FUV - Caputi - Parte 1

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Parte I - Limites de Func¸o˜es
Func¸o˜es de Uma Varia´vel
BC 0402
3o quadrimestre de 2014
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 1 / 90
Visa˜o Geral
1 Limites Finitos
Preliminares
Limite no ponto
Limites laterais
Limite para x → ±∞
2 Limites infinitos
Limite no ponto
Limites laterais infinitos
Limite para x → ±∞
3 Continuidade
Definic¸a˜o e exemplos
Resultados importantes
4 Ca´lculo de Limites
Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Func¸o˜es Compostas
Propriedades Alge´bricas de Limites Finitos
Teorema do Confronto
Infinite´simos e Infinitos
Propriedades Alge´bricas de Limites
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 2 / 90
Visa˜o Geral
1 Limites Finitos
Preliminares
Limite no ponto
Limites laterais
Limite para x → ±∞
2 Limites infinitos
Limite no ponto
Limites laterais infinitos
Limite para x → ±∞
3 Continuidade
Definic¸a˜o e exemplos
Resultados importantes
4 Ca´lculo de Limites
Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Func¸o˜es Compostas
Propriedades Alge´bricas de Limites Finitos
Teorema do Confronto
Infinite´simos e Infinitos
Propriedades Alge´bricas de Limites
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 2 / 90
Visa˜o Geral
1 Limites Finitos
Preliminares
Limite no ponto
Limites laterais
Limite para x → ±∞
2 Limites infinitos
Limite no ponto
Limites laterais infinitos
Limite para x → ±∞
3 Continuidade
Definic¸a˜o e exemplos
Resultados importantes
4 Ca´lculo de Limites
Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Func¸o˜es Compostas
Propriedades Alge´bricas de Limites Finitos
Teorema do Confronto
Infinite´simos e Infinitos
Propriedades Alge´bricas de Limites
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 2 / 90
Visa˜o Geral
1 Limites Finitos
Preliminares
Limite no ponto
Limites laterais
Limite para x → ±∞
2 Limites infinitos
Limite no ponto
Limites laterais infinitos
Limite para x → ±∞
3 Continuidade
Definic¸a˜o e exemplos
Resultados importantes
4 Ca´lculo de Limites
Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Func¸o˜es Compostas
Propriedades Alge´bricas de Limites Finitos
Teorema do Confronto
Infinite´simos e Infinitos
Propriedades Alge´bricas de Limites
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 2 / 90
Limites Finitos
Limites Finitos
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 3 / 90
Limites Finitos Preliminares
Preliminares
Uso de mo´dulos para expressar vizinhanc¸as de um ponto
O conceito de limite lanc¸a ma˜o da ideia de aproximac¸a˜o ou perturbac¸a˜o
em torno de um ponto.
Essa ideia e´ muito bem representada atrave´s do uso do mo´dulo.
Conve´m enta˜o lembrar que sa˜o equivalentes as expresso˜es
|a− b| < r
b − r < a < b + r
a ∈ (b − r , b + r)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 4 / 90
Limites Finitos Preliminares
Preliminares
Uso de mo´dulos para expressar vizinhanc¸as de um ponto
O conceito de limite lanc¸a ma˜o da ideia de aproximac¸a˜o ou perturbac¸a˜o
em torno de um ponto.
Essa ideia e´ muito bem representada atrave´s do uso do mo´dulo.
Conve´m enta˜o lembrar que sa˜o equivalentes as expresso˜es
|a− b| < r
b − r < a < b + r
a ∈ (b − r , b + r)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 4 / 90
Limites Finitos Preliminares
Preliminares
Uso de mo´dulos para expressar vizinhanc¸as de um ponto
O conceito de limite lanc¸a ma˜o da ideia de aproximac¸a˜o ou perturbac¸a˜o
em torno de um ponto.
Essa ideia e´ muito bem representada atrave´s do uso do mo´dulo.
Conve´m enta˜o lembrar que sa˜o equivalentes as expresso˜es
|a− b| < r
b − r < a < b + r
a ∈ (b − r , b + r)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 4 / 90
Limites Finitos Preliminares
Preliminares
Uso de mo´dulos para expressar vizinhanc¸as de um ponto
O conceito de limite lanc¸a ma˜o da ideia de aproximac¸a˜o ou perturbac¸a˜o
em torno de um ponto.
Essa ideia e´ muito bem representada atrave´s do uso do mo´dulo.
Conve´m enta˜o lembrar que sa˜o equivalentes as expresso˜es
|a− b| < r
b − r < a < b + r
a ∈ (b − r , b + r)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 4 / 90
Limites Finitos Preliminares
Assim, para expressar
”a esta´ suficientemente pro´ximo de b”
dizemos
∃ r > 0 tal que |a− b| < r .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 5 / 90
Limites Finitos Preliminares
Assim, para expressar
”a esta´ suficientemente pro´ximo de b”
dizemos
∃ r > 0 tal que |a− b| < r .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 5 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Ponto de acumulac¸a˜o
Seja dada uma func¸a˜o f (x) e um nu´mero real a.
Dizemos que a e´ ponto de acumulac¸a˜o de Dom f , se
∃ r > 0 tal que (a− r , a + r) ⊂ Dom f \{a}
Em outras palavras, se ”pequenas perturbac¸o˜es em torno de a ficam
dentro do dom´ınio da func¸a˜o f ”.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 6 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Ponto de acumulac¸a˜o
Seja dada uma func¸a˜o f (x) e um nu´mero real a.
