisma é regular se é reto e seus polígonos das 
todo prisma regular as faces laterais são retângulos congruentes entre si.
Área total e volume de um prisma
Chamando do ܣ a área total do prisma, 
a soma das áreas de todas as faces laterais do prisma, temos que:
lembrando que as faces laterais são todas retângulos.
Chamando ܸ o volume do prisma e 
 
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: é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular regular cuja 
altura é igual à medida da aresta da base. Por ser um polígono regular, o cubo também é chamado de 
 
: é um prisma cujas bases são paralelogramos (logo, tod
. Um paralelepípedo reto retângulo tem todas as faces formadas por retângulos.
 
 Paralelepípedo reto Paralelepípedo reto retângulo
: um prisma é regular se é reto e seus polígonos das bases são regulares. Note que em 
todo prisma regular as faces laterais são retângulos congruentes entre si. 
 
Área total e volume de um prisma 
a área total do prisma, ܣ௕ a área de uma base e ܣ௟ de área lateral do prisma, ou seja, 
a soma das áreas de todas as faces laterais do prisma, temos que: 
ܣ = 2ܣ௕ + ܣ௟ 
lembrando que as faces laterais são todas retângulos. 
o volume do prisma e ℎ sua altura, temos que: 
ܸ = ܣ௕ ∙ ℎ 
 
 Geometria plana e espacial 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 14 
quadradas. O cubo é um prisma quadrangular regular cuja 
Por ser um polígono regular, o cubo também é chamado de 
, todas as faces de são 
. Um paralelepípedo reto retângulo tem todas as faces formadas por retângulos. 
 
Paralelepípedo reto retângulo 
bases são regulares. Note que em 
de área lateral do prisma, ou seja, ܣ௟ é 
Tópicos de Matemática 
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Veja o Princípio de Cavallieri. 
Pirâmides 
Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora 
desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto 
qualquer do polígono. O ponto V recebe 
Elementos de uma pirâmide 
Base: é a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide.
Vértice: é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
Altura: distância do vértice da pirâmide
base. 
Faces laterais: são regiões planas triangulares que 
passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices 
consecutivos da base. 
Arestas Laterais: são segmentos que têm um extremo 
no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do 
polígono situado no plano da base. 
Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono 
da base. 
Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada 
por todas as faces laterais. 
Apótema: É a altura de cada face lateral.
Classificação 
As pirâmides podem ser classificadas de acordo com sua base:
Uma pirâmide triângulos também recebe o nome especial de 
a todas as pirâmides cujas faces são triângulos retângulos eqüiláteros.
 
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Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora 
desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto 
qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide. 
 
 
é a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide. 
é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide. 
distância do vértice da pirâmide ao plano da 
são regiões planas triangulares que 
passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices 
são segmentos que têm um extremo 
no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do 
 
É qualquer um dos lados do polígono 
É a superfície poliédrica formada 
É a altura de cada face lateral. 
sificadas de acordo com sua base: 
Uma pirâmide triângulos também recebe o nome especial de tetraedro. Chamamos de 
a todas as pirâmides cujas faces são triângulos retângulos eqüiláteros. 
 Geometria plana e espacial 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 15 
Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora 
desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto 
 
. Chamamos de tetraedro regular 
apótema 
Tópicos de Matemática 
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Podemos também classificar uma pirâmide como 
congruentes – ou oblíqua – quando suas arestas laterais não são congruentes.
Área total e volume de uma pirâmide
Chamando do ܣ a área total da pirâmide, 
ܣ௟ de área lateral da pirâmide, ou seja, 
todas as faces laterais da pirâmide, temos que:
ܣ = ܣ௕ +
lembrando que as faces laterais são todas triângulos.
Chamando ܸ o volume da pirâmide e 
que: 
ܸ =
1
3
ܣ௕
Decomposição do prisma em 3 pirâmides e mesmo volume
 
Relação entre unidades de volume
1m3 = 1000 litros
Exercícios em aula 
1) Num paralelepípedo retângulo, o comprimento é o dobro da largura, e a altura é 15 cm
área total é 424 cm2, calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo.
2) Ao serem retirados 128 litros de uma caixa d'água de forma cúbica, 
a) Calculeo comprimento, em cm,
b) Calcule a sua capacidade em litros.
3) Calcule a área total e o volume de um prisma
cm de perímetro. 
4) Considere prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6cm de lado.
Tetraedro regular 
 
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Podemos também classificar uma pirâmide como reta – quando todas as arestas laterais são 
quando suas arestas laterais não são congruentes. 
pirâmide 
a área total da pirâmide, ܣ௕ a área da base e 
de área lateral da pirâmide, ou seja, ܣ௟ é a soma das áreas de 
todas as faces laterais da pirâmide, temos que: 
+ ܣ௟ 
lembrando que as faces laterais são todas triângulos. 
o volume da pirâmide e ℎ sua altura, temos 
∙ ℎ 
ecomposição do prisma em 3 pirâmides e mesmo volume
Relação entre unidades de volume 
= 1000 litros 1dm3 = 1 litro 1cm3 = 1mililitro(ml)
Num paralelepípedo retângulo, o comprimento é o dobro da largura, e a altura é 15 cm
, calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo.
Ao serem retirados 128 litros de uma caixa d'água de forma cúbica, o nível da água baixa em 20cm.
, em cm, das arestas da referida caixa 
lcule a sua capacidade em litros. 
Calcule a área total e o volume de um prisma de 12 cm de altura cuja base é um triângulo regular de 18
Considere prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6cm de lado.
 Geometria plana e espacial 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 16 
quando todas as arestas laterais são 
 
