AULAS CALCULO 1

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 1 
Apresentação. Conceituação de Derivadas. Derivadas de Ordem Superior. Regra da Cadeia 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá: 
 Conhecer o Plano de Ensino e o Mapa Conceitual, reconhecendo a importância da 
disciplina; 
 Identificar as Regras Básicas de Derivação; 
 Aprender a Derivação de Ordem Superior; 
 Compreender as aplicações práticas da Derivada como Taxa de Variação, dentre 
outras 
 
Estrutura de Conteúdo 
Apresentação do docente, do Plano de Ensino e do Plano de Aula, os Critérios de Avaliação, 
a Bibliografia Básica e Complementar. Revisão das Regras Básicas de Derivação Derivada 
de uma Constante, de Potência, de Soma, da Diferença, do Produto e do Quociente Derivadas 
de Ordem Superior. Regra da Cadeia. 
 
As derivadas de funções são o objeto fundamental no estudo do cálculo. Vários são os tipos 
de funções que podem ser usadas para modelar relações observadas no mundo real e o 
conceito da derivada nos explica como podemos calcular uma taxa média de variação, a 
velocidade de um móvel, sua aceleração além de outros fenômenos físicos. 
Unidade I. DERIVADAS 
1.1 Conceituação de Derivadas 
1.2 Regras Básicas de Derivação 
1.3 Derivadas de ordem superior 
 
 DERIVADA: CONCEITUAÇÃO 
 
Inúmeros são os exemplos nos quais observamos a necessidade do cálculo de taxas de 
variação: taxa de velocidade de um corpo em movimento, taxa de crescimento de certa 
população, taxa de crescimento econômico de um país, taxa de mortalidade infantil, taxa de 
variação de temperatura, dentre outros. O conceito de derivada está relacionado à taxa de 
variação instantânea de uma função. 
 
TAXAS DE VARIAÇÃO 
 
Podemos citar vários tipos de taxas de variação em diversas áreas de interesse 
 
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(i) física - A velocidade de uma partícula é a taxa de variação do deslocamento em 
relação ao tempo. Potência é a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo. 
(ii) química – Taxa de reação é a taxa de variação da concentração de um reagente em 
relação ao tempo. 
(iii) siderurgia – Custo marginal é a taxa de variação do custo de produção de x toneladas 
de aço por dia em relação a x. 
(iv) biologia – Taxa de variação populacional de uma colônia de bactérias no tempo 
 
VELOCIDADE DE UM AUTOMÓVEL 
 
Suponha um objeto se movendo sobre uma linha reta de acordo com a equação s=f(t), 
onde s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. Dessa forma, a função f, 
chamada função posição, descreve o movimento do objeto. 
A velocidade média no intervalo de tempo entre t e t+h é calculada: 
h
tfhtf
tempo
todeslocamen
mediavelocidadevmedia
)()( 

 
 
 
 
 
Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores, em 
outras palavras, façamos com que h tenda a zero. Este raciocínio os fornecerá a velocidade 
instantânea do objeto. 
 
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA GERAL 
 
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade. Dizemos, portanto que 
y é uma função de x e escrevemos y=f(x). 
Se x varia de x1 para x2 , a variação de x (incremento de x ) é ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1. 
A variação correspondente de y é ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 
 
A razão 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
 
 
É chamada de taxa de variação média de y em relação a x quando x varia de x1 para x2 . 
 
 
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Já que ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 ⇒ 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 podemos escrever: 
 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
Se y=f(x) definiremos de taxa de variação instantânea de y em relação a x no instante em 
que x=x1 como: 
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
 
Observação: Para calcular a taxa de variação média, nesse caso, você poderia 
simplesmente substituir os valores na função volume. 
 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
=
𝑓(2,01) − 𝑓(2)
0,01
=
2,013 − 23
0,01
= 12 
 
 
 
PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO DA DERIVADA 
 
O conceito de derivada está relacionado também com o conceito de tangência. Do ponto de 
vista geométrico, a derivada é a reta tangente à uma curva em um ponto dado desta curva, 
enquanto que do ponto de vista trigonométrico, a derivada é igual à tangente do ângulo que 
essa reta faz com o eixo dos x. 
 
 
COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A UM GRÁFICO EM UM 
PONTO 
 
Suponha que queremos calcular a reta tangente ao gráfico de uma função f em 
),( 11 yxP 
 
com 
)( 11 xfy 
. Observe que a reta tangente é a linha reta que contém P e “melhor 
aproxima” o gráfico de f nas vizinhanças de P. 
 
 
Para determinarmos a equação da reta tangente necessitamos de um ponto (já temos P) e do 
coeficiente angular da reta. 
 
 
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Consideremos um ponto vizinho a P, também pertencente a f, 𝑄 = (𝑥1 + ∆𝑥, 𝑦1 + ∆𝑦) =
(𝑥1 + ∆𝑥, 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥)). 
O coeficiente angular da reta secante PQ será 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
Fazemos então Q se aproximar de P cada vez mais. Note que se 
0x
 o ponto Q 
coincide com o ponto P, e, portanto, a reta secante tenderá a reta tangente. Em outras 
palavras, a reta tangente é a posição limite da reta secante PQ quando Q tende a P. 
 
 
 
A inclinação da tangente será, portanto, 
 
𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
 
Seja f função definida pelo menos em algum intervalo contendo o número x1 e seja𝑦1 =
𝑓(𝑥1) . Se o limite 𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 existe, diremos que a linha reta 
no plano xy contendo o ponto 
1 1( , )x y
 e tendo coeficiente angular m é a reta tangente ao 
gráfico de f em (𝑥1, 𝑦1) . 
 
 
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
A derivada de uma função em um número x1 , denotado por f’(x1) é 
𝑓´(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
se o limite existe. 
 
Observação: A reta tangente a y=f(x) em (x1,f(x1)) é a reta que passa por (x1,f(x1)) e tem 
inclinação igual a f’(x1) , que é a derivada de f em x1. 
 
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Dada uma função f, a função f’ definida por 
1 1
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
f x x f xy
f x
x x   
 
  
 
 
é chamada a derivada de f. 
 
Notações: 
)()()()( xfDxDfxf
dx
d
dx
df
dx
dy
yxf x
 
 
DIFERENCIAÇÃO 
 
Diferenciação é o processo de cálculo de uma derivada. 
 
Observação: Os símbolos D e d/dx são ditos operadores diferenciais, uma vez que 
indicam a operação de diferenciação. 
 
Uma função f é diferenciável em a se f’(a) existir. É diferenciável em um intervalo aberto 
(a,b) ( ou (a,) ou (-,a) ou (-,)) se for diferenciável em cada número do intervalo. 
 
 
Derivada à esquerda e à direita 
Derivada à esquerda: 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(
0
 
Derivada à direita: 
x
xfxxf
xf
x 




)()(
lim)(
0
 
 
 
Teorema: Se f for diferenciável em a, então f é continua em a. 
A recíproca do teorema não é verdadeira. Existem funções que são contínuas, mas não são 
diferenciáveis. 
 
 
Exemplo: 
xxf )(
 é uma função contínua em 0, mas não é diferenciável. 
 
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De fato, 






0
0
)(
xsex
xsex
xf
 
Temos então que determinar 
1 1
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
f x x f xy
f x
x x   
 
  
 
. 
Calculando o limite a esquerda e a direita: 
11limlim
)()(
lim
)()(
lim)(
0000










 

xxxx x
x
x
xxx
x
xfxxf
xf
 
 
11limlim
)()(
lim
)()(
lim)(
0000










 

xxxx x
x
x
xxx
x
xfxxf
xf
 
 
O limite, portanto, não existe, já que o limite à direita é diferente do limite à esquerda. 
Assim, a função não é diferenciável. 
 
 
Como uma função pode não ser diferenciável? 
(i) Em geral se o gráfico de uma função tiver uma “quina” ou uma “dobra”, este gráfico não 
terá tangente neste ponto e, portanto, f não será diferenciável ali. O que ocorre é que ao 
calcularmos f’(a) descobriremos que o limite à direita será diferente do limite à esquerda. 
(ii) Pelo teorema acima, se f for descontínua em a, f não será diferenciável em a. 
(iii) Quando a curva tem uma reta tangente vertical em x=a. 
 
