Apostila de CDI III - Unidade 01

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Cálculo Diferencial Integral III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
SABE – Sistema Aberto de Educação 
 
Av. Cel. José Alves, 256 - Vila Pinto 
Varginha - MG - 37010-540 
Tele: (35) 3219-5204 - Fax - (35) 3219-5223 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituição Credenciada pelo MEC – Portaria 4.385/05 
 
Centro Universitário do Sul de Minas - UNIS 
Unidade de Gestão da Educação a Distância – GEaD 
 
Mantida pela 
Fundação de Ensino e Pesquisa do Sul de Minas - FEPESMIG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Varginha/MG 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALVES, Alessandro Ferreira. 
Guia de Estudo – Equações Diferenciais 
Ordinárias - Varginha: GEaD-UNIS, 2010. 
121 p. 
 
1. Equações Diferenciais Ordinárias. 2. 
Modelagem Matemática. 3. Transformada de Laplace. 4. 
Wronskiano. 5. Métodos de Resolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os direitos desta edição são reservados ao Centro Universitário do Sul de Minas – UNIS-MG. 
É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou parte do mesmo, sob qualquer meio, sem 
autorização expressa do UNIS-MG. 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
REITOR 
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola 
 
GESTOR 
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza 
 
Supervisora Técnica 
Profª. Ms. Simone de Paula Teodoro Moreira 
 
Design Instrucional 
Prof. Celso Augusto dos Santos Gomes 
Jacqueline Aparecida Silva 
 
Coord. do Núcleo de Comunicação 
Renato de Brito 
 
Coord. do Núcleo de Recursos Tecnológicos 
Lúcio Henrique de Oliveira 
 
Coordenadora do Núcleo Pedagógico 
Terezinha Nunes Gomes Garcia 
 
Equipe de Tecnologia Educacional 
Danúbia Pinheiro Teixeira 
Maria Carolina Silva Castro Oliveira 
 
Revisão ortográfica / gramatical 
Gisele Silva Ferreira 
 
 
 
Autor 
Alessandro Ferreira Alves 
 
Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia (1996) e Mestrado em 
Matemática Pura pela Universidade Estadual de Campinas: UNICAMP (1999). Atualmente está em fase 
final de co Curso de Doutorado também pela UNICAMP, no Departamento de Telemática da FEEC - 
Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, com previsão de término para o primeiro semestre de 2011. 
Atua como professor titular no Centro Universitário do Sul de MInas: UNIS-MG, desde o ano de 2001, como 
professor em diversos Cursos de Graduação, bem como Pós-graduação, nas Modalidades Presencial 
(GEDUP) e a Distância (GEaD). Além disso, é Coordenador do Curso de Licenciatura Plena em Matemática 
na Modalidade a distância desde o segundo semestre de 2007, bem como, coordenador dos cursos de Pós-
graduação MBA em Finanças Corporativas (GEDUP) desde 2007 e MBA em Gestão Empresarial (GEaD) 
desde o ano de 2008, do Centro Universitário do Sul de Minas Gerais: UNIS-MG. Além do mais, coordenou 
os cursos de Pós-graduação em Matemática Empresarial (turmas 2004, 2005 e 2006) e Matemática e Ensino 
(turmas 2002 e 2003). Atua como professor titular de disciplinas em diversos cursos, como por exemplo, 
Engenharia Mecânica, Engenharia de Produção, Engenharia Civil, Matemática, Física, Comércio Exterior, 
Sistemas de Informação e Ciência da Computação, relacionadas à Matemática, Estatística e Computação. 
Além disso, atua como professor nos Cursos de Pós-graduação do UNIS-MG: MBA em Finanças 
Corporativas, MBA em Gestão Estratégica e Inteligência em Negócios, MBA em Gestão Empresarial, MBA 
em Gestão de TI, MBA em Logística Empresarial e Pós-graduação em Qualidade e Produtividade, nas 
disciplinas de Matemática Financeira, Métodos Quantitativos, Engenharia Econômica, Simulação de 
Sistemas Gerenciais e Estatística Aplicada. 
 
 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
ÍCONES 
 
REALIZE. Determina a existência de atividade a ser realizada. 
Este ícone indica que há um exercício, uma tarefa ou uma prática para ser realizada. 
Fique atento a ele. 
 
PESQUISE. Indica a exigência de pesquisa a ser realizada na busca por mais informação. 
 
PENSE. Indica que você deve refletir sobre o assunto abordado para responder a um 
questionamento. 
 
CONCLUSÃO. Todas as conclusões, sejam de ideias, partes ou unidades do curso virão 
precedidas desse ícone. 
 
IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode ser encarado como um 
sinal de alerta que o orienta para prestar atenção à informação indicada. 
 
HIPERLINK. Indica um link (ligação), seja ele para outra página do módulo impresso 
ou endereço de Internet. 
 
EXEMPLO. Esse ícone será usado sempre que houver necessidade de exemplificar um 
caso, uma situação ou conceito que está sendo descrito ou estudado. 
 
SUGESTÃO DE LEITURA. Indica textos de referência utilizados no curso e também 
faz sugestões para leitura complementar. 
 
APLICAÇÃO PROFISSIONAL. Indica uma aplicação prática de uso profissional 
ligada ao que está sendo estudado. 
 
CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de ações para fins de 
verificação de uma rotina ou um procedimento (passo a passo) para a realização de uma 
tarefa. 
 
SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema abordado de forma a 
possibilitar a obtenção de novas informações ao que já foi referenciado. 
 
 
 
REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos estudados anteriormente. 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
SUMÁRIO 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E APLICAÇÕES ................................................................................. 8 
1.0 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................... 10 
1.1 POR QUE ESTUDAMOS MATEMÁTICA? POR QUE ESTUDAMOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS? ..................................................... 11 
1.2 CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................................................................. 14 
1.3 OUTRAS TERMINOLOGIAS E CONCEITOS BÁSICOS ......................................................................................................... 23 
1.3.1 Notação ........................................................................................................................................................... 23 
1.3.2 Solução de Uma Equação Diferencial Ordinária .............................................................................................. 23 
1.3.3 Soluções Explícitas e Implícitas ........................................................................................................................ 28 
1.3.4 Número de Soluções ........................................................................................................................................ 31 
1.3.5 Solução Particular e Solução Geral .................................................................................................................. 33 
1.3.6 Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno .................................................................... 34 
1.4 ASPECTOS HISTÓRICOS ENVOLVENDO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ...................................................................... 35 
1.5 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...................................................................................................................................... 42 
1.6 ALGUMAS MODELAGENS MATEMÁTICAS VIA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS .................................................................44 
1.7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ................................................................................................................. 58 
1.7.1 Equações Lineares ............................................................................................................................................ 59 
1.7.2 Resolução de Equações Diferenciais de Primeira Ordem: O Método dos Fatores Integrantes ........................ 62 
1.7.3 Resolução de Equações Diferenciais de Primeira Ordem: O Método das Variáveis Separáveis ...................... 76 
1.7.4 Exercícios Complementares ............................................................................................................................. 83 
1.7.5 Equações Homogêneas .................................................................................................................................... 85 
1.7.6 Equações Exatas .............................................................................................................................................. 91 
1.7.6.1 Método de Solução via Equações Exatas ......................................................................................................................93 
1.7.7 Aplicações de Equações de Primeira Ordem ................................................................................................... 98 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
 
 
 
 
 
 
 
EMENTA 
 
Introdução às Equações Diferenciais. Equações Diferenciais de Primeira 
Ordem. Aplicações das Equações de Primeira Ordem. Equações Diferenciais 
Lineares de Ordem Superior. Aplicações de Equações Diferenciais de 
Segunda Ordem: Modelos Vibratórios. Equações Diferenciais com 
Coeficientes Variáveis. Transformada de Laplace e Aplicações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
META 
 
Nesta primeira Unidade é de nosso interesse apresentar os conceitos 
fundamentais da teoria envolvendo as equações diferenciais ordinárias, bem 
como discutir os principais aspectos teóricos referente as equações 
diferenciais de primeira ordem, desde análise até os principais métodos de 
resolução, como por exemplo, fatores integrantes e variáveis separáveis, bem 
como resolver diversas aplicações cotidianas. 
 
 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta unidade, você seja capaz de: 
 Apresentar os principais conceitos acerca das equações diferenciais 
ordinárias; 
 Classificar sem dificuldades uma equação diferencial quanto a ordem, 
tipo e linearidade; 
 Compreender a importãncia do estudo das equações diferenciais 
ordinárias para a resolução de diversas situações dentro da 
matemática e áreas afins; 
 Caracterizar e interpretar geometricamente a solução de uma equação 
diferencial ordinária; 
 Estar plenamente familiarizado com os principais resultados 
envolvendo às equações diferenciais de primeira ordem; 
Equações Diferenciais de Primeira 
Ordem e Aplicações 
 
 
9 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 Estar plenamente familiarizado com os principais métodos de 
resolução de equações diferenciais de primeira ordem; 
 Resolver diversas aplicações relacionadas com às equações 
diferenciais de primeira ordem na área da matemática e áreas afins; 
 Resolver diversas aplicações dentro da matemática e áreas afins, 
envolvendo os aspectos teóricos discutidos na unidade. 
 
