Desvio Padrão

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Para avançarmos nossos estudos sobre Desvio Padrão, precisamos enfatizar a ciência responsável pelo seu estudo, a Estatística.
A Estatística é parte da Matemática Aplicada que fornece métodos de coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, úteis nas tomadas de decisão. Se dividem em:
Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados.
Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e interpretação dos dados. Permite obter conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente, objetivo essencial da Estatística.
Probabilidade: útil para analisar situações que envolvem o acaso. Ex: a decisão de parar de imunizar pessoas com mais de vinte anos contra determinada doença.
Em estatística existem as medidas de posição e de dispersão.
As medidas de posição são:
- Moda;
- Mediana;
- Média;
- Quartis, Decis e Percentis;
As medidas de dispersão são:
- Desvio padrão;
- Variância; e
- Amplitude.
O estudo deste material foca nas medidas de dispersão, mais precisamente no desvio padrão.
O desvio padrão é uma medida estatística de dispersão que deve ser usada conjuntamente com a média. O desvio padrão nos dá a informação sobre até que ponto os dados de uma determinada amostra se afastam da média.
Desvio padrão é uma medida de dispersão dos valores de uma distribuição normal em relação à sua média.
Conhecer o desvio padrão é importante, pois alguns indicadores e estratégias se baseiam nele para apresentar seus resultados. Podemos citar como exemplos as Bandas de Bollinger e as estratégias de Long x Short.
Vejamos alguns exemplos:
Imagine estaturas de homens adultos. É fácil observar que não existe grande variação, por mais que um homem possa ser extremamente alto ou extremamente baixo. Mesmo que esses eventos extraordinários aconteçam, é bastante plausível afirmar que existirá uma média de estatura se forem observadas as alturas de todos os homens do mundo. Isso é uma distribuição normal.
Mas será que o mercado, ou os retornos do mercado, seguem uma distribuição normal? Não, os dados históricos nos mostram que não. É mais plausível atribuir uma distribuição log-normal aos retornos do mercado, ou seja, onde o logaritmo das grandezas dos retornos segue uma distribuição normal, mas ainda assim é impossível afirmar que o mercado segue esse tipo de distribuição. Os retornos do mercado são imprevisíveis, mas uma distribuição normal é um bom ponto de partida na tentativa de mensurar os possíveis retornos futuros, mesmo que com algumas falhas.
O desvio padrão de uma variável aleatória X é definido como:
Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculado como: Para cada valor  calcula-se a diferença entre  e o valor médio 
 .
Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência, ou seja, a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças pela respectiva frequência. Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças.
Divide-se este resultado por: (número de valores), ou seja, . Esta quantidade é a variância . Tome a raiz quadrática deste resultado. O desvio padrão também pode ser calculado quando não se sabe a média dos dados. O cálculo é feito conforme a fórmula: 
onde  é o valor esperado de X.
Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, porque esses valores esperados não precisam existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que flui em uma distribuição de Cauchy é indefinido.
Se uma variável aleatória  toma os valores  então o desvio padrão para esta amostra de  números (ou desvio padrão amostral) pode ser calculado da seguinte forma. Primeiro calcula-se a média de   através de:
Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:
  
Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o
Para entendermos melhor o cálculo do desvio padrão, vamos analisar algumas situações hipotéticas:
Caso 1) Dois automóveis fazem o mesmo percurso de 500 km em 5 horas, o que dá uma média de 100km/h. Suas velocidades médias em cada hora são apresentadas conforme tabela abaixo:
	 