Dizemos que a e´ ponto de acumulac¸a˜o de Dom f , se
∃ r > 0 tal que (a− r , a + r) ⊂ Dom f \{a}
Em outras palavras, se ”pequenas perturbac¸o˜es em torno de a ficam
dentro do dom´ınio da func¸a˜o f ”.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 6 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Ponto de acumulac¸a˜o
Seja dada uma func¸a˜o f (x) e um nu´mero real a.
Dizemos que a e´ ponto de acumulac¸a˜o de Dom f , se
∃ r > 0 tal que (a− r , a + r) ⊂ Dom f \{a}
Em outras palavras, se ”pequenas perturbac¸o˜es em torno de a ficam
dentro do dom´ınio da func¸a˜o f ”.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 6 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Ponto de acumulac¸a˜o
Seja dada uma func¸a˜o f (x) e um nu´mero real a.
Dizemos que a e´ ponto de acumulac¸a˜o de Dom f , se
∃ r > 0 tal que (a− r , a + r) ⊂ Dom f \{a}
Em outras palavras, se ”pequenas perturbac¸o˜es em torno de a ficam
dentro do dom´ınio da func¸a˜o f ”.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 6 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definic¸a˜o de limite
Dada uma func¸a˜o f (x) e um nu´mero real a que seja ponto de acumulac¸a˜o
de Dom f , dizemos que
lim
x→a f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 7 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definic¸a˜o de limite
Dada uma func¸a˜o f (x) e um nu´mero real a que seja ponto de acumulac¸a˜o
de Dom f , dizemos que
lim
x→a f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 7 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definic¸a˜o de limite
Dada uma func¸a˜o f (x) e um nu´mero real a que seja ponto de acumulac¸a˜o
de Dom f , dizemos que
lim
x→a f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel(BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 7 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definic¸a˜o de limite
Dada uma func¸a˜o f (x) e um nu´mero real a que seja ponto de acumulac¸a˜o
de Dom f , dizemos que
lim
x→a f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 7 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Interpretac¸a˜o gra´fica
(GeoGebra: LF ponto.ggb)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 8 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→2
(3x + 1) = 7
Dado � > 0, tome δ = �3 . Se x e´ tal que 0 < |x − 2| < �3 , enta˜o
|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3 �
3
= �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 9 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→2
(3x + 1) = 7
Dado � > 0, tome δ = �3 . Se x e´ tal que 0 < |x − 2| < �3 , enta˜o
|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3 �
3
= �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 9 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→2
(3x + 1) = 7
Dado � > 0, tome δ = �3 . Se x e´ tal que 0 < |x − 2| < �3 , enta˜o
|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3 �
3
= �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 9 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→2
(3x + 1) = 7
Dado � > 0, tome δ = �3 . Se x e´ tal que 0 < |x − 2| < �3 , enta˜o
|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3 �
3
= �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 9 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
@ lim
x→0
sen
1
x
Dado L ∈ R, L 6= 1, tome � > 0, tal que 1 /∈ (L− �, L + �). Para todo
δ > 0, existe k ∈ Z tal que pi2 + 2kpi > 1δ . Logo,
x0 =
1
pi
2 + 2kpi
< δ
e
sen
1
x0
= 1 /∈ (L− �, L + �).
Se L = 1, repetimos o procedimento com valores do tipo 1x = −pi2 + 2kpi.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 10 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
@ lim
x→0
sen
1
x
Dado L ∈ R, L 6= 1, tome � > 0, tal que 1 /∈ (L− �, L + �). Para todo
δ > 0, existe k ∈ Z tal que pi2 + 2kpi > 1δ . Logo,
x0 =
1
pi
2 + 2kpi
< δ
e
sen
1
x0
= 1 /∈ (L− �, L + �).
Se L = 1, repetimos o procedimento com valores do tipo 1x = −pi2 + 2kpi.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 10 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
@ lim
x→0
sen
1
x
Dado L ∈ R, L 6= 1, tome � > 0, tal que 1 /∈ (L− �, L + �). Para todo
δ > 0, existe k ∈ Z tal que pi2 + 2kpi > 1δ . Logo,
x0 =
1
pi
2 + 2kpi
< δ
e
sen
1
x0
= 1 /∈ (L− �, L + �).
Se L = 1, repetimos o procedimento com valores do tipo 1x = −pi2 + 2kpi.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 10 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
@ lim
x→0
sen
1
x
Dado L ∈ R, L 6= 1, tome � > 0, tal que 1 /∈ (L− �, L + �). Para todo
δ > 0, existe k ∈ Z tal que pi2 + 2kpi > 1δ . Logo,
x0 =
1
pi
2 + 2kpi
< δ
e
sen
1
x0
= 1 /∈ (L− �, L + �).
Se L = 1, repetimos o procedimento com valores do tipo 1x = −pi2 + 2kpi.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 10 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
@ lim
x→0
sen
1
x
Dado L ∈ R, L 6= 1, tome � > 0, tal que 1 /∈ (L− �, L + �). Para todo
δ > 0, existe k ∈ Z tal que pi2 + 2kpi > 1δ . Logo,
x0 =
1
pi
2 + 2kpi
< δ
e
sen
1
x0
= 1 /∈ (L− �, L + �).
