Método de Cross

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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO - Escola de Engenharia Civil 
Notas de aula do curso Teoria das Estruturas – Prof. Dr. Ricardo de C. Alvim 
 
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Capítulo 2 
Método de Cross 
 
2.1. Introdução 
 
O Método de Cross é um método que permite calcular 
estruturas hiperestáticas. Com isso, é possível deter-
minar os momentos fletores em vigas contínuas e 
pórticos. 
 
Este método foi desenvolvido em 1932 por Hardy 
Cross, permitindo o cálculo de estruturas hiperestáti-
cas de forma manual. Com o surgimento dos comp u-
tadores, o método caiu em desuso, contudo ainda é 
empregado em disciplinas de graduação por todo 
mundo, devido a sua facilidade e didática. Desse mo-
do, é possível resolver uma série de pequenos pro-
blemas da engenharia, sem grandes esforços computa-
cionais necessários muitas vezes em outros métodos. 
 
O método é iterativo, isto é, se repetem algumas roti-
nas até a convergência, que é obtida quando os resí-
duos decorrentes do equilíbrio dos momentos nos nós 
da estrutura são muito pequenos, o suficiente para 
serem desprezados. 
 
2.2. Rigidez de uma ligação 
 
A rigidez de uma ligação entre barras, isto é, a rigidez 
de uma barra em um nó qualquer da estrutura, é igual 
ao valor do momento fletor que, aplicado neste nó, 
suposto livre para girar, provoca uma rotação unitária 
da barra no nó. 
 
Com isso, a extremidade apoiada de uma viga simples 
associa-se um “coeficiente de rigidez”, m, que é a 
rigidez à rotação que a viga apresenta aos momentos 
aplicados nos nós. Este coeficiente possui a mesma 
dimensão de momento fletor aplicado, uma vez que a 
rotação é unitária. A esta condição de vínculo chama-
se mola rotacional, figura 2.1. 
Figura 2.1 – Mola rotacional 
 
Quanto maior a rigidez à rotação da mola, maior terá 
que ser o momento fletor aplicado ao nó para produzir 
um giro : 
 
j×m=M (2.1) 
se 1=j , então m=M é o coeficiente de rigidez da 
ligação. 
 
Para os casos usuais da engenharia, figura 2.2, é possí-
vel mostrar que o valor do coeficiente de rigidez é 
dado por: 
 
L
EI4
BAAB =m=m para viga biengastada (2.2) 
e 
L
EI3
BA =m viga apoiada-engastada (2.3) 
Figura 2.2 – Coeficientes de rigidez 
 
Nas expressões (2) e (3), EI é o produto de rigidez de 
uma viga. Quanto maior EI, menores serão os efeitos 
dos momentos fletores na viga, isto é, menores serão 
as suas deformações. 
 
2.3. Coeficiente de transmissão 
 
Como conseqüência do momento L/EI4 na extremi-
dade da viga biengastada, surge um momento igual a 
metade de seu valor na outra extremidade da viga. 
 
Dizemos, então, que o coeficiente de transmissão ABa 
na barra biengastada é: 
 
2
1
M
M
B
A
BA ==a (2.4) 
 
e para a barra engastada-apoiada é igual a: 
 
0
M
M
A
B
BA ==a (2.5) 
 
j 
M 
MB 
MB MA 
(a) 
(b) 
A B 
A B 
L 
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2.4. Convenção de Grinter 
 
Os momentos exercidos pelas barras sobre os nós 
serão considerados positivos no sentido horário. Isto 
equivale a dizer que devem ser considerados positivos 
os momentos anti-horários exercidos pelos nós sobre 
as extremidades das barras. 
 
 
Figura 2.3 – Momento que a barra aplica no nó 
 
2.5. Problema fundamental de Cross 
 
Na figura 2.4 encontra-se ilustrado um nó “0” de pór-
tico típico onde está aplicado um momento fletor M . 
 
 
Figura 2.4 – Estrutura submetida à ação de uma carga mo-
mento M 
 
Cada barra resistirá a uma parcela do momento M, que 
será proporcional a sua rigidez a rotação. 
 
