AULAS CALCULO 1

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 1 
Apresentação. Conceituação de Derivadas. Derivadas de Ordem Superior. Regra da Cadeia 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá: 
 Conhecer o Plano de Ensino e o Mapa Conceitual, reconhecendo a importância da 
disciplina; 
 Identificar as Regras Básicas de Derivação; 
 Aprender a Derivação de Ordem Superior; 
 Compreender as aplicações práticas da Derivada como Taxa de Variação, dentre 
outras 
 
Estrutura de Conteúdo 
Apresentação do docente, do Plano de Ensino e do Plano de Aula, os Critérios de Avaliação, 
a Bibliografia Básica e Complementar. Revisão das Regras Básicas de Derivação Derivada 
de uma Constante, de Potência, de Soma, da Diferença, do Produto e do Quociente Derivadas 
de Ordem Superior. Regra da Cadeia. 
 
As derivadas de funções são o objeto fundamental no estudo do cálculo. Vários são os tipos 
de funções que podem ser usadas para modelar relações observadas no mundo real e o 
conceito da derivada nos explica como podemos calcular uma taxa média de variação, a 
velocidade de um móvel, sua aceleração além de outros fenômenos físicos. 
Unidade I. DERIVADAS 
1.1 Conceituação de Derivadas 
1.2 Regras Básicas de Derivação 
1.3 Derivadas de ordem superior 
 
 DERIVADA: CONCEITUAÇÃO 
 
Inúmeros são os exemplos nos quais observamos a necessidade do cálculo de taxas de 
variação: taxa de velocidade de um corpo em movimento, taxa de crescimento de certa 
população, taxa de crescimento econômico de um país, taxa de mortalidade infantil, taxa de 
variação de temperatura, dentre outros. O conceito de derivada está relacionado à taxa de 
variação instantânea de uma função. 
 
TAXAS DE VARIAÇÃO 
 
Podemos citar vários tipos de taxas de variação em diversas áreas de interesse 
 
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(i) física - A velocidade de uma partícula é a taxa de variação do deslocamento em 
relação ao tempo. Potência é a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo. 
(ii) química – Taxa de reação é a taxa de variação da concentração de um reagente em 
relação ao tempo. 
(iii) siderurgia – Custo marginal é a taxa de variação do custo de produção de x toneladas 
de aço por dia em relação a x. 
(iv) biologia – Taxa de variação populacional de uma colônia de bactérias no tempo 
 
VELOCIDADE DE UM AUTOMÓVEL 
 
Suponha um objeto se movendo sobre uma linha reta de acordo com a equação s=f(t), 
onde s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. Dessa forma, a função f, 
chamada função posição, descreve o movimento do objeto. 
A velocidade média no intervalo de tempo entre t e t+h é calculada: 
h
tfhtf
tempo
todeslocamen
mediavelocidadevmedia
)()( 

 
 
 
 
 
Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores, em 
outras palavras, façamos com que h tenda a zero. Este raciocínio os fornecerá a velocidade 
instantânea do objeto. 
 
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA GERAL 
 
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade. Dizemos, portanto que 
y é uma função de x e escrevemos y=f(x). 
Se x varia de x1 para x2 , a variação de x (incremento de x ) é ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1. 
A variação correspondente de y é ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 
 
A razão 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
 
 
É chamada de taxa de variação média de y em relação a x quando x varia de x1 para x2 . 
 
 
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Já que ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 ⇒ 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 podemos escrever: 
 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
Se y=f(x) definiremos de taxa de variação instantânea de y em relação a x no instante em 
que x=x1 como: 
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
 
Observação: Para calcular a taxa de variação média, nesse caso, você poderia 
simplesmente substituir os valores na função volume. 
 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
=
𝑓(2,01) − 𝑓(2)
0,01
=
2,013 − 23
0,01
= 12 
 
 
 
PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO DA DERIVADA 
 
O conceito de derivada está relacionado também com o conceito de tangência. Do ponto de 
vista geométrico, a derivada é a reta tangente à uma curva em um ponto dado desta curva, 
enquanto que do ponto de vista trigonométrico, a derivada é igual à tangente do ângulo que 
essa reta faz com o eixo dos x. 
 
 
COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A UM GRÁFICO EM UM 
PONTO 
 
Suponha que queremos calcular a reta tangente ao gráfico de uma função f em 
),( 11 yxP 
 
com 
)( 11 xfy 
. Observe que a reta tangente é a linha reta que contém P e “melhor 
aproxima” o gráfico de f nas vizinhanças de P. 
 
 
Para determinarmos a equação da reta tangente necessitamos de um ponto (já temos P) e do 
coeficiente angular da reta. 
 
 
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Consideremos um ponto vizinho a P, também pertencente a f, 𝑄 = (𝑥1 + ∆𝑥, 𝑦1 + ∆𝑦) =
(𝑥1 + ∆𝑥, 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥)). 
O coeficiente angular da reta secante PQ será 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
Fazemos então Q se aproximar de P cada vez mais. Note que se 
0x
 o ponto Q 
coincide com o ponto P, e, portanto, a reta secante tenderá a reta tangente. Em outras 
palavras, a reta tangente é a posição limite da reta secante PQ quando Q tende a P. 
 
 
 
A inclinação da tangente será, portanto, 
 
𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
 
Seja f função definida pelo menos em algum intervalo contendo o número x1 e seja𝑦1 =
𝑓(𝑥1) . Se o limite 𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 existe, diremos que a linha reta 
no plano xy contendo o ponto 
1 1( , )x y
 e tendo coeficiente angular m é a reta tangente ao 
gráfico de f em (𝑥1, 𝑦1) . 
 
 
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
A derivada de uma função em um número x1 , denotado por f’(x1) é 
𝑓´(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
se o limite existe. 
 
Observação: A reta tangente a y=f(x) em (x1,f(x1)) é a reta que passa por (x1,f(x1)) e tem 
inclinação igual a f’(x1) , que é a derivada de f em x1. 
 
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Dada uma função f, a função f’ definida por 
1 1
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
f x x f xy
f x
x x   
 
  
 
 
é chamada a derivada de f. 
 
Notações: 
)()()()( xfDxDfxf
dx
d
dx
df
dx
dy
yxf x
 
 
DIFERENCIAÇÃO 
 
Diferenciação é o processo de cálculo de uma derivada. 
 
Observação: Os símbolos D e d/dx são ditos operadores diferenciais, uma vez que 
indicam a operação de diferenciação. 
 
Uma função f é diferenciável em a se f’(a) existir. É diferenciável em um intervalo aberto 
(a,b) ( ou (a,) ou (-,a) ou (-,)) se for diferenciável em cada número do intervalo. 
 
 
Derivada à esquerda e à direita 
Derivada à esquerda: 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(
0
 
Derivada à direita: 
x
xfxxf
xf
x 




)()(
lim)(
0
 
 
 
Teorema: Se f for diferenciável em a, então f é continua em a. 
A recíproca do teorema não é verdadeira. Existem funções que são contínuas, mas não são 
diferenciáveis. 
 
 
Exemplo: 
xxf )(
 é uma função contínua em 0, mas não é diferenciável. 
 
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De fato, 






0
0
)(
xsex
xsex
xf
 
Temos então que determinar 
1 1
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
f x x f xy
f x
x x   
 
  
 
. 
Calculando o limite a esquerda e a direita: 
11limlim
)()(
lim
)()(
lim)(
0000










 

xxxx x
x
x
xxx
x
xfxxf
xf
 
 
11limlim
)()(
lim
)()(
lim)(
0000










 

xxxx x
x
x
xxx
x
xfxxf
xf
 
 
O limite, portanto, não existe, já que o limite à direita é diferente do limite à esquerda. 
Assim, a função não é diferenciável. 
 
 
Como uma função pode não ser diferenciável? 
(i) Em geral se o gráfico de uma função tiver uma “quina” ou uma “dobra”, este gráfico não 
terá tangente neste ponto e, portanto, f não será diferenciável ali. O que ocorre é que ao 
calcularmos f’(a) descobriremos que o limite à direita será diferente do limite à esquerda. 
(ii) Pelo teorema acima, se f for descontínua em a, f não será diferenciável em a. 
(iii) Quando a curva tem uma reta tangente vertical em x=a. 
 
 
 
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 (i) (ii) (iii) 
 
 
REGRAS BÁSICAS 
 
1) Regra da constante 
 
A derivada da função constante é zero, ou seja, 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑐, ∀𝑥, onde c é uma constante, então, 𝑓´(𝑥) = 0 
Outras notações: 
0xD c 
 ou 
0
d
c
dx

 
Exemplo: f(x)= 5 . f´(x) = 0 
 
 
2) Regra da identidade 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 , então, 𝑓´(𝑥) = 1 
Outras notações: 
1xD x 
 ou 
1
d
x
dx

 
 
3) Regra da potência 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, com n inteiro positivo, então, 𝑓´(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 
Outras notações: 
1n n
xD x nx

 ou 
1n nd x nx
dx

 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 𝑥21 
𝑓´(𝑥) = 21𝑥20 
 
4) Regra da Homogeneidade 
 
Se temos uma função f, uma constante c e uma função 𝑔(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) , então, se 𝑓´(𝑥) 
existe, temos que 𝑔´(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓´(𝑥). 
Outras notações: 
x xD cu cD u
 ou 
d du
cu c
dx dx
 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 10𝑥5 
𝑓´(𝑥) = 10 ∙ (𝑥5)´ 
𝑓´(𝑥) = 10 ∙ 5(𝑥4) 
𝑓´(𝑥) = 50𝑥4 
 
 
5) Regra da soma 
Se temos duas funções f e g e outra função h definida por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), então se f´(x) 
e g´(x) existirem, temos que ℎ´(𝑥) = 𝑓´(𝑥) + 𝑔´(𝑥) 
 
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Outras notações: 
( )x x xD u v D u D v  
 ou 
( )
d du dv
u v
dx dx dx
   
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥7 
𝑓´(𝑥) = 3 ∙ 5𝑥4 + 2 ∙ 7𝑥6 
𝑓´(𝑥) = 15𝑥4 + 14𝑥6 
 
 
5) Regra do Produto ( Leibnitz ) 
 
Se temos duas funções f e g e uma outra função definida por por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥), então se 
f´(x) e g´(x) existirem, temos que 
 
ℎ´(𝑥) = 𝑓´(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔´(𝑥) 
 
Outras notações: 
( )x x xD uv D u v u D v   
 ou 
( )
d du dv
u v v u
dx dx dx
   
 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37) 
𝑓´(𝑥)
= (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)´(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37) + (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37)´ 
𝑓´(𝑥) = (14𝑥6 + 6𝑥)(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37) + (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)(15𝑥2 + 8𝑥 + 10) 
 
A partir daí você pode efetuar as multiplicações e reduzir os termos semelhantes. 
 
 
6) Regra do Quociente 
 
Se temos duas funções f e g, 𝑔(𝑥) ≠ 0 e uma outra função definida por por ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, então 
se f´(x) e g´(x) existirem, temos que 
ℎ´(𝑥) =
𝑓´(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔´(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
Outras notações: 
2
( ) x xx
D u v u D vu
D
v v
  

 ou 
2
( )
du dv
v u
d dx dxu v
dx v

 
 
 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) =
𝑥5 + 3𝑥
2𝑥3 + 10
 
𝑓´(𝑥) =
(𝑥5 + 3𝑥)´(2𝑥3 + 10) − (𝑥5 + 3𝑥)(2𝑥3 + 10)´
(2𝑥3 + 10)2
 
 
 
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𝑓´(𝑥) =
(5𝑥4 + 3)(2𝑥3 + 10) − (𝑥5 + 3𝑥)(6𝑥2)
(2𝑥3 + 10)2
 
 
A partir daí você pode efetuar as multiplicações e reduzir os termos semelhantes. 
 
 
 
REGRA DA CADEIA 
 
Suponha que queiramos diferenciar a função 𝑦 = (𝑥2 + 5𝑥)3. Ou seja, queremos determinar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 . Podemos expandir, ou seja, elevar a terceira potência utilizando produtos notáveis e 
diferenciar. Mas observe que, em muitos casos, isso será impraticável, dependendo do 
expoente. Isso acontece porque estamos lidando com uma função composta. 
 
A regra da cadeia é uma regra de derivação que nos permite calcular a derivada de uma 
composição de funções. 
(𝑓𝑜𝑔)´(𝑥) = 𝑓´(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔´(𝑥) 
 
Utilizando a notação de Leibniz, esse resultado pode ser escrito como: 
 
Se y é uma função de u e se u é uma função diferenciável de x então y é uma função 
diferenciável de x e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
 
Exemplo: Determine a derivada de 𝑦 = (2𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑥 + 10)3 
Primeiramente, derivamos a “função potência de 3”, a seguir, derivamos o que está dentro 
do parêntesis. 
𝑦´ = 3(2𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑥 + 10)2(6𝑥2 + 10𝑥 + 1) 
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
 
 
Exemplo: Encontre todas as derivadas de ordem superior da função polinomial. 
𝑓(𝑥) = 10𝑥5 − 2𝑥4 + 5𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 + 50 
 
 
𝑓´(𝑥) = 50𝑥4 − 8𝑥3 + 15𝑥2 − 2𝑥 + 2 
𝑓´´(𝑥) = 200𝑥3 − 24𝑥2 + 30𝑥 − 2 
𝑓´´´(𝑥) = 600𝑥2 − 48𝑥 + 30 
𝑓𝑖𝑣(𝑥) = 1.200𝑥 − 48 
𝑓𝑣(𝑥) = 1.200 
 
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𝑓𝑣𝑖(𝑥) = 0 
 
Notações: 
 
Derivada primeira: 𝑦´ = 𝑓´(𝑥) 
Notação de Leibniz: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) 
 
Segunda derivada: (𝑦´)´ = 𝑦´´ = 𝑓´´ (𝑥) 
Notação de Leibniz: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑑2
𝑑𝑥2
𝑓(𝑥) 
 
N-ésima derivada: (𝑦(𝑛−1))´ = 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑛)(𝑥) 
Notação de Leibniz: 
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
=
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑓(𝑥) 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
 
1. Determine a derivada da função 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine a derivada da função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xx
xf
255
)(
5

15
5
255
255
)(   xx
xx
xf
26
26 25252525)´(
xx
xxxf 

 
23
12
)(
2
2



xx
xx
xf
   
22
2222
)23(
)´23(12)23´(12
)´(



xx
xxxxxxxx
xf
   
22
22
)23(
)32(12)23(14
)´(



xx
xxxxxx
xf
22
223223
)23(
)323264()238124(
)´(



xx
xxxxxxxxxx
xf
22
2
)23(
567
)´(



xx
xx
xf
 
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3. Suponha 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 . Calculando ataxa de variação média de y em relação a x 
quando se varia de x1=3 para x2 =3,5 e a taxa de variação instantânea de y em relação a x no 
instante em que x=x1=3, obtemos respectivamente: 
 
(a) 7 e 7,5 (b) 4 e 4,5 (c) 9 e 9,5 (d) 5 e 5,5 (e) 8 e 8,5 
 
Gabarito: 7 e 7,5 
 
4. Determinando a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2, utilizando a definição por limite, 
obtemos: 
 
(a) 2x+1 (b) 2x (c) x (d) x2 (e) 2x2 
 
Resposta: (b) 2x 
 
5. Determinando a derivada da função 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 10𝑥)(3𝑥4 − 10), obtemos: 
(a) 24𝑥4 + 120𝑥3 
(b) 2𝑥2 + 10𝑥 + 3𝑥5 
(c) 2𝑥 + 10 + 12𝑥3 
(d) 18𝑥5 + 150𝑥4 − 10𝑥2 − 110𝑥 − 100 
(e) 3𝑥5 + 15𝑥4 − 10𝑥2 − 110𝑥 
Gabarito (d) 18𝑥5 + 150𝑥4 − 20𝑥 − 100 
 
6. Determinando a derivada da função 𝑓(𝑥) =
3𝑥+10
𝑥−5
, obtemos 
(a) 3 
(b) 3𝑥2 + 10𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥 
(c) 5𝑥 + 5 
(d) 
10𝑥+5
𝑥2−10𝑥+25
 
(e) 
10𝑥+5
𝑥2−10
 
Gabarito: (d) 
−25
𝑥2−10𝑥+25
 
 
 
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Semana Aula: 2 
Derivadas de Funções Trigonométricas, de Funções Trigonométricas Inversas, de Funções 
Exponenciais e de Funções Logarítmicas 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá: 
 saber calcular, através das fórmulas, as derivadas das Funções Trigonométricas, de 
Funções Trigonométricas Inversas, de Funções Exponenciais e de Funções 
Logarítmicas; 
 reconhecer as funções algébricas e as funções transcendentes. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade I DERIVADAS 
1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas 
1.6 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
1.7 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
 
 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
𝑑
𝑑𝑥
𝑙𝑛𝑥 =
1
𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 =
1
𝑥𝑙𝑛𝑎
 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑥 = 𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎 
 
Exemplo: Derive a função 𝑦 = ln (3𝑥2 + 𝑥) 
Derivamos a função log neperiano e depois derivamos a função polinomial. 
𝑦´ =
1
3𝑥2 + 𝑥
(6𝑥 + 1) 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
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𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑡𝑔𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Determine a derivada da função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(5𝑥3) 
Precisamos derivar a função seno e depois derivar a função que está no argumento do seno. 
Observe que o argumento não se modifica!!! 
 