	Velocidades médias em km/h
	Hora
	Veículo A
	Veículo B
	1
	120
	95
	2
	80
	105
	3
	140
	99
	4
	60
	100
	5
	100
	101
Qual dos dois veículos apresentou a menor variação de velocidade? Qual veículo manteve a velocidade mais constante? Essas perguntas também podem ser expressadas da seguinte forma: qual veículo apresentou o menor desvio padrão?
Apenas observando a tabela percebemos que o veículo apresenta a menor variação de velocidade, mantendo uma velocidade mais constante, portanto é o veículo que apresentou o menor desvio em relação à velocidade média de 100 km/h.
O veículo A variou sua velocidade de 60 a 140 km/h enquanto o carro B variou de 95 a 105 km/h.
Agora vamos calcular o desvio padrão de cada automóvel:
No caso do veículo A, calculamos a diferença em relação à média: 120-100, 80-100, 140-100, 60-100 e 100-100.
Em seguida, calculamos o quadrado de cada um destes valores. Continuando o exemplo acima: 20², -20², 40², -40² e 0².
Adicionamos cada um destes valores e dividimos pelo número de observações. Continuando o exemplo da empresa A: (400+400+1600+1600+0) / 5 = 800.
Por fim calculamos a raiz quadrada desse número. Então teríamos para o mesmo exemplo: √800 = 28,28.
O desvio-padrão do carro A é 28,28.
No caso do veículo B, calculamos a diferença em relação à média: 95-100, 105-100, 99-100, 100-100 e 101-100.
Em seguida, calculamos o quadrado de cada um destes valores. Continuando o exemplo acima: -5², 5², -1², 0² e 1².
Adicionamos cada um destes valores e dividimos pelo número de observações. Continuando o exemplo da empresa A: (25+25+1+0+1) / 5 = 10,4.
Por fim calculamos a raiz quadrada desse número. Então teríamos para o mesmo exemplo: √10,4 = 3,22.
O desvio-padrão do carro B é 3,22.
Caso 2) Duas empresas de entregas rápidas, apresentam uma média de tempo de entrega de mercadorias de 20 horas. Uma das empresas apresenta um desvio padrão de 2 horas e 54 minutos e a outra um desvio padrão de 4 horas e meia. Qual das duas empresas tem um desempenho melhor em relação ao tempo de entrega?
Conhecendo o significado do desvio padrão, a resposta seria óbvia: a primeira empresa é melhor porque o tempo de entregas é menos disperso em relação à média.
Mas vamos ver os exemplos para as amostras destas duas empresas. Na tabela seguinte podemos analisar os tempos de entrega destas empresas (em horas) ao longo de 7 dias:
Para calcular a média, já sabemos que basta adicionar os valores e dividir o resultado por 7. O cálculo do desvio-padrão, mesmo sem usar a máquina de calcular ou Excel, é bastante fácil:
Para cada valor, calculamos a diferença em relação à média. Por exemplo, para a empresa A, calculamos 15-20, 18-20, 19-20, 20-20, 21-20, 22-20 e 25-20.
Em seguida, calculamos o quadrado de cada um destes valores. Continuando o exemplo acima: -5², -2², 1², 0², 1², 2² e 5².
Adicionamos cada um destes valores e dividimos pelo número de observações. Continuando o exemplo da empresa A: (25+4+1+0+1+4+25) / 7 = 8,571.
Por fim calculamos a raiz quadrada desse número. Então teríamos para o mesmo exemplo: √8,571= 2,9.
O desvio-padrão da empresa A é 2,9.
Vamos fazer o mesmo para a empresa B:
Para cada valor, calculamos a diferença em relação à média. Por exemplo, para a empresa A, calculamos 26-20, 23-20, 15-20, 20-20, 25-20, 17-20 e 14-20.
Em seguida, calculamos o quadrado de cada um destes valores. Continuando o exemplo acima: 6², 3², -5², 0², 5², -3², -6².
Adicionamos cada um destes valores e dividimos pelo número de observações. Continuando o exemplo da empresa A: (36+9+25+0+25+9+36) / 7 = 20.
Por fim calculando a raiz quadrada de √20 = 4,5.
O desvio-padrão da empresa B é 4,1.
Isto significa que a empresa A é mais confiável quanto a manter o tempo médio de entregas nas 20 horas.
Link:
https://www.portal-gestao.com/item/7343-ferramentas-b%C3%A1sicas-de-an%C3%A1lise-financeira-o-desvio-padr%C3%A3o.htmlMedidas de Dispersão ou de Variabilidade
 
Amplitude total (AT)
 
a)     a amplitude total é a diferença entre o maior valor e o menor valor observado:
Exemplo: 40, 45, 48, 52, 54, 62, e 70
AT = 70 - 40 = 30
 
Quanto maior a amplitude total, maior será a dispersão dos valores da variável em torno da média.
 