Se L = 1, repetimos o procedimento com valores do tipo 1x = −pi2 + 2kpi.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 10 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3|
|x + 3| = |x − 3 + 6| ≤ |x − 3|+ 6
Se |x − 3| < 1, enta˜o |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, �7}
0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 11 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3|
|x + 3| = |x − 3 + 6| ≤ |x − 3|+ 6
Se |x − 3| < 1, enta˜o |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, �7}
0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 11 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3|
|x + 3| = |x − 3 + 6| ≤ |x − 3|+ 6
Se |x − 3| < 1, enta˜o |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, �7}
0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 11 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3|
|x + 3| = |x − 3 + 6| ≤ |x − 3|+ 6
Se |x − 3| < 1, enta˜o |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, �7}
0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 11 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3|
|x + 3| = |x − 3 + 6| ≤ |x − 3|+ 6
Se |x − 3| < 1, enta˜o |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, �7}
0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 11 / 90
Limites Finitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→3
(x2 − 2) = 7
|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3|
|x + 3| = |x − 3 + 6| ≤ |x − 3|+ 6
Se |x − 3| < 1, enta˜o |x + 3| < 7
Tome δ < min{1, �7}
0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 11 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a+
Definic¸a˜o de limite lateral direito
lim
x→a+
f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a + δ ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 12 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a+
Definic¸a˜o de limite lateral direito
lim
x→a+
f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a + δ ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 12 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a+
Definic¸a˜o de limite lateral direito
lim
x→a+
f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a + δ ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 12 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a−
Definic¸a˜o de limite lateral esquerdo
lim
x→a−
f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 13 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a−
Definic¸a˜o de limite lateral esquerdo
lim
x→a−
f (x) = L
se
∀ � >0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 13 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limite para x → a−
Definic¸a˜o de limite lateral esquerdo
lim
x→a−
f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 13 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limites laterais
Interpretac¸a˜o gra´fica
(GeoGebra: LF lateral direito.ggb, LF lateral esquerdo.ggb, LF
laterais.ggb)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 14 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limites laterais
Exemplos
lim
x→2+
||x − 2| − 1| = 1
lim
x→2−
||x − 2| − 1| = 1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 15 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limites laterais
Exemplos
lim
x→2+
||x − 2| − 1| = 1
lim
x→2−
||x − 2| − 1| = 1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 15 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limites laterais
Exemplos
lim
x→2+
||x − 2| − 1| = 1
lim
x→2−
||x − 2| − 1| = 1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 15 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limite bilateral e limites laterais
Proposic¸a˜o
As afirmac¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
lim
x→a f (x) = L
e
lim
x→a−
f (x) = L = lim
x→a+
f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 16 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limite bilateral e limites laterais
Proposic¸a˜o
As afirmac¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
lim
x→a f (x) = L
e
lim
x→a−
f (x) = L = lim
x→a+
f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 16 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limite bilateral e limites laterais
Proposic¸a˜o
As afirmac¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
lim
x→a f (x) = L
e
lim
x→a−
f (x) = L = lim
x→a+
f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 16 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limite bilateral e limites laterais
Proposic¸a˜o
As afirmac¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
lim
x→a f (x) = L
e
lim
x→a−
f (x) = L = lim
x→a+
f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 16 / 90
Limites Finitos Limites laterais
Limites laterais
Exemplo
Determine o valor de c de modo que exista
lim
x→2
f (x)
onde
f (x) =
{ −2x + 5 se x > 2
x2 + c se x < 2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 17 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definic¸a˜o de limite no infinito (positivo)
lim
x→+∞ f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃M > 0 tal que
x > M ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 18 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definic¸a˜o de limite no infinito (positivo)
lim
x→+∞ f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃M > 0 tal que
x > M ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 18 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definic¸a˜o de limite no infinito (positivo)
lim
x→+∞ f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃M > 0 tal que
x > M ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 18 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definic¸a˜o de limite no infinito (negativo)
lim
x→−∞ f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃M > 0 tal que
x < −M ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 19 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definic¸a˜o de limite no infinito (negativo)
lim
x→−∞ f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃M > 0 tal que
x < −M ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 19 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Definic¸a˜o de limite no infinito (negativo)
lim
x→−∞ f (x) = L
se
∀ � > 0 ∃M > 0 tal que
x < −M ⇒ |f (x)− L| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 19 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Interpretac¸a˜o gra´fica
(GeoGebra: LF mais infinito.ggb, LF menos infinito.ggb)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 20 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Ass´ıntotas horizontais
Suponha que
lim
x→±∞ f (x) = L
Dizemos enta˜o que a reta y = L e´ uma ass´ıntota horizontal de f (x).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 21 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Ass´ıntotas horizontais
Suponha que
lim
x→±∞ f (x) = L
Dizemos enta˜o que a reta y = L e´ uma ass´ıntota horizontal de f (x).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 21 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 22 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 22 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 22 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 22 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 22 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es3o quadrimestre de 2014 22 / 90
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
lim
x→+∞
x
x + 1
= 1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 23 / 90
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definic¸a˜o de limite infinito (positivo)
lim
x→a f (x) = +∞
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 24 / 90
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definic¸a˜o de limite infinito (positivo)
lim
x→a f (x) = +∞
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 24 / 90
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definic¸a˜o de limite infinito (positivo)
lim
x→a f (x) = +∞
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 24 / 90
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definic¸a˜o de limite infinito (negativo)
lim
x→a f (x) = −∞
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 25 / 90
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definic¸a˜o de limite infinito (negativo)
lim
x→a f (x) = −∞
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 25 / 90
