Mecanica Solidos Apostila 2S 2014

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Prof.: Roderley Camargo 
2014 
Edição 02 
 
____________________GEMN5A / GEAN5A 
 
Mecânica dos 
Sólidos 
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 Prof. MSc. Eng. Roderlei Camargo Mecânica dos Sólidos 
 
1. Resistência dos Materiais aplicada ao Projeto Mecânico 
 
Conceitos e Definições 
 
Na Estática os corpos são considerados como sendo rígidos; Tal hipótese é 
necessária afim de se conseguir um resultado completamente independente das 
propriedades da matéria de que são constituídos. 
A Resistência dos Materiais, que também faz parte integrante da engenharia 
mecânica, considera os corpos tais como são na realidade, ou seja, deformáveis e 
suscetíveis de sofrerem rupturas quando sob ação de forças. 
 
Assim, a Resistência dos Materiais se ocupa em estudar : 
 
1.0 – As mudanças ocasionadas no corpo pela ação de forças externas e internas; 
 
2.0 – As propriedades (dimensões, forma geométrica, material) que o fazem capaz de 
resistir a ação dessas forças. 
 
Deformação 
 
A experiência ensina que a ação de qualquer forca sobre um corpo, altera a sua forma, 
isto é, provoca uma deformação. 
 
Com o aumento da intensidade da forca, há um aumento da deformação. 
 
Deformação Transitória  O corpo retorna ao seu estado original, após cessar o 
efeito da força; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deformação Permanente  O corpo não retorna ao seu estado original, 
permanecendo deformado permanentemente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto que separa os dois tipos de deformações é o limite de Elasticidade. 
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Alongamento Unitário 
 
O Alongamento Unitário (), é a relação entre o alongamento total (l) e o comprimento 
inicial (l). 
 
 = l / l [mm/mm] ou (l / l * 100) [%] 
 
Obs.: Pode ser expresso também em porcentagem (%) 
 
 
Tensão 
 
Tensão (σ) é a relação entre a força normal (F) e a área (A). 
 
 
 σ = F / A [kg/cm2] 
 
 
 “σ” é a força aplicada em cada quadradinho 
 de área unitária. 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama “Tensão x Deformação” 
 
O ensaio de tração consiste em aplicar uma 
força axial num corpo de prova, com o objetivo 
de deformá-lo até que se produza sua ruptura. 
 
O ensaio é realizado com auxilio de 
extensômetros (strain gages) encapsulados no 
hardware da máquina de ensaio de tração. 
 
 
Lei de Hooke : 
 
“ As Deformações () são 
proporcionais as Tensões (σ) 
que as produzem “ 
 
Aumentando-se a tensão, a deformação também vai aumentando e os resultados da 
experiência podem ser mostrados por um gráfico, marcando em abscissas as 
Deformações (), (Alongamento Unitário), e em ordenadas as Tensões (σ). 
 
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1 – Zona ELASTICA 
(deformação transitória) 
 
2 – Zona PLASTICA 
(deformação permanente) 
 
3 – Zona de RUPTURA 
 (quebra) 
 
() = Deformação específica (Alongamento Unitário) 
(σ) = Tensão 
(σr) = Tensão Limite de Ruptura 
(σE) = Tensão Limite de Elasticidade 
(σe) = Tensão Limite de Escoamento 
(σp) = Tensão Limite de Proporcionalidade (Tração, Flexão, Compressão, Torção, 
Cisalhamento e Flambagem) 
 
 
Solicitações : 
Um sistema de forças pode ser aplicado num corpo de diferentes maneiras, originando 
portanto, diversos tipos de solicitações, quais sejam: Tração , Compressão , 
Cisalhamento , Flexão e Torção. 
Tração : 
Solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta de ação da resultante do 
sistema de forças. 
 
 
 
Compressão : 
 
Solicitação que tende a encurtar a peça no sentido da reta de ação da resultante do 
sistema de forças. 
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Cisalhamento : 
Solicitação que tende a deslocar paralelamente, em sentido oposto, duas seções 
contíguas de uma peça (semelhante ao corte da tesoura ou guilhotina). 
 