 
 
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 (i) (ii) (iii) 
 
 
REGRAS BÁSICAS 
 
1) Regra da constante 
 
A derivada da função constante é zero, ou seja, 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑐, ∀𝑥, onde c é uma constante, então, 𝑓´(𝑥) = 0 
Outras notações: 
0xD c 
 ou 
0
d
c
dx

 
Exemplo: f(x)= 5 . f´(x) = 0 
 
 
2) Regra da identidade 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 , então, 𝑓´(𝑥) = 1 
Outras notações: 
1xD x 
 ou 
1
d
x
dx

 
 
3) Regra da potência 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, com n inteiro positivo, então, 𝑓´(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 
Outras notações: 
1n n
xD x nx

 ou 
1n nd x nx
dx

 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 𝑥21 
𝑓´(𝑥) = 21𝑥20 
 
4) Regra da Homogeneidade 
 
Se temos uma função f, uma constante c e uma função 𝑔(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) , então, se 𝑓´(𝑥) 
existe, temos que 𝑔´(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓´(𝑥). 
Outras notações: 
x xD cu cD u
 ou 
d du
cu c
dx dx
 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 10𝑥5 
𝑓´(𝑥) = 10 ∙ (𝑥5)´ 
𝑓´(𝑥) = 10 ∙ 5(𝑥4) 
𝑓´(𝑥) = 50𝑥4 
 
 
5) Regra da soma 
Se temos duas funções f e g e outra função h definida por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), então se f´(x) 
e g´(x) existirem, temos que ℎ´(𝑥) = 𝑓´(𝑥) + 𝑔´(𝑥) 
 
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Outras notações: 
( )x x xD u v D u D v  
 ou 
( )
d du dv
u v
dx dx dx
   
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥7 
𝑓´(𝑥) = 3 ∙ 5𝑥4 + 2 ∙ 7𝑥6 
𝑓´(𝑥) = 15𝑥4 + 14𝑥6 
 
 
5) Regra do Produto ( Leibnitz ) 
 
Se temos duas funções f e g e uma outra função definida por por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥), então se 
f´(x) e g´(x) existirem, temos que 
 
ℎ´(𝑥) = 𝑓´(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔´(𝑥) 
 
Outras notações: 
( )x x xD uv D u v u D v   
 ou 
( )
d du dv
u v v u
dx dx dx
   
 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37) 
𝑓´(𝑥)
= (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)´(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37) + (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37)´ 
𝑓´(𝑥) = (14𝑥6 + 6𝑥)(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37) + (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)(15𝑥2 + 8𝑥 + 10) 
 
A partir daí você pode efetuar as multiplicações e reduzir os termos semelhantes. 
 
 
6) Regra do Quociente 
 
Se temos duas funções f e g, 𝑔(𝑥) ≠ 0 e uma outra função definida por por ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, então 
se f´(x) e g´(x) existirem, temos que 
ℎ´(𝑥) =
𝑓´(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔´(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
Outras notações: 
2
( ) x xx
D u v u D vu
D
v v
  

 ou 
2
( )
du dv
v u
d dx dxu v
dx v

 
 
 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) =
𝑥5 + 3𝑥
2𝑥3 + 10
 
𝑓´(𝑥) =
(𝑥5 + 3𝑥)´(2𝑥3 + 10) − (𝑥5 + 3𝑥)(2𝑥3 + 10)´
(2𝑥3 + 10)2
 
 
 
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𝑓´(𝑥) =
(5𝑥4 + 3)(2𝑥3 + 10) − (𝑥5 + 3𝑥)(6𝑥2)
(2𝑥3 + 10)2
 
 
A partir daí você pode efetuar as multiplicações e reduzir os termos semelhantes. 
 
 
 
REGRA DA CADEIA 
 
Suponha que queiramos diferenciar a função 𝑦 = (𝑥2 + 5𝑥)3. Ou seja, queremos determinar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 . Podemos expandir, ou seja, elevar a terceira potência utilizando produtos notáveis e 
diferenciar. Mas observe que, em muitos casos, isso será impraticável, dependendo do 
expoente. Isso acontece porque estamos lidando com uma função composta. 
 
A regra da cadeia é uma regra de derivação que nos permite calcular a derivada de uma 
composição de funções. 
(𝑓𝑜𝑔)´(𝑥) = 𝑓´(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔´(𝑥) 
 
Utilizando a notação de Leibniz, esse resultado pode ser escrito como: 
 
Se y é uma função de u e se u é uma função diferenciável de x então y é uma função 
diferenciável de x e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
 
Exemplo: Determine a derivada de 𝑦 = (2𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑥 + 10)3 
Primeiramente, derivamos a “função potência de 3”, a seguir, derivamos o que está dentro 
do parêntesis. 
𝑦´ = 3(2𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑥 + 10)2(6𝑥2 + 10𝑥 + 1) 
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
 
 
Exemplo: Encontre todas as derivadas de ordem superior da função polinomial. 
𝑓(𝑥) = 10𝑥5 − 2𝑥4 + 5𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 + 50 
 
 
𝑓´(𝑥) = 50𝑥4 − 8𝑥3 + 15𝑥2 − 2𝑥 + 2 
𝑓´´(𝑥) = 200𝑥3 − 24𝑥2 + 30𝑥 − 2 
𝑓´´´(𝑥) = 600𝑥2 − 48𝑥 + 30 
𝑓𝑖𝑣(𝑥) = 1.200𝑥 − 48 
𝑓𝑣(𝑥) = 1.200 
 
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𝑓𝑣𝑖(𝑥) = 0 
 
Notações: 
 
Derivada primeira: 𝑦´ = 𝑓´(𝑥) 
Notação de Leibniz: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) 
 
Segunda derivada: (𝑦´)´ = 𝑦´´ = 𝑓´´ (𝑥) 
Notação de Leibniz: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑑2
𝑑𝑥2
𝑓(𝑥) 
 
N-ésima derivada: (𝑦(𝑛−1))´ = 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑛)(𝑥) 
Notação de Leibniz: 
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
=
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑓(𝑥) 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
 
1. Determine a derivada da função 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine a derivada da função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xx
xf
255
)(
5

15
5
255
255
)(   xx
xx
xf
26
26 25252525)´(
xx
xxxf 

 
23
12
)(
2
2



xx
xx
xf
   
22
2222
)23(
)´23(12)23´(12
)´(



xx
xxxxxxxx
xf
   
22
22
)23(
)32(12)23(14
)´(



xx
xxxxxx
xf
22
223223
)23(
)323264()238124(
)´(



xx
xxxxxxxxxx
xf
22
2
)23(
567
)´(



xx
xx
xf
 
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3. Suponha 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 . Calculando ataxa de variação média de y em relação a x 
quando se varia de x1=3 para x2 =3,5 e a taxa de variação instantânea de y em relação a x no 
instante em que x=x1=3, obtemos respectivamente: 
 
(a) 7 e 7,5 (b) 4 e 4,5 (c) 9 e 9,5 (d) 5 e 5,5 (e) 8 e 8,5 
 
Gabarito: 7 e 7,5 
 
4. Determinando a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2, utilizando a definição por limite, 
obtemos: 
 
(a) 2x+1 (b) 2x (c) x (d) x2 (e) 2x2 
 
Resposta: (b) 2x 
 
5. Determinando a derivada da função 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 10𝑥)(3𝑥4 − 10), obtemos: 
(a) 24𝑥4 + 120𝑥3 
(b) 2𝑥2 + 10𝑥 + 3𝑥5 
(c) 2𝑥 + 10 + 12𝑥3 
(d) 18𝑥5 + 150𝑥4 − 10𝑥2 − 110𝑥 − 100 
(e) 3𝑥5 + 15𝑥4 − 10𝑥2 − 110𝑥 
Gabarito (d) 18𝑥5 + 150𝑥4 − 20𝑥 − 100 
 
6. Determinando a derivada da função 𝑓(𝑥) =
3𝑥+10
𝑥−5
, obtemos 
(a) 3 
(b) 3𝑥2 + 10𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥 
(c) 5𝑥 + 5 
(d) 
10𝑥+5
𝑥2−10𝑥+25
 
(e) 
10𝑥+5
𝑥2−10
 
Gabarito: (d) 
−25
𝑥2−10𝑥+25
 
 
 
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Semana Aula: 2 
Derivadas de Funções Trigonométricas, de Funções Trigonométricas Inversas, de Funções 
Exponenciais e de Funções Logarítmicas 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá: 
 saber calcular, através das fórmulas, as derivadas das Funções Trigonométricas, de 
Funções Trigonométricas Inversas, de Funções Exponenciais e de Funções 
Logarítmicas; 
 reconhecer as funções algébricas e as funções transcendentes. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade I DERIVADAS 
1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas 
1.6 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
1.7 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
 
 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
𝑑
𝑑𝑥
𝑙𝑛𝑥 =
1
𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 =
1
𝑥𝑙𝑛𝑎
 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑥 = 𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎 
 
Exemplo: Derive a função 𝑦 = ln (3𝑥2 + 𝑥) 
Derivamos a função log neperiano e depois derivamos a função polinomial. 
𝑦´ =
1
3𝑥2 + 𝑥
(6𝑥 + 1) 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
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𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑡𝑔𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Determine a derivada da função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(5𝑥3) 
Precisamos derivar a função seno e depois derivar a função que está no argumento do seno. 
Observe que o argumento não se modifica!!! 
 
