Trabalho metodos

Prévia do material em texto

CENTRO UNIVERSITARIO MUNICIPAL DE SÃO JOSE 
ALUNO: Carlos Alberto Trott
DISCIPLINA: Métodos Quantitativos
PROFESSOR: Me Natan Savietto
DEFINIÇÃO
Escrevemos 
.e dizemos “o limite de f(x), quando x tende à α , e igual a L”, se pudermos tornar os valores f(x) arbitrariamente próximos de L(tão próximos de L quanto quisermos). Tomando x suficientemente próximo de α (por ambos os lados de α), mas não igual à α.
Grosso modo isso significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do numero L à medida que x tende ao numero α (por qualquer lado de α), Mas x ≠ α.
Uma notação alternativa para 	é
		f(x) →L quando x →α
Que deve ser lida assim: “f(x) tende a L quando x tende a α” preste atenção na frase “mas x ≠ α” na definição de limite. Isso significa que ao procurar o limite de f(x) quando x tende a α nunca consideramos x = α. Na realidade f(x) não precisa sequer estar definida quando x = α. A única coisa que importa e como f esta definida próximo de α.
A definição de limite dada acima e inadequada para alguns propósitos, pois frases como “x esta próximo de 2” e “f(x) aproxima-se cada vez mais de L” são vagas. Para sermos capazes de demonstrar conclusivamente que.
 Ou = 1 ⅋⅋⅋
Devemos tornar precisa a definição de limite. Para chegar à definição precisa de limite, consideramos a função f(x) 
E intuitivamente claro que quando x esta próximo de 3, mas x ≠ 3, então f(x) esta próximo de 5 e, sendo assim, f(x) = f(x) = 5.
 x→3
Para obter informações mais detalhadas sobre como f(x) varia quando x esta próximo de 3, fazemos a seguinte pergunta. 
Quão próximo de 3 devera estar x para que f(x) difira de 5 por menos que 0,1?
A distancia de x a 3 e , e a distancia de f(x) a 5 e ·, logo nosso problema e achar o numero ⅋ tal que.
Observe que se 0<, então. 
Assim, uma resposta para o problema é dada por ⅋=0,05; isto é, se x estiver a uma distância de no máximo 0,05 de 3, então f(x) estará a uma distância de no máximo 0,1 de 5. Se mudarmos o número 0,1 em nosso problema para o número menor 0,01, então, usando o mesmo método, achamos que f(x) diferirá de 5 por menos que 0,01, desde que x difira de 3 por menos que (0,01) /2=0,005:
Analogamente 
 
Os números 0,1, 0,01 e 0,001, anteriormente considerados, são tolerâncias de erro (ou simplesmente tolerância) que podemos admitir. Para que o número 5 seja precisamente o limite de f(x), quando x tende a 3, devemos não apenas ser capazes de tornar a diferença entre f(x) e o 5 menor que cada um desses três números; devemos ser capazes de tornar a diferença menor que qualquer numero positivo E, por analogia ao procedimento adotado, nós podemos! Se chamarmos£ (a letra grega épsilon) a um número positivo arbitrário, então encontramos, como anteriormente, que.
 
Esta é uma maneira precisa de dizer que f(x) está próximo de 5 quando x está próximo de 3, pois (1) diz que podemos fazer os valores de f(x) ficarem dentro de uma distância arbitrária de 5 tomando os valores de x dentro de uma distância £/2 de 3 (mas x≠3). Observe que pode ser reescrita como:
Se 3-⅋<x<3+⅋ (x≠3) então 5-£ < f(x) <5 + £
E isso está ilustrado na Figura 1. Tomando os valores de x (≠ 3) dentro do intervalo (3-⅋, +⅋), podemos obter os valores de f(x) dentro do intervalo (5 - ££, 5 + £). Usando (1) como modelo, temos uma definição precisa de limite.
(2) DEFINICAO Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número α, exceto possivelmente no próprio α. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a α é L, e escrevemos.
 Se para todo numero £ > 0 houver um numero ⅋> 0 tal que 
 Se 0< então .
PROPRIEDADES DE LIMITE
Calculo do imite da soma de funções 
O limite da soma de funções é igual à soma dos limites de cada função
 
Cálculo do limite da diferença de funções
O limite das diferenças de duas funções é igual às diferenças entre os limites de cada função
 
Cálculo do limite do produto de funções
O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites de cada função
 
 
Cálculo do limite da razão de funções
O limite da razão entre duas funções é igual à razão entre os limites de cada função
 
Cálculo do limite da potência de funções
O limite da potência de uma função é igual à potência do limite da função
 