Flexão : 
Solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça (trampolim de piscina). 
 
 
 
 
Torção : 
Solicitação que tende a girar as seções de uma peça, uma em relação a outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As tensões admissíveis segundo Bach, para os aços carbono, podem ser obtidas 
considerando-se três tipos de carregamento, quais sejam : 
 
 (I) Continuo (carga estática), (II) Intermitente, (III) Alternado 
 
 
 
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Dimensionamento : 
 
Nos dimensionamentos dos elementos de máquinas, admitem-se apenas deformações 
elásticas. Os cálculos podem ser de verificação ou de dimensionamento. 
No primeiro caso, escolhem-se as dimensões e depois verifica-se se a tensão de 
trabalho não ultrapassa a tensão admissível. 
No segundo caso, o processo é inverso, as dimensões são calculadas admitindo-se a 
tensão de trabalho, com critério e segurança. 
A tensão de trabalho (σ) fixada deve ser bem inferior a tensão de ruptura. Seu valor é 
determinado dividindo-se a tensão de ruptura (σr) por um coeficiente “n” chamado de 
 
Fator de Segurança . 
σ = σr / n 
 
 
A escolha de “n” requer muito bom senso por parte do engenheiro, todavia, numa 
primeira aproximação, pode-se adotar o que segue : 
 
 
n = A * B * C * D 
 
 
A  2 = Para materiais comuns; 
  1,5 = Para aço Ni Cr, forjado, temperado 
 
B  1 = Para carga Contínua 
  2 = Para carga Intermitente 
  3 = Para carga Alternada 
 
C  1 = Para carga aplicada lenta e gradualmente 
  2 = Para carga aplicada repentinamente (choque) 
 
D  1,5 = Para os aços 
  2 = Para o FoFo (Ferro Fundido) 
 
 
 
 
 
 
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Tração e Compressão: 
No ensaio de tração, a Deformação (Alongamento Unitário ε) é proporcional a Tensão 
(σ), conforme fundamento da lei de Robert Hooke. Isto também é valido para a 
compressão. 
 
 
 
 
 
 
O Coeficiente de proporcionalidade (E) é chamado de Módulo de Elasticidade normal 
(Módulo de Young) e seu valor é determinado experimentalmente, dependendo de cada 
material. 
 
Substituindo-se nesta fórmula, o alongamento unitário (ε) e a tensão (σ), tem-se o 
alongamento total (l): 
 
 
 
 
Em que: 
 
F = Força 
l = Comprimento inicial 
A = Área 
E = Módulo de Elasticidade 
 
Tabela de características físicas mecânicas dos aços (kg/mm2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2/ cmkgE



 2/* cmkgE  
 mmmm
EA
lF
l /
*
*

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Tabela de características dos principais materiais usados em construções mecânicas : 
(unidade kgf/cm2) 
 
 
E = Módulo de elasticidade (normal) 
G = Módulo de elasticidade tangencial =~ 2/3 * E (somente quando não informado) 
 
Exercícios : 
 
1) Calcular o alongamento total de um fio de cobre com diâmetro 2 mm e comprimento 
50 cm, quando lhe é aplicada uma carga de 20 kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Calcular o encurtamento dos pés da mesa, na figura abaixo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcular o diâmetro de um arame de aço ABNT 1030 destinado a manter suspenso 
um peso de massa 200 kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Escolher a corrente destinada a resistir uma carga intermitente de 1 t. 
Material = Aço ABNT 1040. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Dimensionar a seção dos montantes da prensa em figura. 
Dados: 
Carga máxima = 3,2 t 
Material = FoFo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6) No dispositivo abaixo, a bucha é de aço ABNT 1010 e o parafuso de aço ABNT 1030. 
Calcular os diâmetros d0, d e D, quando a porca exerce uma força axial de 2 t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7) Escolher o cabo de aço para um elevador de baixa velocidade, cabine de 300 kg e 
carga máxima de 700 kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela página tabelada do fabricante de cabos, obtém-se o seguinte : 
Cabo de aço polido, categoria 8 x 19, diâmetro 5/8” . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cisalhamento : 
 