𝑦´ = cos (5𝑥3) ∙ (15𝑥2) 
 
2. Determine a derivada da função 
 
 
 
 
𝑓´(𝑥) =
1
2
(𝑥2 + 𝑥 + 1)−
1
2(2𝑥 + 1) =
2𝑥 + 1
2√𝑥2 + 𝑥 + 1
 
 
 
3. Determine a derivada da função 
 
𝑓´(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ (𝑐𝑜𝑠𝑥) 
 
 
4. Determine a derivada da função 
 
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥3 + 𝑥2(𝑐𝑜𝑠𝑥3)3𝑥2 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥3 + 3𝑥4(𝑐𝑜𝑠𝑥3) 
 
5. Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = 5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
(a)𝑓´(𝑥) = (𝑙𝑛5)5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 + 5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
(b) 𝑓´(𝑥) = (𝑙𝑛5)5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
(c) 𝑓´(𝑥) = 5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 + 5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
(d) 𝑓´(𝑥) = (𝑙𝑛5)5𝑥𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥 
( ) senxf x e
1)( 2  xxxf
32)( senxxxf 
 2
1
22 11)(  xxxxxf
 
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Gabarito: (a)𝑓´(𝑥) = (𝑙𝑛5)5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 + 5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
6. Determine a derivada da função 
 
(a) 𝑓´(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)−(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑐𝑜𝑠25𝑥
 
(b) 𝑓´(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)+(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑐𝑜𝑠25𝑥
 
(c)𝑓´(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑐𝑜𝑠5𝑥)+(𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑐𝑜𝑠25𝑥
 
(d) 𝑓´(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑐𝑜𝑠5𝑥)−5(𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑐𝑜𝑠25𝑥
 
Gabarito: (d) 𝑓´(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑐𝑜𝑠5𝑥)−5(𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑐𝑜𝑠25𝑥
 
 
Exercícios de Aprofundamento 
 
1. Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação: 
 
 
 
2. Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas. 
x
senx
xf
5cos
)( 
 
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3. Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
a) y = 3x4 – 2x; n = 5 
b) y = 1/ex; n = 4 
 
4. Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado: 
643)()
5
5
935
)()
2
1
)()
04965)()
04)()
23)()
13)()
332)()
4)()
0
2
02
2
0
0
234
0
2
0
2
0
0
0
2












xparaxxxfi
xpara
x
xx
xfh
xpara
x
xfg
xparaxxxxxff
xparaxxfe
xparaxxxfd
xparaxxfc
xparaxxfb
xparaxxfa
 
 
5. Determine a derivada das funções dadas 
 
 
 
 
6. Determine a derivada das funções dadas 
 
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7. Determine a derivada das funções dadas 
 
 
 
 
 
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Semana Aula: 3 
Derivação Implícita, Equação da Reta Tangente e Normal 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá estar apto a 
 Realizar derivação implícita e determinar, através do uso da derivada, as equações 
das retas tangentes e normal à uma curva, em determinado ponto de interesse. 
 
Estrutura de Conteúdo 
 
Unidade I. DERIVADAS 
1.8 Derivação Implícita 
1.9 Equação de reta tangente e normal 
 
DIFERENCIAÇÃO IMPLICITA 
 
FUNÇÕES IMPLÍCITAS 
Considere y como uma função de x definida pela equação 𝑦 = 2𝑥3 + 7𝑥 − 5 
Dizemos que, nesse caso, y é definida explicitamente em termos de x e escrevemos 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
onde 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 7𝑥 − 5 . 
 
Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), dizemos que y é uma função 
explícita de x, porque podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da 
função do outro. 
 
No entanto, nem todas as funções estão definidas de forma explicita. Na verdade, nem sempre 
isso é possível ou mesmo conveniente. 
Observe o exemplo: 𝑥𝑦 + 3 = 3𝑥 − 4𝑦. 
Note que y não está expresso em função de x. Neste caso dizemos que y é definida 
implicitamente pela equação. 
 
Em alguns casos é possível expressar o valor de y de forma explicita em função de x, e, a 
partir daí, podemos diferenciá-la utilizando as regras de derivação já nossas conhecidas. 
 
Nem sempre é fácil resolver uma equação para y explicitamente como uma função de x. 
Como então derivar uma função que é difícil de ser explicitada? 
 
Podemos usar o Método da Diferenciação Implícita. Este método consiste em diferenciar 
ambos os lados da equação em relação a x e então resolver a equação resultante. 
 
 
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PROCESSO PARA DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA 
 
Considere uma equação na qual y está definido de forma implícita. Podemos determinar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
por intermédio do seguinte processo: 
 
1. Diferenciamos ambos os membros da equação em relação a x. Lembre-se que y deve 
encarado como uma função de x e, por isso, devemos usar a regra da cadeia quando for 
necessário paradiferenciar as expressões nas quais aparecem y. 
 
2. Obteremos então uma equação onde aparecem, não somente x e y, mas também 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 . 
Isolamos então a derivada 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
 
Exemplo: Dado 𝑥2 + 𝑦2 = 36. Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2 + 𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥
(36) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) = 0 
2𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) = 0 
2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑥
2𝑦
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
 
 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 
 
A derivada de uma função f em um ponto a nos fornece a inclinação da reta tangente ao 
gráfico de f no ponto (a, f(a)). Essa interpretação geométrica da derivada é muito importante no 
que diz respeito à aproximação de funções, que veremos nas próximas aulas. 
 
 
 
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COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A UM GRÁFICO EM UM 
PONTO. 
 
Queremos determinar a reta tangente ao gráfico de uma função f em 
),( 11 yxP 
 com 
)( 11 xfy 
 
 
Observe que a reta tangente é a linha reta que contém P e “melhor aproxima” o gráfico de f 
nas vizinhanças de P. 
 
 
 
Para determinarmos a equação da reta tangente necessitamos de um ponto e do coeficiente 
angular da reta. 
 
OBS: Equação da reta que passa por P(x0,y0) e tem coeficiente angular m: 
(y-y0)=m(x-x0) 
 
 
Já temos o ponto P pertencente à reta, nos falta agora determinar o coeficiente angular. 
 
 
 
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Consideremos um ponto vizinho a P, também pertencente a f, 
))(,(),( 1111 xxfxxyyxxQ 
. O coeficiente angular da reta secante PQ 
será 
1 1( ) ( )f x x f xy
x x
 

 
 
Fazemos então Q se aproximar de P cada vez mais. Note que se 
0x
 o ponto Q 
coincide com o ponto P, e, portanto, a reta secante tenderá a reta tangente. Em outras 
palavras, a reta tangente é a posição limite da reta secante PQ quando Q tende a P. 
 
 
 
 
 
A inclinação da tangente será, portanto, 
1 1
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
f x x f xy
m
x x   
 
 
 
 
 
RETA TANGENTE AO GRÁFICO 
 
Seja f função definida pelo menos em algum intervalo contendo o número x1 e seja 
1 1( )y f x
. Se o limite 
1 1
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
f x x f xy
m
x x   
 
 
 
 existe, diremos que a linha 
 
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reta no plano xy contendo o ponto 
1 1( , )x y
 e tendo coeficiente angular m é a reta tangente ao 
gráfico de f em 
1 1( , )x y
. 
 
Bem, agora que conhecemos o ponto pertencente a reta, e o seu coeficiente angular, 
podemos determinar a equação da reta tangente 
 
 
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE 
 
Suponha f diferenciável em x1, f’(x1) coeficiente angular da tangente ao gráfico f no ponto 
1 1( , )x y
 ou ainda 
1 1( , ( ))x f x
 
A equação da tangente na forma ponto- coeficiente angular é 
1 1 1( )( )y y f x x x  
 
 
EQUAÇÃO DA RETA NORMAL 
 
A reta normal ao gráfico de f no ponto 
1 1( , )x y
é definida como sendo a linha reta através de 
1 1( , )x y
 que é perpendicular à reta tangente em 
1 1( , )x y
. 
 
 
Coeficiente angular da reta normal: 
1
1
( )f x


 
Equação da reta normal: 
1 1
1
1
( )
( )
y y x x
f x

  

 
 
Exemplo: Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x2 no ponto P(2,4). 
 
 
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Sabemos que a reta tangente ao gráfico de f(x)=x2 no ponto P(2,4) passa P(2,4). O que nos 
resta é determinar a inclinação desta reta. Precisamos encontrar o coeficiente angular da 
reta. Basta que encontremos a derivada no ponto P(2,4). 
f´(x) = 2x 
f´(2) = 4 
Assim, o coeficiente angular da reta tangente no ponto P(2,4) é m= 4. 
A reta que passa por P(2,4) e tem coeficiente angular m=4 é: 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 4 = 4(𝑥 − 2) 
𝑦 = 4𝑥 − 8 + 4 
𝑦 = 4𝑥 − 4 
 
 
Exemplo: Determinar a equação da reta normal ao gráfico de f(x)=x2 no ponto P(2,4). 
 A reta normal ao gráfico é perpendicular a reta tangente. Assim, o produto dos 
coeficientes angulares dessas duas retas perpendiculares é -1. 
mr . ms = -1 ou ainda, mr=-1/ms 
 
Como o coeficiente angular da reta tangente é 4, temos que o coeficiente angular da reta 
normal será -1/4. A reta normal também passará pelo ponto P(2,4). 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 4 = −
1
4
(𝑥 − 2) 
𝑦 = −
𝑥
4
+
1
2
+ 4 
𝑦 = −
𝑥
4
+
9
2
 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Determine a derivada 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 da função 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 30, utilizando o processo de 
diferenciação implícita. 
 
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𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥
(30) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑦) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥
(30) 
2𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑦) + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑦) + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 
𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 
 
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 − 𝑦 
(𝑥 + 2𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 − 𝑦 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2𝑥 − 𝑦
𝑥 + 2𝑦
 
 
2. Determine a derivada 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 da função 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 = 50, utilizando o processo de 
diferenciação implícita. 
 
(a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑦−2𝑥
1−3𝑥
 
(b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1−3𝑥
3𝑦−2𝑥
 
(c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3 + 1 
(d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3𝑦 
 
Gabarito (a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑦−2𝑥
1−3𝑥
 
 
 
3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑦 = √𝑥
3
, no ponto P(8,2). 
 
 
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(a) y=(1/12)(x+16) 
(b) y=x+16 
(c) y=(1/12)(x+8) 
(d) y=x+16/3 
(e) y=12x+16 
 
Gabarito: (a) y=(1/12)(x+16) 
 
 
 
Exercícios de Aprofundamento 
 
1. Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada no ponto 
indicado. 
(a)
)1,2(72)( 2 emxxf 
 
(b)
)3,1(1)( 2 emxxxf 
 
(c) 
)2,8()( 3 emxxf 
 
 
2. Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com a lei de movimento 
s=f(t). Ache 
dt
ds
v 
 e 
dt
dv
a 
 
(a) 
23 2tts 
 
(b) 
  12 1  ts
 
(c) 
345 2  tts
 
(d) 
42  tts
 
(e) s=
2
3
2
5
3
2
2
5
tt 
 
(f) 
00
2
2
1
stvgts 
 onde g, v0 e s0 são constantes 
 
 
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3. Determine a primeira e a segunda derivadas das funções: 
(a) 
245)( 5  xxxf
 
(b) 
 7)( 22  xxxf
 
(c) 
9237)( 25  xxxxf
 
(d) 
 23 2)(  xxxf
 
 
4. Nos problemas a seguir determine 
dx
dy
com o emprego da diferenciação implícita. 
1- 
3649 22  yx
 
2- 
23422  yxxy
 
3- 
7222  xxyyx
 
4- 
5332  yxxy
 
5- 
33 22  yxyx
 
6- 
2233 42 yxyxy 
 
7- 
13
2
3
2
 yx
 
8- 
02  yxyx
 
 
9- 
54  xyyx
 
10- 
9 yx
 
11- 
16 xyyx
 
12- 
  2514 33  yx
 
 
5. Suponha que x e y satisfaçam a equação dada. 
a) Determine 
dx
dy
 
b) Diferencie ambos os lados no resultado da equação acima e determine 
2
2
dx
yd
 
c) Utilize (a) e (b) de forma a determinar 
2
2
dx
yd
 independente de 
dx
dy
. 
1- 
422  yx
 2- 
1633  yx
 3- 
6444  yx
 
 
 
 
 
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Semana Aula: 4 
Aplicação de Derivadas, Taxas Relacionadas, Máximos e Mínimos 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá: 
 Calcular a taxa segundo a qual certa quantidade está variando em relação a outras 
cujas taxas são conhecidas. 
 Utilizar o Cálculo como ferramenta para analisar o comportamento de uma função 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade II APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
2.1 Taxas Relacionadas 
2.2 Máximos e Mínimos, traçado de curvas 
 
TAXAS RELACIONADAS 
 
Já vimos que se uma variável u é função da variável x, a taxa de variação instantânea de u, 
em relação a x, é a derivada 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
. 
 
Existem problemas que envolvem taxas de variação de variáveis que são relacionadas. 
Estes problemas são conhecidos como problema de taxas relacionadas. 
Assim, se uma variável x é função do tempo t , x(t), a taxa de variação de x em relação ao 
tempo é dada por 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 . 
Quando duas ou mais variáveis, todas expressas em função de t, são relacionadas por uma 
equação, podemos obter a relação entre suas taxas de variação diferenciando a equação toda 
em relação a t. 
 
Exemplo: 
Um homem tem 1,80m de altura e está a 12 m da base de um poste de luz com 20m de 
altura. Sabendo que o homem caminha em direção ao poste a uma velocidade de 4,0metros 
por segundo, a que taxa o comprimento de sua sombra está variando? 
 
 
 
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Considere x como o comprimento da sombra do homem em t segundos. 
Utilizando a noção de triângulos semelhantes, sabemos que: 
 
 
20
𝑥 + 𝑦
=
1,80
𝑥
 
20𝑥 = 1,80𝑥 + 1,80𝑦 
20𝑥 − 1,80𝑥 = 1,80𝑦 
18,2𝑥 = 1,80𝑦 
Derivando membro a membro, em função de t: 
18,2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 1,80
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
1,80
18,2
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
≅
1
10
∙ 4 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
≅
1
10
∙ 4 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
≅ 0,4𝑚/𝑠 
 
 
Exemplo: Calculo volume 1 Anton. 
Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio tanque se espalhe em 
uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que velocidade a 
área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 60 pés? 
 
 
Considere : 
t= segundos decorridos a partir do instante do derramamento 
r=raio do derramamento em pés, depois de t segundos. 
 
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S= área do derramamento em pés quadrados, depois de t segundos. 
Sabemos que 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 2 𝑝é𝑠/𝑠. 
 
𝑆 = 𝜋𝑟2 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 2𝜋𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
Fazendo r=60 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 2𝜋(60)2 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 240𝜋 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
≅ 754 𝑝é𝑠2/𝑠 
 
 
Exemplo: Um tanque, inicialmente vazio, de altura H tem a forma de um cone invertido 
com raio do topo circular igual a R. Começamos a encher de água o tanque a uma vazão 
constante de k litros por minuto. 
 