 
ecomposição do prisma em 3 pirâmides e mesmo volume 
1mililitro(ml) 
Num paralelepípedo retângulo, o comprimento é o dobro da largura, e a altura é 15 cm. Sabendo que a 
, calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo. 
o nível da água baixa em 20cm. 
cuja base é um triângulo regular de 18 
Considere prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6cm de lado. 
Tópicos de Matemática 
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a) Calcule a área total. 
b) Calcule o volume. 
5) O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144m³ e a altura é o dobro da aresta da base. Calcule 
a altura dessa pirâmide. 
Exercícios propostos 
1) Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal 
regular. Sabendo que a altura da caixa é 20 cm e que o lado do polígono da base mede 16 cm, calcule a 
área de papelão necessária para construir essa embalagem. Adm
material do que o estritamente calculado, devido às sobras de papelão e para que seja possível fazer 
colagens necessárias à confecção da caixa. (Use
2) (Unesp 2013) Para confeccionar um porta
com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. 
De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros 
ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de 
figuras. 
 
Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta
admitindo 3,π  a massa aproximada do porta
a) 636. b) 634. c) 630. 
3) Uma piscina tem a forma e as dimensões indicadas na figura. As arestas que convergem em cada um 
dos pontos A, B, E, A’, B’ e E’ são mutuamente perpendiculares, e as arestas 
verticais. Qual a capacidade da piscina, em litros?
 
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O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144m³ e a altura é o dobro da aresta da base. Calcule 
Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal 
regular. Sabendo que a altura da caixa é 20 cm e que o lado do polígono da base mede 16 cm, calcule a 
área de papelão necessária para construir essa embalagem. Admita que se utilize 25% a mais de 
material do que o estritamente calculado, devido às sobras de papelão e para que seja possível fazer 
colagens necessárias à confecção da caixa. (Use √3 = 1,73) 
Para confeccionar um porta-jóias a partir de um cubo maciço e homogêneo de madeira 
com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. 
De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros 
ruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de 
 
Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm
a massa aproximada do porta-joias, em gramas, é 
 d) 632. e) 638. 
Uma piscina tem a forma e as dimensões indicadas na figura. As arestas que convergem em cada um 
dos pontos A, B, E, A’, B’ e E’ são mutuamente perpendiculares, e as arestas 
Qual a capacidade da piscina, em litros? Dado: 1 m3=1000 l 
 Geometria plana e espacial 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 17 
O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144m³ e a altura é o dobro da aresta da base. Calcule 
Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal 
regular. Sabendo que a altura da caixa é 20 cm e que o lado do polígono da base mede 16 cm, calcule a 
ita que se utilize 25% a mais de 
material do que o estritamente calculado, devido às sobras de papelão e para que seja possível fazer 
o maciço e homogêneo de madeira 
com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. 
De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros 
ruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de 
joias era de 0,85 g/cm3 e 
Uma piscina tem a forma e as dimensões indicadas na figura. As arestas que convergem em cada um 
'',, CBBCAE e ''EA são 
 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 18 
4) Se a altura de uma pirâmide hexagonal regular tem medida igual a aresta da base, a, calcule o seu 
volume. 
5) Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais medem 
6cm e 10cm. 
6) Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros 
de lado 4, em centímetros quadrados. 
7) Determine a razão entre o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta da base e altura 
medem a e o volume de uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero de lado a e altura medindo a. 
8) De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32dm² e que o apótema da 
pirâmide mede 6dm. Calcule: 
a) a aresta da base (a); b) o apótema da base (m); c) a altura da pirâmide; 
d) a aresta lateral (L); e) a área lateral (AL); f) A área total (At). 
9) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à 
fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e 
x cm. O valor de x é: 
a) 16 m b) 17 m c) 18 m d) 19 m e) 20 m 
10) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m2 de área lateral. Seu volume 
vale: 
a) 16 m3 b) 32 m3 c) 64 m3 d) 4√3 m3 e) 16√3 m3 
11) Se a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 6 480°, então o número de lados da 
base do prisma é 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15 
12) Uma folha de papel colorido, com forma de um retângulo de 12 cm de largura e 15 cm de comprimento, 
será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da 
base mede 8 cm e cuja altura mede 3 cm.Levando em conta que não deve haver desperdício de papel, 
quanto sobrará de papel colorido? 
13) Calcule a área lateral, a área total e o volume de uma pirâmide quadrangular regular de 9 cm de altura, 
cuja aresta da base é 24 cm. 
14) Uma pirâmide regular hexagonal tem aresta da base igual a 34 cm. Calcule o volume, sabendo que a 
altura da pirâmide é 36 cm. 
15) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de volume e 34 cm de altura. Qual a medida da aresta da 
base? 
16) Calcule o volume do sólido abaixo, em litros: 
 