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Definic¸a˜o de limite infinito (negativo)
lim
x→a f (x) = −∞
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 25 / 90
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Ass´ıntotas verticais
Suponha que
lim
x→a f (x) = ±∞
Dizemos enta˜o que a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f (x).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 26 / 90
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Ass´ıntotas verticais
Suponha que
lim
x→a f (x) = ±∞
Dizemos enta˜o que a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f (x).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 26 / 90
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→0
1
x2
= +∞
1
x2
> M ⇔ x2 < 1
M
⇔ |x | < 1√
M
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 27 / 90
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Exemplo
lim
x→0
1
x2
= +∞
1
x2
> M ⇔ x2 < 1
M
⇔ |x | < 1√
M
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 27 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a+
Limite lateral direito infinito
lim
x→a+
f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a + δ ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 28 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a+
Limite lateral direito infinito
lim
x→a+
f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a + δ ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 28 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a+
Limite lateral direito infinito
lim
x→a+
f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a < x < a + δ ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 28 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a−
Limite lateral esquerdo infinito
lim
x→a−
f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 29 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a−
Limite lateral esquerdo infinito
lim
x→a−
f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 29 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a−
Limite lateral esquerdo infinito
lim
x→a−
f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que
a− δ < x < a⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 29 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a±
Ass´ıntotas verticais
Suponha que
lim
x→a±
f (x) = ±∞
Dizemos enta˜o que a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f (x).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 30 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite para x → a±
Ass´ıntotas verticais
Suponha que
lim
x→a±
f (x) = ±∞
Dizemos enta˜o que a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f (x).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 30 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi
2
−
tan x = +∞
6 lim
x→pi
2
+
tan x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 31 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi
2
−
tan x = +∞
6 lim
x→pi
2
+
tan x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 31 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi
2
−
tan x = +∞
6 lim
x→pi
2
+
tan x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 31 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi
2
−
tan x = +∞
6 lim
x→pi
2
+
tan x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 31 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi
2
−
tan x = +∞
6 lim
x→pi
2
+
tan x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 31 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi
2
−
tan x = +∞
6 lim
x→pi
2
+
tan x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 31 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 limx→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi
2
−
tan x = +∞
6 lim
x→pi
2
+
tan x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 31 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite bilateral e limites laterais
Proposic¸a˜o
As afirmac¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
lim
x→a f (x) = +∞
e
lim
x→a−
f (x) = +∞ = lim
x→a+
f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 32 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite bilateral e limites laterais
Proposic¸a˜o
As afirmac¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
lim
x→a f (x) = +∞
e
lim
x→a−
f (x) = +∞ = lim
x→a+
f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 32 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite bilateral e limites laterais
Proposic¸a˜o
As afirmac¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
lim
x→a f (x) = −∞
e
lim
x→a−
f (x) = −∞ = lim
x→a+
f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 33 / 90
Limites infinitos Limites laterais infinitos
Limite bilateral e limites laterais
Proposic¸a˜o
As afirmac¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
lim
x→a f (x) = −∞
e
lim
x→a−
f (x) = −∞ = lim
x→a+
f (x)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 33 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (positivo)
lim
x→+∞ f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x > N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 34 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (positivo)
lim
x→+∞ f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x > N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 34 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (positivo)
lim
x→+∞ f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x > N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 34 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (negativo)
lim
x→−∞ f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x < −N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 35 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (negativo)
lim
x→−∞ f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x < −N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 35 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Limite infinito no infinito (negativo)
lim
x→−∞ f (x) = +∞ (−∞)
se
∀M > 0 ∃N > 0 tal que
x < −N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 35 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n e´ par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n e´ ı´mpar
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 36 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n e´ par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n e´ ı´mpar
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 36 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n e´ par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n e´ ı´mpar
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 36 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n e´ par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n e´ ı´mpar
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 36 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n e´ par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n e´ ı´mpar
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 36 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n e´ par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n e´ ı´mpar
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 36 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n e´ par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n e´ ı´mpar
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 36 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
Ainda a partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→+∞ 2
x = +∞
2 lim
x→−∞ 2
−x = +∞
3 lim
x→+∞ log2 x = +∞
4 lim
x→+∞ log1/2 x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 37 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
Ainda a partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→+∞ 2
x = +∞
2 lim
x→−∞ 2
−x = +∞
3 lim
x→+∞ log2 x = +∞
4 lim
x→+∞ log1/2 x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 37 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
Ainda a partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→+∞ 2
x = +∞
2 lim
x→−∞ 2
−x = +∞
3 lim
x→+∞ log2 x = +∞
4 lim
x→+∞ log1/2 x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 37 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
Ainda a partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→+∞ 2
x = +∞
2 lim
x→−∞ 2
−x = +∞
3 lim
x→+∞ log2 x = +∞
4 lim
x→+∞ log1/2 x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestrede 2014 37 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