A seção “S” resistente a força cortante “P”, é paralela a linha de ação desta força e 
quando o limite de resistência é ultrapassado, há um deslizamento nesta área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A força que age em cada quadradinho de área unitária da superfície “S” é a tensão de 
cisalhamento (Thau) τc. Logo : 
 
 
τc = P / S [kgf/cm2] 
O dimensionamento de peças submetidas a cisalhamento é feito tomando-se como base 
os valores das tensões admissíveis (ζc) fornecidos pela tabela de Bach. Faltando 
maiores informações, pode-se admitir considerando a segurança : 
 τc = 2/3 * σr 
 
 
8) Calcular a força de corte “P” da chapa em figura, dados : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9) Calcular a força de corte “P” da peça em figura. Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento Fletor (Mf): 
 
A seção “x” da barra abaixo, esta solicitada parte a compressão e parte a tração, isto é, 
as fibras superiores da barra são comprimidas e as fibras inferiores são tracionadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Denomina-se Momento Fletor (Mf) da seção “x”, a soma algébrica dos momentos em 
relação a “x”, de todas as forças “P1” que precedem ou sucedem a seção. 
 
 
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Exemplo: Momento Fletor na seção “x” : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cargas Concentradas (Momento Fletor) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Força Cortante : 
 
Um ponto qualquer de uma barra fletida, além das tensões normais de compressão e 
tração provenientes do momento fletor, esta sujeito também as tensões tangenciais de 
cisalhamento proveniente de forças cortantes. 
 
Chama-se Força Cortante “Q” da seção “x”, a soma algébrica de todas as forças que 
precedem ou sucedem a seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Força Cortante na seção “x” : 
 
 
 
 
Cargas Concentradas : 
 
 
 
 
 
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Módulo de Resistência a Flexão (Wf) : 
 
O Módulo de flexão (Wf) dos vários tipos de seções, são obtidos nas tabelas em anexo 
ou consultar outros autores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Wf depende do tipo da seção e da sua posição relativa, conforme mostra o exemplo 
abaixo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Quanto maior for o módulo de resistência a flexão, maior é a resistência da peça 
flexionada. 
 
Tensão de Flexão (σf) 
 
É sabido que a Flexão é a solicitação que tende a modificar o eixo geométrico da peça. 
 
Assim, a Tensão de Flexão (σf) numa seção “x” qualquer é dada pela fórmula : 
 
 
 
 
 
 
 
f
f
f
W
M

3
2
32
6
83
cmW f 

 3
2
12
6
38
cmW f 


][
6
3
2
cm
hb
W f

 ][
32
3
3
cm
d
W f



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Dimensionamento : 
 
No dimensionamento de peças a flexão, admitem-se apenas deformações elásticas. 
A tensão de trabalho é fixada pelo fator de segurança ou pela tensão admissível. 
 
Exemplo: Calcular o diâmetro do eixo em figura : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eixos: 
 
O eixo é um elemento de máquina destinado a suportar outros elementos que giram com 
ou sobre ele. Quando o eixo for um elemento motriz e transmissor principal de rotação, 
denomina-se "árvore". 
 
Os eixos são classificados em duas categorias: 
 
 - Fixos: Exemplo, eixo de polia 
 - Móveis: Exemplo, eixo de engrenagem de transmissão 
 
O eixo se subdivide em: 
 
A – Apoios 
B – Corpos 
C – AssentosO material empregado na sua construção é o aço C, aço Ni ou aço NiCr. 
 