17) Um agricultor construiu um reservatório para captar a água da 
chuva, em forma de um cubo acoplado a uma pirâmide, como 
mostra a figura ao lado. Calcule quantos litros de água são 
necessários para encher completamente este reservatório 
a) 800 litros 
b) 8000 litros 
c) 8400 litros 
d) 1200 litros 
e) 12000 litros 
18) Sendo 192m² a área total de uma pirâmide quadrangular regular e m23 o raio do círculo inscrito na 
base, calcule a altura da pirâmide. 
2 m 
5 m 
Tópicos de Matemática 
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19) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide triangular regular cuja aresta lateral mede 82cm e 
cuja aresta da base mede 36cm. 
20) Calcule a medida da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a área da base 
mede 64m² e a altura da pirâmide é igual a uma da
21) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede 
derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura e 
cuja aresta da base medem, cada uma,
com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche
a) 6 moldes b) 8 moldes 
22) O volume de uma pirâmide triangular regular é 27
é igual ao semiperímetro da base. 
23) Um prisma reto com 1,5 m de altura tem seção transversal como mostra a figura
área total desse prisma e seu volume.
24) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base mede 4cm.
a) Determine sua área lateral. 
b) Calcule seu volume. (Apresente sua res
25) (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá
compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina
horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.
Considere um silo de 2 ݉ de altura, 
altura do silo, a largura do topo tem 
de forragem ocupa 2 ݉ଷ desse tipo de silo.
silo, em toneladas, é 
a) 110 b) 125 c) 130 
 
26) (Uel 2015) Na molécula do Metano 
cujos vértices estão os átomos de hidrogênio.
Considerando que as arestas  do tetraedro regular medem 
alternativa que apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro. 
a) 
33 3 cm b) 
318 2 cm 
 
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rea total de uma pirâmide triangular regular cuja aresta lateral mede 82cm e 
cuja aresta da base mede 36cm. 
Calcule a medida da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a área da base 
mede 64m² e a altura da pirâmide é igual a uma das diagonais da base. 
Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede 
derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura e 
cuja aresta da base medem, cada uma, ௔
ଶ
. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, 
com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de:
a) 6 moldes b) 8 moldes c) 24 moldes d) 32 moldes
pirâmide triangular regular é 27 3 m³. Calcule a aresta da base, sabendo que a altura 
é igual ao semiperímetro da base. 
de altura tem seção transversal como mostra a figura
área total desse prisma e seu volume. 
 
Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base mede 4cm.
 
(Apresente sua resposta com 3 algarismos significativos.
Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá
la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os 
e um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.
de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada metro de 
altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 
desse tipo de silo. Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no 
 d) 220 e) 260 
Na molécula do Metano 4(CH ), o átomo de carbono ocupa o centro de um tetraedro regular em 
cujos vértices estão os átomos de hidrogênio. 
 
 do tetraedro regular medem 6 cm e que a altura mede 
alternativa que apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro. 
 c) 
318 3 cm d) 
336 2 cm e) 54 2 cm
 Geometria plana e espacial 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 19 
rea total de uma pirâmide triangular regular cuja aresta lateral mede 82cm e 
Calcule a medida da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a área da base 
Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede ܽ. Depois de 
derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura e 
se essas informações, é CORRETO afirmar que, 
se um total de: 
24 moldes d) 32 moldes 
m³. Calcule a aresta da base, sabendo que a altura 
de altura tem seção transversal como mostra a figura abaixo. Determine a 
Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base mede 4cm. 
3 algarismos significativos.) 
Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, 
se silagem. Os silos mais comuns são os 
e um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. 
 
de comprimento. Para cada metro de 
a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada 
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no 
o átomo de carbono ocupa o centro de um tetraedro regular em 
e que a altura mede 1h 6,
3
  assinale a 
354 2 cm 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
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Respostas do exercícios propostos 
1) 4060,8 cm2. 
2) d 
3) RESP: 845 mil litros 
4) Volume = ௔
య√ଷ
ଶ
 
5) Volume = 120 cm3 
6) Volume = ଷଶ√ଶ
ଷ
 cm3 
7) 6 
8) a) 4√2 dm b) 2√2 dm c) 2√7 dm d) 2√11 dm e) 48√2 cm2 f) 16൫3√2 + 2൯ dm2 
9) d 
10) e 
11) c 
12) sobrarão 36cm2 de papel. 
13) Al = 720 cm2, At = 1296 cm2 e V = 1728 cm3 
14) V = 432 cm3 
15) Aresta ou lado = 3 cm 
16) V = 300 litros 
17) E 
18) Altura = 4√2 m 
19) Área total = 108൫40 + 3√3൯ cm2 Área lateral = 4320 cm2 
20) Área lateral = 192 m2 
21) C 
22) Aresta da base = 6 m 
23) Área total = 141m2 Volume = 67,5m3 
24) a) 400 ܿ݉ଶ b) 27,5 ܿ݉ଷ 
25) a 
26) b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópicos de Matemática 
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Cilindro, cone e esfera 
Um cilindro circular é um sólido geométrico não poliédrico que apresenta duas bases paralelas 
circulares congruentes e uma face lateral que liga as duas 
em planos paralelos. Quando as linhas que formam a face lateral são perpen
o cilindro é reto, caso contrário, dizemos que é 
Cilindro Reto
 
Um cilindro é chamado de eqüilátero quando sua altura é igual ao diâmetro da sua base: 
O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma 
revolução (rotação) de 360º de uma região retangular em torno de um eixo 
Existem também os cilindros não circulares. Neste
mas não são círculos e sim outras curvas fechadas
Note que as bases são elipses. 
Fórmulas: Sendo ݎ o raio da base e 
 Área Lateral do cilindro circularreto: 
 Volume do cilindro: ܸ =
 
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é um sólido geométrico não poliédrico que apresenta duas bases paralelas 
circulares congruentes e uma face lateral que liga as duas bases. As bases são círculos congruentes contidos 
Quando as linhas que formam a face lateral são perpendiculares às bases dizemos que 
, caso contrário, dizemos que é oblíquo. 
 