 
PRÉ-REQUISITOS 
 
Em verdade, para se ter um bom aproveitamento desta unidade, é importante 
você relembrar alguns tópicos discutidos na parte de Matemática Elementar 
(Fundamentos de Matemática), no Curso de Cálculo Diferencial e Integral I e 
II, tais como derivação e integração, bem como aspectos relacionados à 
Geometria Analítica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
1.0 INTRODUÇÃO 
 
 
Muitos problemas importantes e significativos da Matemática, Física, 
Economia, Engenharia em geral, das ciências físicas e das ciências sociais, 
formulados em termos matemáticos, exigem a determinação de uma função 
que obedece a uma equação que contém uma ou mais derivadas de uma 
função desconhecida. De outra forma, em ciências, Engenharia, Economia e 
até mesmo em Psicologia, freqüentemente desejamos descrever ou modelar o 
comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. São 
exemplos, de situações que envolvem um modelo matemático, que serão 
resolvidos através da caracterização da solução de uma equação diferencial. 
 
 
 
 
 O estudo das equações diferenciais atraiu a atenção de muitos entre 
os maiores matemáticos nos últimos três séculos. Em verdade, mais a frente 
discutiremos de forma detalhada a parte histórica de tal subárea da 
Matemática, apresentando os principais pensadores que colaboraram de 
forma significativa para o desenvolvimento da mesma. Não obstante, 
continua a ser um campo dinâmico de investigação, com muitas questões 
interessantes ainda em aberto. Sem dúvida nenhuma, constitui uma área da 
Matemática com grande aplicabilidade na resolução de diversas situações 
reais do nosso dia-a-dia. 
 
 
 
Equações Diferenciais são o suporte matemático para muitas 
áreas da ciência e da engenharia em geral. 
 
 
 
11 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 01: As equações diferenciais nas diversas áreas do conhecimento. 
 
 As palavras, diferencial e equações obviamente sugerem a 
resolução de algum tipo de equação envolvendo derivadas. Em verdade, às 
palavras identificadas na última frase, contém a história completa sobre a 
disciplina que estamos prestes a iniciar. Mas antes de começarmos a resolver 
qualquer problema ou equação diferencial, devemos conhecer algumas 
definições e terminologias básicas sobre o assunto, que faremos no início 
desta Unidade. 
 
1.1 Por que estudamos Matemática? Por que 
estudamos Equações Diferenciais? 
 
Eu, professor de Matemática já alguns anos, já vivenciei em vários 
momentos a experiência de ser questionado por meus alunos sobre a 
importância da Matemática e sua utilidade, principalmente no dia-a-dia ou na 
respectiva área de atuação. Eles costumam fazer indagações, tais como: 
 
 
12 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 Professor, para que serve toda essa Matemática que estamos 
estudando? 
 Professor qual a necessidade real de aprender tais fórmulas, regras 
e/ou expressões complicadas? 
 Professor, qual a necessidade de realmente estar familiarizado com 
todos estes métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias? 
 Professor eu realmente tenho que saber isso? 
 Por que a gente tem de aprender todas essas coisas sobre funções, 
triângulos, matrizes, probabilidade, transformadas de Laplace, etc. 
 
Figura 02: A Importância da Matemática. 
 
 Afinal, de que vai me adiantar tudo isso na vida? Na verdade, 
perguntas desse tipo nem sempre têm respostas diretas, fáceis ou breves. 
Então, como podemos justificar tais indagações? As razões mais 
freqüentemente mencionadas para justificarmos o ensino da Matemática são 
as seguintes: 
 A Matemática é necessária em atividades práticas que envolvem 
aspectos quantitativos da realidade. 
 A Matemática é importante porque desenvolve o raciocínio lógico. 
 A Matemática é importante porque está presente diretamente e 
indiretamente na vida das pessoas no corre-corre do dia-a-dia. 
 Sabemos que a Matemática é produto da cultura humana e faz 
parte do nossocotidiano. Por isso, deve ser trabalhada de forma a ser 
 
 
13 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
aprendida por todos. É uma ciência exata, cuja produção envolve o pensar 
crítico e criativo. Ela atualmente estar presente em todas as áreas do 
conhecimento, participando de forma significativa para o desenvolvimento de 
novas teorias, resolvendo diversas situações. Nesta disciplina, ao invés de 
atuar como um transmissor de regras e modelos do fazer simplesmente, sendo 
assim, tentarei ser um organizador de aprendizagens, um consultor que 
oferece as informações e um estimulador da aprendizagem. 
 Sabendo das dificuldades enfrentadas por muitas pessoas em 
relação à Matemática, tentarei buscar uma linguagem bastante simples como 
forma de propiciar um bom entendimento. 
Estarei sempre à disposição com o intuito de esclarecer dúvidas, trocar 
informações e resolver os exercícios dados em aulas. Nossa interação será 
essencial! 
Com relação especificamente às equações diferenciais, por que você, 
um futuro cientista (Matemático, Físico, Químico, Economista, etc.) ou 
Engenheiro (Produção, Civil, Mecânica, Elétrico, etc.) necessita estudar este 
assunto? A resposta é bem simples, equações diferenciais são o suporte 
matemático para muitas áreas da ciência e da engenharia. Por isso, 
examinamos, ainda que brevemente, como as equações diferenciais surgem a 
partir da tentativa de formularmos, ou descrevermos, certos sistemas físicos 
em termos matemáticos. 
 
 
Figura 03: Aplicabilidade das equações diferenciais. 
 
 
14 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
1.2 Classificação das Equações Diferenciais 
 
Vimos que muitos problemas importantes e significativos da Matemática, 
Física, Economia, Engenharia em geral, das ciências físicas e das ciências 
sociais, formulados em termos matemáticos, exigem a determinação de uma 
função que obedece a uma equação que contém uma ou mais derivadas de 
uma função desconhecida. Estas equações são as chamadas equações 
diferenciais. Talvez o exemplo mais conhecido por nós seja o da segunda lei 
de Newton, que nos diz: 
 
 
 
 
 Onde: 
 
F = força 
 
m = massa do corpo 
 
a = aceleração 
 
 Desta maneira, se u(t) é a posição no instante t de uma partícula de 
massa m submetida a uma força F, podemos escrever: 
 
 
 
 
(1) 
 
 
 
Onde a força F pode ser função de t, u e da velocidade 
dt
du
. A fim de 
 
F = m.a 
 
 
m.
2
2
dt
ud
 = F[t, u, 
dt
du
] 
 
 
 
15 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
determinarmos o movimento da partícula sob a ação da força F é necessário 
encontrarmos uma função u que obedeça à Equação 01 acima. Sendo assim, o 
nosso objetivo principal é discutirmos algumas propriedades das soluções das 
equações diferenciais e descrevermos alguns dos métodos de resolução. 
 
 
 
 
 
As equações diferenciais, geralmente, são classificadas de acordo com o tipo, 
a ordem e a linearidade. 
 
 
Figura 04: Classificação das equações diferenciais. 
 
 
 
 
 Agora, vamos inicialmente classificar as equações diferenciais com 
relação à função desconhecida depender de uma só variável independente ou 
de diversas variáveis independentes, sendo esta uma das classificações mais 
evidentes (tipo de equação). No primeiro caso, na equação diferencial só 
aparecem derivadas ordinárias a equação é dita uma equação diferencial 
Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou 
mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis 
independentes, é denominada de equação diferencial. 
Classificação pelo Tipo 
 
 
16 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
ordinária. No segundo caso, caso as derivadas sejam derivadas parciais, 
então a equação é dita uma equação diferencial parcial. 
 
 
Figura 05: Classificação das equações diferenciais. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo os dois tipos de equações 
diferenciais. 
 
 (Equações Diferenciais Ordinárias) Abaixo listamos alguns 
exemplos de equações diferenciais ordinárias. 
 
1) 
dx
dy
= 3.y 
 
2) 
dt
tdR )(
= – k.R(t) (equação que governa o decaimento de uma 
substância radioativa com o tempo R(t), como o do rádio, onde k é 
uma constante conhecida) 
 
3) 
3
3
dx
yd
 – x. 
dx
dy
 + (x 2 – 1).y = e x 
 
 
 
17 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
4) y’’’’ + y’’’ – y’’ + y’ = x + y 
 
5) y’’ + y’ = cosx 
 
6) y’’’ –3.y’’’ + y’’ -2.x.y 2 = ln(x.y) 
 
7) e y .
2
2
dx
yd
 + 2.( 
dx
dy
) 2 = 1 
 
8) y’’ + 2.y = cos(x + y) 
 
9) L.
2
2 )(
dt
tQd
 + R. 
dt
tdQ )(
 + 
C
1
.Q(t) = E(t) (para a carga Q(t) de um 
capacitor num circuito com capacitância C, resistência R, indutância 
L e voltagem externa E(t)) 
 
 
 
 
 
 
 (Equações Diferenciais Parciais) Abaixo listamos alguns 
exemplos de equações diferenciais parciais. 
 
1) 
x
v
y
u
 
 
2) 
y
u
y
x
u
x ..
 = u 
 
Se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais 
variáveis dependentes, com relação a uma única variável dependente, ela 
é chamada de equação diferencial ordinária, que denotaremos por EDO. 
 
 
18 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
3) 
0
),(),(
2
2
2
2
y
yxu
x
yxu
 (Equação do Potencial ou Equação de 
Laplace) 
 
4) 
t
u
t
u
x
u
.2
2
2
2
2 
 
5) 
22
2
2 ),(),(.
t
txu
x
txu
 (Equação de Difusão ou Condução de 
Calor) onde é uma constante determinada. 
 