111M j×m= 
222M j×m= (2.6) 
333M j×m= 
 
Tem-se por equlíbrio do esquema da figura 4-(a) com 
o da figura 4-(b): 
 
MMMM 321 =++ (2.7) 
Por compatibilidade de deslocamentos tem-se: 
 
j=j=j=j 321 (2.8) 
 
Então: 
 
( )321M m+m+mj= (2.9) 
 
e 
 
å m
=j
i
M
 (2.10) 
 
Sabe-se pela expressão (2.6) e (2.10) que: 
 
å m
=
m
=
m
=
m
=
m
=j
ii
i
3
3
2
2
1
1 MMMMM 
 
Sendo possível determinar em que parcelas o momen-
to M irá se subdividir entre as barras concorrentes no 
nó “0”, obtém-se: 
 
M,,MM
i
4
i
1
1 åm
m
×××
å m
m
= (2.11) 
 
De uma maneira geral, pode-se dizer que uma barra 
genérica i irá receber uma fração 
åm
m
i
i do momento 
M aplicado no nó, ou seja: 
 
MM
i
i
i åm
m
= (2.12) 
 
Desta expressão, pode-se dizer que um momento apli-
cado num nó de uma estrutura totalmente indeslocável 
irá se distribuir, entre as diversas barras concorrentes 
neste nó, segundo parcelas proporcionais à rigidez, 
neste nó, de cada uma destas barras. 
 
Denomina-se coeficiente de distribuição de momentos 
para a barra i : 
 
åm
m
=b
i
i
i (2.13) 
 
Que representa a fração do momento atuante no nó 
que irá para a barra i. Isto implica que a å =b 1i de 
modo a recompor o momento M. 
 
Exemplo 2.1 ) Determinar a parcela do momento apli-
cado no nó “0” da estrutura na figura 2.5 o que será 
distribuído para a barra 1. 
 
 
0 
A 
C 
B 1 2 
3 
0 
A 
C 
B 
1j 
M 
M 
2j 
3j 
M 
M3 
M1 
M2 
(a) 
(b) 
+ - 
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Figura 2.5 – Estrutura submetida à ação de uma carga mo-
mento M 
 
Os coeficientes de rigidez são calculados pela aplica-
ção direta das expressões (2.2) e (2.3): 
 
( )
( )
2
EI3
4
EI6
4
EI23
L
EI3
EI4
3
EI34
L
EI4
EI2
2
EI4
L
EI4
3
3
2
2
1
1
====m
===m
===m
 
 
No caso das barras 2 e 3, deve-se levar em conta no 
cálculo de m que a rigidez da barra é 3EI e 2EI, res-
pectivamente. 
 
Os coeficientes de distribuição são dados por: 
 
2,0
EI5,7
EI5,1
53,0
EI5,7
EI4
27,0
EI
2
3
EI4EI2
EI2
3
3
2
2
1
1
==
åm
m
=b
==
å m
m
=b
=
++
=
åm
m
=b
 
 
Verifica-se pela soma dos seus valores que å =b 1i e 
isto deve ser empregado na aproximação dos valores 
de cada coeficiente de distribuição. 
 
A parcela do momento que irá para a barra 1 será: 
 
mkN45,9mkN3527,0MM 11 ×-=×´=×b= 
 
O sinal negativo decorre do fato do momento de re-
equilíbrio ser igual e contrário ao momento aplicado 
ao nó. A parcela do momento que chega no apoio A é 
dada por: 
 
mkN72,4
2
45,9
M5,0 AA0 ×-=-=Þ=a 
 
 
Figura 2.6 – Diagrama de momento da barra 1 
 
2.6. Procedimentos para aplicação do 
Método de Cross 
 
Dada uma viga genérica hiperestática, figura 2.7. 
 
 
 
Figura 2.7 – Viga contínua típica 
 
É possível dizer que: 
 
a) nos apoios intermediários ocorre tração na fibra 
superior e compressão na fibra inferior e, por isso, 
surgem momentos “negativos” nestes pontos; 
b) nos trechos intermediários dos vãos o oposto 
ocorre e, portanto, surgem momentos “positivos”; 
c) na extremidade engastada da viga, apoio A, deve 
surgir um momento fletor. 
d) na extremidade D (apoio 1º tipo) não aparece 
momento. 
 
Então, o diagrama de momentos aproximado deve ter 
a forma geral apresentada na figura 2.8. 
 
 
Figura 2.8 – Forma geral do diagrama de mo mentos de uma 
viga contínua 
 
Onde a carga é distribuída, os momentos têm diagra-
ma parabólico. E onde a carga é concentrada, os mo-
mentos têm diagrama linear. 
 
As incógnitas do problema no Método de Cross cons-
tituem-se nos momentos fletores MA, MB e MC. A sua 
determinação é feita de forma aproximada e iterativa. 
 