Determine a velocidade com que sobe o nível da água 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 , em função da profundidade h. 
 
Sabemos que o volume da água quando esta tem profundidade h é dado por 
𝑉 =
1
3
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ 
 
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Por semelhança de triângulos, temos 
𝑟
𝑅
=
ℎ
𝐻
 
 
Ou ainda, 𝑟 =
𝑅ℎ
𝐻
 . Substituindo r na formula do volume, 
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ 
𝑉 =
1
3
𝜋 (
𝑅ℎ
𝐻
)
2
ℎ 
 
𝑉 =
1
3
𝜋
𝑅2
𝐻2
ℎ3 
 
 
Sabemos que a taxa de variação do volume de água em função do tempo (vazão) 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 é 
constante e igual a k litros por minuto 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑𝑉
𝑑ℎ
∙
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 𝑘 
 
Podemos determinar 
𝑑𝑉
𝑑ℎ
, conhecendo 𝑉 =
1
3
𝜋
𝑅2
𝐻2
ℎ3. 
𝑑𝑉
𝑑ℎ
=
1
3
𝜋
𝑅2
𝐻2
3ℎ2 
𝑑𝑉
𝑑ℎ
= 𝜋
𝑅2
𝐻2
ℎ2 
 
Então, 
𝜋
𝑅2
𝐻2
ℎ2 ∙
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 𝑘 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝑘𝐻2
𝜋𝑅2ℎ2
 
 
 
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Observe que a velocidade de elevação do nível da água é inversamente proporcional ao 
quadrado de sua profundidade. 
 
 
 
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO 
 
Teorema do Valor Intermediário (Calculo volume 1 . Munem e Foulis ) 
Seja f função contínua no intervalo fechado [a,b] e suponha que 
)()( bfaf 
. 
Se k é um número real qualquer estritamente entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um 
número c, estritamente entre a e b, tal que f(c)=k.” 
 
O que significa o Teorema do Valor Intermediário? 
Se temos uma função continua, dados dois valores dessa função, ela assumirá todos os 
valores possíveis entre esses dois valores. 
 
Para que serve o Teorema do Valor Intermediário? 
Utilizamos o Teorema do Valor Intermediário para localizar zeros ou raízes de funções 
contínuas. 
Observe que se fizermos k=0, o valor de c será um zero da função. 
 
 
IMPORTANTE: O Teorema do Valor Intermediário só nos assegura a EXISTÊNCIA 
de um número c, porém não nos indica COMO encontrar tal número. 
 
 
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Exemplo: Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥 + 3. 
Quando 𝑥 = 1 , o valor do polinômio será 3. 
Quando 𝑥 = 2, o valor do polinômio será 33. 
 
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como p(x) é contínua, a equação 𝑥5 − 𝑥 + 3 = 𝑘 
tem pelo menos uma solução no intervalo [1,2]. 
 
Consequência do Teorema do Valor Intermediário 
Uma consequência do Teorema do Valor Intermediário: se f é uma função contínua em 
[a,b] e se f(a) e f(b) possuem sinais opostos, então existe um zero de f no intervalo aberto 
(a,b), ou ainda, existe um número c, tal que a<c<b e f(c)=0. 
 
Exemplo: Considere a equação 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0. 
A resolução dessa equação não é obvia em termos algébricos. Vamos construir o gráfico 
com o auxilio do software deadline.(disponível em www.somatematica.com.br) 
 
 
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Observamos pelo gráfico, que a equação 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0 tem uma raiz real e esta 
está situada entre 1 e 2. 
Esse fato é confirmado pela consequência do Teorema do Valor Intermediário. Sabemos 
que p(1)=-1 e p(2)=5 têm sinais opostos. 
 
Exercício resolvido: Considere a função polinomial definida por 
12)( 35  xxxf
. 
Mostre, utilizando o teorema do valor intermediário, que existe uma raiz de f entre 1 e 2. 
Vamos determinar f(1) e f(2): 
𝑓(1) = 1 − 2(1) − 1 = −2 
𝑓(2) = 25 − 2 ∙ 23 − 1 = 32 − 16 − 1 = 15(-2) e 15 possuem sinais contrários, assim, como a função é uma função continua no 
intervalo [1,2], pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um número c , 1 < 𝑐 < 2, de 
modo que 𝑓(𝑐) = 𝑐5 − 2(𝑐3) − 1 = 0. 
 
TEOREMA DO VALOR MÉDIO 
 
Teorema do Valor Médio (Calculo volume 1 . Munem e Foulis ) 
Se f é função definida e contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe pelo menos 
um número c com a<c<b tal que 
ab
afbf
cf



)()(
)(
. 
O que o Teorema do Valor Médio significa? 
Dada uma secante ao gráfico de uma curva diferenciável, podemos sempre encontrar um 
ponto do gráfico situado entre os dois pontos de interseção da secante com a curva de tal 
forma que a reta tangente nesse ponto seja paralela à secante. 
 
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Lembre-se que: 
 O coeficiente angular da reta que passa por A e B é: 
ab
afbf

 )()(
 
 Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. 
 Observe que pode existir mais de um valor de c para o qual 
ab
afbf
cf



)()(
)(
. 
 
TEOREMA DE ROLLE 
 
Teorema de Rolle (Calculo volume 1 . Munem e Foulis ) 
Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) tal que f(a)=f(b). Existe pelo 
menos um número real 
),( bac
tal que f´(c)=0. 
Observe que o Teorema de Rolle é um caso particular do Teorema do Valor Médio. 
 
 
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Exemplo: Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4. Queremos determinar os pontos de 
corte (as raízes) com o eixo x e, utilizando o Teorema de Rolle, verifique que 𝑓´(𝑐) = 0 em 
algum ponto c entre as duas raízes. 
Podemos determinar as raízes de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 utilizando Bhaskara ou fatorando o 
polinômio. 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 4) . As raízes são: 1 e 4. 
Sabemos que o polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 é continuo e diferenciável em todos os 
pontos do seu domínio. Assim, as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas. Isso 
significa que, pelo Teorema de Rolle, existe pelo menos um ponto c no intervalo (1,4) de 
tal forma que 𝑓´(𝑐) = 0. 
 
 
 
ANALISE DE GRÁFICOS: PONTOS DE MÁXIMOS E MINIMOS 
 
A derivada pode ser utilizada quando precisamos determinar se e/u quando uma função é 
crescente e decrescente. Quando analisamos o comportamento de uma função, é 
interessante e muito útil determinarmos quando a função cresce e/ou quando decresce. 
 
 
Função Crescente 
A função f é dita crescente em um intervalo I, se f é definida em I e se x1<x2 , então 
f(x1)<f(x2) 
 
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2 é uma função crescente em todo o seu domínio. 
 
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Função Decrescente 
A função f é dita crescente em um intervalo I, se f é definida em I e 
 
se x1<x2 , então f(x1)>f(x2) 
 
Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = −4𝑥3 é decrescente em todo o seu domínio. 
 
 
Exemplo. “Os empresários ainda estão otimistas em relação à economia e ao desempenho 
das suas empresas, mas o nível de confiança caiu em março para o menor patamar desde 
outubro de 2009. É o que diz pesquisa da Confederação Nacional da Indústria (CNI) 
divulgada hoje. Como mostra o gráfico abaixo, o Índice de Confiança do Empresário 
Industrial (ICEI) baixou de 61,8 para 60,5 pontos, mas valores acima de 50, segundo a CNI, 
indicam empresários confiantes.” 
http://oglobo.globo.com/economia/miriam/posts/2011/03/18/industria-confianca-cai-para-
menor-nivel-em-17-meses-369663.asp 
 
 
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Note que de abril de 2009 a janeiro de 2010 a função é crescente, enquanto que de abril de 
2008 a janeiro de 2009, a função é decrescente. 
 
 
O QUE F’ NOS DIZ SOBRE F? 
 
TESTE FUNÇÃO CRESCENTE/DECRESCENTE (Cálculo vol. 1 Munen e Foulis) 
Considere uma função f seja definida e contínua no intervalo I. Considere ainda f 
diferenciável xI, não necessariamente nos pontos extremos de I. 
(i) Se 
( ) 0,f x x I   
, exceto possivelmente nos pontos extremos de I, então f é crescente 
em I. 
(ii) Se 
( ) 0,f x x I   
, exceto possivelmente nos pontos extremos de I, então f é 
decrescente em I. 
 
Exemplo: Determine os intervalos nos quais 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 é crescente e decrescente. 
Vamos utilizar o teste da função crescente/decrescente. 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 
Observe que para qualquer valor de x, temos que a derivada de x é positiva. 
Assim, a função é crescente. 
 
 
CONCAVIDADE 
 
Considere uma função f diferenciável no intervalo aberto I. 
O gráfico de f tem a concavidade para cima em I se f’ for uma função crescente em I. 
O gráfico de f tem a concavidade para baixo em I se f’ for uma função decrescente em I. 
 
 
O QUE F’’ NOS DIZ SOBRE F ? 
 
TESTE DA CONCAVIDADE. (Cálculo vol. 1 Munen e Foulis) 
Considere uma função f duas vezes diferenciável no intervalo aberto I. 
 
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(i) Se 
( ) 0,f x x I   
então o gráfico de f possui concavidade para cima em I 
(ii) Se 
( ) 0,f x x I   
então o gráfico de f possui concavidade para baixo em I 
 
Exemplo: Determinar a concavidade da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3. 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 
𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 
 
6𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
Para valores de x maiores que 0, temos que 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 > 0. E, portanto, o gráfico terá 
concavidade para cima. 
Para valores de x menores que 0, temos que 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 < 0. E, portanto, o gráfico terá 
concavidade para baixo. 
 
De fato, veja o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3. 
 
 
PONTO DE INFLEXÃO 
 
Dizemos que um ponto P sobre uma curva é um ponto de inflexão se a curva mudar de 
côncava para cima para côncava para baixo ou vice versa neste ponto P. 
 
Exemplo: 
No exemplo 𝑓(𝑥) = 𝑥3, temos que em x=0 o gráfico muda de côncavo para convexo. 
 
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EXTREMOS RELATIVOS 
 
Se pensarmos em uma cordilheira, a Cordilheira dos Andes, por exemplo, como uma 
função, podemos perceber que há vários “picos”. Cada um deles é um máximo local, ou 
seja, é a maior altura, o maior valor em uma vizinhança próxima. 
 
 
MÁXIMO RELATIVO 
Dizemos que uma função f possui um máximo relativo ou um máximo local em um ponto 
de abscissa c se existe um intervalo aberto contendo este ponto de abscissa c tal que f seja 
definida em I e 
( ) ( ) ,f c f x x I  
. 
 
Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 possui máximo relativo em x=-1. 
 
 
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MÍNIMO RELATIVO 
 
Dizemos que uma função f possui um mínimo relativo ou um mínimo local em um ponto de 
abscissa c se existe um intervalo aberto contendo esse ponto de abscissa c tal que f seja 
definida em I e 
( ) ( ) ,f c f x x I  
. 
Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 possui mínimo relativo em x=1. 
 
PONTO CRÍTICO 
 
Dizemos que um ponto de abscissa c é um ponto crítico para a função f quando f é definida 
em c, mas não é diferenciável em c, ou seja, quando a derivada no ponto de abscissa c for 
zero: 
( ) 0f c 
. 
Para que a função não seja diferenciável em c, precisamos que a tangente seja zero, e, como 
tangente é definida como sendo seno do angulo dividido pelo cossenodo angulo, temos que 
o seno do angulo que a reta tangente faz com o eixo x precisa ser zero, ou seja, o angulo 
precisa ser zero. 
 
 
Exemplo: Vamos determinar os pontos críticos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 
 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 3 = 0 
𝑥 = ±1 
Se observarmos o gráfico 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3, confirmamos que em x=-1 e x=1 temos os 
pontos críticos. A derivada nesses pontos é zero, o que significa que a tangente nesses 
pontos é paralela ao eixo x. 
 
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IMPORTANTE: 
Se a função f possui um extremo relativo em um ponto c então c é um ponto crítico para f. 
 
TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS 
 
Considere uma f função definida e continua em (a,b). Suponha um ponto de abscissa 
( , )c a b
 e suponha ainda que f seja diferenciável em todo ponto pertencente ao intervalo 
aberto (a,b), exceto possivelmente em c. 
(i) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
 e 
( ) 0, ( , )f x x c b   
 então f possui máximo relativo em c 
(ii) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
 e 
),(,0)( bcxxf 
 então f possui mínimo relativo 
 
 
TESTE DA SEGUNDA DERIVADA 
Considere a função f diferenciável no intervalo aberto I e considere ainda que c seja um ponto 
pertencente ao intervalo aberto I tal que 
( ) 0f c 
 e 
( )f c
 exista. 
 
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(i) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
então f possui um mínimo relativo em c 
(ii) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
então f possui um máximo relativo em c 
 
 
 
COMO FAZER PARA ENCONTRAR OS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA 
FUNÇÃO F? 
 
A princípio, precisamos encontrar a derivada da função f: f’ 
A seguir, devemos encontrar os pontos críticos para f, isto é, encontrar os pontos cDom(f) 
para os quais 
( )f c
 não existe e os pontos c para os quais 
( ) 0f c 
 
Devemos então, testar cada um dos pontos críticos, substituindo-os na função f, para 
verificarmos quando ele será um máximo relativo, um mínimo relativo ou não será um 
extremo relativo. Podemos utilizar os testes da primeira ou segunda derivadas. 
 
 
MÁXIMO ABSOLUTO 
 
Consideremos uma função f definida no intervalo I, e suponha um ponto c pertencente a esse 
intervalo I: cI. 
Se 
( ) ( )f c f x
 , xI, então dizemos que, no intervalo I, a função f atinge o seu valor 
máximo absoluto f(c) no ponto c. 
 
 
MÍNIMO ABSOLUTO 
 
Consideremos uma função f definida no intervalo I, e suponha um ponto c pertencente a esse 
intervalo I: cI. 
Se 
( ) ( )f c f x
 xI, então dizemos que, no intervalo I, a função f atinge o seu valor mínimo 
absoluto f(c) no ponto c. 
 
 
EXTREMO ABSOLUTO 
 
Se f atinge um valor máximo absoluto ou mínimo absoluto em c, então dizemos que possui 
um extremo absoluto em c. 
 
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TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE EXTREMOS ABSOLUTOS 
 
Se f é uma função definida e contínua em [a,b] então 
(a) f atinge um valor máximo absoluto em algum ponto em [a,b] e 
(b) f atinge um valor mínimo absoluto em algum ponto em [a,b]. 
 
 
COMO ENCONTRAR EXTREMOS ABSOLUTOS DE UMA FUNÇÃO CONTÍNUA 
EM UM INTERVALO FECHADO? 
 
A princípio devemos encontrar todos os pontos críticos c para a função f no intervalo aberto 
(a,b) 
A seguir, calcule os valores f(c) da função para cada um dos valores encontrados como pontos 
críticos. 
Calcule também os valores de f nos pontos extremos a e b do intervalo, ou seja, f(a) e f(b). 
Note que podemos concluir que o maior de todos os números calculados é o máximo absoluto 
de f em [a,b] e o menor desses números é o mínimo absoluto de f em [a,b]. 
 
Exemplo: Vamos determinar o mínimo absoluto da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3 em [-3,3] 
Determinando os pontos críticos: 
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
Calculando os valores da função nos pontos críticos: 
𝑓(0) = 3 
Calculando os valores da função nos extremos do intervalo: 
𝑓(−3) = 12 
𝑓(3) = 12 
 
O maior dos valores, 12, é o máximo absoluto desse intervalo [-3,3]. 
O menor dos valores, 3, é o mínimo absoluto desse intervalo [-3,3]. 
 
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Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 − 3𝑥 exibido abaixo. 
 
Considerando o intervalo aberto (1,3), e o Teorema do Valo Médio, considere as 
afirmações: 
 
(I) A função, no intervalo aberto (1,3), é contínua e diferenciável. 
(II) A hipótese do Teorema do Valor Médio, no intervalo aberto (1,3), é satisfeita. 
(III) 
10
13
)1()3(


 ff
 
(IV) Determinando f´(c)=-10, obtemos que c=7/3. 
 