Ainda a partir do gra´fico de algumas func¸o˜es cla´ssicas, podemos observar:
1 lim
x→+∞ 2
x = +∞
2 lim
x→−∞ 2
−x = +∞
3 lim
x→+∞ log2 x = +∞
4 lim
x→+∞ log1/2 x = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 37 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
1 lim
x→+∞
x2
x+1 = +∞
2 lim
x→−∞
x2
x+1 = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 38 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
1 lim
x→+∞
x2
x+1 = +∞
2 lim
x→−∞
x2
x+1 = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 38 / 90
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
1 lim
x→+∞
x2
x+1 = +∞
2 lim
x→−∞
x2
x+1 = −∞
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 38 / 90
Continuidade
Continuidade
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 39 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Motivac¸a˜o
Dependeˆncia cont´ınua dos dados iniciais:
”Pequenas” variac¸o˜es de x em torno de a, acarretam ”pequenas”
variac¸o˜es de f (x) em torno de f (a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 40 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Motivac¸a˜o
Dependeˆncia cont´ınua dos dados iniciais:
”Pequenas” variac¸o˜es de x em torno de a, acarretam ”pequenas”
variac¸o˜es de f (x) em torno de f (a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 40 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Motivac¸a˜o
Dependeˆncia cont´ınua dos dados iniciais:
”Pequenas” variac¸o˜es de x em torno de a, acarretam ”pequenas”
variac¸o˜es de f (x) em torno de f (a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 40 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Motivac¸a˜o
Dependeˆncia cont´ınua dos dados iniciais:
”Pequenas” variac¸o˜es de x em torno de a, acarretam ”pequenas”
variac¸o˜es de f (x) em torno de f (a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 40 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Definic¸a˜o
Dada uma func¸a˜o f (x), tome a ∈ Dom f . A func¸a˜o f e´ cont´ınua em a se
lim
x→a f (x) = f (a)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 41 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Definic¸a˜o
Dada uma func¸a˜o f (x), tome a ∈ Dom f . A func¸a˜o f e´ cont´ınua em a se
lim
x→a f (x) = f (a)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 41 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Definic¸a˜o
Dada uma func¸a˜o f (x), tome a ∈ Dom f . A func¸a˜o f e´ cont´ınua em a se
lim
x→a f (x) = f (a)
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 41 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Definic¸a˜o
Assim, f e´ cont´ınua em a se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 42 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Definic¸a˜o
Assim, f e´ cont´ınua em a se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 tal que
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 42 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Definic¸a˜o
Uma func¸a˜o e´ cont´ınua se e´ cont´ınua em cada ponto de seu dom´ınio.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 43 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Exemplos
1 f (x) = ax + b e´ cont´ınua [vide Exerc´ıcio da aula passada]
2 f (x) = cos x e´ cont´ınua [demonstrac¸a˜o a seguir]
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 44 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Exemplos
1 f (x) = ax + b e´ cont´ınua [vide Exerc´ıcio da aula passada]
2 f (x) = cos x e´ cont´ınua [demonstrac¸a˜o a seguir]
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 44 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Exemplos
1 f (x) = ax + b e´ cont´ınua [vide Exerc´ıcio da aula passada]
2 f (x) = cos x e´ cont´ınua [demonstrac¸a˜o a seguir]
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 44 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Exemplo: cos x e´ cont´ınua
| cos x − cos a| = | − 2 sen x + a
2
sen
x − a
2
| = 2| sen x + a
2
|| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2 |x − a|
2
= |x − a|
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 45 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Exemplo: cos x e´ cont´ınua
| cos x − cos a| = | − 2 sen x + a
2
sen
x − a
2
| = 2| sen x + a
2
|| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2 |x − a|
2
= |x − a|
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 45 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Exemplo: cos x e´ cont´ınua
| cos x − cos a| = | − 2 sen x + a
2
sen
x − a
2
| = 2| sen x + a
2
|| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2 |x − a|
2
= |x − a|
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 45 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Exemplo: cos x e´ cont´ınua
| cos x − cos a| = | − 2 sen x + a
2
sen
x − a
2
| = 2| sen x + a
2
|| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2 |x − a|
2
= |x − a|
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 45 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Func¸o˜es Cont´ınuas
Exemplo: cos x e´ cont´ınua
| cos x − cos a| = | − 2 sen x + a
2
sen
x − a
2
| = 2| sen x + a
2
|| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2 |x − a|
2
= |x − a|
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 45 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Continuidade
Func¸o˜es cla´ssicas sa˜o cont´ınuas (em seus dom´ınios)
1 func¸o˜es polinomiais (constantes, afins, quadra´ticas etc)
2 func¸o˜es racionais
3 func¸o˜es polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
5 func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas
6 func¸o˜es modulares
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 46 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplosContinuidade
Func¸o˜es cla´ssicas sa˜o cont´ınuas (em seus dom´ınios)
1 func¸o˜es polinomiais (constantes, afins, quadra´ticas etc)
2 func¸o˜es racionais
3 func¸o˜es polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
5 func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas
6 func¸o˜es modulares
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 46 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Continuidade
Func¸o˜es cla´ssicas sa˜o cont´ınuas (em seus dom´ınios)
1 func¸o˜es polinomiais (constantes, afins, quadra´ticas etc)
2 func¸o˜es racionais
3 func¸o˜es polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
5 func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas
6 func¸o˜es modulares
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 46 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Continuidade
Func¸o˜es cla´ssicas sa˜o cont´ınuas (em seus dom´ınios)
1 func¸o˜es polinomiais (constantes, afins, quadra´ticas etc)
2 func¸o˜es racionais
3 func¸o˜es polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
5 func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas
6 func¸o˜es modulares
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 46 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Continuidade
Func¸o˜es cla´ssicas sa˜o cont´ınuas (em seus dom´ınios)
1 func¸o˜es polinomiais (constantes, afins, quadra´ticas etc)
2 func¸o˜es racionais
3 func¸o˜es polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
5 func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas
6 func¸o˜es modulares
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 46 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Continuidade
Func¸o˜es cla´ssicas sa˜o cont´ınuas (em seus dom´ınios)
1 func¸o˜es polinomiais (constantes, afins, quadra´ticas etc)
2 func¸o˜es racionais
3 func¸o˜es polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
5 func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas
6 func¸o˜es modulares
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 46 / 90
Continuidade Definic¸a˜o e exemplos
Continuidade
Func¸o˜es cla´ssicas sa˜o cont´ınuas (em seus dom´ınios)
1 func¸o˜es polinomiais (constantes, afins, quadra´ticas etc)
2 func¸o˜es racionais
3 func¸o˜es polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
5 func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas
6 func¸o˜es modulares
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 46 / 90
Continuidade Resultados importantes
Resultados Importantes
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 47 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o
Suponha f (x) cont´ınua e f (a) > 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ).
