Portfólio 1

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ENGENHARIA ELÉTRICA
ALEXANDRE ROCHA – RA 241782010
Portfólio de Desafios
Desafios Cálculo Integral
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Curitiba
Ano 2021
ALEXANDRE ROCHA
Portfólio de Desafios
Desafios Cálculo Integral
Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia Elétrica do Centro Universitário ENIAC para a disciplina Ciência dos Materiais.
Prof. Thiago Alexandre Alves de Assumpção
Curitiba
Ano 2021
RESPOSTA:
Desafio 1
A determinação das antiderivadas (primitivas) é essencial na análise de movimentos de partículas ou objetos em uma dimensão (reta). Ao elencar a essa partícula/objeto uma função de posição do tipo p = w(t), pode-se considerar que a função que expressa a velocidade é v(t) = p'(t). Isto é, a antiderivada da função que expressa a posição.
De forma análoga, a função da velocidade nesse contexto é a antiderivada da aceleração, pois a(t) = v'(t). Em problemas aplicados de Cinemática que envolvem movimentos em uma dimensão (reta), em que são dados os valores iniciais p(0) e v(0), é possível determinar a função que expressa a posição (modelo matemático) calculando as antiderivadas nos dois momentos.
Acompanhe a seguinte situação:
Com base nessas informações, verifique:
a) O Teste 1 está correto?
b) O Teste 2 está correto?
Resposta:
Desafio 2
Na Engenharia Civil, problemas aplicados à vazão de tanques ou reservatórios são comuns na construção de represas, estações de tratamento de águas pluviais e esgoto, como também de drenagem. A vazão se configura como uma taxa em função da capacidade ou volume despejado por unidade de tempo.
Assim sendo, considere o seguinte cenário:
Sabe-se que:
* o óleo escoa do tanque de armazenamento para o tanque de refinamento a uma taxa de r(t) litros por hora;
* tal taxa decresce à medida que tempo passa, de acordo com a tabela apresentada;
* o cálculo da estimativa é para as duas primeiras horas.
Então, resolva as seguintes questões:
a) Qual é a estimativa inferior para a quantidade total de vazamento de óleo cru?
b) Qual é a estimativa superior para a quantidade total de vazamento de óleo cru?
c) Sabendo que a estimativa superior se encontra no intervalo [69,75; 71,25] e a inferior no intervalo [62,75; 63,25], os sistemas de calibragem do controle de vazão acoplados aos tanques estão dentro do padrão de qualidade esperado?
Anexo conforme exercício proposto no desafio.
Respostas:
Desafio 3
O resultado do TFC é indispensável em modelagem matemática que envolve processos de integração, pois minimiza a quantidade de cálculos e dinamiza a resolução dos problemas de aplicação.
A função do erro erw(u) é muito utilizada em diversas áreas de estudos científicos, como Probabilidade, Estatística e Engenharia, para estimar erros de problemas físicos em métodos de aproximação de raízes.
Sabendo que a função que expressa o erro é dada por:
a) Mostre que:
utilizando a segunda parte do TFC e as propriedades de integral definida.
b) Sabendo que erw(a) = 1/6 e erw(b) = 2/3, calcule o valor da estimativa do erro utilizando a expressão:
Adote:
Anexo conforme desafio proposto.
Respostas:
Desafio 4
Na construção de plataformas de petróleo, são realizadas diversas simulações virtuais de possíveis vazamentos em tanques de armazenamento. Esses testes são realizados para avaliar a qualidade dos dispositivos eletrônicos de segurança, instalados com a finalidade de prevenir possíveis acidentes de trabalho relacionados a riscos de explosão por agentes físicos ou contaminação dos trabalhadores por agentes químicos.
Suponha que você está auxiliando em uma dessas simulações virtuais.
Com base nessas informações, responda:
a) Se na simulação ocorrer o vazamento por uma hora, qual será a quantidade de óleo vazada, aproximadamente?
b) No teste realizado, a quantidade de óleo vazada ocorreu dentro do intervalo de confiança?
Resposta:
Desafio 5
Na instalação de sistemas de refrigeração de obras civis, como supermercados, lojas de departamento, centros comerciais, são realizados testes de movimentação de ar para saber se o fluxo de ar está seguindo os protocolos de segurança e as normas técnicas preestabelecidas pelos órgãos fiscalizadores e padrões internacionais.