Cilindro Reto Cilindro Oblíquo 
Um cilindro é chamado de eqüilátero quando sua altura é igual ao diâmetro da sua base: 
 
O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma 
revolução (rotação) de 360º de uma região retangular em torno de um eixo conte
 
Existem também os cilindros não circulares. Neste caso, as bases continuam congruentes e paralelas, 
mas não são círculos e sim outras curvas fechadas suaves (sem quinas). Abaixo temos um cilindro elíptico. 
 
o raio da base e ℎ a altura do cilindro 
teral do cilindro circular reto: ܣ = 2ߨݎ 
= ܣ௕ℎ 
 Geometria plana e espacial 
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é um sólido geométrico não poliédrico que apresenta duas bases paralelas 
As bases são círculos congruentes contidos 
diculares às bases dizemos que 
 
Um cilindro é chamado de eqüilátero quando sua altura é igual ao diâmetro da sua base: ℎ = 2ݎ 
O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma 
contendo um de seus lados. 
, as bases continuam congruentes e paralelas, 
. Abaixo temos um cilindro elíptico. 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
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Cone 
Um cone é um sólido geométrico classificado como não poliedro que apresenta uma única base circular 
e uma face lateral. 
 
Elementos de um cone 
 O vértice de um cone é o ponto para o qual concorrem todos os 
segmentos de reta que formam a superfície lateral desse sólido. 
 Geratriz é cada um dos segmentos de reta que tem uma extremidade 
no vértice do cone e a outra na circunferência que envolve a base. 
 A base de um cone é formada pelo círculo no qual ele se apóia e pela 
circunferência que delimita esse círculo. 
 O eixo do cone é a reta definida pelos centros de todas as seções 
paralelas à base, ou ainda, é a reta definida pelo vértice do cone e 
pelo centro de sua base. 
 A altura do cone é a distância do vértice do cone ao plano que 
contém a sua base. 
 
Podemos classificar o cone em reto ou oblíquo. Um cone particular é o 
cone eqüilátero que tem é um cone reto com a geratriz igual ao diâmetro: ݃ = 2ܴ 
 
Observação: Os cones vistos são chamados na verdade de cone circular, pois a base é um círculo. 
Podemos generalizar o conceito de cone permitindo que a base tenha outras formas: Considere uma região 
plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Denominamos 
cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade no ponto P 
(vértice) e a outra num ponto qualquer da curva. 
 
Fórmulas: Sendo ܣ௕ a área da base, ℎ a altura, ݎ o raio da base e ݃ a geratriz do cone, temos 
 Área Lateral do Cone Circular Reto: ܣ = ߨݎ݃ 
 Volume do Cone: ܸ = ଵ
ଷ
ܣ௕ℎ 
Cone Equilátero 
Tópicos de Matemática 
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Sólidos truncados 
Uma seção paralela a base da pirâmide ou do cone divide o sólido em duas partes, sendo
semelhante ao sólido original; A parte que sobra, a que não é semelhante ao sólido original, chamamos 
tronco. Para facilitar, quando falarmos em 
do tronco são paralelas (apesar de ex
Tronco de Pirâmide
Tronco de pirâmides 
Você pode observar que as faces laterais do tronco de pirâmides são trapézios. 
Seja S1 a base maior e S2 a base menor, conforme figura ao lado e 
demonstrar por semelhança de pirâmides (sugestão: demonstre!) que: 
Tronco de cones 
É importante notar que a superfície lateral é um segmento de coroa circular
que definem a coroa é denominada geratriz do tronco.
É possível mostrar que: ቊܸ =
గ௛
ଷ
(ܴ
ܣ௟௔௧௘௥௔௟ =
Existem algumas relações importante
a área de base menor de um tronco de pirâmide (ou de cone), e sendo H a altura da pirâmide (ou do cone) e h a 
altura do tronco, então: 
Usando semelhança de triângulos é possív
 
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Uma seção paralela a base da pirâmide ou do cone divide o sólido em duas partes, sendo
semelhante ao sólido original; A parte que sobra, a que não é semelhante ao sólido original, chamamos 
. Para facilitar, quando falarmos em tronco de pirâmide e tronco de cone vamos admitir que as bases 
do tronco são paralelas (apesar de existirem troncos com bases não paralelas). 
 
Tronco de Pirâmide Tronco de Cone
 
Você pode observar que as faces laterais do tronco de pirâmides são trapézios. 
a base menor, conforme figura ao lado e ℎ a altura do tronco, é possível 
demonstrar por semelhança de pirâmides (sugestão: demonstre!) que: ܸ = ௛
ଷ
൫ܵଵ
 
É importante notar que a superfície lateral é um segmento de coroa circular 
que definem a coroa é denominada geratriz do tronco. 
 