Informalmente:
Se f e´ positiva em um ponto de seu dom´ınio, f ainda e´ positiva em uma
vizinhanc¸a desse ponto.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 48 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o
Suponha f (x) cont´ınua e f (a) > 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ).
Informalmente:
Se f e´ positiva em um ponto de seu dom´ınio, f ainda e´ positiva em uma
vizinhanc¸a desse ponto.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 48 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o
Suponha f (x) cont´ınua e f (a) > 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ).
Informalmente:
Se f e´ positiva em um ponto de seu dom´ınio, f ainda e´ positiva em uma
vizinhanc¸a desse ponto.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 48 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o
Suponha f (x) cont´ınua e f (a) > 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ).
Informalmente:
Se f e´ positiva em um ponto de seu dom´ınio, f ainda e´ positiva em uma
vizinhanc¸a desse ponto.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 48 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o
Suponha f (x) cont´ınua e f (a) < 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ).
Informalmente:
Se f e´ negativa em um ponto de seu dom´ınio, f ainda e´ negativa em uma
vizinhanc¸a desse ponto.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 49 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o
Suponha f (x) cont´ınua e f (a) < 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ).
Informalmente:
Se f e´ negativa em um ponto de seu dom´ınio, f ainda e´ negativa em uma
vizinhanc¸a desse ponto.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 49 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o
Suponha f (x) cont´ınua e f (a) < 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ).
Informalmente:
Se f e´ negativa em um ponto de seu dom´ınio, f ainda e´ negativa em uma
vizinhanc¸a desse ponto.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 49 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o
Suponha f (x) cont´ınua e f (a) < 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ).
Informalmente:
Se f e´ negativa em um ponto de seu dom´ınio, f ainda e´ negativa em uma
vizinhanc¸a desse ponto.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 49 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) > 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) e´ positivo, f (x) e´ positiva em uma vizinhanc¸a de a (exclu´ıdo o
pro´prio a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 50 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) > 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) e´ positivo, f (x) e´ positiva em uma vizinhanc¸a de a (exclu´ıdo o
pro´prio a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 50 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) > 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) e´ positivo, f (x) e´ positiva em uma vizinhanc¸a de a (exclu´ıdo o
pro´prio a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 50 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) > 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) e´ positivo, f (x) e´ positiva em uma vizinhanc¸a de a (exclu´ıdo o
pro´prio a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) ParteI - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 50 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) < 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) e´ negativo, f (x) e´ negativa em uma vizinhanc¸a de a (exclu´ıdo
o pro´prio a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 51 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) < 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) e´ negativo, f (x) e´ negativa em uma vizinhanc¸a de a (exclu´ıdo
o pro´prio a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 51 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) < 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) e´ negativo, f (x) e´ negativa em uma vizinhanc¸a de a (exclu´ıdo
o pro´prio a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 51 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Proposic¸a˜o - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) < 0.
Enta˜o existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a + δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) e´ negativo, f (x) e´ negativa em uma vizinhanc¸a de a (exclu´ıdo
o pro´prio a).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 51 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Exemplo de uso da preservac¸a˜o do sinal
Escreva a expressa˜o abaixo sem o uso de mo´dulo,
para x ¨suficientemente pro´ximo¨ de 4:
||x − 2| − 3|
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 52 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Exemplo de uso da preservac¸a˜o do sinal
Escreva a expressa˜o abaixo sem o uso de mo´dulo,
para x ¨suficientemente pro´ximo¨ de 4:
||x − 2| − 3|
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 52 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Exemplo de uso da preservac¸a˜o do sinal
Escreva a expressa˜o abaixo sem o uso de mo´dulo,
para x ¨suficientemente pro´ximo¨ de 0:∣∣∣∣12 − sen2 xx2
∣∣∣∣ + cos2 xx2
assumindo que
lim
x→0
sen2 x
x2
= 1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 53 / 90
Continuidade Resultados importantes
Preservac¸a˜o do sinal
Exemplo de uso da preservac¸a˜o do sinal
Escreva a expressa˜o abaixo sem o uso de mo´dulo,
para x ¨suficientemente pro´ximo¨ de 0:∣∣∣∣12 − sen2 xx2
∣∣∣∣ + cos2 xx2
assumindo que
lim
x→0
sen2 x
x2
= 1
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 53 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema (TVI)
Seja f (x) cont´ınua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Enta˜o, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f e´ cont´ınua, u, v ∈ Im f e u < v , enta˜o [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma func¸a˜o cont´ınua atinge dois valores distintos u < v , enta˜o atinge
todos os valores entre u e v .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 54 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema (TVI)
Seja f (x) cont´ınua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Enta˜o, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f e´ cont´ınua, u, v ∈ Im f e u < v , enta˜o [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma func¸a˜o cont´ınua atinge dois valores distintos u < v , enta˜o atinge
todos os valores entre u e v .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 54 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema (TVI)
Seja f (x) cont´ınua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Enta˜o, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f e´ cont´ınua, u, v ∈ Im f e u < v , enta˜o [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma func¸a˜o cont´ınua atinge dois valores distintos u < v , enta˜o atinge
todos os valores entre u e v .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 54 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema (TVI)
Seja f (x) cont´ınua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Enta˜o, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f e´ cont´ınua, u, v ∈ Im f e u < v , enta˜o [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma func¸a˜o cont´ınua atinge dois valores distintos u < v , enta˜o atinge
todos os valores entre u e v .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 54 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema (TVI)
Seja f (x) cont´ınua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Enta˜o, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f e´ cont´ınua, u, v ∈ Im f e u < v , enta˜o [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma func¸a˜o cont´ınua atinge dois valores distintos u < v , enta˜o atinge
todos os valores entre u e v .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 54 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema (TVI)
Seja f (x) cont´ınua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Enta˜o, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f e´ cont´ınua, u, v ∈ Im f e u < v , enta˜o [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma func¸a˜o cont´ınua atinge dois valores distintos u < v , enta˜o atinge
todos os valores entre u e v .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 54 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) cont´ınua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, enta˜o existe
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 55 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) cont´ınua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, enta˜o existe
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 55 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) cont´ınua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, enta˜o existe
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 55 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) cont´ınua e seja [a, b] ⊂ Dom f .Se f (a).f (b) < 0, enta˜o existe
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 55 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Exemplo de aplicac¸a˜o do TVI
Mostre que o polinoˆmio p(x) = x4 + 3x3 + 1 possui ao menos uma raiz
real.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 56 / 90
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermedia´rio
Exemplo de aplicac¸a˜o do TVI
Todo polinoˆmio de grau ı´mpar possui ao menos uma raiz real.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 57 / 90
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposic¸a˜o
Seja f : [a, b]→ [c , d ] cont´ınua e invers´ıvel.