Você é o engenheiro químico responsável pelo controle de qualidade do fluxo de ar e coloca partículas de isopor tingidas de laranja para verificar se a distância percorrida segue o padrão de aproximadamente [1,93; 2,00] metros.
Como o sistema está associado a uma implementação computacional, a função que descreve a velocidade, em metros por segundo, é dada pela função v(t) = t2et, onde v representa a velocidade, e t o tempo.
Com base nessas informações, responda:
a) Qual a distância p que a partícula de isopor percorrerá durante os primeiros t segundos?
b) Considerando t = 10 segundos, no teste realizado, o padrão de qualidade foi alcançado? Justifique sua resposta. Adote: e-10= 4,5399 ×10^-5.
Resposta:
Desafio 6
Na Inglaterra do século XVII, Newton e Kepler tinham a motivação de calcular volumes dos barris de vinho. O próprio Kepler escreveu um livro no ano de 1615 com o título Nova Stereometria Doliorum Vinariorum, in primis austriaci, figura omnium aptiſsim; (…) Aceſſit Stereometriae Archimedeae supplementum, que pode ser traduzido de forma livre em português como Nova estereometria dos barris de vinho, primeiro em austríaco, com figuras preparadíssimas. (…) Acrescido de um suplemento da estereometria de Arquimedes. O livro foi dedicado aos métodos para determinar os volumes de barris. Com frequência, os dois cientistas aproximavam a forma dos lados por parábolas.
Atualmente, as indústrias têm computadores com robôs calibrados para realizar os cortes necessários na madeira para a produção dos barris. Levando isso em conta, considere o seguinte caso:
Com base no caso exposto, mostre: 
a) a condição de funcionamento do raio de cada extremidade do barril apresentada na programação do software de produção do robô.
b) como os estudantes chegaram ao resultado do volume do barril dado, justificando suas respostas com os respectivos cálculos.
Resposta:
Desafio 7
O cálculo integral pode ser aplicado na física para determinar as equações do movimento. Com o auxílio do cálculo diferencial e integral, é possível relacionar as equações da posição, da velocidade e da aceleração de uma partícula.
Neste Desafio, você vai analisar a posição de um objeto cuja fórmula recai em uma integral trigonométrica.
Suponha que um objeto se mova em linha reta e sua velocidade é dada por: 
v(t) = sen t cos² t
Onde v é dado em m/s. 
a) Determine a integral que representa a função posição s(t) desse objeto. 
b) Encontre a função posição s(t) quando s(0) = 0.
Resposta:
Desafio 8
O método das frações parciais é essencial para simplificar integrais que envolvem funções racionais. Algumas integrais envolvendo frações apresentam certa dificuldade para serem resolvidas. Suas dificuldades são minimizadas quando se faz a decomposição da função racional em frações parciais.
Como exemplo, pode-se citar a análise da quantidade de uma população de peixes a partir de sua função densidade, aplicando frações parciais. Então, imagine que você é um biólogo e deseja saber a população de peixes (em milhares) em um lago com formato circular com raio de 3 km. A função densidade de peixes é dada pela função:
que calcula a densidade populacional de peixes em um dado raio r. Para determinar a quantidade de peixes no lago, é necessário resolver a integral
A partir dessas informações:
a) Escreva a função racional da integral como decomposição em frações parciais.
b) Encontre a população total de peixes no lago.
Anexo ao documento conforme desafio proposto.
Resposta:
Conclusão
Concluímos que através dos estudos elaborados, na docência de Cálculo
Integral estão diretamente voltados para área das engenharias e suas aplicações.
Neste portfólio, conseguimos identificar funções nas quais o método de integração consiga auxiliar validando a integral resolvida com a regra da cadeia utilizada na derivação de funções compostas, além de aplicá-lo na resolução de integrais de produto de funções.
Nesse sentido, problemas aplicados à física, biologia, química e engenharia são modelados por equações diferenciais compostas de funções, que exige o conhecimento desse método de integração para serem resolvidos.
Sendo assim, caracteriza-se como ponto de partida para o desenvolvimento de técnicas de integração.
Ao final deste portfólio poderemos apresentar os seguintes conhecimentos:
�� Identificar funções nas quais o método de integração possa auxiliar.
�� Aplicar o método de integração por substituição na resolução de integrais de produto de funções.
�� Validar a integral resolvida pelo método de integração por substituição com a regra da cadeia, utilizado na derivação de funções compostas.
Referências Bibliográficas
ALQUIC