(ܴଶ + ܴݎ + ݎଶ)
= ߨ݃(ܴ + ݎ) 
  
importantes as áreas das bases, alturas e volumes: Sendo S
de um tronco de pirâmide (ou de cone), e sendo H a altura da pirâmide (ou do cone) e h a 
ܵଶ
ܵଶ
= ൬
ℎ
ܪ
൰
ଶ
 e ௧ܸ௥௢௡௖௢
௧ܸ௢௧௔௟
= ൬
ℎ
ܪ
൰
ଷ
 
Usando semelhança de triângulos é possível encontrar outras relações. 
h 
H 
 Geometria plana e espacial 
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Uma seção paralela a base da pirâmide ou do cone divide o sólido em duas partes, sendo uma delas 
semelhante ao sólido original; A parte que sobra, a que não é semelhante ao sólido original, chamamos 
vamos admitir que as bases 
 
Tronco de Cone 
Você pode observar que as faces laterais do tronco de pirâmides são trapézios. 
a altura do tronco, é possível 
൫ + ඥܵଵܵଶ + ܵଶ൯ 
 e a diferença entre os raios 
S1 a área da base maior e S2 
de um tronco de pirâmide (ou de cone), e sendo H a altura da pirâmide (ou do cone) e h a 
Tópicos de Matemática 
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Esfera 
Define-se como superfície esférica
fixo (denominado centro) é R (denominado raio). Define
superfície esférica, bem como os que a compõem.
A esfera pode ser vista como o sólido obtido pela rotação de um círculo por qualquer reta que passa por 
seu diâmetro. 
Partes da esfera 
 
Calota esférica 
 
Para visualizar melhor uma cunha e um fuso esférico, façamos dois cortes em uma laranja com uma faca 
passando pelo centro da fruta. O pedaço limitado por esses cortes lembra uma cunha 
contida nesse pedaço dá a ideia de fuso esférico.
 
Fórmulas 
Sendo ݎ o raio de uma esfera, temos:
 Área da Superfície Esférica: 
 Volume da Esfera: ܸ = ସ
ଷ
 Área da Calota: ܣ = 2ߨݎ
 Volume da Calota: ܸ = గ
 Área do Fuso: regra de 3
 Volume da Cunha: regra de 3
 
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superfície esférica o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a um ponto 
(denominado raio). Define-se como esfera o conjunto de pontos limitados pela 
esférica, bem como os que a compõem. 
 
A esfera pode ser vista como o sólido obtido pela rotação de um círculo por qualquer reta que passa por 
 
érica Fuso esférico Cunha esférica
Para visualizar melhor uma cunha e um fuso esférico,façamos dois cortes em uma laranja com uma faca 
passando pelo centro da fruta. O pedaço limitado por esses cortes lembra uma cunha 
contida nesse pedaço dá a ideia de fuso esférico. 
 
Cunha Fuso 
o raio de uma esfera, temos: 
sférica: ܣ = 4ߨݎଶ 
ସ
ଷ
ߨݎଷ 
ߨݎℎ 
గ௛మ(ଷ௔ି௛)
ଷ
 
Área do Fuso: regra de 3 
Volume da Cunha: regra de 3 
 Geometria plana e espacial 
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o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a um ponto 
o conjunto de pontos limitados pela 
A esfera pode ser vista como o sólido obtido pela rotação de um círculo por qualquer reta que passa por 
 
Cunha esférica 
Para visualizar melhor uma cunha e um fuso esférico, façamos dois cortes em uma laranja com uma faca 
passando pelo centro da fruta. O pedaço limitado por esses cortes lembra uma cunha esférica, e a casca 
Tópicos de Matemática 
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Exercícios em aula 
1) Calcule a área total, em ܿ݉ଶ , e o volume, em 
altura. 
2) Determine a área total e o volume do
a geratriz mede 20 cm. 
3) Calcule a área total e o volume de uma esfera de 10
4) Uma indústria de bolas de borracha quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 
bolas com 3cm de raio cada, conforme a figura
material utilizado para o fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em cm
5) Um reservatório de água tem forma de um cone circular reto, de eixo vertical e vértice 
para baixo. Quando o nível de 
ocupado é igual a π. Qual a capacidade do tanque?
6) A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6m de raio e 1,25m de 
profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma
horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60º com a vertical e que a terra 
retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em 
metros, é de aproximadamente: 
a) 2,0 b) 2,8 c) 3,0 d) 3,8 e) 4,0
7) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob 
um ângulo α de 72º, como mostra a figura. Calcule 
a) a área do fuso esférico determina
b) O volume da cunha esférica determinada por 
Exercícios propostos 
1) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em 
plástico transparente. Uma melancia com forma esférica 
de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais, 
onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, 
como representado na figura. 
Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio 
R cm é 4πR2 cm2, calcule, em função de 
a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);
b) quantos cm2 de plástico fo
sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia. 
2) (Enem 2014) Para fazer um pião, brinquedo 
muito apreciado pelas crianças, um artesão 
utilizará o torno mecânico para trabalhar num 
pedaço de madeira em formato de cilindro reto, 
cujas medidas do diâmetro e da altura estão 
ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse 
pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um 
cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O 
vértice do cone deverá coincidir com o centro da 
base do cilindro. O artesão deseja fazer um pião 
com a maior altura que esse pedaço de madeira 
possa proporcionar e de modo a minimizar a 
quantidade de madeira a ser descartada. (Por
A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é 
a) 45. b) 48. c) 72. 
3) O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares, 
pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cad
 