 
É correto afirmar que: 
(a) Somente (I) e (II) são afirmações verdadeiras. 
(b) Somente (III) e (IV) são afirmações verdadeiras. 
(c) Somente (I) e (IIII) são afirmações verdadeiras. 
(d) Não há afirmações verdadeiras. 
(e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
 
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Gabarito: (e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
2. Constate que as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas para a função 
326)( xxxf 
 dado o intervalo [0,6] e ache o valor de 
)6,0(c
para o qual f´(c)=0. 
 
 
 
(a) c=1 (b)c=2 (c)c=3 (d)c=4 (e)c=5 
 
Gabarito: (d)c=4 
 
 
3. Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥. Utilizando o teste da segunda derivada, 
determine os pontos de extremo relativo e esboce o gráfico da função a partir deles. 
 
Calculando a primeira derivada: 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 
Obtendo os pontos críticos: 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0 
𝑓´(𝑥) = 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0 
Pontos críticos: x=1 e x=3. 
 
Calculando a segunda derivada: 
𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 12 
Obtendo os valores da segunda derivada nos pontos críticos: 
𝑓´´(1) = −6 < 0 
𝑓´´(3) = 4 > 0 
Assim, como 𝑓´´(1) = −6 < 0, temos que em x=1 a função tem máximo relativo. 
E como 𝑓´´(3) = 4 > 0, temos que em x=3 a função tem mínimo relativo. 
 
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4. Determine os intervalos nos quais a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 é crescente e 
decrescente. 
 
(a) crescente: [2,∞+[ e decrescente: ]-∞,2]. 
(b) crescente : ]-∞,2] e decrescente: [2,∞+[. 
(c) sempre crescente 
(d) sempre decrescente 
(e) crescente : ]-∞,0] e decrescente: [0,∞+[. 
 
Gabarito: (a) crescente: [2,∞+[ e decrescente: ]-∞,2]. 
 
5. Utilize o teste da primeira derivada e obtenha todos os pontos nos quais a função 𝑓(𝑥) =
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 1 tem um extremo relativo. 
 
(a) x=1 e x=1/3 
(b) x=1 e x=-1/3 
(c) x=0 
(d)x=-1 e x=1/3 
(e)x=-1 e x=-1/3 
Gabarito: (b) x=1 e x=-1/3 
 
6. Adaptado de: 
(http://arquivos.unama.br/nead/gol/gol_adm_2mod/matematica_superior/pdf/MS_impresso
_aula07.pdf) 
Suponha que o custo total semanal em dólares incorrido pela Companhia Polaraire para 
fabricação de x refrigeradores seja dado pela função custo total. 
C(x) = 8000 + 200x – 0,2x2 , 0 ≤ x ≤ 400 
Determine o custo total envolvido na fabricação do 251-ésimo refrigerador e a taxa de 
variação da função custo total com relação a x quando x = 250, respectivamente: 
 
(a) $100,00 e $ 99,80 
(b) $89,00 e $ 99,80 
(c) $100,00 e $ 89,80 
 
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(d) $ 89,80 e $ 100,00 
(e) $ 99,80 e $ 100,00 
 
Gabarito:(e) $ 99,80 e $ 100,00 
 
 
7. Considere que a função custo para fabricação de determinada mercadoria seja 
C(x)=0,02x3-0,4x2+400x+200. Quanto custará, aproximadamente, para se produzir a 21a 
mercadoria? 
 
(a) $200 (b) $ 509 (c) $ 600 (d) $408 (e) $208 
Gabarito: (d) $408 
 
 
Exercícios Propostos 
1. Um cubo de metal mantém a sua forma ao ser aquecido. Uma aresta aumenta a uma taxa 
que, no instante t0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a taxa de 
expansão do volume do cubo no instante t0. 
𝑑𝑎
𝑑𝑡
= 0,05 
𝑎 = 10 
𝑉 = 𝑎3 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 3𝑎2 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 3 ∙ 102 ∙ 0,05 = 15 
2. Uma escada de comprimento 2m desliza no chão, mantendo-se apoiada em uma parede. 
Em um determinado instante, sua base dista 0,6m da parede e, se afasta da mesma à razão 
de 0,3m/s. Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em 
questão. 
 
Derivando 𝑥2 + 𝑦2 = 22, obtemos: 
2𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) + 2𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 0 
𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) + 𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 0 
𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = −𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) 
1,9 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = −0,6(0,3) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −0,094 𝑚/𝑠 
𝑥 = 0,6 =
6
10
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0,3 
𝑥2 + 𝑦2 = 22 (1) 
(
6
10
)
2
+ 𝑦2 = 4 
𝑦2 = 3,64 
𝑦 ≅ 1,9 
 
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3. Podemos afirmar que taxa de variação do volume V de um cubo em relação ao 
comprimento x de sua aresta é igual a 
𝑉 = 𝑥3 ⇒ 
𝑑 𝑉
𝑑𝑡
= 3𝑥2 
4. Uma população de tâmias se transfere para uma nova região no tempo t = 0. No instante t 
a população é dada por P(t) = 100 (1 + 0,3t + 0,04 t2). Podemos então afirmar que a taxa 
de crescimento da população quando P = 200 é dada por 
𝑃(𝑡) = 100 + 30𝑡 + 4𝑡2 ⇒ 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 30 + 8𝑡 
𝑃(𝑡) = 100(1 + 0,3𝑡 + 0,04𝑡2) 
200 = 100(1 + 0,3𝑡 + 0,04𝑡2) 
2 = 1 + 0,3𝑡 + 0,04𝑡2 
0,04𝑡2 + 0,3𝑡 − 1 = 0 
𝑡 = −10 𝑒 𝑡 = 2,5 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 30 + 8𝑡 ⇒ 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 30 + 8(2,5) ⇒ 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 50 
5. Uma moeda que está sendo aquecida, mantém a sua forma. Calcule o quociente entre a 
taxa de variação com o tempo da área de uma face e a taxa de variação com o tempo do 
diâmetro, num instante em que o diâmetro vale 1cm. 
𝑆 = 𝜋𝑟2, mas 𝑟 =
𝐷
2
, então 𝑆 = 𝜋 (
𝐷
2
)
2
, ou ainda, 𝑆 = 𝜋
𝐷2
4
 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 𝜋
𝐷
2
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 𝜋 ∙
1
2
∙
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
𝑑𝐷
𝑑𝑡
=
𝜋
2
 
6. Um balão esférico, que está sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta 
a uma taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa de variação do seu volume no instante em 
que seu raio vale 2m. 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 0,05 𝑒 𝑟 = 2 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4 ∙ 𝜋 ∙ 4 ∙ 0,05 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0,8𝜋 
7. Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em 
uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que velocidade a 
área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 50 pés? 
𝑆 = 𝜋𝑟2 ⇒ 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 2𝜋𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 2𝜋 ∙ 50 ∙ 2 ⇒ 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 200𝜋 
 
8. Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa 
de 100 cm3/seg. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm? 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
 
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100 = 4𝜋 ∙ 252
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
1
25𝜋
 
 
9. Uma partícula se desloca para cima e para a direita ao longo de uma curva 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥. Sua 
abscissa aumenta a uma taxa de 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= √𝑥 𝑚/𝑠. A que taxa a ordenada varia no ponto (𝑒2, 3)? 
𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
𝑒2
√𝑒2 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
𝑒
 
 
 
10. Dada a equação 4𝑥2 + 9𝑦2 = 1 e 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3 calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 quando (𝑥, 𝑦) = (
1
2√2,
,
1
3√2
) 
4𝑥2 + 9𝑦2 = 1 ⇒ 8𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 18𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 
 
8 (
1
2√2,
) (3) + 18 (
1
3√2
)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 
12
√2
+
6
√2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 ⇒ 12 + 6
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −2 
 
11. Dada a equação y=3x+5 e dx/dt=2. Calcule du/dt quando x=1 
𝑦 = 3𝑥 + 5 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3(2) ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 6 
12. Uma cisterna (reservatório inferior de água) tem a forma de um cone circular reto 
invertido com base de diâmetro 4m e altura igual a 4m. Se a cisterna está sendo abastecida 
de água a uma vazão (taxa) de 2m3 /min, encontre a taxa na qual o nível de água está elevando 
quando este está a 1m da borda da cisterna. 
Obs.: Da geometria espacial sabemos que Vc = 1/3πr2h, sendo Vc = volume do cone, r 
= raio da base e h = altura do cone 
 
 
 
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ 
ℎ = 𝑟 
 𝑉 =
1
3
𝜋ℎ3 
 
 
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𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜋ℎ2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
1
𝜋ℎ2
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
1
𝜋 ∙ 9
∙ 2 ⇒ 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
2
9𝜋
 
 
13. Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical . Se a base 
da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s, quão rápido o topo da escada 
está escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 3m da parede? 
dy/dt = -3/4 m 
 
 
Derivando 𝑥2 + 𝑦2 = 52, obtemos: 
2𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) + 2𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 0 
𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) + 𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 0 
𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = −𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) 
4 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = −3(1) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
3
4
 𝑚/𝑠 
 
14. O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma 
taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for 50 cm? 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
100 = 4𝜋(25)2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
1
25
 
 
 
 
 
 
𝑥 = 3 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 1 
𝑥2 + 𝑦2 = 22 (1) 
32 + 𝑦2 = 25 
𝑦2 = 16 
𝑦 = 4 
 
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Semana Aula: 5 
Modelagem e Otimização 
 
Tema 
Modelagem e Otimização 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá saber: 
 Resolver problemas de otimização através da maximização e minimização de funções 
relacionadas à Engenharia. 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade II APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
 
2.3 Modelagem e Otimização 
 
PROBLEMAS DE APLICAÇÕES DE DERIVADA 
 
Os problemas de aplicações da derivada que envolvem máximos e mínimos, taxas de 
variação e cálculo de limites estão presentes nos mais diversos campos, como geometria, 
engenharia, física, biologia e economia e têm em sua estrutura variáveiscomo área, volume, 
força, potência, tempo, lucro, custo, etc. Na verdade, podemos resumir tudo isto dizendo que 
a derivada constitui uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções. 
 
 
APLICAÇÃO NA GEOMETRIA 
 
1. Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na 
margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais são as dimensões do 
campo que tem a maior área? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos de material para a cerca: 2.400 pés. 
Assim, temos que 2x+y=2.400 
Y=2.400-2x 
 
Mas desejamos que as dimensões do campo tenha a maior área. 
RIO 
x 
x 
y 
 
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Pensando no calculo da área do campo: 
S=xy 
Substituindo a expressão de y encontrada anteriormente, 
S=x(2.400-2x) 
S=2.400x-2x2 
Para determinarmos os candidatos a maior/menor área precisamos encontrar a derivada da 
função área e igualá-la a zero, determinando os pontos críticos. 
S´= 2.400-4x=0 
x=600 
E, consequentemente, y= 2.400-2x=2.400-1.200 = 1.200 
 
Para que o campo tenha a maior área, as dimensões são 600m e 1.200 m. 
 
 
APLICAÇÃO NA FISICA E ENGENHARIA 
 
2. O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus 
espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do 
lançamento em t = 0 até a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s, é 
dado por (em pés/s) 
3 2( ) 0,001302 0,09029 23,61 3,083v t t t t   
. Usando este modelo, 
estime os valores de máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o 
lançamento e a entrada do foguete auxiliar. 
 
Resolução: 
 
Precisamos determinar a equação da aceleração, que é a derivada da velocidade. 
3 2( ) 0,001302 0,09029 23,61 3,083v t t t t   
. 
𝑎(𝑡) = 𝑣´(𝑡) = 0,003906𝑡2 − 0,18058𝑡 + 23,61 
Para determinarmos os valores máximos e mínimos da aceleração precisamos achar os pontos 
críticos. Derivando a aceleração e igualando a zero: 
𝑎´(𝑡) = 0,007812𝑡 − 0,18058 = 0 
𝑡 = 23,12 
 
Temos, como candidatos a máximo e mínimo os valores de t=0,t=126 e o ponto critico 
t=23,12. 
Substituímos na equação da aceleração de modo que possamos comparar os valores: 
𝑎(𝑡) = 0,003906𝑡2 − 0,18058𝑡 + 23,61 
 
𝑎(0) = 23,61 
𝑎(126) = 0,003906(126)2 − 0,18058(126) + 23,61 = 62,87 
𝑎(23,12) = 0,003906(23,12)2 − 0,18058(23,12) + 23,61 = 21,52 
 
Observando os valores encontrados, verificamos que o maior deles, 62,87, será o máximo e 
ocorre em t=126, enquanto que o menor deles, 21,52, será o mínimo e ocorre em t=23,12. 
 
 
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APLICAÇÃO A BIOLOGIA E MEDICINA 
 
3. (http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/problemasdeotimizacao.pdf) 
 
O modelo Count é uma fórmula empírica usada para predizer a altura de uma criança 
em idade pré-escolar. Se h(x) denota a altura (em centímetros) na idade x (em anos) para 
1
4
≤ 𝑥 ≤ 6, então h(x) pode ser aproximada por ℎ(𝑥) = 70,228 + 5,104𝑥 + 9,222𝑙𝑛𝑥 
Observe o gráfico da função e da sua derivada. 
Quando a taxa de crescimento é máxima e mínima? Quanto valem estas taxas? 
 
 
Pelo gráfico observamos que a taxa de crescimento é decrescente no intervalo considerado 
1
4
≤ 𝑥 ≤ 6, o que pode ser confirmado pela derivada de h´(x), dada por 
 
ℎ(𝑥) = 70,228 + 5,104𝑥 + 9,222𝑙𝑛𝑥 
ℎ´(𝑥) = 5,104 +
9,222
𝑥
 
 
ℎ´´(𝑥) = −
9,222
𝑥2
< 0 
A taxa de crescimento será máxima no menor valor de x (x = ¼) e será mínima, no maior 
valor de x (x = 6). 
O valor máximo da taxa de crescimento é, portanto, h´(1/4) = 41,99 cm/ano e o valor 
mínimo, h´(6) = 6,64 cm/ano. 
 
 
APLICAÇÃO A ECONOMIA: ANALISE MARGINAL 
 
Em Economia e Administração, utiliza-se o conceito de função marginal. Esta função 
marginal é uma estimativa do efeito causado em f(x) por conta de uma variação pequena 
em x. 
 
A função marginal de f(x) é a função derivada de f(x). 
 
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Dessa forma, a função custo marginal é a derivada da função custo e a função receita 
marginal é a derivada da função receita. Observe que o custo marginal é a taxa de variação 
do custo da produção de determinada mercadoria por variação da produção por unidade. 
 
Quando estamos lidando com um número grande de unidades produzidas, uma unidade 
pode ser considerado uma quantidade pequena em face da quantidade produzida. 
Assim, pela definição de derivada, temos: 
𝐶´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝐶(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐶(𝑥)
∆𝑥
 
Fazendo ∆𝑥 = 1, temos que: 
𝐶´(𝑥) ≈
𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥)
1
 
𝐶´(𝑥) ≈ 𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥) 
 
Quando estamos lidando com quantidades grandes, o custo marginal (a derivada da função 
custo) pode ser considerado uma boa aproximação do custo da produção de uma unidade a 
mais do que já se produziu (𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥)). 
𝐶´(𝑥) ≈ 𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥) 
 
4. (Calculo vol 1 Munes e Foulis). A fabricação de x unidades de uma mercadoria rende 
R(x)= 24x. O custo total da produção de x unidades é dado pela equação 
2003,09,3150)( xxxC 
 
(a) Ache o custo marginal quando x=1000. 
(b) Quanto custará aproximadamente para fabricar a 1001a unidade? 
(c) Quanto custará exatamente ao fabricante para produzir a 1001a unidade? (d) Determine 
o lucro total do fabricante em função de x. 
(e) Quantas unidades deveriam ser fabricadas e vendidas para o fabricante obter lucro 
máximo? 
 
(a) Ache o custo marginal quando x=1000. 
A função Custo Marginal é a derivada do custo. 
 