Os eixos de grandes diâmetros são ocos, com a relação di = 0,4...0,6 d, em que: 
 
di = diâmetro interno e d = diâmetro externo 
 
As solicitações principais nos eixos são: 
 
Flexão simples 
Torção simples 
 Flexo-torção 
 
Mas há caso em que o cisalhamento, a tração ou a compressão não podem ser 
desprezados. 
f
f
f
W
M

32
3
0dW f



30303
0 1,0
32
32
f
f
f
ff
f
M
d
M
d
d
M
 
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Exercícios : 
(10) Projetar um eixo para a polia chavetada. Dados : 
 Material = Aço ABNT 1040 (Laminado, Carregamento III  σf = 750 kgf/cm2) 
 Carga na polia = 200 kgf 
Reações de Apoio : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muitas vezes é conveniente usar rolamentos de mesmas dimensões, logo: 
 
d1 = d2 = 1,6 cm (16 mm). 
 
As vezes, depois de calculado o diâmetro do eixo, faz-se a verificação da tensão ao 
CISALHAMENTO devido á força cortante nas seções onde se suspeita que o eixo 
poderia romper-se por cisalhamento. 
 
Verificação de Cisalhamento devido as forças cortantes : 
 
Diâmetro d1  
 
 
Portanto: O valor da tensão satisfaz o problema, pois a tensão admissível do aço ABNT 
1040 é 450 kgf/cm2, conforme tabela. 
 
 
kgQ
kgQ
teCorForça
kgcmMf
kgcmMf
kgcmMf
FletoresMomentos
kgR
kgR
12020080
80
tan
12052001480
320480
720980
:
120
80
2
1
2
1
max
2
1






 3
2
3
1
3
0
2,1
7501,0
120
6,1
7501,0
320
29
78
1,2
7501,0
720
cmdcmd
mmd
xChaveta
cmd













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(11) Calcular as reações: R1, R2, Momentos fletores, Polígono das forças e diâmetros 
d1...d5. Considerar material do eixo, aço SAE 1030, trefilado, carregamento II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento Torçor (Mt) : 
 
Denomina-se Momento Torçor (Mt) de um sistema mecânico, ao produto da força “F” 
pelo raio “r”, qual seja : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Momento Torçor (Mt) pode ser obtido também pela seguinte fórmula : 
 
 
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Quando num eixo agem vários momentos torçores, o Mt de uma seção “x” é a soma 
algébrica de todos os momentos torçores que precedem ou sucedem a seção. 
 
Exemplo : 
Momento Torçor na seção : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desse modo, calcula-se o momento torçor de cada seção do eixo e com os valores 
obtidos, traça-se o diagrama como no exemplo abaixo : 
 
 
Condição de Equilíbrio : 
 
 10x12 + 15x6 
F = ---------------------- = 7 kgf 
 30 
 
Momentos torçores : 
 
Mt1 = 12 x 10 = 120 kgf.cm 
 
Mt2 = 15 x 6 = 90 kgf.cm 
 
Mt3 = -7 x 30 = -210 kgf.cm 
 
 
 
 
Módulo de Resistência a Torção (Wt) : 
 
O Wt (Módulo de Resistência a Torção) dos vários tipos de materiais são obtidos nas 
tabelas em anexo, alguns exemplos : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tensão de Torção (τt) : 
 
A Torção é uma solicitação que tende a girar uma seção em 
relação á outra numa peça. 
A Tensão de Torção (τt) numa seção “x” qualquer é dada pela 
seguinte fórmula : 
 
τt = Tensão de Torção [Thau] 
Mt = Momento Torçor 
Wt = Módulo de Resistência a Torção 
 
Dimensionamento : 
 
No dimensionamento de peças 
á torção, admitem-se apenas 
deformações elásticas. A 
tensão de trabalho é fixada 
pelo fator de segurança “n” ou 
pela tensão admissível σt. 
 
 
Exemplo: Seja Calcular o 
diâmetro de um eixo ao lado : 
 
 
Obs.: No eixos chavetados 
somente o núcleo do diâmetro 
“d0” é que vai resistir á torção. 
 
 
 
 
 
Exercício: 
(12) Dimensionar o eixo de um motor de 2 HP a 1000 min-1 (RPM). Dados : 
Material do eixo = Aço ABNT 1030 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pela tabela em anexo, obtém-se : 
 
t = 3,5 mm Donde se deduz que d = 19 mm (chaveta encaixada 6 x 6). Observar 
b = 6 mm que “d” está dentro do limite “17...20”. 
 