𝑦´ = cos (5𝑥3) ∙ (15𝑥2) 
 
2. Determine a derivada da função 
 
 
 
 
𝑓´(𝑥) =
1
2
(𝑥2 + 𝑥 + 1)−
1
2(2𝑥 + 1) =
2𝑥 + 1
2√𝑥2 + 𝑥 + 1
 
 
 
3. Determine a derivada da função 
 
𝑓´(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ (𝑐𝑜𝑠𝑥) 
 
 
4. Determine a derivada da função 
 
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥3 + 𝑥2(𝑐𝑜𝑠𝑥3)3𝑥2 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥3 + 3𝑥4(𝑐𝑜𝑠𝑥3) 
 
5. Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = 5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
(a)𝑓´(𝑥) = (𝑙𝑛5)5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 + 5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
(b) 𝑓´(𝑥) = (𝑙𝑛5)5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
(c) 𝑓´(𝑥) = 5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 + 5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
(d) 𝑓´(𝑥) = (𝑙𝑛5)5𝑥𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥 
( ) senxf x e
1)( 2  xxxf
32)( senxxxf 
 2
1
22 11)(  xxxxxf
 
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Gabarito: (a)𝑓´(𝑥) = (𝑙𝑛5)5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 + 5𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
6. Determine a derivada da função 
 
(a) 𝑓´(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)−(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑐𝑜𝑠25𝑥
 
(b) 𝑓´(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)+(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑐𝑜𝑠25𝑥
 
(c)𝑓´(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑐𝑜𝑠5𝑥)+(𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑐𝑜𝑠25𝑥
 
(d) 𝑓´(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑐𝑜𝑠5𝑥)−5(𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑐𝑜𝑠25𝑥
 
Gabarito: (d) 𝑓´(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑐𝑜𝑠5𝑥)−5(𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑠𝑒𝑛5𝑥)
𝑐𝑜𝑠25𝑥
 
 
Exercícios de Aprofundamento 
 
1. Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação: 
 
 
 
2. Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas. 
x
senx
xf
5cos
)( 
 
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3. Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
a) y = 3x4 – 2x; n = 5 
b) y = 1/ex; n = 4 
 
4. Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado: 
643)()
5
5
935
)()
2
1
)()
04965)()
04)()
23)()
13)()
332)()
4)()
0
2
02
2
0
0
234
0
2
0
2
0
0
0
2












xparaxxxfi
xpara
x
xx
xfh
xpara
x
xfg
xparaxxxxxff
xparaxxfe
xparaxxxfd
xparaxxfc
xparaxxfb
xparaxxfa
 
 
5. Determine a derivada das funções dadas 
 
 
 
 
6. Determine a derivada das funções dadas 
 
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7. Determine a derivada das funções dadas 
 
 
 
 
 
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Semana Aula: 3 
Derivação Implícita, Equação da Reta Tangente e Normal 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá estar apto a 
 Realizar derivação implícita e determinar, através do uso da derivada, as equações 
das retas tangentes e normal à uma curva, em determinado ponto de interesse. 
 
Estrutura de Conteúdo 
 
Unidade I. DERIVADAS 
1.8 Derivação Implícita 
1.9 Equação de reta tangente e normal 
 
DIFERENCIAÇÃO IMPLICITA 
 
FUNÇÕES IMPLÍCITAS 
Considere y como uma função de x definida pela equação 𝑦 = 2𝑥3 + 7𝑥 − 5 
Dizemos que, nesse caso, y é definida explicitamente em termos de x e escrevemos 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
onde 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 7𝑥 − 5 . 
 
Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), dizemos que y é uma função 
explícita de x, porque podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da 
função do outro. 
 
No entanto, nem todas as funções estão definidas de forma explicita. Na verdade, nem sempre 
isso é possível ou mesmo conveniente. 
Observe o exemplo: 𝑥𝑦 + 3 = 3𝑥 − 4𝑦. 
Note que y não está expresso em função de x. Neste caso dizemos que y é definida 
implicitamente pela equação. 
 
Em alguns casos é possível expressar o valor de y de forma explicita em função de x, e, a 
partir daí, podemos diferenciá-la utilizando as regras de derivação já nossas conhecidas. 
 
Nem sempre é fácil resolver uma equação para y explicitamente como uma função de x. 
Como então derivar uma função que é difícil de ser explicitada? 
 
Podemos usar o Método da Diferenciação Implícita. Este método consiste em diferenciar 
ambos os lados da equação em relação a x e então resolver a equação resultante. 
 
 
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PROCESSO PARA DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA 
 
Considere uma equação na qual y está definido de forma implícita. Podemos determinar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
por intermédio do seguinte processo: 
 
1. Diferenciamos ambos os membros da equação em relação a x. Lembre-se que y deve 
encarado como uma função de x e, por isso, devemos usar a regra da cadeia quando for 
necessário paradiferenciar as expressões nas quais aparecem y. 
 
2. Obteremos então uma equação onde aparecem, não somente x e y, mas também 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 . 
Isolamos então a derivada 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
 
Exemplo: Dado 𝑥2 + 𝑦2 = 36. Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2 + 𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥
(36) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) = 0 
2𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) = 0 
2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑥
2𝑦
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
 
 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 
 
A derivada de uma função f em um ponto a nos fornece a inclinação da reta tangente ao 
gráfico de f no ponto (a, f(a)). Essa interpretação geométrica da derivada é muito importante no 
que diz respeito à aproximação de funções, que veremos nas próximas aulas. 
 
 
 
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COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A UM GRÁFICO EM UM 
PONTO. 
 
Queremos determinar a reta tangente ao gráfico de uma função f em 
),( 11 yxP 
 com 
)( 11 xfy 
 
 
Observe que a reta tangente é a linha reta que contém P e “melhor aproxima” o gráfico de f 
nas vizinhanças de P. 
 
 
 
Para determinarmos a equação da reta tangente necessitamos de um ponto e do coeficiente 
angular da reta. 
 
OBS: Equação da reta que passa por P(x0,y0) e tem coeficiente angular m: 
(y-y0)=m(x-x0) 
 
 
Já temos o ponto P pertencente à reta, nos falta agora determinar o coeficiente angular. 
 
 
 
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Consideremos um ponto vizinho a P, também pertencente a f, 
))(,(),( 1111 xxfxxyyxxQ 
. O coeficiente angular da reta secante PQ 
será 
1 1( ) ( )f x x f xy
x x
 

 
 
Fazemos então Q se aproximar de P cada vez mais. Note que se 
0x
 o ponto Q 
coincide com o ponto P, e, portanto, a reta secante tenderá a reta tangente. Em outras 
palavras, a reta tangente é a posição limite da reta secante PQ quando Q tende a P. 
 
 
 
 
 
A inclinação da tangente será, portanto, 
1 1
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
f x x f xy
m
x x   
 
 
 
 
 
RETA TANGENTE AO GRÁFICO 
 
Seja f função definida pelo menos em algum intervalo contendo o número x1 e seja 
1 1( )y f x
. Se o limite 
1 1
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
f x x f xy
m
x x   
 
 
 
 existe, diremos que a linha 
 
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reta no plano xy contendo o ponto 
1 1( , )x y
 e tendo coeficiente angular m é a reta tangente ao 
gráfico de f em 
1 1( , )x y
. 
 
Bem, agora que conhecemos o ponto pertencente a reta, e o seu coeficiente angular, 
podemos determinar a equação da reta tangente 
 
 
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE 
 
Suponha f diferenciável em x1, f’(x1) coeficiente angular da tangente ao gráfico f no ponto 
1 1( , )x y
 ou ainda 
1 1( , ( ))x f x
 
A equação da tangente na forma ponto- coeficiente angular é 
1 1 1( )( )y y f x x x  
 
 
EQUAÇÃO DA RETA NORMAL 
 
A reta normal ao gráfico de f no ponto 
1 1( , )x y
é definida como sendo a linha reta através de 
1 1( , )x y
 que é perpendicular à reta tangente em 
1 1( , )x y
. 
 
 
Coeficiente angular da reta normal: 
1
1
( )f x


 
Equação da reta normal: 
1 1
1
1
( )
( )
y y x x
f x

  

 
 
Exemplo: Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x2 no ponto P(2,4). 
 
 
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Sabemos que a reta tangente ao gráfico de f(x)=x2 no ponto P(2,4) passa P(2,4). O que nos 
resta é determinar a inclinação desta reta. Precisamos encontrar o coeficiente angular da 
reta. Basta que encontremos a derivada no ponto P(2,4). 
f´(x) = 2x 
f´(2) = 4 
Assim, o coeficiente angular da reta tangente no ponto P(2,4) é m= 4. 
A reta que passa por P(2,4) e tem coeficiente angular m=4 é: 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 4 = 4(𝑥 − 2) 
𝑦 = 4𝑥 − 8 + 4 
𝑦 = 4𝑥 − 4 
 
 
Exemplo: Determinar a equação da reta normal ao gráfico de f(x)=x2 no ponto P(2,4). 
 A reta normal ao gráfico é perpendicular a reta tangente. Assim, o produto dos 
coeficientes angulares dessas duas retas perpendiculares é -1. 
mr . ms = -1 ou ainda, mr=-1/ms 
 
Como o coeficiente angular da reta tangente é 4, temos que o coeficiente angular da reta 
normal será -1/4. A reta normal também passará pelo ponto P(2,4). 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 4 = −
1
4
(𝑥 − 2) 
𝑦 = −
𝑥
4
+
1
2
+ 4 
𝑦 = −
𝑥
4
+
9
2
 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Determine a derivada 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 da função 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 30, utilizando o processo de 
diferenciação implícita. 
 
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𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥
(30) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑦) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥
(30) 
2𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑦) + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑦) + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 
𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 
 
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 − 𝑦 
(𝑥 + 2𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 − 𝑦 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2𝑥 − 𝑦
𝑥 + 2𝑦
 
 
2. Determine a derivada 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 da função 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 = 50, utilizando o processo de 
diferenciação implícita. 
 
(a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑦−2𝑥
1−3𝑥
 
(b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1−3𝑥
3𝑦−2𝑥
 
(c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3 + 1 
(d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3𝑦 
 
Gabarito (a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑦−2𝑥
1−3𝑥
 
 
 
3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑦 = √𝑥
3
, no ponto P(8,2). 
 