𝐶(𝑥) = 150 + 3,9𝑥 + 0,003𝑥2 
𝐶´(𝑥) = 3,9 + 0,006𝑥 
Então, o custo marginal para x=1.000 será: 
 
𝐶´(1.000) = 3,9 + 0,006.1000 
𝐶´(1.000) = 9,90 
 
(b) Quanto custará aproximadamente para fabricar a 1001a unidade? 
 
O custo aproximado para fabricar a 1001a unidade é justamente o custo marginal para x= 
1000: $9,90 
 
(c) Quanto custará exatamente ao fabricante para produzir a 1001 unidade? 
 
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O custo exato da fabricação da 1001a é dado pela diferença entre custo para produzir a 
1001a mercadoria e o custo para produzir a 1000a mercadoria. 
𝐶(1001) − 𝐶(1000) = 
[150 + 3,9(1001) + 0,003(1001)2] − [150 + 3,9(1000) + 0,003(1000)2] = 
= 150 + 3903,9 + 0,003 ∙ 1002001 − 150 − 3900 − 0,003 ∙ 1000000 = 
= 150 + 3903,9 + 0,003 ∙ 1002001 − 150 − 3900 − 0,003 ∙ 1000000 = 
= 3,9 + 0,003(1002001 − 1000000) 
= 3,9 + 0,003 ∙ 2001 = 
= 3,9 + 6,003 = 
= 9,903 
 (d) Determine o lucro total do fabricante em função de x. 
O lucro será o rendimento menos o custo. 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) 
𝐿(𝑥) = 24𝑥 − (150 + 3,9𝑥 + 0,003𝑥2) 
𝐿(𝑥) = 24𝑥 − 150 − 3,9𝑥 − 0,003𝑥2 
𝐿(𝑥) = −150 + 20,1𝑥 − 0,003𝑥2 
 
(e) Quantas unidades deveriam ser fabricadas e vendidas para o fabricante obter lucro 
máximo? 
Para obtermos o lucro máximo, basta determinar os pontos críticos: 
𝐿(𝑥) = −150 + 20,1𝑥 − 0,003𝑥2 
𝐿´(𝑥) = 20,1 − 0,006𝑥 
 
𝐿´(𝑥) = 20,1 − 0,006𝑥 = 0 
 
0,006𝑥 = 20,1 
𝑥 = 3350 
 
 
5. Calculo volume 1 – Anton, Bivens e Davis. Uma forma líquida de penicilina fabricada por 
uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de $200 por unidade. Se o custo total 
de produção (em dólares) para x unidades for 𝐶(𝑥) = 500.000 + 80𝑥 + 0,003𝑥2 
e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo, 30.000 unidades em umtempo 
especificado, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo 
para maximizar o lucro? 
 
 
A receita da venda de x unidades será: 𝑅(𝑥) = 200𝑥. 
O lucro então será: 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) 
 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 200𝑥 − 500.000 − 80𝑥 − 0,003𝑥2 
𝐿(𝑥) = 120𝑥 − 500.000 − 0,003𝑥2 
 
 
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Como a capacidade máxima é de 30.000, x deve pertencer ao intervalo [0.30.000]. 
Precisamos determinar os pontos críticos. 
𝐿(𝑥) = 120𝑥 − 500.000 − 0,003𝑥2 
𝐿´(𝑥) = 120 − 0,006𝑥 
𝐿´(𝑥) = 120 − 0,006𝑥 = 0 
0,006𝑥 = 120 
𝑥 = 20.000 
 
O ponto de máximo deve ocorrer ou no ponto critico os nos extremos do intervalo. 
 
𝐿(𝑥) = 120𝑥 − 500.000 − 0,003𝑥2 
 
𝐿(20.000) = 120 ∙ 20.000 − 500.000 − 0,003(20.000)2 
𝐿(20.000) = 2.400.000 − 500.000 − 1.200.000 
𝐿(20.000) = 700.000 
 
𝐿(0) = 120 ∙ 0 − 500.000 − 0,003 ∙ 0 
𝐿(0) = −500.000 
 
𝐿(30.000) = 120 ∙ (30.000) − 500.000 − 0,003(30.000)2 
𝐿(30.000) = 3.600.000 − 500.000 − 2.700.000 
𝐿(30.000) = 400.000 
O lucro máximo (de 700.000) acontece então em x=20.000. 
 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de papelão medindo 
8 cm de largura por 15 cm de comprimento, e uma caixa sem tampa é construída virando os 
lados para cima. Determine o comprimento x dos lados dos quadrados que devem ser cortados 
para a produção de uma caixa de volume máximo. (Calculo volume 1 – Munen e Foulis) 
 
(a) 2/3 cm (b) 2 cm (c) 15cm (d) 5/3 cm 
 
Gabarito: (d) 5/3 cm 
 
 
2. O navio A está 65km a leste do navio B e está viajando para o sul a 15km/h, enquanto o 
navio B está indo para o leste a uma velocidade de 10km/h. Se os navios continuam seus 
cursos respectivos, determine a menor distância entre eles e quando isto irá ocorrer. (Calculo 
volume 1 – Munen e Foulis) 
 
 
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(a) 
2925
 (b) 
000.3
 (c) 2.925 (d) 3.000 
 
Gabarito: (a) 
2925
 
 
3. Adaptado de: 
(http://arquivos.unama.br/nead/gol/gol_adm_2mod/matematica_superior/pdf/MS_impresso
_aula07.pdf) 
Suponha que o custo total semanal em dólares incorrido pela Companhia Polaraire para 
fabricação de x refrigeradores seja dado pela função custo total. 
C(x) = 8000 + 200x – 0,2x2 , 0 ≤ x ≤ 400 
Determine o custo total envolvido na fabricação do 251-ésimo refrigerador e a taxa de 
variação da função custo total com relação a x quando x = 250, respectivamente: 
 
(a) $100,00 e $ 99,80 
(b) $89,00 e $ 99,80 
(c) $100,00 e $ 89,80 
(d) $ 89,80 e $ 100,00 
(e) $ 99,80 e $ 100,00 
 
Gabarito:(e) $ 99,80 e $ 100,00 
 
 
4. Considere que a função custo para fabricação de determinada mercadoria seja 
C(x)=0,02x3-0,4x2+400x+200. Quanto custará, aproximadamente, para se produzir a 21a 
mercadoria? 
 
(a) $200 (b) $ 509 (c) $ 600 (d) $408 (e) $208 
Gabarito: (d) $408 
 
 
 
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Semana Aula: 6 
Integração, Integral Indefinida, Fórmulas de Integração 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá: 
 Compreender a definição de antiderivada e o conceito de integral. 
 Possuir competências e habilidades no cálculo de integrais. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade III - INTEGRAÇÃO 
3.1 Integral Indefinida 
3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição 
 
INTEGRAÇÃO 
Primitiva 
Definição: Uma função F é chamada uma primitiva (antiderivada) de f sobre um intervalo 
I se F’(x)=f(x) xI. 
 
Teorema: Se F for uma primitiva (antiderivada) de f em um intervalo I, então a família das 
primitivas (primitiva mais geral) de f em I é F(x)+C, onde C é uma constante arbitrária. 
 
Notação para antiderivadas: 
 A notação 
  CxFdxxf )()(
, onde C denota uma constante arbitrária, significa que a 
função F é uma primitiva da função f, tal que F’(x)=f(x), xDom(f). 
 O símbolo 

é referido como sinal de integração. 
A constante C é chamada constante de integração. 
 A função f(x) é chamada integrando. 
 
 dxxf )(
 é chamado integral indefinida. 
 O processo para calcular , isto é, para achar g(x)+C , é chamado integração 
indefinida ( justamente por causa da natureza arbitrária de C ). 
 
Regras básicas para antidiferenciação/integral 
 
1- 
( ) ( )xD f x dx f x
 
2- 
( ) ( )f x dx f x C  
 
 dxxf )(
 
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3- 
dx x C 
 
4- Regra da Potência: Se n é um número racional diferente de –1, então 
1
1
n
n xx dx C
n

 

. 
5- Regra da Homogeneidade: Se a é uma constante, então 
( ) ( )af x dx a f x dx 
. 
6- Regra da Adição: 
 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx    
. 
7- Regra da Linearidade: se a1 e a2 são constantes 
 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a f x a f x dx a f x dx a f x dx    
8- Regra Geral da Linearidade: se a1, a2, ..., am são constantes 
 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m ma f x a f x a f x dx a f x dx a f x dx a f x dx         
. 
 
Integrais de Funções Especiais (trigonométricas e envolvendo logx, lnx, ex,ax ) 
 
1) 
  Cxsenxdx cos
 
2) 
  Csenxxdxcos
 
3) 
  Ctgxxdx
2sec
 
4) 
  Cgxxdx cotseccos
2
 
5) 
  Cxxtgxdx secsec
 
6)
Cxgxx  seccoscotseccos
 
7) 
Ctgxxxdx  seclnsec
 
8) 
Cxtgxdx  cosln
 
9) 
 
Carctgxdx
x21
1
 
10) 
0,ln
1
 xCxdxx
 
11) 
Cxdx
x
 ln
1
 
12) 
Carcsenxdx
x


 21
1
 
13) 
Cedxe xx 
 
14) 
1,0,
ln
 bbCb
b
dxb
x
x
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
Use as regras básicas para antidiferenciação para calcular cada integral indefinida 
 
1- 
   dxxx 543
2
 
2- 
   dxxxx 423
23
 
3- 
   dxxxx 6542
23
 
10- 
 




 dx
x
xxx 122
 
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
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4- 
    dxxx 512
23
 
5- 
 

dx
x
x
1
13
 
6- 
   dtt
22 34
 
7- 
   dtttt 2
2 13
 
8- 
   dxxx 42 53
 
9- 
dx
x
x
 




  )125( 3
 
 
11-  


dx
x
x
2
1 
12- 
dt
t
tt


3
23 32
 
13- 
 





 dx
xx 3
11
 
14- 
 dx
x
1
 
15- 
   dxxsenx cos32
 
16- 
7x dx
 
 
 
Determine as integrais indefinidas 
 
 
 
 
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 7 
Integração por Substituição 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno estará apto a fazer uso da técnica de mudança de variável, no 
cálculo de integrais indefinidas. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade III - INTEGRAÇÃO 
3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição 
 Mudança de Variável (ou substituição de variável) 
 
Exemplo: Resolver 
2 100( 5)x x dx
. Observe que se 
2 5u x 
 temos que 
2du xdx
 ou ainda1
2
xdx du
e 
101
2 100 100 1001 1 1( 5)
2 2 2 101
u
x x dx u du u du C      
 
A substituição de 
2 5u x 
 na expressão anterior dá 
2 101
2 100 ( 5)( 5)
202
x
x x dx C

   
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Utilizando as regras de integração determine a integral indefinida
dxxx  54
2
 
a) (1/12) (4x2 + 5)3/2 + C 
b) (1/2) (4x2 )3/2 + C 
c) (1/12) (x2 + 5)3/2 + C 
d) (4x2 + 5)3/2 + C 
Gabarito: (a) 
2. Utilizando as regras de integração determine a integral indefinida
 dx
x
xcos
 
a) Sen x1/2 + C 
b) 2 Sen x1/2+ C 
c) Cos x + C 
d) 2 cos x+ C 
Gabarito: (b) 
 
3. Utilizando as regras de integração determine a integral indefinida 
 
  
 dxxsenx 82 
 
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a) (1/x) + (1/8) cos 8x + C 
b) (1/8) cos 8x + C 
c) (-1/x) - (1/8) cos 8x + C 
d) (-1/x) + (1/8) cos 8x + C 
 
Gabarito: c 
 
4. Utilize o método da substituição para resolver a integral indefinida
   dttt
92 74
 
 
Neste caso teremos u = 4t2 + 7. Portanto du = 8 t dt ou ainda 
𝑑𝑢
8
= 𝑡 𝑑𝑡 
Fazendo a substituição e aplicando as regras básicas de integração temos: 
    CtCuduudttt   80
)74(
108
1
8
74
10210
992
 
 
5. Utilize o método da substituição para resolver a integral indefinida 
  dtttt 
5 32 23515 
Neste caso teremos u = 5t3 + 3t -2. Portanto du = 15 t2 + 3 = 3(5t2 + 1). Aplicando as regras 
básicas de integração temos: 
CttC
u
duu
du
u  
5/63
5/6
5/15 )235(
18
5
5/63
1
3
1
3
 
 
6. Utilize o método da substituição para resolver a integral indefinida 
 xdxsen9 
Neste caso teremos u = 9x. Portanto du = 9 dx ou 
 
𝑑𝑢
9
= 𝑑𝑥 
Fazendo a substituição e aplicando as regras básicas de integração temos: 
 
C
x
Cuduusen
du
usen   9
9cos
)cos(
9
1
9
1
9
 
 
7. Utilize o método da substituição para resolver a integral indefinida 
 dxe
x4
 
 
Neste caso teremos u = 4x. Portanto du = 4 dx ou 
 
𝑑𝑢
4
= 𝑑𝑥 
Fazendo a substituição e aplicando as regras básicas de integração temos: 
C
e
C
e
due
du
e
xu
uu   444
1
4
4 
 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 8 
Integral Definida 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deve estar apto a: 
 compreender o conceito de Integral Definida; 
 resolver problemas envolvendo integrais definidas de uma função. 
 
Estrutura de Conteúdo 
 
Unidade III - INTEGRAÇÃO 
3.3 Integrais Definidas 
ÁREA SOB O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
Área sob região entre o gráfico de 
uma função e o eixo x 
 
A1  área acima do eixo x 
A2  área abaixo do eixo x 
 
A1 + A2 = área total 
 
Área com sinal  A1 - A2 
 
 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
Seja f uma função definida ao menos no intervalo fechado [a,b]. Então a área com sinal sob 
o gráfico de f entre x=a e x=b é denotada por 
( )
b
a
f x dx
. 
Assim, 
1 2( )
b
a
f x dx A A 
 
 A expressão 
( )
b
a
f x dx
 é chamada integral definida de a até b de f(x)dx. 
 O intervalo [a,b] é chamado intervalo de integração. 
 Os números a e b são chamados respectivamente de limite inferior e superior de 
integração. 
 
Propriedade da integral definida 
Se 
 bac ,
 e f é integrável em [a,c] e em [c,b] então 
 
d
c
c
a
b
a
dxxfdxxddxxf )()()(
. 
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
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TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO (TFC) 
 
Suponha que f seja uma função contínua sobre o intervalo fechado [a,b] e que 
( ) ( )f x dx g x C 
. 
Então 
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx g b g a 
. 
O TFC relaciona a integral indefinida 
( )f x dx
com a integral definida 
( )
b
a
f x dx
. 
 
Notação: Se g é uma função qualquer e se os números a,bDom(g) então a notação 
( )
b
a
g x
lida “g(x) calculada entre x=a e x=b” é definida por 
( ) ( ) ( )
b
a
g x g b g a 
. 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Calcule a integral dada com o auxílio do Teorema Fundamental do Cálculo f(x) = x3 no 
intervalo [-2,2]. 
 
