MAT1161 172 T2gab

Prévia do material em texto

MAT1161 – Ca´lculo de Uma Varia´vel
T2 - Gabarito – 09 de outubro de 2017
(Versa˜o I)
Nome Leg´ıvel :
Assinatura :
Matr´ıcula : Turma :
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1 0, 5
2(a) 0, 3
2(b) 0, 3
3(a) 0, 3
3(b) 0, 3
3(c) 0, 3
Total 2, 0
Instruc¸o˜es Gerais:
• A durac¸a˜o do teste e´ de 1h10min.
• A toleraˆncia de entrada e´ de 30min apo´s o in´ıcio do teste. Se um aluno terminar o teste em
menos de 30min, devera´ aguardar em sala antes de entregar o teste e sair de sala.
• O teste deve ser resolvido apenas nas folhas recebidas e nos espac¸os reservados para soluc¸o˜es.
Na˜o e´ permitido destacar folhas do teste.
• O teste e´ sem consulta a professores ou a qualquer tipo de material. A interpretac¸a˜o dos
enunciados faz parte do teste.
• O aluno so´ podera´ realizar o teste e assinar a lista de presenc¸a na sua turma/sala.
• O aluno so´ podera´ manter junto a si: la´pis, borracha e caneta. Caso necessa´rio, o professor
podera´ solicitar ajuda a outro aluno e apenas o professor repassara´ o material emprestado.
• O celular devera´ ser desligado e guardado.
• O aluno na˜o pode sair de sala enquanto estiver fazendo o teste.
Instruc¸o˜es Espec´ıficas:
• Todas as questo˜es devem ser justificadas de forma clara, rigorosa e de prefereˆncia sucinta.
Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
• O teste pode ser resolvido a la´pis ou a caneta de tinta azul ou preta. Na˜o e´ permitido o uso de
caneta de tinta vermelha ou verde.
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadora ou qualquer dispositivo eletroˆnico.
• Este teste possui 3 questo˜es, sendo a segunda com 2 itens e a terceira com 3 itens. Confira.
Questa˜o 1
Considere a func¸a˜o
g(x) = f
(
6− 3x
x2 − 2
)
,
onde f e´ uma func¸a˜o tal que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em x = −3 e´ y = 2x
3
− 2.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g em x = 1.
Como y =
2x
3
− 2 e´ reta tangente ao gra´fico de f em x = −3, segue que
f(−3) = 2
3
. (−3)− 2 = −4 e f ′(−3) = 2
3
Para determinar a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g em x = 1, devemos encontrar g(1) e
g′(1):
g(1) = f
(
6− 3.1
1− 2
)
= f
(
3
−1
)
= f(−3) = −4
g′(x) = f ′
(
6− 3.x
x2 − 2
)
.
(−3.(x2 − 2)− 2x.(6− 3x)
(x2 − 2)2
)
= f ′
(
6− 3.x
x2 − 2
)
.
(
3.x2 − 12x+ 6
(x2 − 2)2
)
⇒ g′(1) = f ′(−3).
(
3− 12 + 6
1
)
=
2
3
.(−3) = −2
Logo, a equac¸a˜o pedida e´ y = g′(1)(x− 1) + g(1) = −2.(x− 1)− 4⇒ y = −2x− 2.
Questa˜o 2
Derive as seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = cos3
(
x
x+ 1
)
f ′(x) = 3 cos2
(
x
x+ 1
)
.
(
−sen
(
x
x+ 1
))
.
1.(x+ 1)− 1.x
(x+ 1)2
= −3 cos2
(
x
x+ 1
)
. sen
(
x
x+ 1
)
.
1
(x+ 1)2
(b) f(x) =
√
tan(x3 − 2x+ sen(2x))
f ′(x) =
sec2(x3 − 2x+ sen(2x)).(3x2 − 2 + cos(2x).2)
2
√
tan(x3 − 2x+ sen(2x))
Questa˜o 3
Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫ pi
8
0
(sen(2x))5. cos(2x) dx = I
Calculamos a integral indefinida por Substituic¸a˜o Simples:
u = sen(2x)⇒ du = 2 cos(2x) dx⇒ 1
2
du = cos(2x) dx
Logo,
∫
(sen(2x))5. cos(2x) dx =
1
2
∫
u5 du =
u6
12
+ c =
(sen(2x))6
12
+ c
Assim, I =
(sen(2x))6
12
∣∣∣∣∣
pi
8
0
=
1
12
[
sen6
(pi
4
)
− sen6(0)
]
=
1
12
(√2
2
)6
− 0
 = 1
12
.