 
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(a) y=(1/12)(x+16) 
(b) y=x+16 
(c) y=(1/12)(x+8) 
(d) y=x+16/3 
(e) y=12x+16 
 
Gabarito: (a) y=(1/12)(x+16) 
 
 
 
Exercícios de Aprofundamento 
 
1. Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada no ponto 
indicado. 
(a)
)1,2(72)( 2 emxxf 
 
(b)
)3,1(1)( 2 emxxxf 
 
(c) 
)2,8()( 3 emxxf 
 
 
2. Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com a lei de movimento 
s=f(t). Ache 
dt
ds
v 
 e 
dt
dv
a 
 
(a) 
23 2tts 
 
(b) 
  12 1  ts
 
(c) 
345 2  tts
 
(d) 
42  tts
 
(e) s=
2
3
2
5
3
2
2
5
tt 
 
(f) 
00
2
2
1
stvgts 
 onde g, v0 e s0 são constantes 
 
 
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3. Determine a primeira e a segunda derivadas das funções: 
(a) 
245)( 5  xxxf
 
(b) 
 7)( 22  xxxf
 
(c) 
9237)( 25  xxxxf
 
(d) 
 23 2)(  xxxf
 
 
4. Nos problemas a seguir determine 
dx
dy
com o emprego da diferenciação implícita. 
1- 
3649 22  yx
 
2- 
23422  yxxy
 
3- 
7222  xxyyx
 
4- 
5332  yxxy
 
5- 
33 22  yxyx
 
6- 
2233 42 yxyxy 
 
7- 
13
2
3
2
 yx
 
8- 
02  yxyx
 
 
9- 
54  xyyx
 
10- 
9 yx
 
11- 
16 xyyx
 
12- 
  2514 33  yx
 
 
5. Suponha que x e y satisfaçam a equação dada. 
a) Determine 
dx
dy
 
b) Diferencie ambos os lados no resultado da equação acima e determine 
2
2
dx
yd
 
c) Utilize (a) e (b) de forma a determinar 
2
2
dx
yd
 independente de 
dx
dy
. 
1- 
422  yx
 2- 
1633  yx
 3- 
6444  yx
 
 
 
 
 
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Semana Aula: 4 
Aplicação de Derivadas, Taxas Relacionadas, Máximos e Mínimos 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá: 
 Calcular a taxa segundo a qual certa quantidade está variando em relação a outras 
cujas taxas são conhecidas. 
 Utilizar o Cálculo como ferramenta para analisar o comportamento de uma função 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade II APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
2.1 Taxas Relacionadas 
2.2 Máximos e Mínimos, traçado de curvas 
 
TAXAS RELACIONADAS 
 
Já vimos que se uma variável u é função da variável x, a taxa de variação instantânea de u, 
em relação a x, é a derivada 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
. 
 
Existem problemas que envolvem taxas de variação de variáveis que são relacionadas. 
Estes problemas são conhecidos como problema de taxas relacionadas. 
Assim, se uma variável x é função do tempo t , x(t), a taxa de variação de x em relação ao 
tempo é dada por 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 . 
Quando duas ou mais variáveis, todas expressas em função de t, são relacionadas por uma 
equação, podemos obter a relação entre suas taxas de variação diferenciando a equação toda 
em relação a t. 
 
Exemplo: 
Um homem tem 1,80m de altura e está a 12 m da base de um poste de luz com 20m de 
altura. Sabendo que o homem caminha em direção ao poste a uma velocidade de 4,0metros 
por segundo, a que taxa o comprimento de sua sombra está variando? 
 
 
 
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Considere x como o comprimento da sombra do homem em t segundos. 
Utilizando a noção de triângulos semelhantes, sabemos que: 
 
 
20
𝑥 + 𝑦
=
1,80
𝑥
 
20𝑥 = 1,80𝑥 + 1,80𝑦 
20𝑥 − 1,80𝑥 = 1,80𝑦 
18,2𝑥 = 1,80𝑦 
Derivando membro a membro, em função de t: 
18,2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 1,80
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
1,80
18,2
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
≅
1
10
∙ 4 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
≅
1
10
∙ 4 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
≅ 0,4𝑚/𝑠 
 
 
Exemplo: Calculo volume 1 Anton. 
Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio tanque se espalhe em 
uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que velocidade a 
área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 60 pés? 
 
 
Considere : 
t= segundos decorridos a partir do instante do derramamento 
r=raio do derramamento em pés, depois de t segundos. 
 
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S= área do derramamento em pés quadrados, depois de t segundos. 
Sabemos que 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 2 𝑝é𝑠/𝑠. 
 
𝑆 = 𝜋𝑟2 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 2𝜋𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
Fazendo r=60 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 2𝜋(60)2 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 240𝜋 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
≅ 754 𝑝é𝑠2/𝑠 
 
 
Exemplo: Um tanque, inicialmente vazio, de altura H tem a forma de um cone invertido 
com raio do topo circular igual a R. Começamos a encher de água o tanque a uma vazão 
constante de k litros por minuto. 
 
Determine a velocidade com que sobe o nível da água 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 , em função da profundidade h. 
 
Sabemos que o volume da água quando esta tem profundidade h é dado por 
𝑉 =
1
3
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ 
 
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Por semelhança de triângulos, temos 
𝑟
𝑅
=
ℎ
𝐻
 
 
Ou ainda, 𝑟 =
𝑅ℎ
𝐻
 . Substituindo r na formula do volume, 
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ 
𝑉 =
1
3
𝜋 (
𝑅ℎ
𝐻
)
2
ℎ 
 
𝑉 =
1
3
𝜋
𝑅2
𝐻2
ℎ3 
 
 
Sabemos que a taxa de variação do volume de água em função do tempo (vazão) 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 é 
constante e igual a k litros por minuto 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑𝑉
𝑑ℎ
∙
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 𝑘 
 
Podemos determinar 
𝑑𝑉
𝑑ℎ
, conhecendo 𝑉 =
1
3
𝜋
𝑅2
𝐻2
ℎ3. 
𝑑𝑉
𝑑ℎ
=
1
3
𝜋
𝑅2
𝐻2
3ℎ2 
𝑑𝑉
𝑑ℎ
= 𝜋
𝑅2
𝐻2
ℎ2 
 
Então, 
𝜋
𝑅2
𝐻2
ℎ2 ∙
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 𝑘 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝑘𝐻2
𝜋𝑅2ℎ2
 
 
 
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Observe que a velocidade de elevação do nível da água é inversamente proporcional ao 
quadrado de sua profundidade. 
 
 
 
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO 
 
Teorema do Valor Intermediário (Calculo volume 1 . Munem e Foulis ) 
Seja f função contínua no intervalo fechado [a,b] e suponha que 
)()( bfaf 
. 
Se k é um número real qualquer estritamente entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um 
número c, estritamente entre a e b, tal que f(c)=k.” 
 
O que significa o Teorema do Valor Intermediário? 
Se temos uma função continua, dados dois valores dessa função, ela assumirá todos os 
valores possíveis entre esses dois valores. 
 
Para que serve o Teorema do Valor Intermediário? 
Utilizamos o Teorema do Valor Intermediário para localizar zeros ou raízes de funções 
contínuas. 
Observe que se fizermos k=0, o valor de c será um zero da função. 
 
 
IMPORTANTE: O Teorema do Valor Intermediário só nos assegura a EXISTÊNCIA 
de um número c, porém não nos indica COMO encontrar tal número. 
 
 
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Exemplo: Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥 + 3. 
Quando 𝑥 = 1 , o valor do polinômio será 3. 
Quando 𝑥 = 2, o valor do polinômio será 33. 
 
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como p(x) é contínua, a equação 𝑥5 − 𝑥 + 3 = 𝑘 
tem pelo menos uma solução no intervalo [1,2]. 
 
Consequência do Teorema do Valor Intermediário 
Uma consequência do Teorema do Valor Intermediário: se f é uma função contínua em 
[a,b] e se f(a) e f(b) possuem sinais opostos, então existe um zero de f no intervalo aberto 
(a,b), ou ainda, existe um número c, tal que a<c<b e f(c)=0. 
 
Exemplo: Considere a equação 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0. 
A resolução dessa equação não é obvia em termos algébricos. Vamos construir o gráfico 
com o auxilio do software deadline.(disponível em www.somatematica.com.br) 
 
 
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Observamos pelo gráfico, que a equação 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0 tem uma raiz real e esta 
está situada entre 1 e 2. 
Esse fato é confirmado pela consequência do Teorema do Valor Intermediário. Sabemos 
que p(1)=-1 e p(2)=5 têm sinais opostos. 
 
Exercício resolvido: Considere a função polinomial definida por 
12)( 35  xxxf
. 
Mostre, utilizando o teorema do valor intermediário, que existe uma raiz de f entre 1 e 2. 
Vamos determinar f(1) e f(2): 
𝑓(1) = 1 − 2(1) − 1 = −2 
𝑓(2) = 25 − 2 ∙ 23 − 1 = 32 − 16 − 1 = 15(-2) e 15 possuem sinais contrários, assim, como a função é uma função continua no 
intervalo [1,2], pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um número c , 1 < 𝑐 < 2, de 
modo que 𝑓(𝑐) = 𝑐5 − 2(𝑐3) − 1 = 0. 
 
TEOREMA DO VALOR MÉDIO 
 
Teorema do Valor Médio (Calculo volume 1 . Munem e Foulis ) 
Se f é função definida e contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe pelo menos 
um número c com a<c<b tal que 
ab
afbf
cf



)()(
)(
. 
O que o Teorema do Valor Médio significa? 
Dada uma secante ao gráfico de uma curva diferenciável, podemos sempre encontrar um 
ponto do gráfico situado entre os dois pontos de interseção da secante com a curva de tal 
forma que a reta tangente nesse ponto seja paralela à secante. 
 
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Lembre-se que: 
 O coeficiente angular da reta que passa por A e B é: 
ab
afbf

 )()(
 
 Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. 
 Observe que pode existir mais de um valor de c para o qual 
ab
afbf
cf



)()(
)(
. 
 