Enta˜o f −1 : [c, d ]→ [a, b] e´ cont´ınua.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 58 / 90
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposic¸a˜o
Seja f : [a, b]→ [c , d ] cont´ınua e invers´ıvel.
Enta˜o f −1 : [c , d ]→ [a, b] e´ cont´ınua.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 58 / 90
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposic¸a˜o
Seja f : [a, b]→ [c , d ] cont´ınua e invers´ıvel.
Enta˜o f −1 : [c , d ]→ [a, b] e´ cont´ınua.
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 58 / 90
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposic¸a˜o
Seja f : [a, b]→ [c , d ] cont´ınua e estritamente crescente (decrescente).
Enta˜o f e´ invers´ıvel, f −1 : [c , d ]→ [a, b] e´ cont´ınua e estritamente
crescente (decrescente).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 59 / 90
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposic¸a˜o
Seja f : [a, b]→ [c , d ] cont´ınua e estritamente crescente (decrescente).
Enta˜o f e´ invers´ıvel, f −1 : [c , d ]→ [a, b] e´ cont´ınua e estritamente
crescente (decrescente).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 59 / 90
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposic¸a˜o
Seja f : [a, b]→ [c , d ] cont´ınua e estritamente crescente (decrescente).
Enta˜o f e´ invers´ıvel, f −1 : [c , d ]→ [a, b] e´ cont´ınua e estritamente
crescente (decrescente).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 59 / 90
Ca´lculo de Limites
Ca´lculo de Limites
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 60 / 90
Ca´lculo de Limites Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Ca´lculo direto via continuidade
A expressa˜o
lim
x→a f (x) = f (a)
pode ser usada para verificar se a func¸a˜o f e´ cont´ınua em a,
ou, caso ja´ saibamos que f e´ cont´ınua em a, para calcular
lim
x→a f (x).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 61 / 90
Ca´lculo de Limites Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Ca´lculo direto via continuidade
A expressa˜o
lim
x→a f (x) = f (a)
pode ser usada para verificar se a func¸a˜o f e´ cont´ınua em a,
ou, caso ja´ saibamos que f e´ cont´ınua em a, para calcular
lim
x→a f (x).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 61 / 90
Ca´lculo de Limites Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Ca´lculo direto via continuidade
A expressa˜o
lim
x→a f (x) = f (a)
pode ser usada para verificar se a func¸a˜o f e´ cont´ınua em a,
ou, caso ja´ saibamos que f e´ cont´ınua em a, para calcular
lim
x→a f (x).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 61 / 90
Ca´lculo de Limites Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Ca´lculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→c(ax + b) = ac + b
2 lim
x→pi sen x = 0
3 lim
x→pi cos x = −1
4 lim
x→3
2x = 8
5 lim
x→ 1
2
log2 x = −1
6 lim
x→ 1
2
arccos x = pi3
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 62 / 90
Ca´lculo de Limites Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Ca´lculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→c(ax + b) = ac + b
2 lim
x→pi sen x = 0
3 lim
x→pi cos x = −1
4 lim
x→3
2x = 8
5 lim
x→ 1
2
log2 x = −1
6 lim
x→ 1
2
arccos x = pi3
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 62 / 90
Ca´lculo de Limites Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Ca´lculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→c(ax + b) = ac + b
2 lim
x→pi sen x = 0
3 lim
x→pi cos x = −1
4 lim
x→3
2x = 8
5 lim
x→ 1
2
log2 x = −1
6 lim
x→ 1
2
arccos x = pi3
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 62 / 90
Ca´lculo de Limites Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Ca´lculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→c(ax + b) = ac + b
2 lim
x→pi sen x = 0
3 lim
x→pi cos x = −1
4 lim
x→3
2x = 8
5 lim
x→ 1
2
log2 x = −1
6 lim
x→ 1
2
arccos x = pi3
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 62 / 90
Ca´lculo de Limites Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Ca´lculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→c(ax + b) = ac + b
2 lim
x→pi sen x = 0
3 lim
x→pi cos x = −1
4 lim
x→3
2x = 8
5 lim
x→ 1
2
log2 x = −1
6 lim
x→ 1
2
arccos x = pi3
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 62 / 90
Ca´lculo de Limites Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Ca´lculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→c(ax + b) = ac + b
2 lim
x→pi sen x = 0
3 lim
x→pi cos x = −1
4 lim
x→3
2x = 8
5 lim
x→ 1
2
log2 x = −1
6 lim
x→ 1
2
arccos x = pi3
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 62 / 90
Ca´lculo de Limites Uso de continuidade para ca´lculo de limites
Ca´lculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→c(ax + b) = ac + b
2 lim
x→pi sen x = 0
3 lim
x→pi cos x = −1
4 lim
x→3
2x = 8
5 lim
x→ 1
2
log2 x = −1
6 lim
x→ 1
2
arccos x = pi3
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 62 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi
6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi
6
sen x =
1
2
e tambe´m que
lim
x→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 63 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi
6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi
6
sen x =
1
2
e tambe´m que
lim
x→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 63 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi
6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi
6
sen x =
1
2
e tambe´m que
lim
x→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 201463 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi
6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi
6
sen x =
1
2
e tambe´m que
lim
x→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 63 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi
6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi
6
sen x =
1
2
e tambe´m que
lim
x→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 63 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi
6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi
6
sen x =
1
2
e tambe´m que
lim
x→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 63 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi
6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi
6
sen x =
1
2
e tambe´m que
lim
x→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi
6
9sen x = 3?