2. Calcule a área da região limitada pelo eixo x e a função f(x) = 5x – x2, defina graficamente 
esta região. 
 
3 – Calcule a integral dada com o auxílio do Teorema Fundamental do Cálculo 
1- 
  
2
1
23 3234 dxxxx
 
2- 
  
2
1 23
2
2
dt
t
t
 
3- 

64
0 8
dx
x
 
4- 
 
2
1 2 1x
xdx
 
5- 
 
1
0
259 dxxx
 
6- 
   
3
1
2 11 dxxxx
 
7- 
  
1
0
22 2 dxx
 
8- 4
5
21
16
4
x
dx
x
 
 
 

 
9- 


1
0 2 26
3
dx
xx
x
 
10- 
 
5
2
1dxxx
 
 
 
4 - Seja f a função definida dada. Use a geometria elementar para determinar a integral e 
confira utilizando o TFC: 
1- 
xxf  1)(
 , 
dxxf
2
1
)(
 
2- 
xxf )(
 , 

5
0
)( dxxf
 
3- 
xxf 2)( 
 , 

1
2
)( dxxf
 
 
 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 9 
Aplicações de Integrais Definidas - Cálculo de Áreas 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá estar apto a: 
 Resolver problemas de áreas entre uma curva y = f(x) e o eixo x em um intervalo 
finito. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade III - INTEGRAÇÃO 
3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal 
ÁREA COMO LIMITE DE UMA SOMA 
 
Para se calcular a área sob uma curva podemos dividir a região dada em uma série de regiões 
retangulares e calculamos o valor aproximado da área somando as áreas dessas regiões 
retangulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Considere R a região sob a curva y=f(x) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, ou ainda, a região no 
plano limitada por f(x), x=a, x=b e x=0 (eixo x) 
2) Para simplificar, tomemos f(x)>0, 
],[ bax
 
3) Dividimos o intervalo 
],[ ba
 em n subintervalos. 
4) Tomemos cada intervalo com o mesmo tamanho, 
x
 
5) Assim, 
n
ab
x


 
6) Denotemos os extremos esquerdos desses sub-intervalos por 
1121 ,,,,,  nnn xxxxx 
 
7) Seja 𝑥𝑗 a extremidade esquerda do intervalo de ordem j. 
8) Tracemos n retângulos tais que o retângulo de ordem j tenha largura igual a ∆𝑥 e altura 
𝑓(𝑥𝑗) 
9) Cada retângulo de ordem j tem área ∆𝑥𝑓(𝑥𝑗). 
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
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10) Tomemos a soma das áreas destes retângulos 
xxfxxfxxfxxfS nin  )()()()( 21 
 ou ainda 
  xxfxfxfxfS nin  )()()()( 21 
, ou mesmo, 
xxfS i
n
i
n 

)(
1
. 
11) A área abaixo da curva pode ser aproximada pelo somatório das áreasdos retângulos. 
12) Note que quanto maior o número de subintervalos n, mais próximas são as áreas da 
região sob a curva e dos retângulos. 
13) Assim, podemos dizer que a área da região procurada 
  xxfxfxfxfSA nin
n


)()()()(lim 21 
 
 
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO PARA 
𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 𝑓(𝑥) ≥ 0, a integral definida é a área sob a curva. 
Para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, seja A(x) a área sob a curva f(x) em [𝑎, 𝑥]. 
𝐴(𝑥 + ℎ) − 𝐴(𝑥) área sob a curva y=f(x) entre x e x+h. 
Para h bem pequeno, a área sob a curva se aproxima da área do retângulo de altura f(x) e 
largura h: 
𝐴(𝑥 + ℎ) − 𝐴(𝑥) ≅ 𝑓(𝑥)ℎ 
Ou ainda, 
 
𝐴(𝑥 + ℎ) − 𝐴(𝑥)
ℎ
≅ 𝑓(𝑥) 
 
Fazendo h tender a zero, ficamos com 
 
lim
ℎ→0
𝐴(𝑥 + ℎ) − 𝐴(𝑥)
ℎ
= 𝑓(𝑥) 
 
Mas essa é a definição de derivada: 
𝐴´(𝑥) = lim
ℎ→0
𝐴(𝑥 + ℎ) − 𝐴(𝑥)
ℎ
= 𝑓(𝑥) 
O que significa que A(x) é uma antiderivada de f(x). 
(𝑥, 𝑓(𝑥)) 
𝐴(𝑥 + ℎ)
− 𝐴(𝑥) 
𝑥 𝑥 + ℎ 𝑎 𝑏 
 
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Supondo F(x) outra derivada, e F(x)+C a familia de antiderivadas, temos que, para algum C, 
A(x)=F(x)+C . 
A área entre a e a seria: A(a)=0=F(a)+C, ou ainda, 𝐶 = −𝐹(𝑎). 
A área entre a e b seria: 𝐴(𝑏) = 𝐹(𝑏) + 𝐶 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
Temos portanto, que a área entre a e b sob a curva y=f(x), que é a integral definida, pode ser 
calculada como 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴(𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
 
 
 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 10 
Áreas entre Curvas 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno estará apto a: 
 
 Resolver problemas de cálculo de áreas de regiões entre duas curvas. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade III - INTEGRAÇÃO 
3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal 
ÁREA ENTRE DOIS GRÁFICOS 
 
Integrais definidas podem ser usadas, dentre outras coisas, para determinar áreas de regiões 
planas, calcular o volume de regiões tridimensionais, calcular o comprimento de arco. 
 
 
Teorema: Sejam f e g funções contínuas no intervalo fechado [a,b]. Então, a área da região 
R entre o gráfico de f e o gráfico de g, à direita de x=a e à esquerda de x=b, é dada por 
 
( ) ( ) ( )
b
a
A R f x g x dx 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Nos problemas a seguir 
(a) esboce os gráficos das duas funções, 
(b) determine os pontos de interseção dos dois gráficos e 
(c) calcule a área da região limitada pelos dois gráficos. 
 
(a) 
2)(  xxf
 
2)( xxg 
 
(b) 
xxxf 2)( 2 
 
( ) 2 3g x x 
 
(c) 
xxxf  2)(
 
xxg )(
 
(d) 
4)( 2  xxf
 
8)( xg
 
(e) 
2( )f x x
 
2( ) 2g x x x 
 
(f) 
22 2 xxyexy 
 
 
2. Encontre a área limitada entre a reta 
1y x 
 e a parábola 
2 2 6y x 
 da figura abaixo 
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
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3. Encontre as áreas das regiões sombreadas 
 a) b) 
 
 
4. Encontre a área limitada por cima por 
xey 
 e por baixo por y=x , e limitada pelos lados 
por x=0 e x=1. 
 
 
 
 
 
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NOTAS DE AULA 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 11 
Cálculo de Volumes por Fatiamento 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno estará apto a: 
 
 Resolver problemas de cálculo de volumes de sólidos usando o método do 
fatiamento. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade IV. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS 
4.1 Cálculo de Volumes por fatiamento 
 MÉTODO DOS ANÉIS CIRCULARES 
Suponha f e g funções contínuas não negativas no intervalo [a,b] tais que f(x) ≥ g(x) para 
todos os valores de s em [a,b]. Seja R a região plana limitada pelos gráficos de f e g no 
intervalo [a,b]. Seja S o sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo x. Chamaremos 
de dv uma porção infinitesimal do volume V de S constituída de um anel circular de espessura 
infinitesimal dx. A base deste anel circular é a região entre dois círculos concêntricos de raio 
f(x) e g(x), logo a área desta base é  [f(x)]2 -  [g(x)]2 unidades quadradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A soma desses n anéis nos dará o volume do sólido. Novamente então podemos definir o 
volume como: 
 
b
a
dxxgxfV 22 )]([)]([
 
f(x) 
g(x) 
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
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Exemplo: Usando o método dos anéis circulares, determine o volume V do sólido S 
gerado pela revolução da região R em torno do eixo x, onde R é limitado pelas curvas y = 
x2 e y = x+2. 
Primeiros acharemos os pontos de interseção das duas curvas resolvendo o sistema y=x2 
e y = x+2 portanto (2,4) e (-1,1). 
 
vudxxxxdxxxV .
5
72
44][]2[
2
1
42
2
1
222  


 
 
Sólido de Revolução em torno do eixo x 
correspondente a figura plana.y = x2 
Sólido de Revolução em torno do eixo x 
correspondente a figura plana.y = x+2 
 
Devemos observar que geometricamente estamos calculando o volume de uma função e 
subtraindo do volume da outra função. 
 
Analogamente podemos rotacionar no eixo y como feito anteriormente. 
 
Observe que para definirmos a ordem da função que será subtraída, ou seja, 
22 )]([)]([ ygyf 
 ou 
22 )]([)]([ yfyg 
, devemos saber se f(x) ≥ g(x) ou g(x) ≥ f(x). 
 
 
MÉTODO DE DIVISÃO DE FATIAS 
 
Este método é uma generalização do método discos circulares ou anéis circulares. 
Este método escolhe um eixo de referência conveniente e define a área da seção de corte 
do sólido S interceptada pelo plano perpendicular ao eixo referencial no ponto de 
coordenadas s. 
Portanto dV é um cilindro sólido infinitesimal de altura ds com área da base definida pela 
área da seção de corte do sólido. Portanto baseado no mesmo raciocínio do método dos 
anéis, o volume pode ser definido: 
 

b
a
dssAV )(
 
Exemplo: Determine o volume do sólido cuja base é um círculo de raio 2, se todas as 
seções de corte perpendiculares a um diâmetro fixo da base forem quadrados. 
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
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Seja x o lado do quadrado. Observando o desenho podemos dizer pelo Teorema de 
Pitágoras que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
s2 +(x/2)2 = 22 ou x2/4 = 4 – s2. 
Então a área do quadrado é definida por: A(s) = 4(4 – s2)= 16 – 4s2. 



2
2
2 .
3
128
4s - 16)( vudsdssAV
b
a 
 
Aplicação (Curiosidade) 
Desde que certos fatores como pressão e viscosidade sejam mantidos dentro de certos 
limites, o sangue fluirá suavemente através dos vasos sanguíneos cilíndricos, de modo que 
a velocidade v do fluxo aumenta continuamente de um valor próximo ao zero, na parede 
do vaso, até um valor máximo no seu centro. 
 
Supondo que a velocidade v do fluxo sanguíneo dependa exclusivamente de r (raio – 
distância do centro do vaso até um seção transversal do vaso sanguíneo), o volume 
infinitesimal dV que flui através do anel circular na unidade de tempo será dada por dV = 
velocidade do fluxo x área do anel = v(2rdr). 
 
 
 
 
 
 
 
Seconsiderarmos R o raio do vaso sanguíneo, o volume total de sangue que passa através 
de uma seção transversal na unidade de tempo é dado por: 
 
 
 
 
r 
r 
s 
x/2 
R 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 12 
Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno estará apto a: 
 
 Resolver problemas de cálculo de volume de um sólido gerado pela rotação de uma 
região plana em torno de um eixo. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade IV. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS 
4.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo 
 VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 
 
Definição de sólidos de revolução: Seja R uma região plana admissível e seja l uma linha 
reta que está no mesmo plano de R, mas sem tocar em R a não ser em pontos de fronteira de 
R. O sólido S gerado quando R é girado em torno da linha l como um eixo é chamado solido 
de revolução. 
 
 
 
Definição de volume de sólidos de revolução em torno de x: Seja f continua em [a,b] , com 
0)( xf
 em [a,b]; seja B o conjunto obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A 
do plano limitado pelas retas x=a e x=b, pelo eixo x e pelo grafico de y=f(x). O volume V de 
B é dado por 
 
b
a
b
a
dxydxxfV 22)]([ 
 
 
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NOTAS DE AULA 
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Definição de volume de sólidos de revolução em torno de y: Suponha 
0)( xf
 e 
continua em [a,b] , com a>0. Seja A o conjunto do plano de todos os pares (x,y) tais que 
bxa 
 e 
)(0 xfy 
. Seja B o conjunto obtido pela rotação, em torno do eixo y, do 
conjunto A. O volume V de B é dado por 
 
b
a
b
a
dxxydxxfxV  2)(2
 
 rotação da função em torno do eixo x em torno do eixo y 
 
 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Calcule o volume do solido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de 
todos os pares (x,y) tais que 
21,
1
 xxy
x
 
(a)  (b) /3 (c) /2 (d) /3 
Gabarito: (c) 
 
2. Calcule o volume do solido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pares 
(x,y) tais que e 
0,42  xyx
. 
(a) /3 (b) 16 (c) /2 (d) 8 
Gabarito: (d) 
 
3. Calcule o volume do solido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pares 
(x,y) tais que 
20  x
 e 
1
2
0
2

x
y
 e 
12  xy
 
(a) /3 (b) 7/2 (c) 5/3 (d) 4/3 
 
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Gabarito: (b) 
 
4. Encontre o volume do solido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a 
curva 
xy 
, vista na figura abaixo, de 0 até 1. 
 
5. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por 
3xy 
, y=8 e 
x=0, ao redor do eixo y. 
 
 
6. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de pares 
(x,y) tais que 
)0(0,222  ryryx
 
 
 
7. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de 
todos os pares (x,y) tais que 
21,
1
 xxy
x
 
 
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8. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pares 
(x,y) tais que e 
0,42  xyx
. 
 
 
 
9. Calcule o volume do solido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pares 
(x,y) tais que 
20  x
 e 
1
2
0
2

x
y
 e 
12  xy
 
 
 
 
 
 
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 0.5 1 1.5 2
x*x
 
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Semana Aula: 13 
Cálculo do Comprimento de Curvas 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno terá aptidão para: 
 Resolver problemas do cálculo de comprimento de curvas planas. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade IV. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS 
4.3 Cálculo do Comprimento curvas planas 
COMPRIMENTO DE ARCOS 
Uma noção intuitiva para determinar o que é comprimento de uma curva seria o de colocar 
um barbante sobre a curva e medir então o comprimento do barbante. 
 
A formula do comprimento de arco: Se f’ for continua em [a,b], então o comprimento da 
curva 
bxaxfy  ),(
 , é 
   






b
a
b
a
dx
dx
dy
dxxfL
2
2
1)(1
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Calcule o comprimento de arco da parábola semicubica 
32 xy 
 entre os pontos (1,2) e 
(4,5). 
∫ √1 + [
3√𝑥
2
]2
2
0
𝑑𝑥 = ∫ √1 + 
9𝑥
4
2
0
𝑑𝑥 
 u = 1+9x/4 então du = 9/4 dx 
 
∫ √𝑢
2
0
4𝑑𝑢
9
= 
4
9
2𝑢3/2
3
=
8(1+
9𝑥
4
)3/2
27
. Aplicando o limite de integração encontramos 
80√10−13√13
27
. 
 
2. O comprimento do arco de parábola 𝑦 = √𝑥, para 0 ≤ x ≤ 4 será 
𝑦′ = 
1
2√𝑥
 
∫ √1 + [
1
2√𝑥
]2
2
0
𝑑𝑥 = ∫ √1 + 
1
4𝑥
2
0
𝑑𝑥 = ∫ √
4x + 1
4x
2
0
𝑑𝑥 
 
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Semana Aula: 14 
Técnicas de Integração 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno estará apto a: 
 
 Calcular integrais pelas técnicas de transformação de integrais desconhecidas em 
integrais que possam ser resolvidas através de fórmulas básicas. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade V. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
5.1 Procedimentos Algébricos 
5.2 Integração por Partes 
5.3 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
INTRODUÇÃO 
A integração não é tão direta quanto a diferenciação. Nesta seção exibiremos algumas 
técnicas que, combinadas com as regras básicas de integração, nos permitirão resolver 
integrais indefinidas mais complicadas. 
Cada regra de diferenciação tem uma regra correspondente de integração. Na verdade há 
somente três procedimentos para se calcular integrais: 
(a) Substituição 
(b) Manipulação do integrando 
(c) Integração por partes 
 
MUDANÇA DE VARIÁVEL (OU SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL) 
A regra da Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a 
diferenciação. Já visto anteriormente. 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
A regra que corresponde a Regra do Produto para a diferenciação é chamada de integração 
por partes. 
  vduuvudv
 
De fato, observe que: 
 
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 
 
 
dxxfxgxgxfdxxgxf
dxxfxgdxxgxfdxxgxf
xfxgxgxfxgxf
xfxgxgxfxgxf












)()()()()()(
)()()()()()(
)()()()()()(
)()()()()()(
 
Fazendo: 
 )(xfu
 
)(xfdu 
 
 )(xgv
 
)(xgdv 
 
Temos então:
  vduuvudv
. 
DICA: Escolhe-se u como uma função cuja categoria ocorre antes na lista abaixo , dv será 
o restante. ( LIATE) 
Log > trig Inv > Alg > Trigon > Expo 
 
INTEGRAL POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 
Uma função racional é uma função do tipo 
)(
)(
)(
xQ
xP
xh 
, onde P(x) eQ(x) são funções 
polinomiais e Q(x) não é identicamente nulo. 
 
Escreveremos a função racional como uma soma de funções racionais simples (frações 
parciais). 
 