0 
C 
35 kN.m 
+ 
- -4,72 
-9,1 
0 A 
C 
B EI 
2 
3 
M=35 kN.m1 
3EI
2EI 
L1=2 m L2=3 m 
L3=4 m 
A B C D 
P 
+ 
- 
+ + 
- - 
MA MB 
MC 
MD=0 
p 
A B C D 
02 »j 02 ¹j 
t 
c 
t 
c 
forma deformada 
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Inicialmente os apoios intermediários são travados e 
liberados um a um. A cada apoio liberado ocorre um 
desequilíbrio nos momentos daquele nó. Após o re-
equilíbrio (distribuição em função da rigidez das bar-
ras), os momentos são propagados para os apoios 
vizinhos. 
 
Em cada iteração o valor dos momentos residuais vai 
diminuindo até se tornar desprezível, figura 2.9. 
 
 
Figura 2.9 – Marcha de operação do Método de Cross 
 
Exemplo 2.2) Viga contínua de 2 tr amos 
 
Aplicar o Método de Cross e determinar os diagramas 
de estudo da viga da figura 2.10: 
 
 
Figura 2.10 – Viga contínua com dois tramos 
 
Etapa 1) Bloqueio dos nós internos. 
 
· Impedimento à rotação de todos os nós internos 
da estrutura, no caso do nó “B”. 
· Não há necessidade de bloquear os nós de extre-
midade com apoios articulados. 
· Os balanços são substituídos por esforços que são 
aplicados ao nó extremo. 
 
Etapa 2) Momentos de engastamento perfeito. 
 
São os momentos reativos nas extremidades (engas-
tamentos) de cada tramo, mantidos os bloqueios. 
 
Tramo 1) Trecho AB, considerando o apoio B engas-
tado, figura 2.11. 
 
 
Figura 2.11 – Esquema de carregamento - tramo1 
 
Empregando a tabela A.2.1 
 
12
pL
MM
2
BA =-= 
mkN3,13
12
410
M
2
A ×=
×
= 
mkN3,13M B ×-= 
 
Tramo 2) Trecho BC da viga, considerando o apoio B 
engastado, figura 2.12. 
 
 
Figura 2.12 – Esquema de carregamento - tramo2 
 
( ) ( )
( )
mkN4276
50
7300
52
252350
bL
L2
Pab
M
22B
×=´==
=
´
+´´
=+=
 
 
Etapa 3) Cálculo dos coeficientes de rigidez, distribu-
ição e transmissão. 
 
Coeficientes de Rigidez: 
 
EI
4
EI4
L
EI4
BA ===m 
 
5
EI3
L
EI3
BC ==m 
 
Coeficientes de Distribuição: 
 
5
3
1
1
5
EI3
EI
EIBA
BA
+
=
+
=
å m
m
=b 
 
8
3
5
3
1
5
3
BC
BC =
+
=
å m
m
=b 
 
å =b 1 
 
Coeficientes de Transmissão: 
 
5,0BA =a 
 
0BC =a 
 
Etapa 4) Procedimento iterativo de Cross: 
 
A) Esquema da estrutura 
B) O nó B é bloqueado e após sua liberação, há um 
desequilíbrio que precisa ser compensado. Por isso, 
são introduzidos momentos com sinais contrários. 
Para isso, são usados os coeficientes de distribuição. 
B 
C 
MB 
3 m 2 m 
50 kN 
A B 
10 kN/m 
MA MB 4 m 
4 m 5 m
10 kN/m
1 2 
50 kN
3 m 2 m
EI=cte 
A B C 
EI 2EI EI 
M1 M2 M3 M4 M5 0 
 b1 b2 b3 b4 
a=0 
a=1/2 a=1/2 
å M
 
1TM 2TM 3TM 4TM 5TM
diminuição 
dos resíduos
1
1
43
21
=b+b
=b+b
 
+se 
-se 
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C) Propagação dos resíduos (momentos) para os nós 
opostos. 
D) Repetição do procedimento até que o momento 
propagado tenha valor desprezível. 
E) Faz-se a soma algébrica de cada coluna para obte-
rem-se os momentos finais. 
 