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, e o volume, em ܿ݉ଷ , de um cilindro circular reto equilátero de 2
Determine a área total e o volume do cone circular reto cujo raio da base é igual a 16
Calcule a área total e o volume de uma esfera de 10 cm de diâmetro. 
Uma indústria de bolas de borracha quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 
cada, conforme a figura ao lado. Calcule a quantidade total de 
material utilizado para o fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em cm2. 
Um reservatório de água tem forma de um cone circular reto, de eixo vertical e vértice 
para baixo. Quando o nível de água atinge a metade da altura do tanque, o volume 
π. Qual a capacidade do tanque? 
A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6m de raio e 1,25m de 
profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma
horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60º com a vertical e que a terra 
retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em 
metros, é de aproximadamente: 
b) 2,8 c) 3,0 d) 3,8 e) 4,0 
Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob 
de 72º, como mostra a figura. Calcule 
a área do fuso esférico determinado por α. 
O volume da cunha esférica determinada por α. 
 
Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em 
plástico transparente. Uma melancia com forma esférica 
cm foi cortada em 12 fatias iguais, 
tem a forma de uma cunha esférica, 
se que a área de uma superfície esférica de raio 
, em função de π e de R: 
a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico); 
de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem 
sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia. 
Para fazer um pião, brinquedo 
muito apreciado pelas crianças, um artesão 
no mecânico para trabalhar num 
pedaço de madeira em formato de cilindro reto, 
cujas medidas do diâmetro e da altura estão 
ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse 
pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um 
conforme Figura 2. O 
vértice do cone deverá coincidir com o centro da 
base do cilindro. O artesão deseja fazer um pião 
com a maior altura que esse pedaço de madeira 
possa proporcionar e de modo a minimizar a 
quantidade de madeira a ser descartada. (Por simplicidade, aproxime π para 3).
A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é 
 d) 90. e) 99. 
O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares, 
pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cad
 Geometria plana e espacial 
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, de um cilindro circular reto equilátero de 2 dm de 
cone circular reto cujo raio da base é igual a 16 cm e 
Uma indústria de bolas de borracha quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 
. Calcule a quantidade total de 
Um reservatório de água tem forma de um cone circular reto, de eixo vertical e vértice 
água atinge a metade da altura do tanque, o volume 
A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6m de raio e 1,25m de 
profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície 
horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60º com a vertical e que a terra 
retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em 
Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob 
ram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem 
sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia. 
para 3). 
O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares, 
pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cada 
Tópicosde Matemática Geometria plana e espacial 
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alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja, aproximadamente, 
0,02 cm. Se o volume total dos alvéolos de um adulto é igual a 1 618 cm3, o número aproximado de 
alvéolos dessa pessoa, considerando π = 3, é: 
 a) 1 618 × 103. b) 1 618 × 104. c) 5 393 × 102. d) 4 045 × 104. e) 4 045 × 105. 
4) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = √10. O volume 
desse sólido é: 
a) 5
2
π b) 4
3
π c) 4π d) 5π e) 3π 
5) Duas esferas de raios iguais a r são colocadas no interior de um tubo de ensaio sob 
a forma de um cilindro circular reto de raio da base r e altura 4r. No espaço vazio 
compreendido entre as esferas, a superfície lateral e as bases, superior e inferior, 
do tubo de ensaio, coloca-se um líquido. Então, o volume desse líquido é: 
a) (2/3) πr3 b) (3/4) πr3 c) (4/3) πr3 d) 2 πr3 e) 4 πr3 
6) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk 
shake com as dimensões mostradas no desenho. 
a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o 
milk shake, calcule qual foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote π = 
3. 
b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do 
volume total, em porcentagem, terá bebido? 
7) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular 
de raio 30 cm, recortando-se um setor circular de ângulo θ = 2π/3 radianos e juntando os lados. A área 
da base do chapéu, em cm2, é: 
 a) 140π b) 110π c) 130π d) 100π e) 120π 
8) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante 
de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica 
e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio 
quando se iniciou a medicação. 
Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado 
que 1 cm3 = 1 ml, e usando a aproximação π = 3, o volume, em ml, o 
medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, 
aproximadamente, 
a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360. 
9) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um 
cilindro circular como mostra a figura ao lado. 
A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a 
r = 3 m. Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água 
comportada por esse reservatório é: 
a) 9π m3. b) 18π m3. c) 27π m3. d) 36π m3. e) 45π m3. 
10) Dado um copo em forma de cilindro e outro de forma cônica, de mesma base e altura. Se eu encher 
completamente o copo cônico com água e derramar toda essa água no copo cilíndrico, quantas vezes 
terei que fazê-lo para encher completamente esse copo? 
a) Apenas uma vez. b) Duas vezes. c) Três vezes. d) Uma vez e meia. 
e) É impossível saber, pois não se sabe o volume de cada sólido. 
11) Uma esfera de raio 9 cm é seccionada por um plano que dista 6cm do seu centro. Calcule: 
a) O volume dessa esfera 
b) A área da superfície esférica 
c) A área da secção determinada pelo mencionado plano de corte 
12) Calcule a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem área igual a 144 m2. 
13) Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3m do seu centro, obtém - se uma secção de área 72
 m2, determine o volume dessa esfera. 
Tópicos de Matemática 
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14) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio 
da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente 
ocupado por 625  cm3 de álcool. Suponha que sobre o 
vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone 
reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme 
ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é 
virado para baixo, sendo H a distância da superfície do 
álcool até o fundo do vasilhame.
informações, qual é o valor da distância H? 
a) 5 cm. b) 7 cm. c) 8 cm. 
15) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo 
diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa 
secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera.
características das figuras geométricas envolvidas, conclui
esfera assim construída é igual a 
a) 15 b) 12 c) 24 d) 
16) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões 
indicadas na figura ao lado. 
a) Qual o volume de líquido de
b) Obtenha uma expressão para o volume V de lí
da altura x indicada na figura. 
17) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12 cm e ângul
central de 60o. 
18) Calcule a área da esfera circunscrita ao cone reto de raio 6cm e altura 18 cm.
19) Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a área da 
superfície? 
20) Bóias de sinalização marítima são construídas de acordo com a figura 
que um cone de raio da base e altura 
Aumentando-se r em 50%, o volume da bóia fica multiplicado por que fração? 
21) (Uerj 2017) Um cilindro circular reto possui diâmetro 
10 cm. O plano ,α perpendicular à seção meridiana 
e A ' das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem.
O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano 
a) 8π b) 12π c) 16π 
22) (Uemg 2015) Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual a 
altura igual a 9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta
Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório cúbico, a 
altura do nível atingida pela água será de (considere 
a) 5,76 m b) 4,43 m c) 6,38 m
 