Se grau do numerador
)(xP
grau do denominador 
)(xQ
, efetua-se a divisão. 
Ficamos com 
)()()()( xRxfxQxP 
, ou ainda 
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xf
xQ
xP

, onde o grau do polinômio 
resto R(x) é menor que o grau do polinômio divisor Q(x). Assim, temos que 
dx
xQ
xR
dxxfdx
xQ
xP
 
)(
)(
)(
)(
)(
. 
O cálculo da integral de f(x) não é difícil, já que se trata de um polinômio. 
 
A questão é o cálculo de 
dx
xQ
xR

)(
)(
, que pode ser considerada uma integral de fração própria, 
isto é, com numerador menor que o denominador. 
 
 
Proposição: Podemos afirmar que se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) 
pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com 
coeficientes reais. 
Condições: 
 O termo de maior grau do denominador será 1, caso contrario deveremos dividir o 
numerador e o denominador e reescrever f(x). 
 
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 O numerador será menor do que o denominador, caso contrario deveremos dividir o 
numerador e o denominador e reescrever f(x). 
 
CASO LINEAR 
Denominador fatorável em fatores lineares distintos 
)())(()( 21 naxaxaxxQ  
, com 
niai ,1, 
 distintos dois a dois. 
)()()(
)(
2
2
1
1
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xh





 
, de modo que 
niAi ,1, 
 são constantes a serem 
determinadas. 
Denominador fatorável em fatores lineares repetidos 
Fator linear 
iax 
 do denominador Q(x) tem multiplicidade r: 
)()()( 1
21
i
r
r
i
r
i
ax
B
ax
B
ax
B




 

, de modo que 
riBi ,1, 
 são constantes a serem 
determinadas. 
 
Exemplo: ∫
8x−9
x2−x−6
dx onde x2 - x - 6 =(x - 3)(x + 2) 
 
∫
8x−9
x2−x−6
dx = ∫
8x−9
(x−3)(x+2)
dx → 
8x−9
(x−3)(x+2)
=
A
(x−3)
+
B
(x+2)
 
 
Exemplo: ∫
−4x3
2x3+x2−2x−1
dx 
 
Observe que neste exemplo, não atendemos os requisitos iniciais, ou seja, antes de começar 
necessitamos fazer a divisão dos termos e reescrever a função racional de forma a atender 
as condições iniciais. 
Dividindo a função em duas partes: 
−4x3
2x3 + x2 − 2x − 1
= −2 +
2x2 − 4x − 2
2x3 + x2 − 2x − 1
 
 
Pois: 
 
 
Portanto faremos duas integrais: 
∫
−4x3
2x3+x2−2x−1
dx = ∫ −2 dx + ∫
2x2−4x−2
2x3+x2−2x−1
dx → 
2x2−4x−2
2x3+x2−2x−1
=
A
(x−1)
+
B
(x+
1
2
)
+
C
(x+1)
. 
 
 
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A primeira integral pode ser resolvida de modo direto (-2x) e a segunda pelo método de 
funções racionais por frações parciais 
 
(
2x2−4x−2
2x3+x2−2x−1
= 
2x2−4x−2
x3+
1
2
x2−x−
1
2
=
A
(x−1)
+
B
(x+
1
2
)
+
C
(x+1)
). 
 
Observe que dividimos o denominador por dois antes de reescrever a função. 
 
 
Exemplo: ∫
x3+3x−1
x4−4x2
dx = ∫
x3+3x−1
(x−2)(x+2)x2
dx → 
x3+3x−1
(x−2)(x+2)x2
=
A
(x−2)
+
B
(x+2)
+
C
x2
+ 
D
x
 
 
Observe que x2 usou a definição acima. 
 
 
Exemplo. ∫
5𝑥−10
𝑥2−3𝑥−4
𝑑𝑥 
 
Parte 1: Dividindo o denominador em duas partes: “quebrando” o denominador 
𝟓𝒙 − 𝟏𝟎
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒
=
𝟓𝒙 − 𝟏𝟎
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏)
=
𝑨
𝒙 − 𝟒
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
=
𝑨(𝒙 + 𝟏) + 𝑩(𝒙 − 𝟒)
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏)
=
(𝑨 + 𝑩)𝒙 + (𝑨 − 𝟒𝑩)
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏)
 
Tirando o MMC e trabalhando com o numerador: 
𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 − 4𝐵 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 + (𝐴 − 4𝐵) 
Comparando com o numerador (5x-10): 
A+B=5 
A-4B=-10 
Resolvendo o sistema, obtemos: A=2 e B=3 
5𝑥 − 10
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏)
=
𝟐
𝒙 − 𝟒
+
𝟑
𝒙 + 𝟏
 
Parte 2 .Precisamos agora integrar. 
∫
5𝑥 − 10
𝑥2 − 3𝑥 − 4
𝑑𝑥 = ∫
5𝑥 − 10
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏)
𝑑𝑥 = ∫
𝟐
𝒙 − 𝟒
𝑑𝑥 + ∫
𝟑
𝒙 + 𝟏
 
∫
𝟐
𝒙 − 𝟒
𝑑𝑥 = 2𝑙𝑛|𝑥 − 4| 
∫
𝟑
𝒙 + 𝟏
𝑑𝑥 = 3𝑙𝑛|𝑥 + 1| 
Assim, 
∫
5𝑥 − 10
𝑥2 − 3𝑥 − 4
𝑑𝑥 = 2𝑙𝑛|𝑥 − 4| + 3𝑙𝑛|𝑥 + 1| 
∫
5𝑥 − 10
𝑥2 − 3𝑥 − 4
𝑑𝑥 = ln(𝑥 − 4)2 + 𝑙𝑛|(𝑥 + 1)3| 
 
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∫
5𝑥 − 10
𝑥2 − 3𝑥 − 4
𝑑𝑥 = ln(𝑥 − 4)2 |(𝑥 + 1)3| + 𝐶 
 
Exemplo. ∫
1
𝑥2+𝑥−2
𝑑𝑥 
 
1
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
1
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
=
𝐴
𝑥 + 2
+
𝐵
𝑥 − 1
 
Tirando o mmc e determinando os valores de A,B e C, obtemos: 
1
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
1
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
=
−1/3
𝑥 + 2
+
1/3
𝑥 − 1
 
A partir daí, basta integrar as funções. 
Gabarito: 
1
3
𝑙𝑛 |
𝑥−1
𝑥+2
| + 𝐶 
CASO QUADRÁTICO 
Denominador com fatores quadráticos irredutíveis e diferentes 
 
O fator quadrático 
cbxx 2
 do denominador Q(x) corresponderá à fração parcial 
cbxx
DCx


2
 
 
Exemplo: ∫
8x2+3x+20
x3+x2+4x+4
dx = ∫
8x2+3x+20
(x−1)(x2+4)
dx → 
8x2+3x+20
(x−1)(x2+4)
=
A
(x−1)
+
Cx+D
(x2+4)
 
 
Denominador com fatores quadráticos irredutíveis e repetidos 
 
Fator quadrático 
cbxx 2
do denominador Q(x) tem multiplicidade s: 
)()()( 212
22
2
11
cbxx
DxC
cbxx
DxC
cbxx
DxC ss
ss 









. 
 
Exemplo: ∫
x3+x+2
x(x2+1)2
dx → 
x+1
x(x2+2x+3)2
=
A
x
+
Bx+C
(x2+1)
+
Dx+E
(x2+1)2
 
 
Exemplo: ∫
3𝑥2+4𝑥+2
𝑥(𝑥+1)2
 
3𝑥2 + 4𝑥 + 2
𝑥(𝑥 + 1)2
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 + 1
+
𝐶
(𝑥 + 1)2
 
Tirando o mmc e determinando os valores de A,B e C, obtemos: 
 
3𝑥2 + 4𝑥 + 2
𝑥(𝑥 + 1)2
=
2
𝑥
+
1
𝑥 + 1
+
−1
(𝑥 + 1)2
 
A partir daí, basta integrar as funções. 
 
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Gabarito: ∫
3𝑥2+4𝑥+2
𝑥(𝑥+1)2
= 𝑙𝑛|𝑥2(𝑥 + 1)| +
1
𝑥+1
+ 𝐶 
 
Exemplo: ∫
3𝑥−2
𝑥3−𝑥2
𝑑𝑥 
3𝑥 − 2
𝑥3 − 𝑥2
=
3𝑥 − 2
𝑥2(𝑥 − 1)
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥2
+
𝐶
𝑥 − 1
 
Tirando o mmc e determinando os valores de A,B e C, obtemos: 
3𝑥 − 2
𝑥3 − 𝑥2
=
3𝑥 − 2
𝑥2(𝑥 − 1)
=
−1
𝑥
+
2
𝑥2
+
1
𝑥 − 1
 
A partir daí, basta integrar as funções. 
∫
3𝑥 − 2
𝑥3 − 𝑥2
𝑑𝑥 = −𝑙𝑛|𝑥| −
2
𝑥
+ 𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶 
 
SAIBA MAIS. 
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS 
(I) Tipo
 xdxxsen
nm cos
 
Caso 1: No mínimo um dos expoentes m, n é um inteiro ímpar positivo. 
 
(a) 
 xdxsen
3
 
CxxCuuduuduusenxdxx
senxdxduxu
senxdxxxsenxdxsenxdxsen




  
33222
223
cos
3
1
cos)
3
1
()1())(1()cos1(
,cos
)cos1( 
 
(b) 
 xdxxsen
52 cos
 
CxsenxsenxsenCuuu
duuuuduuuuduuuxdxxsenxsen
xdxdusenxu
xdxxsenxsenxdxxxsenxdxxxsenxdxxsen





   
753753
64242222222
2222224252
7
1
5
2
3
1
7
1
5
2
3
1
2)21()1(cos)1(
cos,
cos)1(cos)(coscoscoscos
 
 
Caso 2: Ambos os expoentes m, n são inteiros pares não negativos. 
 
Dicas: 
 xxsen 2cos1
2
12 
 e 
 xx 2cos1
2
1
cos2 
 
De fato: 
senasenbbaba  coscoscos
 
xsenxsenxsenxsenxx 22222 21)1(cos2cos CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
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)2cos1(
2
1
2cos
2
1
2
1
2cos12
212cos
2
2
2
2
xxsen
xxsen
xxsen
xsenx




 
Ou ainda 
1cos2)cos1(coscos2cos 22222  xxxxsenxx
 
)2cos1(
2
1
cos
2cos
2
1
2
1
cos
2cos1cos2
1cos22cos
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx




 
 
(a) 
 xdxsen
4
 
  Cxsenxxsenxdxxxdxxdxxsenxdxsen 

















 
8
4
24
1
2
2
2
1
4
)2cos2cos21(
4
1
)2cos1(
2
1 2
2
2224
 
(II) Integrais envolvendo 
nxmxsenmxsennxnxsenmx coscos,,cos
 
Aplicação: analise matemática de fenômenos periódicos, tais como ondas do mar e ondas 
cerebrais. 
Dicas: 
)cos(
2
1
)cos(
2
1
coscos
)cos(
2
1
)cos(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
cos
tststs
tstssenssent
tssentssentsens



 
 
(a) 
 xdxxsen 4cos3
 
  Cxxdxsenxxsendxxsenxsenxdxxsen 





 
2
cos
14
7cos
7
2
1
)(
2
1
7
2
1
4cos3
 
 
 
 
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
Usamos substituição trigonométrica para lidar com expressões tais como 
22 ua 
, 
22 ua 
 
e 
22 au 
, onde a é uma constante positiva. Integrais deste tipo são necessárias se desejamos 
encontra a área de um círculo ou uma elipse. 
A seguir listamos uma tabela onde constam algumas substituições trigonométricas eficazes 
para as expressões com radicais dadas por causa de certas identidades trigonométricas. 
 
caso expressão substituição identidade triângulo 
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
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1 
22 ua 
 
22
,
  asenu
  22 cos1  sen 
 
 
 
 
 
 
2 
22 ua 
 
22
,
  tgau
  22 sec1  tg 
 
 
 
 
 
3 
22 au 
 
2
3
2
0
,sec







ou
au  22 1sec tg
 
 
 
 
 
 
As substituições que foram sugeridas podem ser desenvolvidas analiticamente. 
 
Caso 1: 
22 ua 
 
Mudamos a variável de u para  utilizando a substituição u = asen. 
Uma vez que 
1cos22  sen
, e, portanto
 22 cos1  sen
, a raiz será eliminada 
   coscos1 222222222 aasenasenaaua  
 
Caso 2: 
22 ua 
 
Mudamos a variável de u para  utilizando a substituição u = a tg. 
Uma vez que 
 22 sec1  tg
, a raiz será eliminada 
   secsec1 222222222 aatgatgaaua  
 
Caso 3: 
22 au 
 
Mudamos a variável de u para  utilizando a substituição u = a sec. 
Uma vez que 
 22 sec1  tg
, a raiz será eliminada 
   tgatgaaaaau  222222222 1secsec 
 
Depois de se resolver a integral na variável , volta-se a variável original utilizando-se o 
triângulo retângulo. 
 
 
Identidades trigonométricas fundamentais 
 


sen
1
seccos 
  tgtg  )(
 
 22 seccoscot1  g
 
 
u 
a 
 
 u 
a 
 
 
u 
a 
 
 
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


cos
sen
tg 
 


sen






2
cos
  cos)cos(  


tg
g
1
cot 
 


cos
1
sec 
 
 cos
2






sen
 
 22 sec1  tg
 



sen
g
cos
cot 
 
 gtg cot
2







 
 sensen  )(
 
1cos22  sen
 
 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
I. Integração por partes 
 
 
1. ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 
 
2. ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥 
∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑥 ∙
1
𝑥
 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝐶 
3. ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 
 
4. ∫ 𝑥2𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥 𝑣 =
𝑥3
3
 
∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 𝑙𝑛𝑥 − ∫
𝑥3
3
∙
1
𝑥
 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 𝑙𝑛𝑥 −
1
3
∫ 𝑥2𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 𝑙𝑛𝑥 −
𝑥3
9
+ 𝐶 
 
5. ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
 
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𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥 
∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
 
6. ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2 𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ −2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 
 
7. ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ −𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
Calculando 
∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥 
∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
Voltando: 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ −𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 
2 ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
(𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶) 
8. ∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 𝑣 =
𝑥2
2
 
∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
 𝑙𝑛𝑥 − ∫
𝑥2
2
∙
1
𝑥
 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
 𝑙𝑛𝑥 −
1
2
∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
2
 𝑙𝑛𝑥 −
𝑥2
4
+ 𝐶 
 
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II. Integração por frações parciais 
 
1. 
 

dx
x
xx
1
3
 
2. 
 

dx
xx
x
2
53
2
 
3. 
 

dx
xxx
xx
232
12
23
2
 
4. 
 

dx
xxx
x
33
2
23
 
5. 
 

dx
xxx
x
122
4
23
3
 
6. 
dx
xx
xx
 

24
3
4
13
 
7. 
 

dx
xxx
xx
3
452
23
2
 
 
 
III. Encontre o resultado da integral de frações racionais por frações parciais 
∫
x3+5x2−x−22
x2+3x−10
dx 
a) 
𝑥2
2
+ 2𝑥 +
4
7
ln|𝑥 − 2| +
17
7
− ln |𝑥 + 5| + 𝐶 
b) 𝑥2 + 2𝑥 +
4
7
ln|𝑥 − 2| +
17
7
− ln |𝑥 + 5| + 𝐶 
c) 
𝑥2
2
+ 
4
7
ln|𝑥 − 2| +
17
7
− ln|𝑥 + 5| + 𝐶 
d) 
𝑥2
2
+ 2𝑥 +
4
7
ln|𝑥| +
17
7
− ln |𝑥 + 5| + 𝐶 
Gabarito:) a 
 
IV. Encontre o resultado da integral de frações racionais por frações parciais ∫
1
x3+3x2
dx 
a) 
−1
3𝑥
+ ln |𝑥 + 3|
1
9⁄ − ln |𝑥|
1
9⁄ + 𝐶 
b) 
1
𝑥
+ ln |𝑥 + 3|
1
9⁄ − ln |𝑥|
1
9⁄ + 𝐶 
c) 
−1
3𝑥
+ ln |𝑥 + 3| − ln |𝑥|
1
9⁄ + 𝐶 
d) 
−1
3𝑥
+ ln |𝑥 + 3| − ln |𝑥| + 𝐶 
Gabarito: (a) 
 
 
 
 
 
1. cxx
xx
 1ln22
23
23
 
2. cxx  1ln3
8
2ln
3
1
 
3. cxxx  12ln10
1
2ln
10
1
ln
2
1
 
4.cxxx  3ln8
1
1ln
8
3
1ln
4
1
 
5. cxxxx  1ln212ln3
1
1ln
3
2
2 
6. cxxxx  ln4
3
4
1
2ln
16
15
2ln
16
13
 
7. 
  c
x
arctg
xxx 














2
1
2
8
32ln
2
1
6
1
1ln
6
11 2
 
 
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Exercícios – Frações Parciais 
 
1 - 
 

dx
xx
x
7
212
2
 Resposta: 
Cxx  ln37ln5
 
 
2 - 
dx
xxx
xx
 

3910
117114
23
2 Resposta: 
Cxxx  3lnln313ln2
 
 
3 - 
 

dx
xxx
xx
245
4846
23
2 Resposta: 
Cxxx  3ln3ln28ln4
 
 
4 - 
 
dx
x
x
1
2 Resposta: 
Cxx
x
 1ln
2
2 
 
5 - 
 

dx
x
x
1
1
2
2 Resposta: 
Cxxx  1ln1ln
 
 
6 - 
    
dx
xx 15
1
2
 Resposta: 
C
x
xx 



6
)5(
5ln
36
1
1ln
36
1 1
 
 
7 - 
 

dx
xx
xx
23
2
2
235
 Resposta: 
C
x
xx 
1
ln22ln3
 
 
8 - 
  24 xx
dx
 Resposta: 
C
x
xx 
1
1ln
2
1
1ln
2
1
 
 
9 - 
 

dx
xx
xx
2
2
)1(
34
 Resposta: 
Cxxx  1)1(81ln2ln3
 
 
10 - 
 

dx
xx
x
1356
153
2
 Resposta: 
Cxx  15ln
4
5
9ln
4
7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios – Integração por Partes. 
 