6) 
22
2
2 ),(),(.
t
yxu
x
yxu
a
 (Equação de Onda) onde a é uma 
constante determinada. 
 
 
 Ressaltamos que a equação do potencial, a equação da difusão e a 
equação de onda aparecem em muitos problemas de eletricidade e 
magnetismo, na elasticidade e na mecânica dos fluidos. 
 
 
 
 
 
 
 O nosso interesse está centrado exclusivamente no estudo das 
equações diferenciais ordinárias (EDO). Desta forma, sempre que 
colocarmos EDO, estaremos falando em uma equação diferencial ordinária. 
 
 
 
 
Se uma equação contém somente derivadas parciais de uma 
ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis 
independentes então a equação é denominada equação 
diferencial parcial, que denotaremos por EDP. 
Classificação Quanto à Ordem 
 
 
19 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior 
ordem que aparece na equação. 
 
Figura 06: Definição da ordem de uma EDO. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a caracterização da ordem 
de uma dada EDO. 
 
 (Caracterização da Ordem de Uma EDO) Abaixo listamos 
alguns exemplos envolvendo a determinação da ordem de 
uma EDO. 
1) 
dx
dy
 + 5.x.y = 2y + x 2 Ordem 1 ou de Primeira Ordem 
 
2) 
dx
dy
= y.x Ordem 1 ou de Primeira Ordem 
 
3) 
3
3
dx
yd
 – x. 
dx
dy
 + (x 2 – 1).y = e x Ordem 3 ou de Terceira 
Ordem 
 
4) y’’’’ + y’’’ – y’’ + y’ = x + y Ordem 4 ou de Quarta 
Ordem 
 
 
20 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
5) 0.y’’’’ –3.y’’’ + y’’ -2.x.y 2 = ln(x.y) (Qual é a ordem desta 
equação?) Neste caso, temos que o coeficiente de y’’’’ é igual a zero, 
sendo assim, a ordem desta EDO é TRÊS, ou seja, a equação dada é 
de terceira ordem.6) y’’’ –3.y’’’ + y’’ -2.x.y 2 = ln(x.y) Ordem 3 ou de Terceira 
Ordem 
 
7) e y .
2
2
dx
yd
 + 2.( 
dx
dy
) 2 = 1 Ordem 2 ou de Segunda Ordem 
 
8) y’’ + 2.y = cos(x + y) Ordem 2 ou de Segunda Ordem 
 
9) L.
2
2 )(
dt
tQd
 + R. 
dt
tdQ )(
 + 
C
1
.Q(t) = E(t) Ordem 2 ou de Segunda 
Ordem 
 
 
 Com relação à linearidade, temos que uma E.D.O de ordem n na 
função incógnita y e na variável independente x é dita uma equação 
diferencial linear se possui a forma: 
 
 
 
(2) 
 
Onde as funções b
j
(x) (j = 1, 2,..., n) e g(x) supõem-se funções conhecidas e 
dependem apenas da variável x (ou de t caso y = f(t)). As equações 
diferenciais ordinárias que não podem ser escritas sob a forma (2) são 
chamadas equações diferenciais não-lineares. 
Classificação Quanto à Linearidade 
b
n
(x).
n
n
dx
yd
 + b
1n
(x).
1
1
n
n
dx
yd
 + b
2n
(x).
2
2
n
n
dx
yd
 +... + b
1
(x).
dx
dy
+ b
0
(x).y = g(x) 
 
 
 
21 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 07: Classificação quanto à linearidade. 
 
 Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a caracterização 
da linearidade de uma dada EDO. 
 
 (Classificação de Uma EDO quanto à Linearidade) 
Abaixo listamos alguns exemplos envolvendo a classificação 
de uma EDO com relação à linearidade. 
 
1) 
dx
dy
=3.y Equação Diferencial Ordinária Linear 
 
2) 
3
3
dx
yd
 – x. 
dx
dy
 + (x 2 – 1).y = e x Equação Diferencial Ordinária 
Linear 
 
3) y’’’’ + y’’’ – y’’ + y’ = x + y Equação Diferencial Ordinária 
Linear (Por quê?). Neste caso, podemos reescrever a equação como 
segue: y’’’’ + y’’’ – y’’ + y’ – y = x. 
 
4) y’’ + y’ = cosx Equação Diferencial Ordinária 
Linear 
 
 
22 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
5) y’’’ –3.y’’’ + y’’ -2.x.y 2 = ln(x.y) Equação Diferencial Ordinária 
Não-Linear 
6) e y .
2
2
dx
yd
 + 2.( 
dx
dy
) 2 = 1 Equação Diferencial Ordinária 
Não-Linear 
7) y’’ + 2.y = cos(x + y) Equação Diferencial Ordinária Não-
Linear 
 Em outras palavras, notemos que as equações diferenciais lineares são 
caracterizadas por duas propriedades: 
i) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro 
grau; isto é, a potência de cada termo envolvendo y é igual a 1. 
ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x. 
 A Figura 08 abaixo, nos dá uma pequena diferenciação entre as 
equações diferenciais ordinárias lineares e as equações diferenciais ordinárias 
não-lineares. 
 
Figura 08: Caracterização da linearidade de uma EDO. 
 
 
 
23 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
1.3 Outras Terminologias e Conceitos 
Básicos 
 
Vejamos mais algumas informações relevantes com relação a outras 
terminologias que serão utilizadas ao longo da nossa disciplina, bem como, 
apresentamos mais alguns conceitos fundamentais para o desenvolvimento 
dos aspectos teóricos posteriores. 
 
1.3.1 Notação 
 
Usaremos freqüentemente os símbolos y’, y’’, y’’’, y’’’’, y )5( ,..., y )(n a fim 
de representarmos as derivadas de ordem, respectivamente, primeira, 
segunda, terceira, quarta, quinta,..., enésima de y em relação à variável 
independente x. Desta forma, y’’ representa 
2
2
dx
yd
 se a variável independente 
é x, mas representa 
2
2
dp
yd
 se a variável independente é p. Se a variável 
independente é o tempo, usualmente denotada por t, é comum substituirmos 
as linhas por pontos. Assim, .
y
, ..
y
, ...
y
 representam 
dt
dy
, 
2
2
dt
yd
 e 
3
3
dt
yd
, 
respectivamente. Note que o uso dos parênteses em y )(n para distinguir a 
potência y n . 
 
 
1.3.2 Solução de Uma Equação Diferencial Ordinária 
 
Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável 
independente x, no intervalo I, é uma função y(x) que verifica identicamente 
a equação para todo x em I. Em outras palavras, é a função y(x) que torna a 
equação diferencial uma identidade para qualquer ponto que pertença ao 
intervalo I. 
 
 
24 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a caracterização da 
solução ou soluções para uma dada EDO em intervalos específicos. 
 
 A função y(x) = e x é uma solução para a equação diferencial 
ordinária 
y’’ – y = 0 
no intervalo I = . 
 
Solução: Notemos inicialmente que necessitamos da derivada segunda de y 
com relação a x, já que a mesma aparece na equação dada. Desta maneira, 
como y(x) = e x temos que: 
y'(x) = y’’(x) = e x 
 
Logo, substituindo na equação, vamos obter: 
 
y’’ – y = 0 
e x – e x = 0 
0 = 0 (Verdadeiro) 
 
Donde concluímos que y(x) = e x é uma solução para a equação diferencial 
ordinária dada y’’ – y = 0 no intervalo I = . 
 
A função y(x) = e x é uma solução para a equação diferencial 
ordinária 
y’’ – y = 0 
no intervalo I = . 
 
Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na 
equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é denominada de 
solução para a equação diferencial no intervalo. 
 
 
25 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
Solução: Notemos inicialmente que necessitamos mais uma vez da derivada 
segunda de y com relação a x, já que a mesma aparece na equação dada. 
Desta maneira, como y(x) = e x temos que: 
y'(x) = – e x 
e 
y’’(x) = e x 
 
Logo, substituindo na equação, vamos obter: 
 
y’’ – y = 0 
e x – e x = 0 
0 = 0 (Verdadeiro) 
 
Donde concluímos que y(x) = e x é uma solução para a equação diferencial 
ordinária dada y’’ – y = 0 no intervalo I = . 
 
 Consideremos a equação 
dx
dy
 – y = e x.2 , temos que a função y 
= y(x) = e x.2 é uma solução da equação dada para todo x real. 
Por quê? 
 
Solução: Neste caso, a partir da função y = y(x) = e x.2 devemos calcular a 
derivada primeira de y. Sendo assim, temos que: 
y = e x.2 
Implica que 
y' = 2. e x.2 
 
Daí, substituindo na equação vem que: 
 
dx
dy
 – y = e x.2 
2. e x.2 – e x.2 = e x.2 
 
 
26 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
e x.2 = e x.2 (Verdadeiro) 
 
Ou seja, 
0 = 0 (Verdadeiro) 
 
Portanto, concluímos que função y = y(x) = e x.2 é uma solução da equação 
dada. 
 
 
 
 
 
 
 Verifique se a função y = lnx é solução da equação x.y’’ + y’ 
= 0 no intervalo I = (0, + ). 
 