(13) Dimensionar o terminal para a manivela em figura, dados : 
 
Material do eixo = Aço ABNT 1010 (carregamento II) 
Força aplicada no manípulo = 20 kgf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(14) O eixo em figura faz parte de um mecanismo de transmissão. Pede-se calcular os 
diâmetros d1 e d2, onde são conhecidos : 
 
Potência (N) = 5 HP 
Rotação = 500 min-1 
Material = Aço ABNT 1040 (carregamento II) 
Engrenagem 1 absorve 3/5 do momento torçor e o restante é absorvido pela 
engrenagem 2. 
 
 Momentos Torçores : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Diâmetro d1 : 
 
d01 = 1,5 c 
m (15 mm) 
d1 = 2,1 cm (21 mm) 
b = 5 mm 
t = 3 mm 
Chaveta = 2 chavetas paralelas de 5 x 5. 
 
 
cm
t
Mt
d 5,1
6002,0
7,429
2,0
1
3301 



 
 
 
 
Diâmetro d2 : 
 
d02 = 1,3 cm (13 mm) 
d2 = 1,9 cm (19 mm) 
b = 5 mm 
t = 3 mm 
Chaveta = 1 chaveta1 paralelas de 5 x 5. 
 
cm
t
Mt
d 3,1
6002,0
5,286
2,0
2
3302 



 
 
 
 
 
Diagrama de Tensões : 
 
Em geral, a tensão pode ser decomposta em : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A distribuição das tensões pode ser representada pelo diagrama das tensões : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solicitações Compostas : 
 
Uma mesma peça pode freqüentemente, estar sendo submetida a diferentes 
solicitações, ao mesmo tempo. 
O dimensionamento de tais peças deve ser feito conforme os seguintes exemplos : 
 
Simbologia : 
 
σf = Tensão de Flexão 
σt = Tensão de Tração 
τf = Tensão de Torção 
Mf = Momento Fletor 
Mt = Momento Torçor 
Wt = Módulo de Resistência a Torção 
Wf = Módulo de Resistência a Flexão 
 
1 – Tensões Normais  Tração e Flexão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Tensões Tangenciais  Cisalhamentoe Torção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t
f
f
ft
W
M
S
P  
t
t
t
ct
S
P
W
M  
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3 – Tensões Normais e Tangenciais  Geram um estado duplo de tensões, cujo 
valor máximo é obtido pela fórmula do “σid” = Tensão Ideal. 
 
 
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 Exemplo: Flexão e Cisalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σ é máximo nos pontos em que ζ = 0 (fibra mais afastada do eixo neutro) 
ζ é máximo nos pontos em que σ = 0 (eixo neutro) 
σid é máximo nos pontos intermediários 
A determinação de σid é aconselhável apenas quando ζmax é da mesma ordem e 
grandeza de σmax. Normalmente despreza-se a influência da tensão tangencial ou 
verifica-se σ e ζ separadamente. 
 
 
22
465,035,0 















S
P
W
M
W
M
f
f
f
f
id








S
P
W
M
c
f
f
id










S
P
S
P
c
t
2
1


tidid
S
P
S
P
S
P  












2
2
2
11 465,035,0
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(15) Dimensionar um mancal intermediário destinado a transmitir N=10 HP a n=470 rpm, 
em regime intermitente. Considerar material do eixo, aço SAE 1030, com carregamentos 
(II) para torção e (III) para flexão. 
Observar: Dimensões em milímetros (mm) e apoio sobre bucha de bronze lubrificada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Escolhendo aço trefilado SAE 1030, (II) para torção e (III) para flexão tem-se: 
 
 
 
 
Sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a ponta do eixo temperada e retificada, e os casquilhos (bucha) de bronze com 
boa lubrificação comum, assume-se: 
cmkg
n
N
M
cmkgM
kgR
t
f
A
.1525
470
10
7162071620
.300015*200
525
400
200*500550*200