 
 
 
 
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na forma de um cilindro circular reto de raio 
da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente 
de álcool. Suponha que sobre o 
vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular 
de 5 cm e altura de 6 cm, conforme 
ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é 
virado para baixo, sendo H a distância da superfície do 
álcool até o fundo do vasilhame. Considerando-se essas 
informações, qual é o valor da distância H? 
8 cm. d) 12 cm. e) 18 cm. 
Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo 
diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa 
ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. Analisando 
características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da 
esfera assim construída é igual a 
d) 3 3 60 e) 36 30 
de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões 
dessa taça quando está completamente cheia? 
uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função 
da altura x indicada na figura. 
o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12 cm e ângul
Calcule a área da esfera circunscrita ao cone reto de raio 6cm e altura 18 cm. 
Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a área da 
Bóias de sinalização marítima são construídas de acordo com a figura ao lado
que um cone de raio da base e altura r é sobreposto a um hemisfério de raio 
em 50%, o volume da bóia fica multiplicado por que fração? 
Um cilindro circular reto possui diâmetro AB de 4 cm e altura 
perpendicular à seção meridiana ABB'A ', que passa pelos pontos 
das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem. 
 
da parte do cilindro compreendida entre o plano α e a base inferior, em 
πd) 20π 
Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual a 
metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta igual a 
Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório cúbico, a 
altura do nível atingida pela água será de (considere 3π  ) 
6,38 m d) 8,74 m 
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Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo 
diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa 
 as 
se que o raio R da 
de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões 
quido nessa taça, em função 
o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12 cm e ângulo 
 
Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a área da 
ao lado, em 
é sobreposto a um hemisfério de raio r. 
em 50%, o volume da bóia fica multiplicado por que fração? 
e altura AA' de 
que passa pelos pontos B 
e a base inferior, em 3cm , é igual a: 
Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual a 8 metros e 
igual a 10 metros. 
Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório cúbico, a 
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Respostas dos exercícios propostos 
1) a) గோ
మ
ଷ
 cm2 b) ସగோ
మ
ଷ
 cm2 
2) Alternativa E 
3) Alternativa E 
4) Alternativa E 
5) Alternativa C 
6) a) 500 ml b) 87,5% 
7) Alternativa D 
8) Alternativa A 
9) Alternativa E 
10) Alternativa C 
11) Volume = 3 972 cm área da superfície = 2 324 cm área da secção = 2 45 cm 
12) 3288 m  
13) 3972 m  
14) Alternativa B 
15) Alternativa D 
16) a) ܸ = 16ߨ b) ௟ܸí௤௨௜ௗ௢ =
௫యగ
ଵ଴଼
 
17) 23 240384 cmecm  
18) 2400 cm  
19) O volume multiplica por 8 e a área da superfície quadruplica. 
20) ଶ଻
଼
 
21) D 
22) A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópicos de Matemática Geometria plana e espacial 
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O PRINCÍPIO DE CAVALIERI 
Coloque em cima de uma mesa uma resma de papel. Estando ainda perfeitamente bem arrumada, ela é 
um paralelepípedo retângulo e, portanto, tem volume que podemos calcular. Encostando uma régua nas 
faces laterais, podemos transformar o paralelepípedo retângulo em um outro oblíquo ou, usando as mãos, 
poderemos moldar um sólido bem diferente. 
 
Sabemos que esses três sólidos têm volumes iguais, mas ainda faltam argumentos para explicar esse fato 
que intuitivamente percebemos. De uma forma mais geral, suponha que dois sólidos A e B estão apoiados 
em plano horizontal e que qualquer outro plano também horizontal corte ambos segundo seções de mesma 
área. O Princípio de Cavalieri afirma que o volume de A é igual ao volume de B. 
 