Solução: Notemos que para o intervalo I = (0, + ) a função y = lnx está bem 
definida, já que como sabemos a função logarítmica só está definida para 
valores positivos (i.e., para x > 0). Desta forma, temos que encontrar 
primeiramente as derivadas primeira e segunda para a função y = lnx. Daí: 
 
y = lnx 
Implica que 
y' = 
x
1
 (Derivada de lnx) 
Donde segue também que 
y'’ = 
2
1
x
 (Você pode utilizar a regra do quociente ou da potência) 
 
Logo, substituindo na equação diferencial dada obtemos: 
 
x.y’’ + y’ = 0 
 
Notemos que neste exemplo o intervalo I não foi especificado. Toda vez 
que acontecer tal fato, fica subentendido para nós que o intervalo em 
questão é o conjunto dos números reais, ou seja, I = . 
 
 
27 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
x. 
2
1
x
 + 
x
1
 = 0 
Ou seja, 
x1
 + 
x
1
 = 0 
Ou ainda, 
0 = 0 (Verdadeiro) 
 
Portanto, concluímos que a função y = lnx é solução da equação x.y’’ + y’ = 
0 no intervalo I = (0, + ). 
 
 A função y(x) 1 é solução da equação y’’ + 2.y’ + y = x no 
intervalo I = ? 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
y(x) 1 (função identicamente igual a 1) 
 
y’ = y’’ = 0 
 
Logo, substituindo na equação dada obtemos: 
 
y’’ + 2.y’ + y = x 
 
0 + 2.(0) + 1 = x 
 
1 = x (Falso) (Só é verdade para x = 1) 
 
Desta forma, concluímos que y(x) 1 NÃO é solução da equação dada, já 
que a igualdade acima não é verificada para todo x I = , sendo 
verdadeira, APENAS para x = 1. Portanto, a resposta para a indagação do 
exemplo é NÃO. 
 
 
 
28 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 Toda equação diferencial admite solução? Sim ou não? 
Justificar a sua resposta. 
 
Solução: A resposta para tal indagação é NÃO, já que, por exemplo, a 
equação diferencial abaixo: 
(y’) 2 = – 1 
 
não possui solução já que nenhum quadrado pode ser igual a um número 
negativo se considerarmos I = . 
 
 Mesmo que saibamos que uma solucao existe, pode acontecer 
que a solução não possa exprimir-se em termos das funções 
elementares usuais – funções algébricas, trigonométricas, 
exponencial, logarítmica e hiperbólicas. Infelizmente está é a situação para a 
maioria das equações diferenciais. 
 
1.3.3 Soluções Explícitas e Implícitas 
 
Você deve se lembrar que num curso de cálculo introdutório foram estudadas 
as noções de funções explícitas. Similarmente, soluções de equações 
diferenciais são divididas em explícitas ou implícitas. 
 
 
Figura 09: Soluções: explícitas e implícitas. 
 
 Desta forma, definimos as soluções explícitas e implícitas de uma 
equação diferencial ordinária como segue: 
 
 
29 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 10: Definição de solução explícita e solução implícita. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a caracterização de 
soluções explícitas e implícitas de determinadas EDO’s. 
 
 (Solução Explícita) Vimos anteriormente que a função y(x) 
= e x é uma solução para a equação diferencial ordinária y’’ – 
y = 0 no intervalo I = . Neste caso, tal função y(x) = e x é 
uma solução explícita para a equação diferencial ordinária dada. 
 
 
 (Solução Explícita) Vimos anteriormente que a função y(x) 
= e x é uma solução para a equação diferencial ordinária y’’ – 
y = 0 no intervalo I = . Neste caso, tal função y(x) = e x é 
uma solução explícita para a equação diferencial ordinária dada. 
 
 (Solução Implícita) Para –2 < x < 2, a relação x 2 + y2 – 4 = 
0 é uma solução implícita para a equação diferencial 
Uma solução para uma EDO que pode ser escrita
na forma y = f(x) é dita solução explícita.
•Soluções Explícitas
Dizemos que uma relação G(x,y) = 0 é uma solução
implícita de uma EDO em um intervalo I, se ela
define uma ou mais soluções explícitas em I.
•Soluções Implícitas
 
 
30 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
dx
dy
 = 
y
x
. 
 
Solução: De fato, temos por derivação implícita que: 
 
)( 2x
dx
d
 + 
)( 2y
dx
d
– 
)4(
dx
d
= 0 
 
Ou seja, 
2x + 2y. 
dx
dy
 = 01 
 
Ou ainda, 
dx
dy
 = 
y
x
. 
 
Notemos que a relação x 2 + y 2 – 4 = 0 no exemplo acima define duas funções 
explícitas, que são: 
y = 
24 x
 
e 
y = –
24 x
 
 
no intervalo (–2, 2). Além disso, observemos que qualquer relação da forma 
x 2 + y 2 – c = 0 satisfaz, formalmente, 
dx
dy
 = 
y
x
 para qualquer constante c. 
Todavia, fica subentendido que a relação deve sempre fazer sentido no 
sistema dos números reais; logo, não podemos dizer que x 2 + y 2 + 1 = 0 
determina uma solução da equação diferencial. 
 
 Salientamos que como a distinção entre uma solução 
explícita e uma solução implícita é intuitivamente clara, não 
nos preocuparemos em dizer sempre que “neste caso temos 
uma solução explícita (implícita)”. 
 
 
31 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
1.3.4 Número de Soluções 
 
Salientamos que devemos nos acostumar com o fato de que uma dada 
equação diferencial geralmente possui um número infinito de soluções. 
 
 Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
 
 Para qualquer valor de c, a função y = 
x
c
 + 1 é uma solução 
da equação diferencial de primeira ordem 
x. 
dx
dy
 + y = 1 
no intervalo (0, ∞). 
 
Solução: De fato, neste caso, temos que: 
 
dx
dy
= c. 
)( 1x
dx
d
 + 
)1(
dx
d
= – c.x 2 = 
2x
c
 
Então 
 
x. 
dx
dy
 + y = x.(
2x
c
) + (
x
c
 + 1) = 1 
 
1 = 1 (Verdadeiro) 
Desta maneira, variando o parâmetro c, podemos gerar uma infinidade de 
soluções. Em particular, fazendo c = 0, obtemos uma solução constante y = 1. 
Vejamos na Figura 11 abaixo a interpretação geométrica de tal situação. 
 
 
 
32 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 11: Interpretação geométrica do exemplo acima. 
 
 
 Temos que as funções 
 
y = e x , y = e x , y = c
1
. e x , y = c
2
. e x e y = c
1
. e x + c
2
. e x 
 
são todas soluções da equação diferencial linear de segunda ordem 
y’’ – y = 0 
 
(Tente verificar! Você consegue!) 
 
Notemos que y = c
1
. e x é uma solução para qualquer escolha de c
1
, porém y 
= e x + c
1
, c
1
≠ 0, não satisfaz a equação, já que, para essa família de funções, 
temos y’’ – y = - c
1
. 
 
 Temos que qualquer função da família a um parâmetro y = 
c.x 4 é uma solução para a equação diferencial 
x.y’ – 4.y = 0. 
 
 
33 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
Solução: Neste caso, temos que: 
x.y’ – 4.y = x.(4.c.x 3 ) – 4.c.x 4 
 
A função definida por partes 
 
y = 
0,
0,
4
4
xx
xx 
 
é também uma solução. Observemos que essa função pode ser obtida a partir 
de y = c.x 4 por intermédio de uma única escolha do parâmetro c. Vejamos 
esta disposição geométrica na Figura 12 abaixo. 
 
 
Figura 12: Interpretação geométrica do exemplo acima. 
 
1.3.5 Solução Particular e Solução Geral 
 
Uma solução para uma equação diferencial que não depende de parâmetros 
arbitrários é denominada de solução particular. A solução geral da equação 
diferencial é o conjunto de todas as suas soluções. 
 
 
34 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 13: Definição de solução geral e solução particular de uma EDO. 
 
1.3.6 Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores 
de Contorno 
 
Um Problema de Valor Inicial (P.V.I) consiste em uma equação 
diferencial, juntamente com condições subsidiárias relativas à função 
incógnita e suas derivadas – tudo dado para um mesmo valor da variável 
independente. As condições subsidiárias são condições iniciais se as 
condições subsidiárias se referem a mais de um valor da variável 
independente, o problema é um Problema de Valores de Contorno, e as 
condições dizem-se condições de contorno. Em breve começaremos a 
resolver estes problemas. 
 
 
Figura 14: A interpretação de um Problema de Valor Inicial (P.V.I). 
 
 
Solução Geral - é o conjunto formado
por todas as suas soluções.
• Solução Geral
Solução Particular - é qualquer
solução da mesma.
• Soluções Particular
 
 
35 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
1.4 Aspectos Históricos Envolvendo as 
Equações Diferenciais Ordinárias 
 
Aqui, daremos um pequeno aparato histórico envolvendo o desenvolvimentodas Equações Diferenciais Ordinárias ao longo do tempo. Para tal, podemos 
iniciar o mesmo com as seguintes indagações: 
 
 Como surgiram às Equações Diferenciais? 
 
 Qual a importância das mesmas dentro da matemática e Áreas Afins? 
 
 Qual a necessidade de estudarmos as Equações Diferenciais? 
 
 As respostas para estas e diversas outras indagações serão 
respondidas agora e ao longo da disciplina. Em verdade, já poderíamos 
descrever às Equações Diferenciais como um importante ramo da 
Matemática, cujo desenvolvimento está amplamente relacionado com o 
desenvolvimento da própria Matemática. 
 
