Cálculo III - Lista 2

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Prof. Rafael Clarim - Cálculo III
Lista II
Integrais de Linha para Campos Escalares
Questão 1: Calcule as integrais de linha dos campos escalares:
(a)
∫
C
(x+ 2y)ds, onde C é uma semicircunferência centrada na origem de raio igual a 3
e orientada no sentido positivo;
(b)
∫
C
(x2 + y2 − z)ds, onde C é a hélice circular dada por σ(t) = (cos(t), sen(t), t) e t ∈ [0, 2pi];
(c)
∫
C
(2x− y + z)ds, onde C é o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1);
(d)
∫
C
(xz)ds, onde C é a interseção da esfera x2 + y2 + z2 = 4 com o plano x = y;
(e)
∫
C
(xy)ds, onde C é a elipse x
2
a2 +
y2
b2 = 1 ;
(f)
∫
C
(3y −√z)ds, onde C é o arco da parábola z = y2 e x = 1 de A(1,0,0) a B(1,2,4);
(g)
∫
C
(|y|)ds, onde C é a curva dada por y = x3 de (-1,-1) a (1, 1);
(h)
∫
C
(x+ y)ds, onde C é a interseção das superfícies z = x2 + y2 e z = 4;
(i)
∫
C
(x+ y)ds, onde C consiste no menor arco de circunferência x2 + y2 = 1 de (1,0) a (0,1)
e o segmento de reta de (0,1) a (4,3).
Integrais de Linha de Campos Vetoriais
Questão 2: Calcule as integrais de linha dos campos vetoriais:
(a)
∫
C
F · dr, onde F (x, y) = (x− y, x+ y) e C é a curva parametrizada por σ(t) = (3t+ 2, 5t− 4)
com t ∈ [−1, 1];
(b)
∫
C
F · dr, onde F (x, y, z) = (xy, yz, zx) e C é a curva parametrizada por σ(t) = (t, t2, t3)
com t ∈ [0, 1];
(c)
∫
C
xydx+ x2y3dy, onde C é o triângulo com vértices nos pontos (0, 0),(1, 0) e (1, 2);
(d)
∫
C
F · dr, onde F (x, y) = (x2, x− y) e C é a curva parametrizada por σ(t) = (t, sen(t))
com t ∈ [0, pi];
(e)
∫
C
F · dr, onde F (x, y) = (x2,−xy) e C é a curva parametrizada pelo círculo x2 + y2 = 1 com
t ∈ [0, 2pi];
(f)
∫
C
xdx+ (x2 + y + z)dy + xyzdz e C é a curva parametrizada por σ(t) = (t, 2t, 1)
com t ∈ [0, 2];
1
(g)
∫
C
−ydx+ xdy e C é a curva parametrizada pela elipse x24 + y
2
9 = 1 com t ∈ [0, 2pi];
(h)
∫
C
F · dr, onde F (x, y) = ( −yx2+y2 , xx2+y2 ) e C é a curva parametrizada por σ(t) = (cost, sent)
com t ∈ [0, 2pi];
(i)
∫
C
−ydx+ xdy e C é a curva parametrizada pela triângulo cujos vértices são (0,0), (1,0) e (1,1),
orientada no sentido anti-horário.
2
Gabarito
Questão 1:
(a) 36;
(b) 2pi
√
2(1− pi) ;
(c) 12;
(d) 0;
(e) 0;
(f)
1
6 (17
√
17− 1);
(g)
10
√
10−1
27 ;
(h) 0;
(i) 2 + 8
√
5.
Questão 2:
(a) 16;
(b)
27
28 ;
(c)
2
3 ;
(d)
pi3
3 − 2;
(e) 0;
(f)
58
3 ;
(g) 12pi;
(i) 1.
3