 
 
 
 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 15 
A Regra de L'Hôpital - Integrais Impróprias 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá; 
 Resolver limites de frações cujos numeradores e denominadores tendem a zero, pela 
Regra de L'Hôpital. 
 Resolver integrais impróprias com limites infinitos de integração ou aquelas em que 
o integrando apresenta descontinuidade infinita. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade V TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
5.4 Regra de L´Hôpital e Integrais Impróprias 
 
Quando estamos trabalhando com limites, eventualmente precisamos determinar lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 , 
sabendo que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝛽 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝛾, com 𝛾 ≠ 0. Podemos determinar o limite do 
quociente: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝛽
𝛾
. 
 
Mas e quando tanto f(x) quanto g(x) tendem a zero? 
 
Dependendo do caso, podemos fatorar as expressões e tentar simplificá-las, mas nem 
sempre isso é possível. 
 
 
Exemplo: Calcular lim
𝑥→0
𝑥
sin2 𝑥
, 
Sabemos que lim
𝑥→0
𝑥 = 0 e lim
𝑥→0
sin2 𝑥 = 0. 
Observe o gráfico da função que queremos determinar o limite: ℎ(𝑥) =
𝑥
sin2 𝑥
. 
Pelo gráfico percebemos que não existirá o limite em questão. Mas e se não tivermos o 
gráfico? 
A resposta está na Regra de L´Hopital, que aprenderemos a seguir. 
 
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A Regra de L'Hopital é um instrumento poderoso para tratar indeterminações do tipo 0/0 ou 
∞/∞. Ainda temos outras formas indeterminadas, do tipo (0.∞), (∞-∞), 00, ∞0, 1∞. Para estas 
formas, existem técnicas que nos permitem transformá-las em indeterminações do tipo 0/0 
ou ∞/∞. Aí sim, podemos utilizar a Regra de L´Hopital. 
 
 
As FORMAS INDETERMINADAS 
No cálculo de limites podem aparecer indeterminações do tipo 
0
0
, 


,ou ainda 
0
, ou 
mesmo 

. 
 
Forma indeterminada do tipo 
0
0
 
Em geral, se tivermos um limite da forma 
( )
lim
( )x a
f x
g x
 onde 
( ) 0 ( ) 0f x e g x 
 quando 
x a
 então esse limite pode ou não existir e é chamado uma forma indeterminada do 
tipo 
0
0
 
Exemplo: 
1
ln
lim
1x
x
x 
 
 
Observe o gráfico de cada uma das funções envolvidas: 
 
 
 
 
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𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 
 
 
Ambas as funções tendem a zero, quando x tende a 1. 
Agora vejamos a função quociente ℎ(𝑥) =
𝑙𝑛𝑥
𝑥−1
 
 
 
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Pelo gráfico da função quociente podemos facilmente determinar esse limite. Mas como 
sabê-lo se não tivermos o gráfico? 
Forma indeterminada do tipo 


. 
Em geral, se tivermos um limite da forma 
( )
lim
( )x a
f x
g x
 onde 
)()(  ouxf
 e 
)()(  ouxg
 quando 
x a
 então esse limite pode ou não existir e é chamado uma 
forma indeterminada do tipo 


 
 
 
REGRA DE L’HOPITAL 
 
A regra de L’Hopital nos fornece um interessante método para “eliminar” certas 
indeterminações e calcular limites. 
 
Regra de L’Hopital - Suponha que f e g são diferenciáveis e 
( ) 0g x 
 próximo a a 
(exceto possivelmente em a). Suponha que 
lim ( ) 0
x a
f x


 e 
lim ( ) 0
x a
g x


 
ou que 
lim ( )
x a
f x

 
 e 
lim ( )
x a
g x

 
 
Em outras palavras, há uma forma indeterminada do tipo 
0
0
 ou 

 
Então, temos que 
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x a x a
f x f x
L
g x g x 

 

 
 
Observação: A regra de L’Hopital NÃO usa a derivada do quociente. 
 
Exemplo. Voltemos ao nosso exemplo ℎ(𝑥) =
𝑙𝑛𝑥
𝑥−1
. Suponha que desejemos determinar 
lim
𝑥→1
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→1
𝑙𝑛𝑥
𝑥−1
= lim
𝑥→1
1
𝑥⁄
1
= 1 
 
Observação: Se temos uma função n vezes diferenciável, podemos derivar sucessivamente 
até que tenhamos eliminado a indeterminação. 
 
Exemplo: 
)2(
lim
2
0 xsen
xx
x


 indeterminação: 
0
0
. 
)2(
lim
2
0 xsen
xx
x

 2
1
)2cos(2
12
lim
0



 x
x
x
 
 
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PRODUTOS INDETERMINADOS 
 
Forma indeterminada do tipo 
0
 
Se tivermos um limite da forma 
)()(lim xgxf
ax
 com 


)(lim xf
ax
 e 
0)(lim 

xg
ax
, diz-
se que este limite é uma forma indeterminada do tipo 
0
 
Para determinarmos o valor do limite em questão 
)()(lim xgxf
ax
 podemos escrever o 
produto 
)()( xgxf
como 
)(
1
)(
xg
xf
 ou 
)(
1
)(
xf
xg
 o que nos leva a forma indeterminada 
0
0
 ou 


, de forma que podemos então utilizar a Regra de L’Hopital. 
Exemplo: 
xx
x
lnlim
0
 
xx
x
lnlim
0
0)(lim
1
1
lim
1
ln
lim
0
2
00



 
x
x
x
x
x
xxx
 
 
DIFERENÇAS INDETERMINADAS 
 
Se 


)(lim xf
x
 e 


)(lim xg
x
 então o limite 
)]()([lim xgxf
x


 é chamado de forma 
indeterminada do tipo 

 
 
Para determinarmos o valor do limite em questão 
)]()([lim xgxf
x


 tentamos converter a 
diferença, por exemplo, em um quociente, usando um denominador comum ou 
racionalização, ou mesmo pondo em evidencia um fator comum, de forma a se obter uma 
forma indeterminada do tipo 
0
0
 ou 


.Exemplo: 
)(seclim
)2(
tgxx
x

 
 
)(seclim
)2(
tgxx
x

 







 x
senx
xx coscos
1
lim
)2( x
senx
x cos
1
lim
)2(


 
0
cos
lim
)2(




 senx
x
x 
 
 
 
INTEGRAL IMPRÓPRIA 
Até o momento estávamos trabalhando com áreas de regiões do plano utilizando a integral 
definida, cujas regiões tinham que ser limitadas. Estenderemos agora o conceito de integral 
definida para o caso onde o intervalo, onde a função está definida e sendo integrada, é 
infinito. Esta integral é chamada “impropria”. Uma das aplicações mais importantes desta 
idéia é a distribuição de probabilidade. 
 
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Integrais impróprias com limite superior infinito 
Se 

t
a
dxxf )(
 existe para cada numero 
at 
 então 
 


t
a
t
a
dxxfdxxf )(lim)(
 desde que o limite 
exista ( como um numero ). 
Integrais impróprias com limite inferior infinito 
Se 

b
t
dxxf )(
 existe para cada numero 
bt 
 então 
 


b
t
t
b
dxxfdxxf )(lim)(
 desde que o 
limite exista ( como um numero ). 
Definição: As integrais 


a
dxxf )(
 e 


b
dxxf )(
 são chamadas convergentes se os limites 
correspondentes existem, e divergentes se os limites não existem. 
Integrais impróprias com ambos limites infinitos 
Se 


a
dxxf )(
 e 


a
dxxf )(
 são convergentes , então definimos 






a
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
 
Qualquer das integrais impróprias acima podem ser interpretadas como uma área, desde que 
f seja uma função positiva. 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Calcule lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥
, detectando que se trata de uma forma indeterminada e utilizando a 
regra de L´Hopital. 
(a)0 (b)1 (c)2 (d)3 (e)4 
 
Gabarito: (c)2 
 
2. Calcule lim
𝑥→0
𝑒𝑥−1
𝑥3
, detectando que se trata de uma forma indeterminada e utilizando a 
regra de L´Hopital. 
(a)0 (b)1 (c)2 (d)3 (e)+∞ 
 
Gabarito: (e)+∞ 
 
3. Calcule lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
3𝑥
 
 
como 
 
 
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regra de L'Hôpital: 
 
 
4. Calcule lim
𝑥→0
𝑒5𝑥−1
3𝑥
 
Como 
 
 
regra de L'Hôpital: 
 
5. Calcule lim
𝑥→𝜋
𝑐𝑜𝑠3(
𝑥
2
)
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
 
 
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como 
 
regra de L'Hôpital: 
 
 
6. Calcule lim
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)
𝑥−1
 
como 
 
regra de L'Hôpital: 
 
 
7. calcule lim
𝑥→1
𝑙𝑛𝑥
𝑥2−𝑥
 
 
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 como 
 
regra de L'Hôpital: 
 
 
 
 
8. lim
𝑥→1
𝑥3+𝑥2−5𝑥−3
𝑥3−7𝑥2+11𝑥−5
 
 
Como 
 
regra de L'Hôpital: 
 
 
 
 
9. Determine se a integral 








1
2
1
dx
x
 é convergente ou divergente 
10. Determine se a integral 








1
1
dx
x
 é convergente ou divergente 
 
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11. Encontre a área sob a curva 
3
1
x
y 
 de x=1 a x=t . Então encontre a área total abaixo 
dessa curva para 
1x
. 
12. Avalie se a integral 




dx
x21
1
 é convergente ou divergente. 
13. Determine se a integral 









1
2)13(
1
dx
x
 é convergente ou divergente 
14. Determine se a integral 









0
52
1
dx
x
 é convergente ou divergente 
15. Avalie se a integral 



1
dxe x
 é convergente ou divergente 
16. Determine as integrais improprias 
 
 
 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 16 
Integrais Impróprias - Convergência 
 
Tema 
Integrais Impróprias - Convergência 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá saber: 
 
 Identificar a convergência de uma integral com limites infinitos de integração ou de 
integral com descontinuidade infinita no integrando. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade V. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
5.4 Regra de L´Hôpital e Integrais Impróprias 
 
Saiba mais: FORMULA DE TAYLOR 
 
Muitas funções, como, por exemplo, funções logarítmicas, exponenciais e trigonométricas, 
cujo cálculo não é fácil, podem ser aproximadas por polinômios. Quando a diferença entre 
aproximação polinomial e a função original for pequena, podemos trabalhar com a 
aproximação polinomial. 
Uma aproximação é dada pela Fórmula de Taylor. 
 
Polinômio de Taylor: 
Considere uma função f que possua derivadas f(n) de ordem 𝑛 ≥ 1, definida em um intervalo 
aberto I e considere ainda um número fixo a pertencente a este intervalo. 
O Polinômio de Taylor do n-ésimo grau da função f em a é a função polinomial Pn definida 
por: 
𝑃𝑛(𝑥)
= 𝑓(𝑎) +
𝑓´(𝑎)
1!
(𝑥 − 𝑎) +
𝑓´´(𝑎)
2!
(𝑥 − 𝑎)2 +
𝑓´´´(𝑎)
3!
(𝑥 − 𝑎)3 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛 
 
 
Os valores das derivadas sucessivas do polinômio de Taylor Pn e aos valores das derivadas 
sucessivas correspondentes são iguais, isto é: 
𝑓´(𝑎) = 𝑃´𝑛(𝑎) 
𝑓´´(𝑎) = 𝑃´´𝑛(𝑎) 
𝑓´´´(𝑎) = 𝑃´´´𝑛(𝑎) 
⋮ 
𝑓(𝑛)(𝑎) = 𝑃𝑛
(𝑛)(𝑎) 
 
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O Polinômio de Taylor Pn de uma função f em a, quando tomamos n suficientemente 
grande, é usado como uma aproximação da função. 
𝑓(𝑥) ≈ 𝑃𝑛(𝑥) 
 
Utilizamos então o Polinômio de Taylor Pn para estimar o valor de f(x). 
 
Precisamos calcular o limite de erro nesta estimativa, que corresponde a diferença entre o 
real valor da função f(x) e o valor estimado de Pn(x). 
 
TEOREMA: Extensão do Teorema do Valor Médio. 
Considere uma função f, com derivada f(n+1) no intervalo aberto I, n inteiro positivo. 
Então, se a e b (a≠b) são dois valores pertencentes a I, existirá um número c entre a e b, tal 
que: 
 
𝑓(𝑏)
= 𝑓(𝑎) +
𝑓´(𝑎)
1!
(𝑥 − 𝑎) +
𝑓´´(𝑎)
2!
(𝑥 − 𝑎)2 +
𝑓´´´(𝑎)
3!
(𝑥 − 𝑎)3 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛
+ 𝑟𝑛 
Onde 
𝑟𝑛 =
𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)!
(𝑏 − 𝑎)𝑛+1 
 
Podemos utilizar a notação: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) + 𝑅𝑛(𝑥) 
 
Exemplo: 
Vamos encontrar uma aproximação até o segundo termo do Polinômio de Taylor P2(x) para 
a função 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 para 𝑎 = 0 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑓´(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
𝑓´´(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑓´´´(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Calculando cada uma das derivadas em a=0: 
𝑓(0) = 𝑐𝑜𝑠0 = 1 
𝑓´(0) = −𝑠𝑒𝑛0 = 0 
𝑓´´(0) = −𝑐𝑜𝑠0 = −1 
Calculando o Polinômio de Taylor: 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑎) +
𝑓´(𝑎)
1!
(𝑥 − 𝑎) +
𝑓´´(𝑎)
2!
(𝑥 − 𝑎)2 
𝑃2(𝑥) = 1 +
0
1!
(𝑥 − 0) +
−1
2!
(𝑥 − 0)2 
 
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𝑃2(𝑥) = 1 −
𝑥2
2
 
 
Calculando o resto de Taylor: 
𝑟𝑛 =
𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)!
(𝑏 − 𝑎)𝑛+1 
𝑟𝑛 =
𝑓´´´´(𝑐)
3!
(𝑏 − 𝑎)3 
 
𝑟2 =𝑠𝑒𝑛𝑐
3!
𝑥3 
 
Note que a aproximação é boa para valores próximos de a=0.