 
 
 
 
 Sendo assim, primeiramente apresentaremos um aparato histórico 
referente às equações diferenciais, traçando algumas tendências principais e 
comentando sobre alguns dos principais indivíduos que contribuíram de 
forma significativa no processo. 
 Segundo a literatura o surgimento de estudos relacionados às 
equações diferenciais se deu no início do Cálculo Diferencial e Integral, com 
Isaac Newton, por volta de 1.642 e Gottfried Wilhelm Leibniz por volta de 
1.646, ambos no século XVII. Embora Newton tenha trabalhado pouco na 
área das equações diferenciais, o desenvolvimento que o mesmo 
As Equações Diferenciais é um importante ramo da Matemática, 
cujo desenvolvimento está amplamente relacionado com o 
desenvolvimento da própria Matemática. 
 
 
36 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
proporcionou ao Cálculo Diferencial e Integral e a elucidação dos princípios 
básicos da mecânica constituíram a base para as aplicações realizadas por 
Euler no século seguinte. 
 
Figura 15: Surgimento do estudo das EDO’s com Isacc Newton. 
 
 
 Mais precisamente, Newton classificou as equações diferenciais de 
primeira ordem de acordo como as formas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isaac 
Newton
Cálculo 
Diferencial 
e Integral
Equações 
Diferenciais
dx
dy
 = f(x) 
 
dx
dy
 = f(y) 
 
dx
dy
 = f(x, y) 
 
 
 
 
37 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 Ressaltamos que para a última equação Newton desenvolveu um 
método de resolução baseado na Teoria das Séries Infinitas, quando f(x, y) 
é definida como um polinômio em x e em y. 
 Leibniz, nasceu em Leipzig chegando ao descobrimento do método 
da separação de variáveis em 1961, a redução de equações homogêneas e 
equações separáveis em 1961 e o procedimento de resolução de equações 
lineares de primeira ordem em 1964. 
 
 
Figura 16: A contribuição de Leibniz. 
 
 
 Além disso, os irmãos Jakob e Johann Bernoulli, da Basiléia, 
contribuíram muito para o desenvolvimento de métodos de resolução de 
equações diferenciais, bem como ampliando o campo de aplicação destas 
equações. Por outro lado, Daniel Bernoulli, filho de Johann, se interessava 
principalmente nas equações diferenciais parciais e respectivas aplicações. 
Por exemplo, é o seu nome o associado à famosa Equação de Bernoulli da 
mecânica dos fluidos. Foi também, o primeiro a encontrar as funções, que um 
século depois, tornaram-se conhecidas como funções de Bessel. 
 
Leibniz
1961
Redução de Equaçõs 
Homogêneas
Redução de 
Equações Separáveis
1964
Procedimento de 
Resolução de 
Equações Lineares 
de Primeira Ordem
 
 
38 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 17: A contribuição da família Bernoulli. 
 
O maior matemático do século XVIII, Leonard Euler (1707 – 1783), cresceu 
nas vizinhanças da Basiléia e foi aluno de Johann Bernoulli. Euler foi o 
matemático mais prolífico de todos os tempos, sendo que suas obras enchem 
mais de 70 grandes volumes. O seu interesse cobria todas as áreas da 
matemática e muitos campos de aplicação. De interesse especial aqui são as 
formulações de problemas de mecânica em linguagem matemática e o 
desenvolvimento de métodos de resolução destes problemas matemáticos. 
Lagrange afirmou que o trabalho de Euler em mecânica era “a primeira 
grande obra na qual a análise se aplica à ciência do movimento”. Entre outras 
coisas, Euler identificou a condição de exatidão das equações diferenciais de 
primeira ordem em 1734 – 1735, desenvolveu a teoria dos fatores integrantes 
neste mesmo artigo e apresentou a solução geral das equações lineares com 
os coeficientes constantes em 1743. Aplicou os últimos resultados a equações 
não-homogêneas em 1750 – 1751. A partir de aproximadamente 1750, Euler 
passou a usar séries de potência para resolver equações diferenciais. Além 
disso, propôs também um procedimento numérico em 1768 – 1769, fez 
importantes contribuições às equações diferenciais parciais e deu o primeiro 
tratamento de forma sistemática ao cálculo das variações. 
 
 
 
39 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
 
Figura 18: A contribuição do matemático Leonard Euler. 
 
 
 Joseph Louis Lagrange nascido em Turim foi o sucessor de Euler na 
cadeira de matemática na Academia de Berlim possui forma provida da sua 
obra monumental Mécanique Anelytique, publicada em 1768, que é um 
tratado elegante e abrangente da mecânica newtoniana. Com relação às 
equações diferenciais elementares, Lagrange mostrou em 1762 – 1765 que a 
solução de uma equação diferencial homogênea de ordem n é uma 
combinação linear de n soluções independentes. Depois, em 1774 – 1775, 
Lagrange publicou o desenvolvimento completo do método da variação dos 
parâmetros. Lagrange também é conhecido pelo seu tratamento fundamental 
nas equações diferenciais parciais e no cálculo das variações. 
 
Formulação de Problemas 
em Mecânica
Desenvolvimento da Teoria 
dos Fatores Integrantes
Identificou a exatidão das 
EDO's de Primeira Ordem
Apresentou a solução geral 
para as equações lineares 
com coeficientes constantes
Leonard Euler
 
 
40 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 19: A contribuição de Joseph Louis Lagrange. 
 
 Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827), bem cedo deixou sua marca 
nos círculos científicos, sendo eleito para a Académie dés Sciences em 1773. 
Destacou-se no campo da mecânica celeste; seu maior trabalho, Traité de 
mécanique céleste, foi publicado em cinco volumes entre 1799 e 1825. A 
Equação de Laplace é fundamental em muitos ramos da física matemática, e 
Laplace estudou-a profundamente em suas investigações da atração 
gravitacional. A Transformada de Laplace (Unidade 03) também recebeu o 
nome em sua homenagem, embora sua utilidade para a solução de equações 
diferenciais só tenha sido reconhecida tardiamente. 
 
 
Figura 20: A contribuição de Pierre Simon de Laplace. 
Sucessor de Euler na cadeira 
de Matemática da Academia 
de Berlim
Mécanique Analytique
(obra prima)
Apresentou a solução para 
uma EDO homogênea de 
ordem n
Tratamento fundamental 
para as EDP's bem como 
para o cálculo das variações
Joseph Louis 
Lagrange
 
 
41 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 No final do século XVIII, diversos métodos elementares para a 
solução de equações diferenciais ordinárias tinham sido descobertos. No 
século XIX, o interesse se voltou para a investigação de questões teóricas 
quanto à existência e unicidade e o desenvolvimento de métodos menos 
elementares, como os que se baseavam em expansões em séries de potências. 
O contexto natural para esses métodos é o plano z (ou plano complexo). 
Conseqüentemente, foram estimulados pelo desenvolvimento mais ou menos 
simultâneo da teoria das funções complexas analíticas, que por suavez 
ajudaram a estimular. As equações diferenciais parciais também começaram 
a ser intensamente estudadas depois que seu papel crucial para a física e 
matemática se tornou claro. Várias funções que surgiram como soluções de 
equações diferenciais ordinárias também ocorriam repetidamente e foram 
estudadas exaustivamente. Conhecidas coletivamente como funções 
transcendentes superiores, muitas delas receberam os nomes de matemáticos, 
como as funções de Bessel, Legendre, Hermite, Chebyshev e Hankel, entre 
outras. 
 As diversas equações diferenciais que resistiram à resolução por 
meios analíticos levaram à investigação de métodos numéricos de 
aproximação. Na altura de 1900, métodos de integração numérica, muito 
eficientes, já tinham sido elaborados, mas a implementação destes métodos 
estava severamente restringida pela necessidade de execução de cálculos 
manuais ou com equipamento de computação muito primitivo. Nos últimos 
cinqüenta anos, o desenvolvimento de computadores cada vez mais 
sofisticados ampliou a gama de problemas que podem ser investigados com 
eficiência por meio de métodos numéricos. Durante o mesmo período, 
desenvolveram-se integradores numéricos muito refinados e robustos, que se 
encontram em todos os centros de computação científica. 
 Uma outra característica das equações diferenciais no século XX 
foi a criação de métodos geométricos ou topológicos, especialmente para as 
equações não-lineares. O objetivo dos métodos é o da compreensão, pelo 
menos qualitativa, do comportamento das soluções de um ponto de vista 
geométrico, assim como do ponto de vista analítico. Nos últimos anos, estas 
duas tendências convergiram. Os computadores e, especialmente, a 
 
 
42 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
computação gráfica, proporcionaram um novo impulso à investigação dos 
sistemas de equações diferenciais não-lineares. Desta forma, embora as 
equações diferenciais sejam um tema antigo, a respeito do qual seja grande o 
conhecimento, tornou-se no final do século XX uma fonte de problemas 
fascinantes e importantes, ainda não resolvidos. 
 
 
Figura 21: As equações diferenciais nos séculos XIX e XX. 
 
