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ÁREA1: FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DISCIPLINA: Geometria Analítica CURSO:
PROFESSOR: DATA: / /
NOME: TURMA:
1
a LISTA DE EXERCÍCIOS
ATUALIZADA EM 8 DE AGOSTO DE 2007
Translação
1. Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para a nova origem
indicada.
(a) x2 + y2 + 2x − 6y + 6 = 0, O ′(−1; 3);
(b) xy − 3x + 4y − 13 = 0, O ′(−4; 3);
(c) x2 − 4x + y2 − 6y − 12 = 0, O ′(1; 1);
(d) 4x2 − y2 − 24x + 4y + 28 = 0, O ′(3; 2);
(e) x3 − 3x2 − y2 + 3x + 4y = 5, O ′(1; 2).
2. Usando uma translação de eixos coordenados,
(a) simplifique a equação x2 + y2 + 6x − 2y + 6 = 0 indicando qual a nova origem e quais são as
equações de transformação;
(b) utilizando a translação do ítem anterior, determine as coordenadas do ponto Pxy (1;−2) em relação
ao sistema x ′O ′y ′ e as coordenadas de Qx′y ′(2; 1) no sistema xOy .
3. Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que levam
à forma reduzida as seguintes equações:
(a) x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0; (b) x2 + y2 + 6x − 8y = 0; (c) x2 + y2 + 2x − 8y + 16 = 0.
4. Para cada item, converta os pontos como se pede, usando a translação indicada pela nova origem O ′.
(a) P(2; 3) xy para x ′y ′, com O ′(−1; 5);
(b) Q(4;−2) x ′y ′ para xy , com O ′(2;−3);
(c) R(1; 0) xy para x ′y ′, com O ′(0; 4);
(d) S(0;−4) x ′y ′ para xy , com O ′(−2; 0).
5. Em cada um dos ítens, por uma translação dos eixos coordenados, transforme a equação dada em
outra desprovida de termos do 1◦ grau, se possível:
(a) x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0;
(b) x2 + y2 + 6x − 8y = 0;
(c) 3x2 + 2y2 + 18x − 8y + 29 = 0;
(d) y2 − 4x + 2y + 1 = 0;
(e) x2 − 4y2 − 4x − 24y − 36 = 0.
Parábola
6. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto
P(−2; 3) é igual à sua distância à reta r : x + 6 = 0. Em seguida a equação desse lugar geométrico.
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7. Em cada um dos seguintes ítens, determine a equação padrão da parábola a partir dos elementos
dados:
(a) um ponto da diretriz (4; 7), vértice na origem e o eixo de simetria Ox ;
(b) vértice V (3; 2), eixo focal paralelo a Oy e o ponto L(7; 0) é uma das extremidades do latus rectum;
(c) diretriz ℓ : x −1 = 0, eixo focal EF : y +2 = 0 e o ponto L(−3; 2) uma das extremidades do seu latus
rectum;
(d) diretriz ℓ : y = 4 e os pontos L(−8;−2) e R(4;−2) são as extremidades do latus rectum;
(e) vértice V (1; 2), eixo focal paralelo a Ox e P(−7;−6) é ponto do seu gráfico;
(f) vértice V (−1; 3), eixo focal paralelo a Oy e P(3;−1) é um ponto da parábola;
(g) eixo focal EF : y − 5 = 0, diretriz ℓ : x − 3 = 0 e vértice sobre a reta r : y = 2x + 3;
(h) eixo focal EF : x = −4, diretriz ℓ : y = 3 e foco sobre a reta r : y = −x − 5;
8. Determine as coordenadas do vértice, do foco, as equações da diretriz e do eixo focal de cada uma das
seguintes parábolas:
(a) (x − 2)2 = −4(y + 1);
(b) y2 − 2x − 6y + 1 = 0;
(c) 4x2 + 4x − 32y + 33 = 0;
(d) y2 + x − 4y + 5 = 0;
(e) y2 − 8x − 2y − 23 = 0;
(f) 4x2 − 48y − 20x − 71 = 0.