TEOREMA DE ROLLE 
 
Teorema de Rolle (Calculo volume 1 . Munem e Foulis ) 
Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) tal que f(a)=f(b). Existe pelo 
menos um número real 
),( bac
tal que f´(c)=0. 
Observe que o Teorema de Rolle é um caso particular do Teorema do Valor Médio. 
 
 
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Exemplo: Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4. Queremos determinar os pontos de 
corte (as raízes) com o eixo x e, utilizando o Teorema de Rolle, verifique que 𝑓´(𝑐) = 0 em 
algum ponto c entre as duas raízes. 
Podemos determinar as raízes de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 utilizando Bhaskara ou fatorando o 
polinômio. 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 4) . As raízes são: 1 e 4. 
Sabemos que o polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 é continuo e diferenciável em todos os 
pontos do seu domínio. Assim, as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas. Isso 
significa que, pelo Teorema de Rolle, existe pelo menos um ponto c no intervalo (1,4) de 
tal forma que 𝑓´(𝑐) = 0. 
 
 
 
ANALISE DE GRÁFICOS: PONTOS DE MÁXIMOS E MINIMOS 
 
A derivada pode ser utilizada quando precisamos determinar se e/u quando uma função é 
crescente e decrescente. Quando analisamos o comportamento de uma função, é 
interessante e muito útil determinarmos quando a função cresce e/ou quando decresce. 
 
 
Função Crescente 
A função f é dita crescente em um intervalo I, se f é definida em I e se x1<x2 , então 
f(x1)<f(x2) 
 
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2 é uma função crescente em todo o seu domínio. 
 
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Função Decrescente 
A função f é dita crescente em um intervalo I, se f é definida em I e 
 
se x1<x2 , então f(x1)>f(x2) 
 
Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = −4𝑥3 é decrescente em todo o seu domínio. 
 
 
Exemplo. “Os empresários ainda estão otimistas em relação à economia e ao desempenho 
das suas empresas, mas o nível de confiança caiu em março para o menor patamar desde 
outubro de 2009. É o que diz pesquisa da Confederação Nacional da Indústria (CNI) 
divulgada hoje. Como mostra o gráfico abaixo, o Índice de Confiança do Empresário 
Industrial (ICEI) baixou de 61,8 para 60,5 pontos, mas valores acima de 50, segundo a CNI, 
indicam empresários confiantes.” 
http://oglobo.globo.com/economia/miriam/posts/2011/03/18/industria-confianca-cai-para-
menor-nivel-em-17-meses-369663.asp 
 
 
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Note que de abril de 2009 a janeiro de 2010 a função é crescente, enquanto que de abril de 
2008 a janeiro de 2009, a função é decrescente. 
 
 
O QUE F’ NOS DIZ SOBRE F? 
 
TESTE FUNÇÃO CRESCENTE/DECRESCENTE (Cálculo vol. 1 Munen e Foulis) 
Considere uma função f seja definida e contínua no intervalo I. Considere ainda f 
diferenciável xI, não necessariamente nos pontos extremos de I. 
(i) Se 
( ) 0,f x x I   
, exceto possivelmente nos pontos extremos de I, então f é crescente 
em I. 
(ii) Se 
( ) 0,f x x I   
, exceto possivelmente nos pontos extremos de I, então f é 
decrescente em I. 
 
Exemplo: Determine os intervalos nos quais 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 é crescente e decrescente. 
Vamos utilizar o teste da função crescente/decrescente. 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 
Observe que para qualquer valor de x, temos que a derivada de x é positiva. 
Assim, a função é crescente. 
 
 
CONCAVIDADE 
 
Considere uma função f diferenciável no intervalo aberto I. 
O gráfico de f tem a concavidade para cima em I se f’ for uma função crescente em I. 
O gráfico de f tem a concavidade para baixo em I se f’ for uma função decrescente em I. 
 
 
O QUE F’’ NOS DIZ SOBRE F ? 
 
TESTE DA CONCAVIDADE. (Cálculo vol. 1 Munen e Foulis) 
Considere uma função f duas vezes diferenciável no intervalo aberto I. 
 
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(i) Se 
( ) 0,f x x I   
então o gráfico de f possui concavidade para cima em I 
(ii) Se 
( ) 0,f x x I   
então o gráfico de f possui concavidade para baixo em I 
 
Exemplo: Determinar a concavidade da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3. 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 
𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 
 
6𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
Para valores de x maiores que 0, temos que 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 > 0. E, portanto, o gráfico terá 
concavidade para cima. 
Para valores de x menores que 0, temos que 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 < 0. E, portanto, o gráfico terá 
concavidade para baixo. 
 
De fato, veja o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3. 
 
 
PONTO DE INFLEXÃO 
 
Dizemos que um ponto P sobre uma curva é um ponto de inflexão se a curva mudar de 
côncava para cima para côncava para baixo ou vice versa neste ponto P. 
 
Exemplo: 
No exemplo 𝑓(𝑥) = 𝑥3, temos que em x=0 o gráfico muda de côncavo para convexo. 
 
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EXTREMOS RELATIVOS 
 
Se pensarmos em uma cordilheira, a Cordilheira dos Andes, por exemplo, como uma 
função, podemos perceber que há vários “picos”. Cada um deles é um máximo local, ou 
seja, é a maior altura, o maior valor em uma vizinhança próxima. 
 
 
MÁXIMO RELATIVO 
Dizemos que uma função f possui um máximo relativo ou um máximo local em um ponto 
de abscissa c se existe um intervalo aberto contendo este ponto de abscissa c tal que f seja 
definida em I e 
( ) ( ) ,f c f x x I  
. 
 
Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 possui máximo relativo em x=-1. 
 
 
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MÍNIMO RELATIVO 
 
Dizemos que uma função f possui um mínimo relativo ou um mínimo local em um ponto de 
abscissa c se existe um intervalo aberto contendo esse ponto de abscissa c tal que f seja 
definida em I e 
( ) ( ) ,f c f x x I  
. 
Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 possui mínimo relativo em x=1. 
 
PONTO CRÍTICO 
 
Dizemos que um ponto de abscissa c é um ponto crítico para a função f quando f é definida 
em c, mas não é diferenciável em c, ou seja, quando a derivada no ponto de abscissa c for 
zero: 
( ) 0f c 
. 
Para que a função não seja diferenciável em c, precisamos que a tangente seja zero, e, como 
tangente é definida como sendo seno do angulo dividido pelo cossenodo angulo, temos que 
o seno do angulo que a reta tangente faz com o eixo x precisa ser zero, ou seja, o angulo 
precisa ser zero. 
 
 
Exemplo: Vamos determinar os pontos críticos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 
 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 3 = 0 
𝑥 = ±1 
Se observarmos o gráfico 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3, confirmamos que em x=-1 e x=1 temos os 
pontos críticos. A derivada nesses pontos é zero, o que significa que a tangente nesses 
pontos é paralela ao eixo x. 
 
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IMPORTANTE: 
Se a função f possui um extremo relativo em um ponto c então c é um ponto crítico para f. 
 
TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS 
 
Considere uma f função definida e continua em (a,b). Suponha um ponto de abscissa 
( , )c a b
 e suponha ainda que f seja diferenciável em todo ponto pertencente ao intervalo 
aberto (a,b), exceto possivelmente em c. 
(i) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
 e 
( ) 0, ( , )f x x c b   
 então f possui máximo relativo em c 
(ii) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
 e 
),(,0)( bcxxf 
 então f possui mínimo relativo 
 
 
TESTE DA SEGUNDA DERIVADA 
Considere a função f diferenciável no intervalo aberto I e considere ainda que c seja um ponto 
pertencente ao intervalo aberto I tal que 
( ) 0f c 
 e 
( )f c
 exista. 
 
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(i) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
então f possui um mínimo relativo em c 
(ii) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
então f possui um máximo relativo em c 
 
 
 
COMO FAZER PARA ENCONTRAR OS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA 
FUNÇÃO F? 
 
A princípio, precisamos encontrar a derivada da função f: f’ 
A seguir, devemos encontrar os pontos críticos para f, isto é, encontrar os pontos cDom(f) 
para os quais 
( )f c
 não existe e os pontos c para os quais 
( ) 0f c 
 
Devemos então, testar cada um dos pontos críticos, substituindo-os na função f, para 
verificarmos quando ele será um máximo relativo, um mínimo relativo ou não será um 
extremo relativo. Podemos utilizar os testes da primeira ou segunda derivadas. 
 
 
MÁXIMO ABSOLUTO 
 
Consideremos uma função f definida no intervalo I, e suponha um ponto c pertencente a esse 
intervalo I: cI. 
Se 
( ) ( )f c f x
 , xI, então dizemos que, no intervalo I, a função f atinge o seu valor 
máximo absoluto f(c) no ponto c. 
 
 
MÍNIMO ABSOLUTO 
 
Consideremos uma função f definida no intervalo I, e suponha um ponto c pertencente a esse 
intervalo I: cI. 
Se 
( ) ( )f c f x
 xI, então dizemos que, no intervalo I, a função f atinge o seu valor mínimo 
absoluto f(c) no ponto c. 
 
 
EXTREMO ABSOLUTO 
 
Se f atinge um valor máximo absoluto ou mínimo absoluto em c, então dizemos que possui 
um extremo absoluto em c. 
 
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TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE EXTREMOS ABSOLUTOS 
 
Se f é uma função definida e contínua em [a,b] então 
(a) f atinge um valor máximo absoluto em algum ponto em [a,b] e 
(b) f atinge um valor mínimo absoluto em algum ponto em [a,b]. 
 