 
1.5 Exercícios Complementares 
 
1) Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é 
linear ou não-linear. 
 
a) t 2 .
2
2
dt
yd
 + t. 
dt
dy
 + 2.y = sent 
 
b) 
4
4
dt
yd
 + 
3
3
dt
yd
+ 
2
2
dt
yd
+
dt
dy
+ y = 1 
 
c) 
2
2
dt
yd
 + sen(t + y) = sent 
 
 
43 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
d) (1 – x).y’’ – 4.x.y’ + 5.y = cosx 
 
e) y.y’ + 2.y = 1 + x 10 
 
f) 
2
2
dx
yd
 + 9.y = seny 
 
g) (1 + y 2 ).
2
2
dt
yd
 + t. 
dt
dy
 + y = e t 
 
h) 
dx
dy
 + x. y2 = 0 
 
i) 
3
3
dx
yd
 + x. 
dx
dy
+ (cos 2 x).y = x 3 
 
j) y’ + y’ = e )( ty 
 
k) y’’’ + 4.x.y = y 2 + lnx 
 
l) y’ – y = 0 
 
m) (1 – y 2 ).dx + x.dy = 0 
 
2) Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da 
equação diferencial dada. 
 
a) y’’ – y = 0; y
1
(t) = e t e y
2
(t) = e t 
 
b) y’’ + 2.y’ – 3.y = 0; y
1
(t) = e t3 e y
2
(t) = e t 
 
c) t.y’ – y = t 2 ; y = 3.t + t 2 
 
 
 
44 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
d) y’’’’ + 4.y’’’ + 3.y = t; y
1
(t) = 
3
t
 e y
2
(t) = e t +
3
t
 
e) 2. t 2 .y’’ + 3.t.y’ – y = 0, t > 0; y
1
(t) = t 21 e y
2
(t) = t 1 
 
f) t 2 .y’’ + 5.t.y’ + 4.y = 0, t > 0; y
1
(t) = t 2 e y
2
(t) = t 2 .lnt 
 
g) y’’ + y = sect, 0 < t < 
2
; y = (cost).ln(cost) + t.sent 
 
h) y’ + 4.y = 32; y = 8. 
 
 
3) Mostre que y = 
1
1
2x
 é solução de y’ + 2.x. y2 = 0 em I = (-1, 1) mas 
não o é em qualquer outro intervalo mais amplo contendo I. 
 
4) Considere a equação t 2 .y’’ – 3.t.y’ + 4.y = 0, t > 0. Mostre que y
1
(t) = t 2
.lnt e y
2
(t) = t 2 são soluções desta equação? 
 
5) Mostre que y
1
(x) = x 2 e y
2
(x) = 
2
2x
 são ambas soluções para a 
equação diferencial x 2 .y’’ – 4.x.y’ + 6.y = 0. 
 
1.6 Algumas Modelagens Matemáticas via 
Equações Diferenciais Ordinárias 
 
 
Sabemos que a palavra modelo significa uma versão simplificada de uma 
determinada situação real. Já comentamos anteriormente sobre a 
empregabilidade das equações diferenciais em diversas áreas do 
conhecimento, como por exemplo, Ciências, Engenharia, Economia e até 
 
 
45 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
mesmo em Psicologia. Em verdade, freqüentemente desejamos descrever ou 
modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos 
matemáticos. Essa descrição se inicia com: 
 
i) Identificando as variáveis que são responsáveis por mudanças do 
sistema; 
E 
 
ii) Um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema. 
 
 
 Salientamos que estas hipóteses também incluem algumas leis 
empíricas que são aplicáveis ao sistema. A estrutura matemática de todas as 
hipóteses, ou o modelo matemático do sistema, é comumente uma equação 
diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Além disso, devemos 
ressaltar que um modelo matemático de um sistema físico geralmente 
depende da variável tempo. A solução do modelo representa então o estado 
do sistema; em outras palavras, para valores apropriados do tempo t, os 
valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem o sistema no 
passado, presente e futuro. 
 
 
Figura 22: A modelagem matemática de uma situação real. 
 
 
 
46 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 A seguir, listamos uma série de aplicações (modelos matemáticos) de 
diversas situações que ocorrem no dia-a-dia em diversas áreas do 
conhecimento, onde se faz necessário a resolução de uma equação diferencial 
ordinária. Mais a frente, estaremos discutindo de forma mais detalhada 
diversas destas situações, onde mostraremos a formulação do sistema via 
equações diferenciais ordinárias, bem como resolveremos casos específicos 
das mesmas, tendo como base os métodos de resolução que discutiremos a 
seguir. 
 
 (Lei do Esfriamento de Newton) De acordo com a empírica 
lei de esfriamento de Newton, a taxa de esfriamento de um 
corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo 
e a temperatura do meio ambiente. Suponhamos que T(t) denote a 
temperatura de um corpo no instante t e que a temperatura do meio seja 
constante, igual a T
m
. Se 
dt
dT
 representa a taxa de variação da temperatura 
do corpo, então a lei de esfriamento de Newton poderá ser expressa 
matematicamente da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Onde k é uma constante de proporcionalidade. Como, por hipótese, o corpo 
está esfriando, devemos ter T > T
m
, logo k < 0. 
 
 (Corpo em Queda Livre) A descrição matemática de um 
corpo caindo verticalmente sob a influência da gravidade leva 
a uma simples equação diferencial de segunda ordem. A 
solução para essa equação fornece-nos a posição do corpo em relação ao 
solo. A Figura 23 abaixo, nos mostra uma situação típica de queda livre (uma 
pedra sendo lançada de um edifício). 
 
 
dt
dT
 
)( mTT
 ou 
dt
dT
 = k.(T – T
m
) 
 
 
 
47 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 23: A representação geométrica de um corpo em queda livre. 
 
 A equação diferencial que modela governa a trajetória vertical do 
corpo é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Onde g representa a aceleraçãoda gravidade e o sinal negativo é usado 
porque o peso do corpo é uma força direcionada para baixo, ou seja, oposta à 
direção positiva. Ressaltamos ainda, que a aceleração é a derivada da 
velocidade, que, por sua vez, é a derivada da distância s. Além disso, 
podemos observar claramente que essa formulação ignora outras forças, 
como por exemplo a força de resistência do ar atuando sobre o corpo em 
questão. 
 
 (Sistema Massa-Mola) Quando a segunda lei de Newton 
sobre o movimento é combinada com a lei de Hooke, 
podemos obter uma equação diferencial que governa o 
 
2
2
dt
sd
 = – g 
 
 
 
48 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
movimento de uma massa atada a uma mola. Desta forma, por exemplo para 
determinarmos o deslocamento vertical x(t) de uma massa atada a uma mola, 
usamos duas leis empíricas: a segunda lei de Newton sobre o movimento e a 
lei de Hooke. Lembremos que a segunda lei de Newton nos diz que a 
resultante das forças que atuam sobre um sistema em movimento é: 
 
 
 
 
 
Onde m é a massa e a é a aceleração. Além disso, sabemos que a lei de 
Hooke nos diz que a força restauradora de uma mola esticada é proporcional 
ao deslocamento (s + x); isto é, a força restauradora é dada por: 
 
 
 
 
 
Onde k >0 é uma constante. Como mostramos na Figura 24(b), s é o 
deslocamento da mola quando uma massa atada em sua extremidade e o 
sistema está em posição de equilíbrio (a massa está pendurada na mola e não 
há movimento). Quando o sistema está em movimento, a variável x 
representa o deslocamento da massa em relação à posição de 
equilíbrio.Podemos mostrar que quando o sistema está em movimento, a 
força resultante atuando na massa é simplesmente F = – k.x. Logo, na 
ausência de amortecimento ou outras forças externas quaisquer que poderiam 
estar atuando no sistema, a equação diferencial do movimento vertical do 
centro de gravidade da massa é: 
 
 
 
 
 
 
F = m.a 
 
k.(s + x) 
 
m.
2
2
dt
xd
 = – k.x 
 
 
 
49 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
Aqui o sinal negativo indica que a força restauradora da mola atua em 
direção oposta ao movimento, isto é, na direção da posição do equilíbrio. Na 
prática, essa equação diferencial de segunda ordem é escrita na forma: 
 
 
 
 
 
 
Onde 
m
k2
. 
 
Figura 24: A representação geométrica do sistema Massa-mola. 
 
 (Pêndulo Simples) Qualquer objeto pendurado em 
movimento pendular é chamado de pêndulo físico. O pêndulo 
simples é um caso especial de pêndulo físico e consiste em 
uma haste com uma massa atada em uma das extremidades. Para descrever o 
movimento de um pêndulo simples, desprezaremos qualquer força exterior 
de amortecimento agindo sobre o sistema (tal como a resistência do ar). Por 
exemplo, uma massa m de peso W está suspensa por uma haste de 
comprimento l. Queremos determinar o ângulo , medido a partir da linha 
vertical, como uma função do tempo t (consideramos > 0 à direita de OP, 
 
(1) m.
2
2
dt
xd
 + 
2
.x = 0 
 
 
 
50 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
e < 0 à esquerda de OP). Lembremos da geometria elementar, que um arco 
s de um círculo de raio l está relacionado com o ângulo central através da 
fórmula s = l. . Portanto, a aceleração angular é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Pela segunda lei de Newton, temos que: 
 
 
 
 
 
 
Na Figura 25 abaixo, podemos visualizar que a componente tangencial da 
força devida ao peso W é m.g.sen . Igualando as duas diferentes 
formulações da força tangencial, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
a = 
2
2
dt
sd
 = l.
2
2
dt
d
 
 
 
F = m.a = m.l.
2
2
dt
d
 
 
 
 (2) m.l.
2
2
dt
d
 = – m.g.sen ou 
2
2
dt
d
 + 
l
g
.sen = 0 
 
 
 
51 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 25: A representação geométrica do sistema acima. 
 