2
)(
2
)( /650/800 cmkgcmkg IItIIIf  
mmcm
M
d
cmkgM
rupturadehipóteseaadoconsideran
f
id
id
t
f
t
f
355,3
800
3240*1010
.32401525300065,03000*35,0
1
650*3,1
800
*3,1
3,1,.2,
*
33
22
0
0












max
2
3290
75
470*525*
75
35*2,0
525
*
/2,0
W
l
nP
w
mm
dp
P
l
mmkgp



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(16) Dimensionar a seção indicada na prensa em figura, dados : 
Material da Coluna = Aço ABNT 4524 AF (carregamento II) 
P = 4 t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A coluna esta submetida a tração e flexão (flexo-tração), sendo a solicitação de flexão a 
mais relevante, logo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f
f
f
W
M
A
P

6
)12(
/700
80000204000
4000
2
2
)(
hb
W
cmhadotadohbA
cmkg
kgcmPM
kgP
f
IIf
f
















cmb
b
bb
3,5
12700
680000
12700
4000
6
12
80000
12
4000
700
2
2










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Flambagem : 
 
Uma barra submetida a uma carga axial “P” pode sofrer um encurvamento lateral, 
chamado FLAMBAGEM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devido ao formato, certas barras flambam com mais facilidade que outras. Este fato é 
expresso por um número λ (lâmbda) chamado de “Índice de Esbeltez”. 
 
Assim, uma barra mais esbelta (λ grande) flamba com menor tensão, enquanto que 
outra barra, menos esbelta (λ pequeno) flamba com uma tensão maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: σcp = Tensão limite de Proporcionalidade a Compressão. 
 
 λ0 = Índice de Esbeltez correspondente a σcp. 
 
 σf1 = Tensão de Flambagem. 
 
 Pf1 = Carga de Flambagem. 
 
 
Notar neste gráfico que : 
 
1) Uma barra com λ > λ0 (muito esbelta), flamba com uma tensão (σf1) abaixo da tensão 
limite de proporcionalidade σcp. 
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2) Uma outra barra com λ < λ0 (pouco esbelta), flamba somente com uma tensão σf1 
acima de σcp. Neste caso podem ocorrer inclusive a ruptura do material antes da barra 
flambar. 
 
No segundo caso, σf1 é calculado pelas formulas de Johnson, Tetmajer ou Rankine. 
 
No primeiro caso, o calculo de σf1 ou Pf1 é feito segundo a fórmula de Euler. 
 
 
 Carga de Flambagem Tensão de Flambagem 
 
 π2 E Jmin π2 E Jmin 
P f1 = ---------------- σf1 = ---------------- 
 l02 l02 S 
 
 
Convém frisar que esta formula é valida somente para a seguinte condição : “ λ ≥ λ0 “. 
 
 E = Módulo de Elasticidade Normal. 
 J min = Momento de Inércia Mínimo. 
 S ou A = Área da seção. 
 ℓ0 = Comprimento de Flambagem. 
 ρmin = Raio de Giração Mínimo [Rhô] 
 
 “ℓ0” depende do comprimento real da barra e seus vínculos externos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Índice de Esbeltez (λ) [Lâmbda] é a relação entre o (ℓ0) Comprimento de Flambagem 
e o (ρmin) [Rho] Raio de Giração Mínimo. 
 
 
 λ = 
min
0


  ρmin = 
S
J min 
 
 
 
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Levando estes valores na formula de Euler, tem-se : 
 
 σf1 = 
S
JE


2
2
0
min

 = 
2
22
0
 E = 
2
2

 E 
 
Fazendo : λ = λ0, 
 
Resulta : σf1 = σcp  que é o limite de validação da formula de Euler. 
 