Variância (s2) e Desvio Padrão (s)
 
São mais estáveis que a amplitude total, não sofrem tanto a interferência de valores extremos.
 
a) para dados não agrupados
 
A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios:
 
A variância é um número em unidade quadrada em relação à média, por isso, definiu-se o desvio padrão como a raiz quadrada da variância.
O desvio padrão é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios.
Para evitar o acúmulo de erro por arredondamento, simplifica-se o cálculo do desvio padrão com a seguinte fórmula:
que resulta em:
 
Observação: Quando calcula-se a variância ou o desvio padrão de uma população através de uma amostra dessa, deve-se substituir o denominador n por n-1.
 
Propriedades:  
1a: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a (de) todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera.
 
2a.: Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado por essa constante.
 
Exemplo: Calcule o desvio padrão da seguinte série:
 
	i
	xi
	xi2
	1
	8
	64
	2
	10
	100
	3
	11
	121
	4
	15
	225
	5
	16
	256
	6
	18
	324
	Total
	78
	1090
 
b) para dados agrupados sem intervalos de classe: deve-se levar em conta as frequências.
Exemplo:
	i
	Qtde de filhos que se deseja ter (xi)
	fi
	fi . xi
	fi . xi2
	1
	0
	2
	0
	0
	2
	1
	6
	6
	6
	3
	2
	12
	24
	48
	4
	3
	7
	21
	63
	5
	4
	3
	12
	48
	Total
	 
	30
	63
	165
 
Como obter o desvio padrão com o auxílios dos sistemas de informação
Para obter os valores de uma distribuição normal precisamos de duas coisas: o cálculo da média e o desvio padrão da distribuição.
O desvio padrão nos indica como os valores se comportam quando distantes da média, ou seja, seu grau de dispersão e sua probabilidade de acontecer a certa distância da média. Vejamos:
Na tabela temos os valores hipotéticos de um ativo. Calculamos a média dos valores com auxílio da função MÉDIA no Excel e em seguida calculamos o valor do desvio padrão, dessa vez com auxílio da função DESVPAD no Excel.
Somando a média com mais um (+1) e menos um (-1) desvio, obtemos a primeira faixa de dispersão dos valores no gráfico. Fazemos o mesmo para dois e três desvios. Veja o significado dos valores no gráfico:
Em vermelho tracejado temos a média dos valores do ativo hipotético para o período estudado.
Entre as linhas azuis temos os valores encontrados dentro de mais um (+1) e menos um (-1) desvio padrão.
Entre as linhas laranja temos os valores encontrados dentro de mais dois (+2) e menos dois (-2) desvios padrão.
Entre as linhas verdes temos os valores encontrados dentro de mais três (+3) e menos três (-3) desvios padrão.
O ponto mais importante de uma distribuição normal vem a seguir, as probabilidades dos valores acontecerem longe da média. É isso que você deve aprender e ter em mente. Acompanhe:
68,26% dos valores de uma distribuição normal encontram-se dentro da faixa de um desvio padrão, tanto para mais quanto para menos em relação à média.
95,44% dos valores de uma distribuição normal encontram-se dentro da faixa de dois desvios padrão, tanto para mais quanto para menos em relação à média.
99,72% dos valores de uma distribuição normal encontram-se dentro da faixa de três desvios padrão, tanto para mais quanto para menos em relação à média.
Esse tipo de relação é representada pelo gráfico a seguir, conhecido como “Bell Curve”, ou curva do sino.
Crédito da imagem: Wikimedia Commons
Disponível em: http://www.investpedia.com.br/artigo/O+que+e+desvio+padrao.aspx