Notemos que por causa da presença de sen , a equação diferencial acima é 
não-linear. Da literatura é sabido que tal equação não pode ser resolvida em 
termos de funções elementares. Então, realizamos mais uma simplificação. 
Se o deslocamento angular não for muito grande, poderemos usar a 
aproximação sen . Sendo assim, a equação acima pode ser substituída 
pela equação diferencial linear de segunda ordem: 
 
 
 
 
 
Colocando 
l
g
, a Equação (3) acima possui exatamente a mesma 
estrutura da Equação (1) que governa as vibrações livres de um peso em uma 
mola. O fato de uma equação diferencial básica poder descrever diversos 
fenômenos físicos, ou mesmo sociais/econômicos, é uma ocorrência comum 
no estudo da Matemática Aplicada. 
 
 (3) 
2
2
dt
d
 + 
l
g
. = 0 
 
 
 
52 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 (Capitalização Contínua) Comumente as instituições 
financeiras anunciam capitalização diária dos juros. 
Poderíamos ter capitalização a cada hora ou mesmo a cada 
minuto. Não existe razão para parar aí, ou seja, juros poderiam ser 
capitalizados a cada segundo, a cada meio segundo, a cada décimo segundo, 
a cada milésimo de segundo, e assim por diante. Isto quer dizer que os juros 
podem ser capitalizados continuamente, caracterizando o que denominamos 
de Capitalização Contínua. Por exemplo, consideremos a seguinte situação: 
A quantia de R$10.000,00 é posta a juros de 10% ao ano, sob a condição de 
que os juros cresçam linearmente, i.e., o regime de capitalização é o simples. 
Quantos anos serão necessários para que a soma atinja R$20.000,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Equação Logística) A equação de primeira ordem não-
linear (5) abaixo: 
 
 
 
 
 
 
É um caso especial de uma equação mais geral dada por: 
 
 
 
 
Quando os juros são capitalizados continuamente, a taxa de 
crescimento é proporcional ao capital S, isto é, 
 
 (4) 
dt
dS
= r.S 
 
Em que r é a taxa anual de juros. 
 
 (5) 
dt
dx
 = k.x.(n + 1 – x) 
 
 
 (6) 
dt
dP
 = P.(a – b.P) 
 
 
 
53 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
Onde a e b são constantes, conhecida pela nomenclatura Equação Logística. 
A solução dessa equação é muito importante em Ecologia, Sociologia e 
mesmo em Ciências Contábeis e Administração. 
 
 (Circuitos em Série) De acordo com a segunda Lei de 
Kirchhoff, a diferença de potencial E(t) em um circuito 
fechado é igual à soma das voltagens no circuito. A corrente 
em circuito, após a chave ser fechada, é denotada por i(t); a carga em um 
capacitor no instante t é denotada por q(t). As letras L, C e R são constantes 
conhecidas como indutância, capacitância e resistência, respectivamente. 
Por exemplo, se considerarmos o circuito simples, em série, contendo um 
indutor, um resistor e um capacitor como mostramos na Figura 26 abaixo, 
temos que uma equação diferencial de segunda ordem para a carga q(t) em 
um capacitor pode ser obtida somando as voltagens (quedas de tensão): 
 
Indutor = L. 
dt
di
 = L. 
2
2
dt
qd
 
 
Resistor = i.R = R. 
dt
dq
 
 
Capacitor = 
C
1
.q 
 
E igualando a soma à diferença de potencial E(t), obtemos a seguinte equação 
diferencial de segunda ordem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7) L.
2
2
dt
qd
+ R. 
dt
dq
 + 
C
1
.q = E(t) 
 
 
 
54 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 26: A representação co circuito emsérie do sistema acima. 
 
Além disso, a diferença de potencial ou voltagem E(t) é denominada de força 
eletromotriz (ou fem). Uma fem, bem como a carga em um capacitor, causa 
a corrente no circuito. A Tabela 01 abaixo nos mostra as unidades básicas de 
medida usadas na análise de circuito. 
 
Tabela 01: Unidades básicas de medida usadas na análise do circuito acima. 
Grandeza Unidade 
Diferença de potencial ou fem Volt (V) 
Indutância L Henry (H) 
Capacitância C Farad (F) 
Resistência R Ohm ( ) 
Carga q Coulomb (C) 
Corrente i Ampère (A) 
 
 
 (Drenagem Através de um Orifício) Em hidrodinâmica, o 
Teorema de Torricelli nos diz que a velocidade de efluxo 
de água através de um pequeno orifício no fundo de um 
tanque cheio até uma altura h é igual à velocidade que um corpo (neste caso, 
uma gota d’água) adquire em queda livre de uma altura h: 
 
 = 
hg..2
 
 
 
55 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
Onde g é a aceleração da gravidade. A expressão acima é obtida, quando 
igualamos a energia cinética 
2..
2
1
vm
 à energia potencial m.g.h e explicitando 
a velocidade . Por exemplo, consideremos um tanque cheio de água que é 
drenado através de um orifício sobre a influência da gravidade. Gostaríamos 
de calcular a altura h da água no tanque em qualquer instante de tempo t. 
Seja o tanque mostrado na Figura 27 abaixo. 
 
 
Figura 27: O tanque do sistema acima. 
 
Se a área do orifício é A
0
 (em m 2 ) e a velocidade da água saindo do tanque é 
 = 
hg..2
 (em m/s), então o volume de água que sai do tanque por segundo 
é A
0
.
hg..2
 (em m 3 /s). Logo, se V(t) denota o volume de água no tanque 
no instante t, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
(8) 
dt
dV
 = – A
0
.
hg..2
 
 
 
 
56 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
dt
dV
 = – A
0
.
hg..2
 
 
Em que o sinal negativo indica que V decresce com o tempo. Note que 
estamos ignorando qualquer possibilidade de atrito no orifício, o que 
reduziria a taxa de vazão na água. Agora, suponhamos que o volume da água 
no tanque no instante t possa ser escrito como V(t) = A
w
.h, em que A
w
 (em 
m 2 ) é a área da superfície da água como podemos visualizar na Figura 27 
acima, que não depende da altura h. Daí, 
dt
dV
= A
w
.(
dt
dh
). Substituindo essa 
última expressão em (8), obtemos a equação diferencial para a altura h da 
água em função do tempo t: 
 
 
 
 
 
 
 
É interessante salientarmos que (9) permanece válida mesmo quando A
w
 não 
é constante. Neste caso, devemos expressar a área da superfície da água como 
uma função de h: A
w
= A(h). 
 
 (Crescimento Populacional) É natural esperarmos que a 
taxa de crescimento de uma população P seja proporcional à 
população presente naquele instante. Grosso modo, quanto 
maior for à população presente, maior ela será no futuro. Desta forma, o 
modelo para o crescimento populacional é dado pela equação diferencial de 
primeira ordem: 
 
 
 
 
 
(9) 
dt
dh
 = – 
wA
A0
.
hg..2
 
 
 
(10) 
dt
dP
 = k.P 
 
 
 
57 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
Onde k é uma constante de proporcionalidade. Como esperamos que a 
população cresça, devemos ter 
dt
dP
 > 0, e assim k > 0. 
 
 (Deflexão de Vigas) Em engenharia, um problema 
importante é determinar a deflexão elástica de uma viga 
elástica causada por seu peso ou por uma carga externa. 
Supomos que a viga é homogênea e tem seções transversais uniformes ao 
longo de seu comprimento. Seja L o comprimento da viga. Na ausência de 
carga na viga (incluindo seu peso), a curva ligando os centróides de todas as 
seções transversais é uma linha reta denominada eixo de simetria, como é 
mostrado na Figura 28 abaixo. 
 
 
Figura 28: O eixo de simetria em uma viga. 
 
Se uma carga for aplicada à viga em um plano vertical contendo o eixo de 
simetria, então, como podemos visualizar na Figura 29 abaixo, a viga sofre 
uma distorção e a curva ligando os centróides de todas as seções transversais 
é denominada de curva de deflexão ou curva elástica. 
 
Figura 29: A curva de deflexão ou curva elástica em uma viga. 
 
 
 
58 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
Utilizando princípios de elasticidade e um conceito do Cálculo Diferencial e 
Integral (curvatura) podemos deduzir que a equação diferencial da curva de 
deflexão pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde E e I são constantes, sendo E o módulo de elasticidade de Young 
racionado com o material da viga, e I é o momento de inércia de uma seção 
transversal da viga (em relação a um eixo conhecido como eixo neutro ou 
linha neutra). O produto E.I é denominado de rigidez defletora da viga. A 
deflexão é representada por y(x) e w(x) representa a carga por unidade de 
comprimento. 
 
1.7 Equações Diferenciais de Primeira Ordem 
 
Aqui, estaremos interessados em trabalhar com equações diferenciais de 
primeira ordem, que podem ser escritas na forma geral, 
 
 
 
 
 
 
onde f é uma função conhecida de duas variáveis. Qualquer função 
diferenciável y = (t) que satisfaça a esta condição para todos os valores de t 
em um certo intervalo é considerada como uma solução; nosso objetivo é 
determinar se essas funções existem e, em caso afirmativo, desenvolver 
métodos para encontrá-las. Infelizmente, para uma função arbitrária f, não 
(1) 
dt
dy
 = f(t, y) 
 
 
(11) E.I.
4
4
dx
yd
 = w(x) 
 
 
 
59 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
existe nenhum método geral para resolver a equação em termos de funções 
elementares. Desta forma, vamos descrever alguns métodos, cada um dos 
quais se aplica a certa subclasse das equações diferenciais de primeira ordem. 
As subclasses mais importantes são as das equações lineares e das equações 
separáveis. 
 