9. Determinar as coordenadas dos pontos que são as extremidades do Latus Rectum da parábola que tem
como diretriz a reta y − 3 = 0 e foco no ponto F (1; 1).
10. Usando a definição, determine a equação geral da parábola
da figura, sabendo-se que:
⋄ F (2, 2) é o seu foco;
⋄ V (1, 1) é o seu vértice;
⋄ A reta de equação d : y = −x é a sua diretriz.
Obs.: A fórmula da distância entre um ponto P(x0, y0) e uma reta
r : ax + by + c = 0 é
d(P , r) =
|ax0 + by0 + c |√
a2 + b2
F
V
x
y
EF
d
Elipse
11. Um ponto P(x ; y) se desloca de modo que a soma de suas distâncias aos pontos A(3; 1) e B(−5; 1) é
10. Diga a natureza da curva descrita por P e em seguida determine sua equação padrão.
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12. Um ponto P(x ; y) se desloca de modo que a soma de suas distâncias aos pontos A(3; 2) e B(3; 6) é 8.
Diga a natureza da curva descrita pelo ponto P e em seguida determine a sua equação padrão.
13. Em cada um dos seguintes ítens, determine a equação padrão da elipse, a partir dos elementos dados:
(a) focos F1(3; 8) e F2(3; 2), e comprimento do eixo maior 10;
(b) vértices A1(5;−1) e A2(−3;−1) extremidades do eixo maior, e excentricidade e = 3
4
;
(c) centro C (1; 2), um dos focos em F (6; 2) e P(4; 6) é ponto do seu gráfico;
(d) eixo focal paralelo ao eixo Ox , um dos focos no ponto F (−4; 3) e uma das extremidades do eixo
menor no ponto B(0; 0).
14. De acordo com os conhecimentos sobre elipse, determine
as coordenadas dos focos e a equação padrão da cônica da
figura ao lado. Obtenha também as equações de transformação
e a nova origem da translação que levam a equação desta curva
à forma reduzida. x
y
x ′
y ′
4
4
−2
15. Sabendo que P(7, 5) é um ponto da elipse cujo os extremos do eixo maior coincidem com os extremos
do latus rectum da parábola y2 + 10x − 10y − 30 = 0, determine sua equação geral.
16. Usando a definição, determine a equação geral da elipse da
figura, sabendo-se que:
⋄ F1(9, 9) e F2(2, 2) são focos;
⋄ A1(10, 10) e A2(1, 1) são vértices sobre o eixo maior;
F1
F2
A1
A2
10
10
x
y
Hipérbole
17. Determine a equação do lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de modo que a
diferença de suas distâncias aos pontos P1(−6,−4) e P2(2,−4) é igual a 6. Verifique se esta curva admite
assíntota(s) e, em caso afirmativo, determine sua(s) equação(ões).
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18. Em cada um dos ítens, determine a equação padrão da hipérbole, a partir dos elementos dados.
(a) focos F1(−1; 3) e F2(−7; 3) e comprimento do eixo transverso igual a 4;
(b) vértices A1(5; 4) e A2(1; 4) e comprimento do latus rectum igual a 5;
(c) focos F1(2; 13) e F2(2;−13) e comprimento do eixo não transverso igual a 24;
(d) assíntotas r : 4x + y − 11 = 0 e s : 4x − y − 13 = 0 e um dos vértices A(3; 1);
(e) eixo normal y = −3, um dos focos no ponto F (−3; 0) e excentricidade e = 1, 5;
(f) focos F1(−4; 5) e F2(−4;−5) e comprimento do eixo transverso igual a 6;
(g) assíntotas r : 2y = 3x e s : 2y = −3x , comprimento do eixo imaginário 6 e focos no eixo Ox .