 σcp = 
2
0
2

 E 
 
 
Exercícios : 
(17) Calcular o Índice de Esbeltez de Flambagem (λ0) para um aço, dados : 
 
E = 21 x 105 kgf/cm2 [modulo de Young (Elasticidade normal)] 
σcp = 2100 kgf/cm2 [tensão limite de proporcionalidade a Compressão] 
 
 σcp = 
2
0
2

 E
  λ0 = 
cp
E


 
λ0 = Índice de Esbeltez de Flambagem 
 
 λ0 = 
2100
2100000

 = 100 
 
Valores de λ0 : 
 
 
 
 λ0 = 
 
 
 
 
Coeficientes de Segurança “n” (Aplicado somente a FLAMBAGEM) : 
 
 
 
 
 n =






DinâmicaoSolicitaçã
Madeira
FoFo
Aço
___30
__10
__8
__5







Pinho
FoFo
duroAco
doceAço
__100
__80
___89
___105
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Exercícios : 
(18) Calcular o diâmetro de uma barra de aço doce de comprimento “ℓ = 150 cm”, 
articulada nas suas extremidades e submetidas a compressão axial “P = 8000 kgf”. 
 
Fórmula de Euler: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificação de λ : 
 
 ρmin = d/4 = 5,4 / 4 = 1,35 cm Raio de giração min. (conforme tabela anexa) 
 
 λ = 
min
0


  
35,1
150 = 111 ; 
 
Este valor é maior que λ0 = 105 (aço doce)  a fórmula de Euler pode ser aplicada. 
 
 
(18) Escolher um pilar (I) de 4 m de altura, destinado a suportar uma carga de 20 t. 
Admitir extremidade inferior engastada e superior articulada. 
 
 
P = 20 t 
n = 5 (aço) (coeficiente de segurança p/ flambagem) 
E = 20 x 105 kgf/cm2 (módulo de elasticidade) 
ℓ0 = 0,75 x ℓ = 0,75 x 400 = 300 cm (comprimento de flambagem) 
Pf1 = n x P = 5 x 20000 = 100.000 kgf (carga de flambagem) 
 
 
 Pf1 = 
2
0
2 min

JE   J min = 
E
Pf


2
2
1 0

 = 
000.000.2
300000.100
2
2



 = 456,4 cm4 
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Conforme dados da tabela da pág. 4.102 do Prontuário do Projetista, encontra-se a 
seguinte viga : 
 
 I 12” x 5 - 1/4" x 29/64” 
 
Verificação de λ : 
 
 ρmin = 2,74 cm Raio de giração min. (conforme tabela anexa) 
 
 λ = 
min
0


  
74,2
300 = 109 > λ0 ; portanto, satisfaz. 
 
Este valor é maior que λ0 = 105 (aço doce)  a fórmula de Euler pode ser aplicada. 
 
 
(19) Calcular o comprimento máximo que pode ter uma cantoneira L 2” x 2” x 1/4", de 
uma tesoura metálica e carregada axialmente a compressão com uma carga = 2000 kgf. 
 
P = 2000 kgf 
n = 5 (aço) (coeficiente de segurança p/ flambagem) 
E = 20 x 105 kgf/cm2 (módulo de elasticidade) 
ℓ0 = 0,5 x ℓ (comprimento de flambagem) 
Pf1 = n x P = 5 x 2000 = 10.000 kgf (carga de flambagem) 
J min = s x ρ2 = 6,06 x 0,99 2 = 5,9 cm4 
 
 Pf1 =
2
0
2 min

JE   10.000 = 
2
2
)5,0(
9,5000.000.2

  
 
 
ℓ = 
000.105,0
9,5000.000.2
2
2

 = 215,7 cm 
 
 
Verificação de λ : 
 
 ρmin = 0,99 cm Raio de giração min. (conforme tabela anexa) 
 
 ℓ0 = 0,5 x ℓ = 0,5 x 215 = 107,5 m 
 λ = 
min
0


  
99,0
5,107 = 108,5 > λ0 ; portanto, satisfaz. 
 
Este valor é maior que λ0 = 105 (aço doce)  a fórmula de Euler pode ser aplicada. 
 
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(20) Calcular o comprimento livre que pode ser dado a um punção de corte de Ф=5 mm e 
submetido a uma carga axial P = 180 kgf. 
 