 
Cálculo do limite da função de funções.
O limite da função de funções é igual à função do limite das funções.
(1) (2)
 Sejam f, g e h três funções tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x ≠ α. Se = = L então existe e é também igual a L.
Na figura observamos que os gráficos - nas cores: verde e laranja- possuem um ponto em comum, que é a origem. A questão a ser analisada é a seguinte: se existir uma função que passe entre os gráficos das duas funções acima, qual seria o seu valor no ponto x=0?
É fácil perceber que essa nova função estará "espremida" entre as duas funções inicialmente dadas, em particular para x=0, devido à condição de seu gráfico estar entre os gráficos dados, resultando que o único valor possível para ela nesse ponto é y=0.
Assim, seu gráfico também passa pelo ponto (0,0).
Na figura temos o exemplo de duas funções, cujos gráficos estão em azul e rosa, que estão "espremidas" entre as duas funções inicialmente dadas, em particular no ponto x=0.
Vamos agora examinar uma situação semelhante, mas na qual as funções não estão definidas num certo ponto. Por exemplo, na figura (2):
Dadas às funções cujos gráficos estão em verde e laranja, observamos que ambas não estão definidas em x=1.
Agora, considerando outra função g, cujo gráfico esteja entre os dois gráficos dados e que também não esteja definida em x=1, a questão a ser colocada é a seguinte: qual é o valor de ?
A resposta a essa pergunta é imediata usando o Teorema do Confronto:·, onde L é o limite para o qual tendem as duas funções dadas inicialmente.
O Teorema do Confronto
Teorema: Sejam f, g e h três funções tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x ≠ α. Se = = L então existe e também é igual a L.
Demonstração:
Por hipótese, dado € >0, existem ⅋1>0 e ⅋2>0 tais que.
Se então (1)
E
Se então (2)
Então, de (1), temos que ou seja, para todo x tal que .
E de (2), temos que  ou seja, para todo x tal que.
Tomemos .
Então se , temos.
 E
Ou seja, como , podemos escrever:
Logo, se , temos, ou seja,, o que significa que, como queríamos demonstrar.
Demonstração do limite de uma função constante:
Seja a função f(x) = k em que possui o limite k, quando x→α, ou seja, 
 = = k
Demonstração 
Por hipótese temos que o lim f(x) =k significa que para todo € > 0existe um ⅋ > 0, tal que. 
 x→α
0 < implica em 
Portanto qualquer € > 0 podemos escolher qualquer ⅋ > 0 que o limite será satisfeito 
Demonstração do limite soma ou subtração 
Sejam as funções f(x) e g(x) em que possuem limite e , respectivamente, quando x → α, ou seja, = = ++. 
Demonstração 
Por hipótese temos que significa que para todo € > 0 existe um , tal que.
 Implica em 
E = significa que para todo € > 0 existe um , tal que. 
 Implica em 
Tomando o menor valor de delta , temos que.
 = ,
Usando a desigualdade triangular tem-se
 ≤ + < + = €
Obs. a demonstração da propriedade da subtração e de forma análoga, apenas fazendo a troca de sinais.
DERIVADAS
O cálculo diferencial, ou simplesmente derivado, tem seu surgimento no final do século XVII, atribuído aos estudos de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. A derivada surge então como uma importante ferramenta da matemática para o desenvolvimento de várias ciências. Esses estudos possibilitaram a descoberta de um método que permitiu o cálculo de problemas relacionados com a construção de retas tangentes, determinação de áreas e volumes (Dalla’nesse, 2000). Segundo Boyer
, Aprimeira exposição do cálculo diferencial foi publicada por Leibniz em 1684 sob o longo, mas significativo título de Nova methodus maximis et minimis itenque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratus (Um novo método para máximos e mínimos, e também para tangentes, que não é obstruído por quantidades irracionais).
 Embora Leibniz tenha apresentado ao mundo essa nova ferramenta, coube ao matemático francês Augustin-Louis Cauchy define-la tal qual a conhecemos hoje. No cálculo de Cauchy (Boyer, 1996, p. 55) os conceitos de função e de limite de função eram fundamentais. Ao definir a derivada de y=f(x) com relação à x, ele deu à variável x. 
Um incremento Δx= e formou a razão
 = 
Relação de Cauchy para a definição de derivadas é a que basicamente é utilizada atualmente, de acordo com Iezzi (2009, p. 135) dada à função f, definida em um intervalo real, chamamos derivada de f à função f ’(x) =. 
 , se existir e for finito este limite.
 Outra importante definição afirma que no cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. 