 
Figura 30: As principais subclasses de equações de primeira ordem. 
 
1.7.1 Equações Lineares 
 
 Se a função f da Equação (1) depende linearmente da variável dependente y 
(f(t,y) = a.y + b), então podemos escrever a Equação 01 na forma: 
 
 
 
 
 
Sendo denominada equação diferencial linear de primeira ordem. 
 
 Vamos supor sem perda de generalidade que p(t) e g(t) sejam 
duas funções conhecidas e contínuas num certo I = (
,
) (
t
). 
 Por exemplo: 
 
Subclasses mais 
importantes de 
EDO's de 
primeira ordem
Equações 
Lineares
Equações 
Separáveis
(2) 
dt
dy
+ p(t).y = g(t) 
 
 
 
60 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
 
 
 
é uma equação linear particularmente simples, com as funções p(t) = 
2
1
 e g(t) 
= 
2
3
, ambas funções constantes. 
 Vamos resolver a Equação (3), i.e., queremos resolver 
 
dt
dy
+ 
2
1
.y = 
2
3
. 
 
 Inicialmente, notemos que a Equação 03 pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 Daí, 
 
2
1
3y
dt
dy
, (passamos y – 3 dividindo, já que y 3) 
 
 Agora, notemos que o primeiro membro da Equação acima 
representa a derivada de ln |y – 3| (basta usarmos a Regra da Cadeia para 
Derivação), logo podemos escrever: 
 
dt
d
(ln |y – 3| ) = 
2
1
 
 
Então, se integrarmos a relação acima, vamos obter: 
 
(3) 
dt
dy
+ 
2
1
.y = 
2
3
 
 
(4) 
dt
dy
 = – 
2
3y
, se y 3.61 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
ln |y – 3| = 
2
t
 + C, 
 
Onde C é uma constante arbitrária. Portanto, aplicando a função exponencial 
a ambos os membros, obtemos 
|y – 3| = e C .e 2t 
 
 E então, podemos escrever: 
y = 3 e C .e 2t 
 
 E fazendo C = e C , temos que: 
 
 
 
 
 Observemos que C = eC é uma constante arbitrária não nula, 
porém se deixarmos C assumir o valor zero então a solução constante y = 3 
também está contida na Equação (5). 
 A equação mais geral de primeira ordem com coeficientes 
constantes pode ser escrita como: 
 
 
 
 
Onde r e k são constantes, pode ser encarada da mesma forma do 
procedimento que utilizamos anteriormente. Se r 0 e se y
r
k
, podemos 
escrever a Equação (6) na forma: 
 
r
rky
dt
dy
)/(
 
(5) y = 3 C. e 2t 
 
(6) 
dt
dy
 = r.y + k, 
 
 
 
62 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
E com raciocínio análogo, obtemos que: 
 
 
 
 
Onde C = e C . 
 
 Este raciocínio que utilizamos acima nos auxiliará no 
desenvolvimento da metodologia do primeiro método de resolução de 
equações diferenciais de primeira ordem que apresentaremos na próxima 
seção, o chamado Método dos Fatores Integrantes. 
 
1.7.2 Resolução de Equações Diferenciais de Primeira 
Ordem: O Método dos Fatores Integrantes 
 
 Olhando, novamente para a solução da Equação (6), podemos encontrar uma 
chave que nos revela um método de resolução de equações lineares de 
primeira ordem mais gerais. Intuitivamente, escrevemos a Equação (7) na 
forma: 
 
 
 
 
 
Ou seja, multiplicamos ambos os membros de cada lado da Equação (7) por e
tr. . Em seguida, derivando os dois membros da Equação (8) com relação a t, 
vem que: 
y'. e tr. – y.r. e tr. = 
r
k
.(– r). e tr. + 0 
Ou ainda, 
 
 
(7) y = 
r
k
 + C.e tr. 
 
(8) y.e tr. = 
r
k
. e tr. + C 
 
 
 
63 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
 
 
 Que em verdade, é equivalente à Equação Diferencial: 
 
 
 
 
 
Observemos que agora podemos resolver à Equação (6) invertendo os passos 
precedentes. Transpondo o termo r.y para o lado esquerdo da Equação e 
multiplicando por e tr. obtemos à Equação (9). Note que o lado esquerdo da 
Equação (9) nada mais é do que a derivada do produto (y. e tr. ), de modo que 
à Equação se torna: 
 
 
 
 
 
 Finalmente, integrando os dois membros de (10) com relação a t, 
obtemos à Equação (8) e, portanto a solução (7). Em outras palavras, uma 
forma de resolver à Equação (6) consiste em primeiro multiplicá-la pela 
função e tr. . Como esta multiplicação deixa à Equação em uma forma que é 
imediatamente integrável, a função e tr. é denominada de Fator Integrante 
da Equação (6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Para que este método seja eficaz para outras equações, 
precisamos ser capazes de calcular o fator integrante diretamente 
a partir da equação diferencial a ser resolvida. 
 
(9) (y’ – y.r). e tr. = k. e tr. 
 
(6) 
dt
dy
 = r.y + k, 
 
(10) (y. e tr. )’ = k. e tr. 
 
 
 
64 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
Figura 31: A vantagem do método dos fatores integrantes. 
 
 Vamos agora, trabalhar com esta questão levando em 
consideração à Equação geral (2), que é: 
 
 
 
 
 
Em verdade, o nosso objetivo é multiplicar esta equação por um fator 
integrante apropriado e desta forma deixá-la em uma forma diretamente 
integrável (em outras palavras, significa trabalharmos a equação com 
integrais conhecidas e bem simples). Para determinarmos este fator 
integrante, inicialmente multiplicamos à Equação (2) por uma função (t), 
ainda indeterminada (ou seja, a priori desconhecida). Desta forma, temos 
então: 
 
 
 
 
 
 Grosso modo, queremos reconhecer o lado esquerdo da Equação 
(11) como a derivada de alguma função. O fato de que existem dois termos e, 
um dos termos é (t).y’ nos sugere que o lado esquerdo da Equação (11) 
(2) 
dt
dy
+ p(t).y = g(t) 
 
(11) (t).y’ + (t).p(t).y = (t).g(t) 
 
 
 
65 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
possa ser a derivada do produto ( (t).y). Para que isto seja verdade, o 
segundo termo do lado esquerdo da Equação (11), (t).p(t).y, deve ser igual 
a ’(t).y. Ou seja, isto significa que (t) deve satisfazer à Equação 
diferencial: 
 
 
 
 
 
 Vamos admitir, por enquanto ou de forma temporária, que a 
função (t) seja positiva, sendo assim, podemos reescrever à Equação (12), 
da seguinte forma: 
)(
)('
t
t
 = p(t) 
Ou ainda, 
 
 
 
 
 
 
 Então, integrando ambos os membros, com relação a t, segue que: 
 
 
 
 
 
 
 Pela escolha conveniente da constante C arbitrária como sendo 
zero, i.e., C = 0, conseguimos ter a função mais simples possível, ou seja, 
obtemos a relação: 
 
(12) ’(t) = (t).p(t) 
 
(13) 
dt
d
[ln( (t))] = p(t) 
 
 
(14) ln ( (t)) = 
dttp )(
 + C 
 
 
 
 
66 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
 
 
 
 
 Notemos que a função (t) é positiva para todos os valores de t 
(já que se trata de uma exponencial) conforme havíamos colocado 
anteriormente (ou seja, com relação à suposição feita anteriormente). 
 Depois de determinarmos o fator integrante (t), voltamos à 
Equação (2) e multiplicamos a mesma por (t), obtendo assim à Equação 
(11). Como (t) satisfaz à Equação (12), à Equação (11) se reduz a: 
 
 
 
 
 
Integrando ambos os membros da Equação (16), obtemos a igualdade: 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 Sendo assim, uma vez que y representa qualquer solução da 
Equação (2), concluímos que toda solução da Equação (2) está incluída no 
segundo membro da Equação (18). Portanto, esta expressão é uma solução 
geral da Equação (2). Note que para encontrarmos a solução dada pela 
(15) (t) = exp
dttp )(
 
 
 
(16) [ ’(t).y] = (t).g(t) 
 
 
(17) (t).y = 
dttgt ).().(
 + C 
 
 
(18) y = 
)(
)().(
t
Cdttgt 
 
 
 
 
67 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
Equação (18) são necessárias duas integrações, uma para ter o fator 
integrante (t) pela Equação (15) e outra para determinar y na Equação (18). 
A interpretação geométrica da Equação (18) é a de uma família infinita de 
curvas, uma para cada valor da constante C. Estas curvas são as curvas 
integrais da equação diferencial. Muitas vezes é necessário e importante 
selecionarmos um membro particular da família de curvas integrais, o que 
fazemos pela identificação de um ponto particular (t
0
, y
0
) contido no gráfico 
da solução. Esta exigência se escreve, usualmente, como: 
 
 
 
 
 
E é conhecida como uma condição inicial. Desta forma, como comentado 
anteriormente de forma rápida definimos em termos específicos o Problema 
de Valor Inicial (P.V.I) como segue. 
 
Definição: (Problema de Valor Inicial) Uma equação diferencial de 
primeira ordem, como à Equação (1) ou à Equação (2), e uma condição 
inicial como à Equação (19), constituem, em conjunto, um Problema de 
Valor Inicial (P.V.I). 
 Resumindo, para aplicarmos o