A aplicação dessas etapas pode ser vista na figura 
2.13. O processo se inicia pelo nó central B. Verifica-
se neste nó o desequilíbrio dos momentos, isto é, a 
direita comparece um momento de 42 kNm, enquanto 
à esquerda um momento de -13,3 kNm. Portanto, para 
encontrar o momento que re-equilibra o nó basta fazer 
a subtração (42-13,3=28,7 kNm). Este valor será dis-
tribuído pelas barras AB e BC de acordo com os coe-
ficientes de distribuição em “B”. Em seguida, são 
propagados para os nós adjacentes em função dos 
coeficientes de transmissão. 
 
 
Figura 2.13 – Aplicação do Método de Cross 
 
Etapa 5) Traçado dos diagramas: 
 
Os diagramas devem ser traçados considerando-se o 
valor do momento fletor que é obtido pela aplicação 
do Método de Cross. O sinal positivo obtido para o 
momento de +31,2 no nó “B” a direita está represen-
tado por um giro horário. Este é o momento que a 
barra solicita o nó. Por sua vez, o momento que o nó 
aplica na barra é igual com sentido contrário, por 
equilíbrio. 
 
Desse modo, de posse dos valores dos momentos 
fletores é possível determinar as forças cortantes em 
cada barra. Para isso, basta considerar as vigas isostá-
ticas AB e BC com momentos fletores aplicados nas 
extremidades, de acordo com o exposto no capítulo 1. 
 
Tramo 1) Para o caso do primeiro tramo a viga isostá-
tica está apresentada na figura 2.14. 
 
 
Figura 2.14 – Esquema do tramo 1 
 
No cálculo das reações de apoio podem ser emprega-
das as expressões deduzidas no capítulo 1, e que se 
encontram resumidas na tabela A.1.1. 
 
L
MM
2
410
L
M
2
pL
V
L
MM
2
410
L
M
2
pL
V
AB
B
AB
A
-
+´-=D+-=
-
+
´
=
D
+=
 
 
( )
kN71,2671,620V
kN28,13
4
35,42,31
20V
B
A
-=+-=
=
--
-=
 
 
Tramo 2) Para o caso do segundo tramo a viga isostá-
tica está apresentada na figura 2.15. 
 
 
Figura 2.15 – Esquema do tramo 2 
 
As reações de apoio são dadas por: 
 
( )
( )
5
2,310
5
350
L
M
L
pa
V
5
2,310
5
250
L
M
L
pb
V
B
A
--
+
´
-=
D
+-=
--
+
´
=
D
+=
 
 
8,232,630V
2,2624,620V
B
A
-=+-=
=+=
 
 
De posse das reações de apoio para os tramos AB e 
BC, é possível traçar os diagramas de esforços cortan-
tes e momentos fletores da viga contínua, figura 2.16. 
 
Figura 2.16 – Diagramas de momentos fletores e forças 
cortantes 
M 
V 
4,3 31,2 
+ 
- - 
+ 
+ + 
- - 
13,3 
26,7 
26,2 
23,8 
A B 
50 kN 31,2 kN.m 
5 m 
3 m 2 m
A B 
10 kN/m 4,35 kN.m 
4 m 
31,2 kN.m 
4 m 5 m
10 kN/m 50 kN
3 m 2 m
A CB
5/8 3/8 
13,3 -13,3 42 0a=0,5
-10,8-17,9-8,95 0
+4,35 -31,2 +31,2 
42-13,3=28,7 
-28,7 3´/8=-10,8 
-28,7 5´/8=17,9 
a=0
A CB
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Anexo A.2 
 
Tabela A.2.1 - Momentos de Engastamento Perfeito – Convenção de Grinter 
Casos de carrega-
mento 
 
8
pLM
2
A = 8
pL
M
2
B - 12
pL
MM
2
BA =-= 
 
( )
( )222
2A
bbL2
cb2
L8
pc
M
-¢-
×+=
 
( )
( )222
2
2
B
abaL2
ca2
L8
pcM
-¢-
×+-=
 
( ) ( )[ ]4433
2A
bb3bbL4
L12
pM -¢--¢×=
( ) ( )[ ]4433
2B
aa3aaL4
L12
p
M -¢--¢×=
 
 
( )bL
L2
PabM
2A
+= ( )aL
L2
PabM
2B
+= 
2
2
A
L
PabM = 
2
2
B L
bPaM -= 
 
16
PL3
MA = 16
PL3
MB -= 8
PL
MM BA =-= 
 
d×=
2A L
EI3M d×-=
2A L
EI3M d×==
2BA L
EI6MM 
 
 
 
L 
L/2 L/2 P 
p 
L 
a c 
L 
b 
p 
a' 
b 
A B A B A B 
d 
P 
L 
a b