 
 λ = 
min
0


 
 
 λ = λ0 = 89 (aço duro) 
 
 ρmin = 0,12 cm 
 
 ℓ0 = λ x ρmin = 89 x 0,12  ℓ0 = 10,7 cm 
 
 ℓ0 = 2 ℓ (extremidade livre) 
 
 ℓ = ℓ0 / 2 = 10,7 / 2  ℓ = 5,3 cm 
 
Verificação da carga de flambagem admissível : 
 
P = 180 kgf 
E = 20 x 105 kgf/cm2 
J min = 0,003 cm4 
ℓ0 = 10,7 cm 
n = 30 * P = 30 * 180 = 5400 kgf (solicitação dinâmica) 
ℓ = 5,3 cm 
 
 π2 E Jmin 
P f1 = --------------- 
 l02 
 
 
 
 = 
0
min
2

JE  = 
7,10
003,0000.000.22  
 
 
Pf1 = 5800 kgf 5800 > 5400  ℓ = 5,3 cm [ok] 
 
 
Como Pf1 > 30 * P (solicitação dinâmica), o comprimento livre ℓ = 5,3 cm satisfaz o 
problema. 
 
Porém, havendo necessidade de se aumentar o comprimento livre, usa-se guias para 
que o punção se enquadre na classe dos bi-articulados, engastados articulados ou bi-
engastados. 
 

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Momento de Inércia, Modulo de Flexão e Modulo de Torção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela de referência para a caracterização da chaveta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela de referência para Rolamentos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela de referência para Anel Elástico para EIXOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela de referência para Anel Elástico para FUROS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DESAFIO_1 – Turma:__________ - Nome:_____________________ / __________________ 
Dados do Material: AISI 304 (stainless Steel) 
Density = 8.00 g/cc 
Modulus of Elasticity = 200 GPa 
Poissons Ratio = 0.29 
Tensile Strength, Ultimate = 505 MPa 
Tensile Strength, Yield = 215 Mpa 
Espessura = 10 mm 
F = 500 kgf 
 
 
 
OBJETIVO: 
Tensões máximas = 215 
Mpa 
Deslocamento max. = 0,7 mm 
Peso Maximo = 600 g 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
DESAFIO_2 – Turma:__________ - Nome:_____________________ / __________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO: 
Tensões máximas = 270 
Mpa 
Deslocamento max. = 0,5 
mm 
Peso Maximo = 450 g 
 
Análise Estática 
Stress 
(MPa) 
Displacement 
(mm) 
Peso 
(kg) 
Peça Original 
Peça Otimizada 
Análise Estática 
Stress 
(MPa) 
Displacement 
(mm) 
Peso 
(kg) 
Peça Original 
Peça OtimizadaCentro Universitário Salesiano de São Paulo Página 43 de 43 
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DESAFIO_3 – Turma:__________ - Nome:_____________________ / __________________ 
 
Dados do Material: SAE 1045 
Density = 7.85 g/cc 
Modulus of Elasticity = 205 GPa 
Poissons Ratio = 0.29 
Tensile Strength, Ultimate = 430 MPa 
Tensile Strength, Yield = 350 Mpa 
 
Espessura = 18 mm 
F = 3000 kgf 
Fillet = 9 mm 
 
 Analise Estática, OBJETIVOS: 
Deslocamento max. = 0,55 mm 
Peso Maximo = 2,2 kg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
DESAFIO_4 – Turma:__________ - Nome:_____________________ / __________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analise Estática 
Stress 
(MPa) 
Displacement 
(mm) 
Peso 
(kg) 
Peça Original 349 0,45 2,7 
Peça Original 
Peça Otimizada 
Analise Modal 
(1º. modo) 
Frequência 
(Hz) 
Modo 1 [CREO] 
(Hz) 
Displacement 
(mm) 
Medida 
“L” 
Peso 
(kg) 
Dó 264 
Ré 297 
Mi 330 
Fá 352 
Sol 396 
Lá 440 
Si 495