 
COMO ENCONTRAR EXTREMOS ABSOLUTOS DE UMA FUNÇÃO CONTÍNUA 
EM UM INTERVALO FECHADO? 
 
A princípio devemos encontrar todos os pontos críticos c para a função f no intervalo aberto 
(a,b) 
A seguir, calcule os valores f(c) da função para cada um dos valores encontrados como pontos 
críticos. 
Calcule também os valores de f nos pontos extremos a e b do intervalo, ou seja, f(a) e f(b). 
Note que podemos concluir que o maior de todos os números calculados é o máximo absoluto 
de f em [a,b] e o menor desses números é o mínimo absoluto de f em [a,b]. 
 
Exemplo: Vamos determinar o mínimo absoluto da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3 em [-3,3] 
Determinando os pontos críticos: 
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
Calculando os valores da função nos pontos críticos: 
𝑓(0) = 3 
Calculando os valores da função nos extremos do intervalo: 
𝑓(−3) = 12 
𝑓(3) = 12 
 
O maior dos valores, 12, é o máximo absoluto desse intervalo [-3,3]. 
O menor dos valores, 3, é o mínimo absoluto desse intervalo [-3,3]. 
 
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Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 − 3𝑥 exibido abaixo. 
 
Considerando o intervalo aberto (1,3), e o Teorema do Valo Médio, considere as 
afirmações: 
 
(I) A função, no intervalo aberto (1,3), é contínua e diferenciável. 
(II) A hipótese do Teorema do Valor Médio, no intervalo aberto (1,3), é satisfeita. 
(III) 
10
13
)1()3(


 ff
 
(IV) Determinando f´(c)=-10, obtemos que c=7/3. 
 
 
É correto afirmar que: 
(a) Somente (I) e (II) são afirmações verdadeiras. 
(b) Somente (III) e (IV) são afirmações verdadeiras. 
(c) Somente (I) e (IIII) são afirmações verdadeiras. 
(d) Não há afirmações verdadeiras. 
(e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
 
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Gabarito: (e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
2. Constate que as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas para a função 
326)( xxxf 
 dado o intervalo [0,6] e ache o valor de 
)6,0(c
para o qual f´(c)=0. 
 
 
 
(a) c=1 (b)c=2 (c)c=3 (d)c=4 (e)c=5 
 
Gabarito: (d)c=4 
 
 
3. Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥. Utilizando o teste da segunda derivada, 
determine os pontos de extremo relativo e esboce o gráfico da função a partir deles. 
 
Calculando a primeira derivada: 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 
Obtendo os pontos críticos: 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0 
𝑓´(𝑥) = 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0 
Pontos críticos: x=1 e x=3. 
 
Calculando a segunda derivada: 
𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 12 
Obtendo os valores da segunda derivada nos pontos críticos: 
𝑓´´(1) = −6 < 0 
𝑓´´(3) = 4 > 0 
Assim, como 𝑓´´(1) = −6 < 0, temos que em x=1 a função tem máximo relativo. 
E como 𝑓´´(3) = 4 > 0, temos que em x=3 a função tem mínimo relativo. 
 
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4. Determine os intervalos nos quais a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 é crescente e 
decrescente. 
 
(a) crescente: [2,∞+[ e decrescente: ]-∞,2]. 
(b) crescente : ]-∞,2] e decrescente: [2,∞+[. 
(c) sempre crescente 
(d) sempre decrescente 
(e) crescente : ]-∞,0] e decrescente: [0,∞+[. 
 
Gabarito: (a) crescente: [2,∞+[ e decrescente: ]-∞,2]. 
 
5. Utilize o teste da primeira derivada e obtenha todos os pontos nos quais a função 𝑓(𝑥) =
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 1 tem um extremo relativo. 
 
(a) x=1 e x=1/3 
(b) x=1 e x=-1/3 
(c) x=0 
(d)x=-1 e x=1/3 
(e)x=-1 e x=-1/3 
Gabarito: (b) x=1 e x=-1/3 
 
6. Adaptado de: 
(http://arquivos.unama.br/nead/gol/gol_adm_2mod/matematica_superior/pdf/MS_impresso
_aula07.pdf) 
Suponha que o custo total semanal em dólares incorrido pela Companhia Polaraire para 
fabricação de x refrigeradores seja dado pela função custo total. 
C(x) = 8000 + 200x – 0,2x2 , 0 ≤ x ≤ 400 
Determine o custo total envolvido na fabricação do 251-ésimo refrigerador e a taxa de 
variação da função custo total com relação a x quando x = 250, respectivamente: 
 
(a) $100,00 e $ 99,80 
(b) $89,00 e $ 99,80 
(c) $100,00 e $ 89,80 
 
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(d) $ 89,80 e $ 100,00 
(e) $ 99,80 e $ 100,00 
 
Gabarito:(e) $ 99,80 e $ 100,00 
 
 
7. Considere que a função custo para fabricação de determinada mercadoria seja 
C(x)=0,02x3-0,4x2+400x+200. Quanto custará, aproximadamente, para se produzir a 21a 
mercadoria? 
 
(a) $200 (b) $ 509 (c) $ 600 (d) $408 (e) $208 
Gabarito: (d) $408 
 
 
Exercícios Propostos 
1. Um cubo de metal mantém a sua forma ao ser aquecido. Uma aresta aumenta a uma taxa 
que, no instante t0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a taxa de 
expansão do volume do cubo no instante t0. 
𝑑𝑎
𝑑𝑡
= 0,05 
𝑎 = 10 
𝑉 = 𝑎3 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 3𝑎2 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 3 ∙ 102 ∙ 0,05 = 15 
2. Uma escada de comprimento 2m desliza no chão, mantendo-se apoiada em uma parede. 
Em um determinado instante, sua base dista 0,6m da parede e, se afasta da mesma à razão 
de 0,3m/s. Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em 
questão. 
 
Derivando 𝑥2 + 𝑦2 = 22, obtemos: 
2𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) + 2𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 0 
𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) + 𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 0 
𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = −𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) 
1,9 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = −0,6(0,3) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −0,094 𝑚/𝑠 
𝑥 = 0,6 =
6
10
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0,3 
𝑥2 + 𝑦2 = 22 (1) 
(
6
10
)
2
+ 𝑦2 = 4 
𝑦2 = 3,64 
𝑦 ≅ 1,9 
 
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3. Podemos afirmar que taxa de variação do volume V de um cubo em relação ao 
comprimento x de sua aresta é igual a 
𝑉 = 𝑥3 ⇒ 
𝑑 𝑉
𝑑𝑡
= 3𝑥2 
4. Uma população de tâmias se transfere para uma nova região no tempo t = 0. No instante t 
a população é dada por P(t) = 100 (1 + 0,3t + 0,04 t2). Podemos então afirmar que a taxa 
de crescimento da população quando P = 200 é dada por 
𝑃(𝑡) = 100 + 30𝑡 + 4𝑡2 ⇒ 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 30 + 8𝑡 
𝑃(𝑡) = 100(1 + 0,3𝑡 + 0,04𝑡2) 
200 = 100(1 + 0,3𝑡 + 0,04𝑡2) 
2 = 1 + 0,3𝑡 + 0,04𝑡2 
0,04𝑡2 + 0,3𝑡 − 1 = 0 
𝑡 = −10 𝑒 𝑡 = 2,5 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 30 + 8𝑡 ⇒ 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 30 + 8(2,5) ⇒ 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 50 
5. Uma moeda que está sendo aquecida, mantém a sua forma. Calcule o quociente entre a 
taxa de variação com o tempo da área de uma face e a taxa de variação com o tempo do 
diâmetro, num instante em que o diâmetro vale 1cm. 
𝑆 = 𝜋𝑟2, mas 𝑟 =
𝐷
2
, então 𝑆 = 𝜋 (
𝐷
2
)
2
, ou ainda, 𝑆 = 𝜋
𝐷2
4
 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 𝜋
𝐷
2
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 𝜋 ∙
1
2
∙
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
𝑑𝐷
𝑑𝑡
=
𝜋
2
 
6. Um balão esférico, que está sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta 
a uma taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa de variação do seu volume no instante em 
que seu raio vale 2m. 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 0,05 𝑒 𝑟 = 2 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4 ∙ 𝜋 ∙ 4 ∙ 0,05 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0,8𝜋 
7. Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em 
uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que velocidade a 
área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 50 pés? 
𝑆 = 𝜋𝑟2 ⇒ 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 2𝜋𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 2𝜋 ∙ 50 ∙ 2 ⇒ 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 200𝜋 
 
8. Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa 
de 100 cm3/seg. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm? 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
 
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100 = 4𝜋 ∙ 252
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
1
25𝜋
 
 
9. Uma partícula se desloca para cima e para a direita ao longo de uma curva 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥. Sua 
abscissa aumenta a uma taxa de 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= √𝑥 𝑚/𝑠. A que taxa a ordenada varia no ponto (𝑒2, 3)? 
𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
𝑒2
√𝑒2 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
𝑒
 
 
 
10. Dada a equação 4𝑥2 + 9𝑦2 = 1 e 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3 calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 quando (𝑥, 𝑦) = (
1
2√2,
,
1
3√2
) 
4𝑥2 + 9𝑦2 = 1 ⇒ 8𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 18𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 
 
8 (
1
2√2,
) (3) + 18 (
1
3√2
)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 
12
√2
+
6
√2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 ⇒ 12 + 6
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −2 
 