23
26
=
1
96
(b)
∫
1(x
2
− 7
)6 dx = I
Por Substituic¸a˜o Simples:
u =
x
2
− 7⇒ du = 1
2
dx⇒ dx = 2 du
Logo, I =
∫
1
u6
. 2 du = 2
∫
u−6 du = 2
u−5
−5 = −
2
5u5
+ c = − 2
5.
(x
2
− 7
)5 + c
(c)
∫ 3
−1
|x2 − x− 2| dx = I
Podemos observar que a integral pedida representa a a´rea da regia˜o delimitada pela curva
y = |x2 − x− 2| e pelo eixo x, no intervalo −1 < x < 3, conforme a figura abaixo:
Logo,
I = −
∫ 2
−1
x2 − x− 2 dx+
∫ 3
2
x2 − x− 2 dx
= −
(
x3
3
− x
2
2
− 2x
) ∣∣∣∣∣
2
−1
+
(
x3
3
− x
2
2
− 2x
) ∣∣∣∣∣
3
2
=
9
2
+
11
6
=
19
3
MAT1161 – Ca´lculo de Uma Varia´vel
T2 - Gabarito – 09 de outubro de 2017
(Versa˜o II)
Nome Leg´ıvel :
Assinatura :
Matr´ıcula : Turma :
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1 0, 5
2(a) 0, 3
2(b) 0, 3
3(a) 0, 3
3(b) 0, 3
3(c) 0, 3
Total 2, 0
Instruc¸o˜es Gerais:
• A durac¸a˜o do teste e´ de 1h10min.
• A toleraˆncia de entrada e´ de 30min apo´s o in´ıcio do teste. Se um aluno terminar o teste em
menos de 30min, devera´ aguardar em sala antes de entregar o teste e sair de sala.
• O teste deve ser resolvido apenas nas folhas recebidas e nos espac¸os reservados para soluc¸o˜es.
Na˜o e´ permitido destacar folhas do teste.
• O teste e´ sem consulta a professores ou a qualquer tipo de material. A interpretac¸a˜o dos
enunciados faz parte do teste.
• O aluno so´ podera´ realizar o teste e assinar a lista de presenc¸a na sua turma/sala.
• O aluno so´ podera´ manter junto a si: la´pis, borracha e caneta. Caso necessa´rio, o professor
podera´ solicitar ajuda a outro aluno e apenas o professor repassara´ o material emprestado.
• O celular devera´ ser desligado e guardado.
• O aluno na˜o pode sair de sala enquanto estiver fazendo o teste.
Instruc¸o˜es Espec´ıficas:
• Todas as questo˜es devem ser justificadas de forma clara, rigorosa e de prefereˆncia sucinta.
Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
• O teste pode ser resolvido a la´pis ou a caneta de tinta azul ou preta. Na˜o e´ permitido o uso de
caneta de tinta vermelha ou verde.
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadora ou qualquer dispositivo eletroˆnico.
• Este teste possui 3 questo˜es, sendo a segunda com 2 itens e a terceira com 3 itens. Confira.
Questa˜o 1
Considere a func¸a˜o
g(x) = f
(
3− cos(3x)
x− 1
)
,
onde f e´ uma func¸a˜o tal que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em x = −2 e´ y = x
2
− 1.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g em x = 0.
Como y =
x
2
− 1 e´ reta tangente ao gra´fico de f em x = −2, segue que
f(−2) = −2
2
− 1 = −2 e f ′(−2) = 1
2
Para determinar a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g em x = 0, devemos encontrar g(0) e
g′(0):
g(0) = f
(
3− cos 0
0− 1
)
= f
(
3− 1
−1
)
= f(−2) = −2
g′(x) = f ′
(
3− cos(3x)
x− 1
)
.
(
3.sen(3x).(x− 1)− (3− cos(3x))
(x− 1)2
)
⇒ g′(0) = f ′(−2).
(
3.sen(0).(−1)− (3− cos(0)
1
)
=
1
2
.(−2) = −1
Logo, a equac¸a˜o pedida e´ y = g′(0)(x− 0) + g(0) = −1.(x− 0)− 2⇒ y = −x− 2.