19. Reduza as equações das cônicas a seguir, através de uma translação, para a forma padrão, identifi-
cando os seguintes elementos:
I. As coordenadas do(s) vértice(s) e foco(s);
II. As equações do eixo focal, e eixo normal (elipse e hipérbole) ou diretriz (parábola);
III. Comprimento do latus rectum e excentricidade;
IV. Comprimento dos eixos: maior e menor (elipse) / transverso e conjugado (hipérbole).
(a) 9(x − 1)2 + 25y2 + 50y − 200 = 0;
(b) 9x2 + 25(y − 2)2 − 54x − 144 = 0;
(c) x2 − 4y2 + 2x + 24y − 39 = 0;
(d) 4x2 − 9y2 − 36x − 18y + 63 = 0.
20. Usando a definição, determine a equação geral da hipérbole
da figura, sabendo-se que:
⋄ F1(
√
2,
√
2) e F2(−
√
2,−√2) são focos;
⋄ A1(1, 1) e A2(−1,−1) são vértices.
F1
F2
A1
A2
x
y
21. Dizemos que duas hipérboles são conjugadas quando o eixo transverso de cada uma delas coincide
com o eixo conjugado da outra. Dada a hipérbole H : (y − 1)
2
9
− (x + 3)
2
16
= 1, determine as coordenadas
dos focos da hipérbole H¯ conjugada de H e sua equação geral.
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22. Uma hipérbole é dita equilátera quando o comprimento do seu eixo transverso é igual ao comprimento
do seu eixo conjugado. Sabendo que os focos de uma hipérbole equilátera coincidem com asextremidades
do eixo menor da elipse (x + 1)
2
36
+
(y − 2)2
16
= 1. Determine a equação padrão desta hipérbole.
23. O vértice de uma parábola coincide com o centro da hipérbole
H : 2x2 − 7y2 − 4x + 14y − 19 = 0
e sua diretriz coincide com o eixo focal da elipse
E :
(x − 1)2
4
+ (y + 2)2 = 1.
Determine a equação padrão dessa parábola.
24. Os focos de uma elipse coincidem com os vértices da hipérbole
H : 16x2 − 9y2 − 64x − 18y + 199 = 0.
Sabendo-se que a excentricidade da elipse é igual a 1
3
, escreva sua equação padrão.
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Gabarito
Questão 1. (a) x′2 + y ′2 = 4 (b) x′y ′ = 1 (c) x′2 + y ′2 − 2x′ − 4y ′ − 20 = 0 (d) 4x′2 − y ′2 = 4 (e) x′3 − y ′2 = 0
Questão 2. (a) x′2 + y ′2 = 4, O′(−3; 1); x′ = x + 3; y ′ = y − 1: (b) P(4;−3) e Q(−1; 2)
Questão 3.
(a)
§
x′ = x − 1
y ′ = y + 2
O′(1;−2)
x′2 + y ′2 = 9
(b)
§
x′ = x + 3
y ′ = y − 4
O′(−3; 4)
x′2 + y ′2 = 25
(c)
§
x′ = x + 1
y ′ = y − 4
O′(−1; 4)
x′2 + y ′2 = 1
Questão 4. (a) (3;−2) (b) (6;−5) (c) (1;−4) (d) (−2;−4).
Questão 5. (a) x′2 + y ′2 = 9 (b) x′2 + y ′2 = 25 (c) 3x′2 + 2y ′2 = 6 (d) y ′2 − 4x′ = 0 (Observe que não foi possível eliminar a
termo de grau 1) (e) x′2 − 4y ′2 = 4
Questão 6. Parábola, y2 − 6y − 8x − 23 = 0.
Questão 7.
(a) y2 = −16x (e) (y − 2)2 = −8(x − 1)
(b) (x − 3)2 = −8(y − 2) (f ) (x + 1)2 = −4(y − 3)
(c) (y + 2)2 = −8(x + 1) (g) (y − 5)2 = −8(x − 1)
(d) (x + 2)2 = −12(y − 1) (h) (x + 4)2 = −8(y − 1)
Questão 8.
(a)V (2;−1); F (2;−2); ℓ : y = 0; EF : x = 2.