11. Dada a equação y=3x+5 e dx/dt=2. Calcule du/dt quando x=1 
𝑦 = 3𝑥 + 5 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3(2) ⇒ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 6 
12. Uma cisterna (reservatório inferior de água) tem a forma de um cone circular reto 
invertido com base de diâmetro 4m e altura igual a 4m. Se a cisterna está sendo abastecida 
de água a uma vazão (taxa) de 2m3 /min, encontre a taxa na qual o nível de água está elevando 
quando este está a 1m da borda da cisterna. 
Obs.: Da geometria espacial sabemos que Vc = 1/3πr2h, sendo Vc = volume do cone, r 
= raio da base e h = altura do cone 
 
 
 
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ 
ℎ = 𝑟 
 𝑉 =
1
3
𝜋ℎ3 
 
 
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𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜋ℎ2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
1
𝜋ℎ2
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 ⇒ 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
1
𝜋 ∙ 9
∙ 2 ⇒ 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
2
9𝜋
 
 
13. Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical . Se a base 
da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s, quão rápido o topo da escada 
está escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 3m da parede? 
dy/dt = -3/4 m 
 
 
Derivando 𝑥2 + 𝑦2 = 52, obtemos: 
2𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) + 2𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 0 
𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) + 𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 0 
𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = −𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) 
4 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = −3(1) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
3
4
 𝑚/𝑠 
 
14. O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma 
taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for 50 cm? 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 ⇒ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
100 = 4𝜋(25)2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
1
25
 
 
 
 
 
 
𝑥 = 3 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 1 
𝑥2 + 𝑦2 = 22 (1) 
32 + 𝑦2 = 25 
𝑦2 = 16 
𝑦 = 4 
 
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Semana Aula: 5 
Modelagem e Otimização 
 
Tema 
Modelagem e Otimização 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá saber: 
 Resolver problemas de otimização através da maximização e minimização de funções 
relacionadas à Engenharia. 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade II APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
 
2.3 Modelagem e Otimização 
 
PROBLEMAS DE APLICAÇÕES DE DERIVADA 
 
Os problemas de aplicações da derivada que envolvem máximos e mínimos, taxas de 
variação e cálculo de limites estão presentes nos mais diversos campos, como geometria, 
engenharia, física, biologia e economia e têm em sua estrutura variáveiscomo área, volume, 
força, potência, tempo, lucro, custo, etc. Na verdade, podemos resumir tudo isto dizendo que 
a derivada constitui uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções. 
 
 
APLICAÇÃO NA GEOMETRIA 
 
1. Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na 
margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais são as dimensões do 
campo que tem a maior área? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos de material para a cerca: 2.400 pés. 
Assim, temos que 2x+y=2.400 
Y=2.400-2x 
 
Mas desejamos que as dimensões do campo tenha a maior área. 
RIO 
x 
x 
y 
 
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Pensando no calculo da área do campo: 
S=xy 
Substituindo a expressão de y encontrada anteriormente, 
S=x(2.400-2x) 
S=2.400x-2x2 
Para determinarmos os candidatos a maior/menor área precisamos encontrar a derivada da 
função área e igualá-la a zero, determinando os pontos críticos. 
S´= 2.400-4x=0 
x=600 
E, consequentemente, y= 2.400-2x=2.400-1.200 = 1.200 
 
Para que o campo tenha a maior área, as dimensões são 600m e 1.200 m. 
 
 
APLICAÇÃO NA FISICA E ENGENHARIA 
 
2. O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus 
espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do 
lançamento em t = 0 até a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s, é 
dado por (em pés/s) 
3 2( ) 0,001302 0,09029 23,61 3,083v t t t t   
. Usando este modelo, 
estime os valores de máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o 
lançamento e a entrada do foguete auxiliar. 
 
Resolução: 
 
Precisamos determinar a equação da aceleração, que é a derivada da velocidade. 
3 2( ) 0,001302 0,09029 23,61 3,083v t t t t   
. 
𝑎(𝑡) = 𝑣´(𝑡) = 0,003906𝑡2 − 0,18058𝑡 + 23,61 
Para determinarmos os valores máximos e mínimos da aceleração precisamos achar os pontos 
críticos. Derivando a aceleração e igualando a zero: 
𝑎´(𝑡) = 0,007812𝑡 − 0,18058 = 0 
𝑡 = 23,12 
 
Temos, como candidatos a máximo e mínimo os valores de t=0,t=126 e o ponto critico 
t=23,12. 
Substituímos na equação da aceleração de modo que possamos comparar os valores: 
𝑎(𝑡) = 0,003906𝑡2 − 0,18058𝑡 + 23,61 
 
𝑎(0) = 23,61 
𝑎(126) = 0,003906(126)2 − 0,18058(126) + 23,61 = 62,87 
𝑎(23,12) = 0,003906(23,12)2 − 0,18058(23,12) + 23,61 = 21,52 
 
Observando os valores encontrados, verificamos que o maior deles, 62,87, será o máximo e 
ocorre em t=126, enquanto que o menor deles, 21,52, será o mínimo e ocorre em t=23,12. 
 
 
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APLICAÇÃO A BIOLOGIA E MEDICINA 
 
3. (http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/problemasdeotimizacao.pdf) 
 
O modelo Count é uma fórmula empírica usada para predizer a altura de uma criança 
em idade pré-escolar. Se h(x) denota a altura (em centímetros) na idade x (em anos) para 
1
4
≤ 𝑥 ≤ 6, então h(x) pode ser aproximada por ℎ(𝑥) = 70,228 + 5,104𝑥 + 9,222𝑙𝑛𝑥 
Observe o gráfico da função e da sua derivada. 
Quando a taxa de crescimento é máxima e mínima? Quanto valem estas taxas? 
 
 
Pelo gráfico observamos que a taxa de crescimento é decrescente no intervalo considerado 
1
4
≤ 𝑥 ≤ 6, o que pode ser confirmado pela derivada de h´(x), dada por 
 
ℎ(𝑥) = 70,228 + 5,104𝑥 + 9,222𝑙𝑛𝑥 
ℎ´(𝑥) = 5,104 +
9,222
𝑥
 
 
ℎ´´(𝑥) = −
9,222
𝑥2
< 0 
A taxa de crescimento será máxima no menor valor de x (x = ¼) e será mínima, no maior 
valor de x (x = 6). 
O valor máximo da taxa de crescimento é, portanto, h´(1/4) = 41,99 cm/ano e o valor 
mínimo, h´(6) = 6,64 cm/ano. 
 
 
APLICAÇÃO A ECONOMIA: ANALISE MARGINAL 
 
Em Economia e Administração, utiliza-se o conceito de função marginal. Esta função 
marginal é uma estimativa do efeito causado em f(x) por conta de uma variação pequena 
em x. 
 
A função marginal de f(x) é a função derivada de f(x). 
 
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Dessa forma, a função custo marginal é a derivada da função custo e a função receita 
marginal é a derivada da função receita. Observe que o custo marginal é a taxa de variação 
do custo da produção de determinada mercadoria por variação da produção por unidade. 
 
Quando estamos lidando com um número grande de unidades produzidas, uma unidade 
pode ser considerado uma quantidade pequena em face da quantidade produzida. 
Assim, pela definição de derivada, temos: 
𝐶´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝐶(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐶(𝑥)
∆𝑥
 
Fazendo ∆𝑥 = 1, temos que: 
𝐶´(𝑥) ≈
𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥)
1
 
𝐶´(𝑥) ≈ 𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥) 
 
Quando estamos lidando com quantidades grandes, o custo marginal (a derivada da função 
custo) pode ser considerado uma boa aproximação do custo da produção de uma unidade a 
mais do que já se produziu (𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥)). 
𝐶´(𝑥) ≈ 𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥) 
 
4. (Calculo vol 1 Munes e Foulis). A fabricação de x unidades de uma mercadoria rende 
R(x)= 24x. O custo total da produção de x unidades é dado pela equação 
2003,09,3150)( xxxC 
 
(a) Ache o custo marginal quando x=1000. 
(b) Quanto custará aproximadamente para fabricar a 1001a unidade? 
(c) Quanto custará exatamente ao fabricante para produzir a 1001a unidade? (d) Determine 
o lucro total do fabricante em função de x. 
(e) Quantas unidades deveriam ser fabricadas e vendidas para o fabricante obter lucro 
máximo? 
 
(a) Ache o custo marginal quando x=1000. 
A função Custo Marginal é a derivada do custo. 
 
𝐶(𝑥) = 150 + 3,9𝑥 + 0,003𝑥2 
𝐶´(𝑥) = 3,9 + 0,006𝑥 
Então, o custo marginal para x=1.000 será: 
 
𝐶´(1.000) = 3,9 + 0,006.1000 
𝐶´(1.000) = 9,90 
 
(b) Quanto custará aproximadamente para fabricar a 1001a unidade? 
 
O custo aproximado para fabricar a 1001a unidade é justamente o custo marginal para x= 
1000: $9,90 
 
(c) Quanto custará exatamente ao fabricante para produzir a 1001 unidade? 
 