Sim!!!
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 63 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o (simplificada)
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 lim
y→b
g(y) = c
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = c .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 64 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o (simplificada)
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 lim
y→b
g(y) = c
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = c .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 64 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o (simplificada)
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 lim
y→b
g(y) = c
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = c .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 64 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o (simplificada)
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 lim
y→b
g(y) = c
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = c .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 64 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o (simplificada)
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 lim
y→b
g(y) = c
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = c .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 64 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o (quase completa)
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 ∃ r > 0 tal que 0 < |x − a| < r ⇒ f (x) 6= b
3 lim
y→b
g(y) = c
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = c .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 65 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o (quase completa)
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 ∃ r > 0 tal que 0 < |x − a| < r ⇒ f (x) 6= b
3 lim
y→b
g(y) = c
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = c .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 65 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o (completa)
Suponha que:
1 a e´ ponto de acumulac¸a˜o de (g ◦ f )(x) (consequentemente, tambe´m
sera´ ponto de acumulac¸a˜o de f (x))
2 lim
x→a f (x) = b
3 b e´ ponto de acumulac¸a˜o de g(x)
4 ∃ r > 0 tal que 0 < |x − a| < r ⇒ f (x) 6= b
5 lim
y→b
g(y) = c
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = c .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 66 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o (completa)
Suponha que:
1 a e´ ponto de acumulac¸a˜o de (g ◦ f )(x) (consequentemente, tambe´m
sera´ ponto de acumulac¸a˜o de f (x))
2 lim
x→a f (x) = b
3 b e´ ponto de acumulac¸a˜o de g(x)
4 ∃ r > 0 tal que 0 < |x − a| < r ⇒ f (x) 6= b
5 lim
y→b
g(y) = c
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = c .
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 66 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Demonstrac¸a˜o
Dado � > 0, existe �′ > 0 tal que 0 < |y − b| < �′ ⇒ |g(y)− c| < �
Para tal �′, existe δ′ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ′ ⇒ |f (x)− b| < �′
Tome enta˜o δ := min{δ′, r}. Resulta
0 < |x − a| < δ ⇒ 0 < |f (x)− b| < �′ ⇒ |g(f (x))− c| < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 67 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Demonstrac¸a˜o
Dado � > 0, existe �′ > 0 tal que 0 < |y − b| < �′ ⇒ |g(y)− c| < �
Para tal �′, existe δ′ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ′ ⇒ |f (x)− b| < �′
Tome enta˜o δ := min{δ′, r}. Resulta
0 < |x − a| < δ ⇒ 0 < |f (x)− b| < �′ ⇒ |g(f (x))− c | < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 67 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Demonstrac¸a˜o
Dado � > 0, existe �′ > 0 tal que 0 < |y − b| < �′ ⇒ |g(y)− c| < �
Para tal �′, existe δ′ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ′ ⇒ |f (x)− b| < �′
Tome enta˜o δ := min{δ′, r}. Resulta
0 < |x − a| < δ ⇒ 0 < |f (x)− b| < �′ ⇒ |g(f (x))− c | < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 67 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Demonstrac¸a˜o
Dado � > 0, existe �′ > 0 tal que 0 < |y − b| < �′ ⇒ |g(y)− c| < �
Para tal �′, existe δ′ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ′ ⇒ |f (x)− b| < �′
Tome enta˜o δ := min{δ′, r}. Resulta
0 < |x − a| < δ ⇒ 0 < |f (x)− b| < �′ ⇒ |g(f (x))− c | < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 67 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Demonstrac¸a˜o
Dado � > 0, existe �′ > 0 tal que 0 < |y − b| < �′ ⇒ |g(y)− c| < �
Para tal �′, existe δ′ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ′ ⇒ |f (x)− b| < �′
Tome enta˜o δ := min{δ′, r}. Resulta
0 < |x − a| < δ ⇒ 0 < |f (x)− b| < �′ ⇒ |g(f (x))− c | < �
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 67 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o - Caso Particular
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 g(x) e´ cont´ınua em b
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = g(b).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 68 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Proposic¸a˜o - Caso Particular
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 g(x) e´ cont´ınua em b
Enta˜o
lim
x→a(g ◦ f )(x) = g(b).
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 68 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Exemplos
1 lim
x→2
cos(pix) = 1
2 lim
x→3
ln(x2 − 2x − 2) = 0
3 lim
x→4
arctan
√
5x−4
x =
pi
4
Func¸o˜es de Uma Varia´vel (BC 0402) Parte I - Limites de Func¸o˜es 3o quadrimestre de 2014 69 / 90
Ca´lculo de Limites Func¸o˜es Compostas
Func¸o˜es Compostas
Exemplos
1 lim
x→2
cos(pix) =