(b)V (−4; 3); F
�−7
2 ; 3
�
; ℓ : 2x + 9 = 0; EF : y = 3.
(c)V
�
− 12 ; 1
�
; F
�
− 12 ; 3
�
; ℓ : y + 1 = 0; EF : 2x + 1 = 0.
(d)V (−1; 2); F
�
− 54 , 2
�
; ℓ : 4x + 3 = 0; EF : y = 2.
(e)V (−3; 1); F (−1, 1); ℓ : x = −5; EF : y = 1.
(f )V
�
5
2 ;−2
�
; F
�
5
2 , 1
�
; ℓ : y = −5; EF : 2x − 5 = 0.
Questão 9. L(−1; 1) e R(3; 1).
Questão 10. x2 + y2 − 8x − 8y − 2xy + 16 = 0.
Questão 11. Elipse, (x + 1)
2
25
+
(y − 1)2
9
= 1;
Questão 12. Elipse, (y − 4)
2
16
+
(x − 3)2
12
= 1;
Questão 13.
(a)
(x − 3)2
16
+
(y − 5)2
25
= 1 (b)
(x − 1)2
16
+
(y + 1)2
7
= 1 (c)
(x − 1)2
45
+
(y − 2)2
20
= 1 (d)
x2
25
+
(y − 3)2
9
= 1
Questão 14. F1(2; 1 +
√
5), F2(2; 1 −
√
5),
(x − 2)2
4
+
(y − 1)2
9
= 1 e
§
x′ = x − 2
y ′ = y − 1
; O′(2; 1)
Questão 15. 25x2 + 16y2 − 150x − 160y + 225 = 0.
Questão 16. 113x2 + 113y2 − 98xy + 704x − 704y + 1280 = 0.
Questão 17. Hipérbole, (x + 2)
2
9
− (y + 4)
2
7
= 1. Assíntotas, r , s : y = −4 ±
√
7
3
(x + 2).
Questão 18.
(a)
(x + 4)2
4
− (y − 3)
2
5
= 1 (b)
(x − 3)2
4
− (y − 4)
2
5
= 1 (c)
y2
25
− (x − 2)
2
144
= 1 (d)
(y + 1)2
4
− (x − 3)
2
1
4
= 1
(e)
(y + 3)2
4
− (x + 3)
2
5
= 1 (f )
y2
9
− (x + 4)
2
16
= 1 (g)
x2
4
− y
2
9
= 1
Questão 19.
(a) I . A1(6;−1), A2(−4;−1), B1(1; 2), B2(1;−4),
F1(5;−1), F2(−3;−1).
I I . EF : y = −1, EN : x = 1
I I I . |LR| = 185 , e = 45
IV . |EM| = 10, |Em| = 6
(c) I . A1(1; 3), A2(−3; 3)
F1(−1 +
√
5; 3), F2(−1 −
√
5; 3)
I I . EF : y = 3, EN : x = −1
I I I . |LR| = 1, e =
√
5
2
IV . |ET | = 4; |EC | = 2
(b) I . A1(−2; 2), A2(8; 2), B1(3; 5), B2(3;−1),
F1(−1; 2), F2(7; 2)
I I . EF : y = 2, EN : x = 3
I I I . |LR| = 185 , e = 45
IV . |EM| = 10, |Em| = 6
(d) I . A1(6;−1), A2(3;−1),
F1(
9
2 +
√
13;−1), F2( 92 −
√
13;−1)
I I . EF : y = −1, EN : 2x = 9
I I I . |LR| = 43 , e =
√
13
3
IV . |ET | = 3, |EC | = 2
Questão 20. x · y = 1.
Questão 21. F1(−8; 1), F2(2; 1) e 9x2 − 16y2 + 54x + 32y − 79 = 0.
Questão 22. (y − 2)
2
8
− (x + 1)
2
8
= 1.
Questão 23. (x − 1)2 = 12(y − 1).
Questão 24. (x − 2)
2
128
+
(y + 1)2
144
= 1.
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