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O custo exato da fabricação da 1001a é dado pela diferença entre custo para produzir a 
1001a mercadoria e o custo para produzir a 1000a mercadoria. 
𝐶(1001) − 𝐶(1000) = 
[150 + 3,9(1001) + 0,003(1001)2] − [150 + 3,9(1000) + 0,003(1000)2] = 
= 150 + 3903,9 + 0,003 ∙ 1002001 − 150 − 3900 − 0,003 ∙ 1000000 = 
= 150 + 3903,9 + 0,003 ∙ 1002001 − 150 − 3900 − 0,003 ∙ 1000000 = 
= 3,9 + 0,003(1002001 − 1000000) 
= 3,9 + 0,003 ∙ 2001 = 
= 3,9 + 6,003 = 
= 9,903 
 (d) Determine o lucro total do fabricante em função de x. 
O lucro será o rendimento menos o custo. 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) 
𝐿(𝑥) = 24𝑥 − (150 + 3,9𝑥 + 0,003𝑥2) 
𝐿(𝑥) = 24𝑥 − 150 − 3,9𝑥 − 0,003𝑥2 
𝐿(𝑥) = −150 + 20,1𝑥 − 0,003𝑥2 
 
(e) Quantas unidades deveriam ser fabricadas e vendidas para o fabricante obter lucro 
máximo? 
Para obtermos o lucro máximo, basta determinar os pontos críticos: 
𝐿(𝑥) = −150 + 20,1𝑥 − 0,003𝑥2 
𝐿´(𝑥) = 20,1 − 0,006𝑥 
 
𝐿´(𝑥) = 20,1 − 0,006𝑥 = 0 
 
0,006𝑥 = 20,1 
𝑥 = 3350 
 
 
5. Calculo volume 1 – Anton, Bivens e Davis. Uma forma líquida de penicilina fabricada por 
uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de $200 por unidade. Se o custo total 
de produção (em dólares) para x unidades for 𝐶(𝑥) = 500.000 + 80𝑥 + 0,003𝑥2 
e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo, 30.000 unidades em umtempo 
especificado, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo 
para maximizar o lucro? 
 
 
A receita da venda de x unidades será: 𝑅(𝑥) = 200𝑥. 
O lucro então será: 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) 
 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 200𝑥 − 500.000 − 80𝑥 − 0,003𝑥2 
𝐿(𝑥) = 120𝑥 − 500.000 − 0,003𝑥2 
 
 
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Como a capacidade máxima é de 30.000, x deve pertencer ao intervalo [0.30.000]. 
Precisamos determinar os pontos críticos. 
𝐿(𝑥) = 120𝑥 − 500.000 − 0,003𝑥2 
𝐿´(𝑥) = 120 − 0,006𝑥 
𝐿´(𝑥) = 120 − 0,006𝑥 = 0 
0,006𝑥 = 120 
𝑥 = 20.000 
 
O ponto de máximo deve ocorrer ou no ponto critico os nos extremos do intervalo. 
 
𝐿(𝑥) = 120𝑥 − 500.000 − 0,003𝑥2 
 
𝐿(20.000) = 120 ∙ 20.000 − 500.000 − 0,003(20.000)2 
𝐿(20.000) = 2.400.000 − 500.000 − 1.200.000 
𝐿(20.000) = 700.000 
 
𝐿(0) = 120 ∙ 0 − 500.000 − 0,003 ∙ 0 
𝐿(0) = −500.000 
 
𝐿(30.000) = 120 ∙ (30.000) − 500.000 − 0,003(30.000)2 
𝐿(30.000) = 3.600.000 − 500.000 − 2.700.000 
𝐿(30.000) = 400.000 
O lucro máximo (de 700.000) acontece então em x=20.000. 
 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de papelão medindo 
8 cm de largura por 15 cm de comprimento, e uma caixa sem tampa é construída virando os 
lados para cima. Determine o comprimento x dos lados dos quadrados que devem ser cortados 
para a produção de uma caixa de volume máximo. (Calculo volume 1 – Munen e Foulis) 
 
(a) 2/3 cm (b) 2 cm (c) 15cm (d) 5/3 cm 
 
Gabarito: (d) 5/3 cm 
 
 
2. O navio A está 65km a leste do navio B e está viajando para o sul a 15km/h, enquanto o 
navio B está indo para o leste a uma velocidade de 10km/h. Se os navios continuam seus 
cursos respectivos, determine a menor distância entre eles e quando isto irá ocorrer. (Calculo 
volume 1 – Munen e Foulis) 
 
 
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(a) 
2925
 (b) 
000.3
 (c) 2.925 (d) 3.000 
 
Gabarito: (a) 
2925
 
 
3. Adaptado de: 
(http://arquivos.unama.br/nead/gol/gol_adm_2mod/matematica_superior/pdf/MS_impresso
_aula07.pdf) 
Suponha que o custo total semanal em dólares incorrido pela Companhia Polaraire para 
fabricação de x refrigeradores seja dado pela função custo total. 
C(x) = 8000 + 200x – 0,2x2 , 0 ≤ x ≤ 400 
Determine o custo total envolvido na fabricação do 251-ésimo refrigerador e a taxa de 
variação da função custo total com relação a x quando x = 250, respectivamente: 
 
(a) $100,00 e $ 99,80 
(b) $89,00 e $ 99,80 
(c) $100,00 e $ 89,80 
(d) $ 89,80 e $ 100,00 
(e) $ 99,80 e $ 100,00 
 
Gabarito:(e) $ 99,80 e $ 100,00 
 
 
4. Considere que a função custo para fabricação de determinada mercadoria seja 
C(x)=0,02x3-0,4x2+400x+200. Quanto custará, aproximadamente, para se produzir a 21a 
mercadoria? 
 
(a) $200 (b) $ 509 (c) $ 600 (d) $408 (e) $208 
Gabarito: (d) $408 
 
 
 
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Semana Aula: 6 
Integração, Integral Indefinida, Fórmulas de Integração 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno deverá: 
 Compreender a definição de antiderivada e o conceito de integral. 
 Possuir competências e habilidades no cálculo de integrais. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade III - INTEGRAÇÃO 
3.1 Integral Indefinida 
3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição 
 
INTEGRAÇÃO 
Primitiva 
Definição: Uma função F é chamada uma primitiva (antiderivada) de f sobre um intervalo 
I se F’(x)=f(x) xI. 
 
Teorema: Se F for uma primitiva (antiderivada) de f em um intervalo I, então a família das 
primitivas (primitiva mais geral) de f em I é F(x)+C, onde C é uma constante arbitrária. 
 
Notação para antiderivadas: 
 A notação 
  CxFdxxf )()(
, onde C denota uma constante arbitrária, significa que a 
função F é uma primitiva da função f, tal que F’(x)=f(x), xDom(f). 
 O símbolo 

é referido como sinal de integração. 
A constante C é chamada constante de integração. 
 A função f(x) é chamada integrando. 
 
 dxxf )(
 é chamado integral indefinida. 
 O processo para calcular , isto é, para achar g(x)+C , é chamado integração 
indefinida ( justamente por causa da natureza arbitrária de C ). 
 
Regras básicas para antidiferenciação/integral 
 
1- 
( ) ( )xD f x dx f x
 
2- 
( ) ( )f x dx f x C  
 
 dxxf )(
 
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3- 
dx x C 
 
4- Regra da Potência: Se n é um número racional diferente de –1, então 
1
1
n
n xx dx C
n

 

. 
5- Regra da Homogeneidade: Se a é uma constante, então 
( ) ( )af x dx a f x dx 
. 
6- Regra da Adição: 
 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx    
. 
7- Regra da Linearidade: se a1 e a2 são constantes 
 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a f x a f x dx a f x dx a f x dx    
8- Regra Geral da Linearidade: se a1, a2, ..., am são constantes 
 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m ma f x a f x a f x dx a f x dx a f x dx a f x dx         
. 
 
Integrais de Funções Especiais (trigonométricas e envolvendo logx, lnx, ex,ax ) 
 
1) 
  Cxsenxdx cos
 
2) 
  Csenxxdxcos
 
3) 
  Ctgxxdx
2sec
 
4) 
  Cgxxdx cotseccos
2
 
5) 
  Cxxtgxdx secsec
 
6)
Cxgxx  seccoscotseccos
 
7) 
Ctgxxxdx  seclnsec
 
8) 
Cxtgxdx  cosln
 
9) 
 
Carctgxdx
x21
1
 
10) 
0,ln
1
 xCxdxx
 
11) 
Cxdx
x
 ln
1
 
12) 
Carcsenxdx
x


 21
1
 
13) 
Cedxe xx 
 
14) 
1,0,
ln
 bbCb
b
dxb
x
x
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
Use as regras básicas para antidiferenciação para calcular cada integral indefinida 
 
1- 
   dxxx 543
2
 
2- 
   dxxxx 423
23
 
3- 
   dxxxx 6542
23
 
10- 
 




 dx
x
xxx 122
 
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
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4- 
    dxxx 512
23
 
5- 
 

dx
x
x
1
13
 
6- 
   dtt
22 34
 
7- 
   dtttt 2
2 13
 
8- 
   dxxx 42 53
 
9- 
dx
x
x
 




  )125( 3
 
 
11-  


dx
x
x
2
1 
12- 
dt
t
tt


3
23 32
 
13- 
 





 dx
xx 3
11
 
14- 
 dx
x
1
 
15- 
   dxxsenx cos32
 
16- 
7x dx
 
 
 
Determine as integrais indefinidas 
 
 
 
 
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
NOTAS DE AULA 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - CCE0044 
Semana Aula: 7 
Integração por Substituição 
 
Objetivos 
Ao final da aula o aluno estará apto a fazer uso da técnica de mudança de variável, no 
cálculo de integrais indefinidas. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Unidade III - INTEGRAÇÃO 
3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição 
 Mudança de Variável (ou substituição de variável) 
 
Exemplo: Resolver 
2 100( 5)x x dx
. Observe que se 
2 5u x 
 temos que 
2du xdx
 ou ainda