2ª Lista de exercícios Cálculo III

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
DCET - CAMPUS I
CURSO: LICENCIATURA EM FI´SICA
DISCIPLINA: CA´LCULO III APLICADO A` FI´SICA
2ªLISTA DE EXERCI´CIOS
Questa˜o 1. Dada a func¸a˜o w = f(x, y) defina as derivadas parciais ∂f
∂x
e ∂f
∂y
no ponto
(x0, y0). Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica.
Questa˜o 2. Calcule as derivadas parciais das seguintes func¸o˜es
a) y = arctan
(
y
x
)
(
(
−y
x2+y2
, x
x2+y2
)
)
b) z = xy
2
(y2xy
2−1; 2yxy
2
log x)
c) z = arctan
√
x2−y2
x2+y2
(
y2
x
√
x4−y4 ,
−y√
x4−y4
)
d) u =
√
x2 + y2 + z2
(
x√
x2+y2+z2
, y√
x2+y2+z2
, z√
x2+y2+z2
)
e) z = arctan(xy)
(
z
1+x2y2
, x
1+x2y2
)
f) u = e
x
y + e
z
y ( 1
y
ex/y,− x
y2
ex/y − z
y2
ez/y, 1
y
ez/y)
g) u = ex
2+y2+z2 (2xex
2+y2+z2 , 2yex
2+y2+z2 , 2zex
2+y2+z2)
Questa˜o 3. Se os resistores ele´tricos de R1, R2 e R3 ohms esta˜o conectados em paralelo para
formar um resistor de R ohms, encontre a taxa de variac¸a˜o da resisteˆncia R com relac¸a˜o a`
R2 (com R1 e R3 constantes) quando R1 = 30;R2 = 45 e R3 = 90 (R = 1/9)
Questa˜o 4. De grande relevaˆncia em gravitac¸a˜o e eletromagnetismo, a equac¸a˜o de Laplace
e´ dada por ∂
2f
∂x2
+ ∂
2f
∂y2
+ ∂
2f
∂z2
= 0. Mostre que as seguintes func¸o˜es satisfazem tal equac¸a˜o
a) f(x, y, z) = e−2ycos(2x)
b) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1/2
c) f(x, y, z) = ln
√
x2 + y2
d) f(x, y, z) = 2z3 − 3(x2 + y2)z
Questa˜o 5. Mostre que a func¸a˜o f(x, y) = 2x
2y
x4+y2
na˜o possui limite quando (x, y) se apro-
xima de (0, 0)
Questa˜o 6. Mostre que se w = f(u, v) satisfaz a equac¸a˜o de laplace fuu + fvv = 0 e se
u = (x2 + y2)/2 e u = xy enta˜o w satisfaz a equac¸a˜o de Laplace wxx + wyy = 0
1
Questa˜o 7. Suponha que substituamos coordenadas polares x = r cos θ, y = rsenθ em uma
func¸a˜o diferencia´vel w = f(x, y).
a) Mostre que ∂w
∂r
= fx cos θ + fysenθ e
1
r
∂w
∂θ
= −fxsenθ + fy cos θ.
b) Resolva as equac¸o˜es do item (a) para expressar fx e fy em termos de
∂w
∂r
e ∂w
∂θ
.
c) Mostre que (fx)
2 + (fy)
2 =
(
∂w
∂r
)2
+ 1
r2
(
∂w
∂θ
)2
Questa˜o 8. Calcular os diferenciais totais das seguintes func¸o˜es
a) z = ln(xy) (dz = dx
x
+ dy
y
)
b) z = ex
2+y2 (dz = 2ex
2+y2(xdx+ ydy))
c) z = x2 + xy2 + seny (dz = (2x+ y2)dx+ (2xy + cos y)dy
d) z = arcsen(x/y)
(
ydx−xdy
y
√
y2−x2
)
Questa˜o 9. Calcular as derivadas impl´ıcitas de x dadas pelas equac¸o˜es
a) x
2
a2
+ y
2
b2
− 1 = 0
(
dy
dx
= − b2
a2
x
y
)
b) sen(xy)− exy − x2y = 0 dy
dx
= y[cos(xy)−e
xy−2x]
x[x+exy−cos(xy)]
c) x
2
a2
− y2
b2
= 1
Questa˜o 10. Encontre as direc¸o˜es nas quais f(x, y) = x
2
2
+ y
2
2
a) cresce mais rapidamente no ponto (1, 1) (1/
√
2̂i+ 1/
√
2ĵ)
b) decresce mais rapidamente no ponto (1, 1) (−1/√2̂i− 1/√2ĵ)
c) Quais as direc¸o˜es de variac¸a˜o zero de f em (1, 1)? (−1/√2̂i1 +√2ĵ) e (1/√2̂i− 1/√2ĵ)
Questa˜o 11. Dado ψ = f(x, y, z), defina ∇ψ.
Questa˜o 12. Defina a derivada direcional
(
df
ds
)
û,P0
.
Questa˜o 13. Seja f(x, y) = x3 + 3x2 + 4xy + y2. Mostre que no ponto M(2/3,−4/3) a
derivada e´ igual a zero em qualquer direc¸a˜o.
Questa˜o 14. Mostre as propriedades alge´bricas do vetor gradiente
a) ∇(kf) = k∇f
2
b) ∇(f ± g) = ∇f ±∇g
c) ∇(fg) = f∇g + g∇f
d) ∇
(
f
g
)
= g∇f−f∇g
g2
Questa˜o 15. O plano x = 1 apresenta a intersecc¸a˜o com o parabolo´ide z = x2 +y2 em uma
para´bola. Encontre o coeficiente angular da reta tangente a` para´bola em (1, 2, 5). (4)
Questa˜o 16. Mostre que se z = ϕ(y+ax) +ψ(y−ax) enta˜o a2 ∂2z
∂y2
− ∂2z
∂x2
= 0 quaisquer que
sejam as func¸o˜es arbitra´rias ϕ e ψ deriva´veis ate´ segunda ordem.
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