Questa˜o 2
Derive as seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
√
cos2(2x) . sen2(2x)
f ′(x) =
(2. cos(2x) .(− sen(2x)). 2. sen2(2x) + 2. sen(2x) . cos(2x).2. cos2(2x))
2
√
cos2(2x) . sen2(2x)
=
(−2. cos(2x) . sen3(2x) + 2. sen(2x). cos3(2x))√
cos2(2x) . sen2(2x)
(b) f(x) = tan3
(
2x
x2 + 3
)
f ′(x) = 3. tan
(
2x
x2 + 3
)
. sec2
(
2x
x2 + 3
)
.
2.(x2 + 3)− 2x.2x
(x2 + 3)2
= 3. tan
(
2x
x2 + 3
)
. sec2
(
2x
x2 + 3
)
.
6− 2x2
(x2 + 3)2
Questa˜o 3
Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
1√
3x
2
+ 5
dx = I
Por Substituic¸a˜o Simples, temos:
u =
3x
2
+ 5⇒ du = 3
2
dx⇒ 2
3
du = dx
Logo, I =
2
3
∫
u−
1
2 du =
2
3
u
1
2
1
2
=
4
3
√
3x
2
+ 5 + c
(b)
∫ 10
pi
5
2pi
cos
(
5
2x
)
2x2
dx = I
Calculamos a integral indefinida por Substituic¸a˜o Simples:
u =
5
2x
⇒ du = − 5
2x2
dx⇒ −1
5
du =
1
2x2
dx
Logo,
∫ cos( 5
2x
)
2x2
dx = −1
5
∫
cos(u) du = −1
5
sen(u) + c = −1
5
sen
(
5
2x
)
+ c
Assim, I = −1
5
sen
(
5
2x
) ∣∣∣∣∣
10
pi
5
2pi
= −1
5
(
sen
(pi
4
)
− sen(pi)
)
= −
√2
10
(c)
∫ 3
−1
|x2 + x− 2| dx =
Podemos observar que a integral pedida representa a a´rea da regia˜o delimitada pela curva
y = |x2 + x− 2| e pelo eixo x, no intervalo −1 < x < 3, conforme a figura abaixo:
Logo,
I = −
∫ 1
−1
x2 + x− 2 dx+
∫ 3
1
x2 + x− 2 dx
= −
(
x3
3
+
x2
2
− 2x
) ∣∣∣∣∣
1
−1
+
(
x3
3
+
x2
2
− 2x
) ∣∣∣∣∣
3
1
=
10
3
+
26
3
= 12
MAT1161 – Ca´lculo de Uma Varia´vel
T2 - Gabarito – 09 de outubro de 2017
(Versa˜o III)
Nome Leg´ıvel :
Assinatura :
Matr´ıcula : Turma :
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1 0, 5
2(a) 0, 3
2(b) 0, 3
3(a) 0, 3
3(b) 0, 3
3(c) 0, 3
Total 2, 0
Instruc¸o˜es Gerais:
• A durac¸a˜o do teste e´ de 1h10min.
• A toleraˆncia de entrada e´ de 30min apo´s o in´ıcio do teste. Se um aluno terminar o teste em
menos de 30min, devera´ aguardar em sala antes de entregar o teste e sair de sala.
• O teste deve ser resolvido apenas nas folhas recebidas e nos espac¸os reservados para soluc¸o˜es.
Na˜o e´ permitido destacar folhas do teste.
• O teste e´ sem consulta a professores ou a qualquer tipo de material. A interpretac¸a˜o dos
enunciados faz parte do teste.
• O aluno so´ podera´ realizar o teste e assinar a lista de presenc¸a na sua turma/sala.
• O aluno so´ podera´ manter junto a si: la´pis, borracha e caneta. Caso necessa´rio, o professor
podera´ solicitar ajuda a outro aluno e apenas o professor repassara´ o material emprestado.
• O celular devera´ ser desligado e guardado.
• O aluno na˜o pode sair de sala enquanto estiver fazendo o teste.
Instruc¸o˜es Espec´ıficas:
• Todas as questo˜es devem ser justificadas de forma clara, rigorosa e de prefereˆncia sucinta.
Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
• O teste pode ser resolvido a la´pis ou a caneta de tinta azul ou preta. Na˜o e´ permitido o uso de
caneta de tinta vermelha ou verde.
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadora ou qualquer dispositivo eletroˆnico.
• Este teste possui 3 questo˜es, sendo a segunda com 2 itens e a terceira com 3 itens. Confira.
Questa˜o 1
Considere a func¸a˜o
g(x) = f
(
2− cos(3x)
sen(x)− 1
)
,
onde f e´ uma func¸a˜o tal que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em x = −3 e´ y = −x
3
+ 1.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g em x = pi.
Como y = −x
3
+ 1 e´ reta tangente ao gra´fico de f em x = −3, segue que
f(−3) = 2 e f ′(−3) = −1
3
Para determinar a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g em x = pi, devemos encontrar g(pi)
e g′(pi):
g(pi) = f
(
2− cos(3pi)
sen(pi)− 1
)
= f
(
2 + 1
−1
)
= f(−3) = 2
g′(x) = f ′
(
2− cos(3x)
sen(x)− 1
)
.
(
3.sen(3x).(sen(x)− 1)− cos(x)(2− cos(3x))
(sen(x)− 1)2
)
⇒ g′(pi) = f ′(−3).
(
3.sen(3pi).(−1)− cos(pi).(2− cos(3pi))
1
)
= −1
3
. 3 = −1
Logo, a equac¸a˜o pedida e´ y = g′(pi)(x− pi) + g(pi) = −1.(x− pi) + 2⇒ y = −x+ 2 + pi.
Questa˜o 2
Derive as seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
√
cos3(3x) . sen2(2x)
f ′(x) =
(3. cos2(3x) .(− sen(3x)). 3. sen2(2x) + 2. sen(2x) . cos(2x).2. cos3(3x))
2
√
cos3(3x) . sen2(2x)
=
(−9. cos2(3x) . sen(3x) .sen2(2x) + 4. sen(2x). cos(2x) cos3(3x))
2
√
cos3(3x) . sen2(2x)
(b) f(x) = sec2
(
x
x2 − 1
)
f ′(x) = 2. sec
(
x
x2 − 1
)
. sec
(
x
x2 − 1
)
. tg
(
x
x2 − 1
)
.
(
x2 − 1− 2x.x
(x2 − 1)2
)
= 2 . sec2
(
x
x2 − 1
)
. tg
(
x
x2 − 1
)
.
( −x2 − 1
(x2 − 1)2
)
Questa˜o 3
Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
3
√
x
3
− 4 dx = I
Por Substituic¸a˜o Simples:
u =
x
3
− 4⇒ du = 1
3
dx⇒ 3 du = dx
Logo, I = 3
∫
u
1
3 du =
3 .u
4
3
4
3
+c =
9
4
(x
3
− 4
) 4
3
+c =
9
4
3
√(x
3
− 4
)4
+c =
9
4
(x
3
− 4
)
3
√
x
3
− 4+c
(b)
∫ 1
0
sec2
(√
2x
)
4
√
x
dx = I
Calculamos a integral indefinida por Susbtituic¸a˜o Simples:
u =
√
2x⇒ du = 1
2
√
2x
. 2 dx⇒ du = 1√
2x
dx⇒ √2 du = 1√
x
dx
Logo,
∫
sec2
(√
2x
)
4
√
x
dx =
√
2
4
∫
sec2(u) du =
√
2
4
tg(u) + c =
√
2
4
tg
(√
2x
)
+ c
Assim, I =
√
2
4
tg
(√
2x
) ∣∣∣∣∣
1
0
=
√
2
4
. tg
(√
2
)− √2
4
. tg(0) =
√
2
4
. tg
√
2
(c)
∫ 2
−2
|x2 − 1| dx =
Podemos observar que a integral pedida representa a a´rea da regia˜o delimitada pela curva
y = |x2 − 1| e pelo eixo x, no intervalo −2 < x < 2, conforme a figura abaixo:
Logo,
I = 2
[
−
∫ 1
0
x2 − 1 dx+
∫ 2
1
x2 − 1 dx
]
= 2
−(x3
3
− x
) ∣∣∣∣∣
1
0
+
(
x3
3
− x
) ∣∣∣∣∣
2
1

= 2
[
2
3
+
4
3
]
= 4