Se imaginarmos os dois sólidos fatiados no mesmo número de fatias muito finas, todas com mesma 
altura, duas fatias correspondentes com mesma área terão, aproximadamente, mesmo volume. Tanto mais 
aproximadamente quanto mais fina forem. Sendo o volume de cada sólido a soma dos volumes de suas 
fatias, concluímos que o dois sólidos têm volumes iguais. 
Consideremos um prisma e um paralelepípedo retângulo de mesma altura ℎ e área das bases iguais a ܣ௕ 
contidas no plano  . 
 
Como as secções transversais determinadas no prisma e no paralelepípedo pelo plano  , paralelo a  , 
têm áreas iguais, concluímos pelo Princípio de Cavalieri que o volume do prisma é igual ao volume do 
paralelepípedo retângulo. 
Mas o volume desse paralelepípedo é dado pelo produto de suas três dimensões. Logo: 
ܸ = ݔݕℎ ou ܸ = ܣ௕ℎ 
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RESUMO 
Perímetro é a soma de todos os lados nos polígonos e 
Por conveniência algébrica usamos 
perímetro. 
 
Losango 
Paralelogramo 
Trapézio 
Retângulo 
a 
Quadrado 
ܣ
ܣ =
ܣ = ඥ݌(݌
ߙ 
ܽ 
ܾ 
 
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Perímetro é a soma de todos os lados nos polígonos e ܥ = 2ߨݎ na circunferência.
Por conveniência algébrica usamos 2݌ para perímetro e ݌ para o semi perímetro, ou seja, metade do 
Trapézio circular 
Coroa Circular 
Setor circular 
ܽ 
ܣ =
ܾ ∙ ℎ
2
 
=
ܽ ∙ ܾ ∙ sin ߙ
2
 
ඥ ( − ܽ)(݌ − ܾ)(݌ − ܿ) 
ܣ
 Geometria plana e espacial 
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na circunferência. 
para o semi perímetro, ou seja, metade do 
ܣ = ݌ ∙ ܽ 
ܽ = apótema 
ܣ =
݊ݎଶ
2
 
ܣ =
݈ݎ
2
 
݈ = ݊ݎ comprimento do arco 
ܣ = Áݎ݁ܽ
ܵ݁ݐ݋ݎ
− Áݎ݁ܽܶݎ݅â݊݃ݑ݈݋ 
ܣ =
݊(ܴଶ − ݎଶ)
2
 
Tópicos de Matemática 
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Resumo das Fórmulas de 
 
Prisma 
 
Pirâmide 
 
Tronco de Pirâmide 
 
Cilindro Circular 
 
Cone Circular 
 
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Resumo das Fórmulas de Área da Superfície e Volume de Figuras no Espaço
Área Total = 2 x (Área da Base) + (Área lateral)
OBS: Cada face lateral é um paralelogramo
 
Volume = Áݎ݁ܽ ݀ܽ ܾܽݏ݁ 
Área Total = (Área da Base) + (Área lateral)
OBS: Cada face lateral é um triângulo
 
Volume = ଵ
ଷ
൫Áݎ݁ܽ ݀ܽ ܾܽݏ݁
Área Total = (Área da Base Maior)+( Área da 
OBS: Cada face lateral é um Trapézio
 
Volume = ௛
ଷ
൫ܵଵ + ܵଶ + ඥ
Área Total = 2 x (Área da Base) + (Área lateral)
 
Volume = Áݎ݁ܽ ݀ܽ ܾܽݏ݁ 
Área Total = (Área da Base) +
 
Volume = ଵ
ଷ
൫Áݎ݁ܽ ݀ܽ ܾܽݏ݁
 Geometria plana e espacial 
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Área da Superfície e Volume de Figuras no Espaço 
Área Total = 2 x (Área da Base) + (Área lateral) 
OBS: Cada face lateral é um paralelogramo 
 × ݈ܽݐݑݎܽ 
Área Total = (Área da Base) + (Área lateral) 
OBS: Cada face lateral é um triângulo 
ܾܽݏ݁ × ݈ܽݐݑݎܽ൯ 
Área Total = (Área da Base Maior)+( Área da Base Menor)+(Área lateral) 
OBS: Cada face lateral é um Trapézio 
ඥܵଵ ∙ ܵଶ൯ 
Área Total = 2 x (Área da Base) + (Área lateral) 
 × ݈ܽݐݑݎܽ 
Área Total = (Área da Base) + (Área lateral) 
ܾܽݏ݁ × ݈ܽݐݑ ൯ 
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Tronco de Cone 
Esfera 
 
Calota Esférica 
 
Fuso Esférico 
 
Cunha Esférica 
 
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Área Lateral = ߨ݃(ܴ
 
Volume = ௛గ
ଷ
(ܴଶ + ݎଶ +
Área Total = 4ߨݎ
 
Volume = ସ
ଷ
ߨݎଷ
 
Área = 2ߨݎℎ 
 
Volume = ଵ
଺
ߨℎ(3ܽଶ + ℎ
Volume = ଵ
ଷ
ߨℎଶ(3ݎ
Use regra de 3 (em relação ao ângulo 
 
Use regra de 3 (em relação ao ângulo 
 
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( + ݎ) 
+ ܴ ∙ ݎ) 
ݎଶ 
ଷ 
 
ℎଶ) ou 
( − ℎ) 
Use regra de 3 (em relação ao ângulo ߙ) 
Use regra de 3 (em relação ao ângulo ߙ)