A definição dada acima consegue relacionar a derivada com uma situação mais próxima da realidade de qualquer ser humano. Visto como uma taxa de variação observável na descoberta da função aceleração através da função velocidade, possibilitou relacionar esta importante ferramenta do cálculo com a física. Essa descoberta ajudou a física a descrever a aceleração como uma derivada da velocidade. Graficamente, o conceito de derivadas é o de encontrar retas tangentes a uma função dada. De acordo com Iezzi, 2009, p. 130 A derivada de uma função f no ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa . De acordo com o autor, o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f num ponto P fixo é dado por. 
 Tg = sendo essa definição a mesma para a tangente do ângulo formado entre o gráfico e o eixo das abscissas. Esse fato se assemelha à própria definição de derivadas.
Regras de derivação 
A regra da cadeia: se g for derivável em x e f for derivável em g(x), então a função composta F = f ͦ g, definida por f(x) = f (g(x)) será derivável em x e F será dada pelo produto. 
F`(x) = f`(g(x)) * g`(x)
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem funções deriváveis, então.
Regra quociente: se f e g forem deriváveis então 
Em outros termos, a Regra do Quociente diz que a derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos divididos pelo quadrado do denominador. 
Regra do produto se f e g forem diferenciáveis, então. 
Em outras palavras, a Regra do Produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.
A regra a seguir nos diz que a derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas das funções.
Regra soma: se f e g forem ambas deriváveis, então;
Derivação de uma função constante 
Regra da potencia 
Regra multiplicação por constante se c for uma constante e f uma função derivável então 
Regra diferença se f e g forem ambas deriváveis, então.
APLICAÇÃO DERIVADA NA ADMINISTRAÇÃO
Uma mineradora determina que sua função de custo total para a extração de certo tipo de ferro é dada por C(x) = 2.5 x2 + 4.32 x + 1200 em US$, onde x é dada em toneladas de ferro. Determine o custo adicional quando a produção aumenta de 10 para 11 toneladas de ferro. Ache o custo marginal para 10 toneladas. 
Primeiramente calculamos C(11) = 1550.02 e C(10) = 1493.20, logo: 
C(11) − C(10) = US$56.82. 
Derivando a função de custo, temos: 
CMg(x) = C ′(x) = 5 x + 4.32 =⇒ CMg (10) = US$54.32. Isto significa que se a extração de ferro é incrementada em 1 tonelada, de 10 para 11 toneladas a mudança do custo é, aproximadamente, de US$ 54.32. Em outras palavras, extrair uma. 
Tonelada adicional de ferro custa US$ 54.32.
APLICAÇÃO DE FUNÇÕES NA CONTABILIDADE 
A aplicação de funções derivadas na Contabilidade se da através da taxa de variação instantânea de uma função. A partir do resultado dessa aplicação, será possível desenvolver as teorias microeconômicas que são: a renda, o consumo e a elasticidade e as teorias macroeconômicas que são: a renda e o consumo.
Taxa media de variação. Uma função sofre variação quando x passa do valor x˳ para o valor x˳ + ∆x e apresenta a variação média sofrida pelos valores da função entre dois pontos.
 ∆y = ƒ(x˳ + ∆x) – ƒ(x˳) 
Custo Na aplicação de funções derivadas no curso de Ciências Contábeis é possível achar o custo do produto a partir da seguinte função: Y = ƒ(x) 
 Receita de determinada operação contábil será o rendimento adquirido a partir de determinado produto, ela sempre será positiva. Para se obter a receita de determinada mercadoria, utilizaremos como base o mesmo conceito da equação y = ƒ(x), onde x representa a quantidade produzida e y o custo da produção. 
Elasticidade A elasticidade de um produto é igual a taxa de variação proporcional em y por número de variação em x, utilizando a equação da função y = ƒ(x). A partir da elasticidade resultam-se as variações proporcionais. Estas, por sua vez, são independentes de quaisquer unidades de medida. Renda de consumo Para tratar deste assunto, primeiramente é necessário esclarecer função de consumo que é a relação entre renda total disponível e o consumo total. Elas são diretamente proporcionais, ou seja, quando a renda aumenta ou diminui, o consumo sofre o mesmo tipo de alteração, porém com menos intensidade. A função de consumo é: C = ƒ(x)
REFERENCIAS
https://semanaacademica.org.br/system/files/artigos/as_derivadas_e_a_sua_aplicacao_na_analise_marginal_de_custos_na_economia.pdf Acesso em 05 de dezembro de 2017.
http://www.dicasdecalculo.com.br/demonstracao-das-propriedades-de-limites-parte-i/ Acesso em 05 de dezembro de 2017
http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/teo_confronto.htm Acesso em 05 de dezembro de 2017
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/limite-uma-funcao.htm Acesso em 05 de dezembro de 2017
http://www.alfaconnection.pro.br/matematica/limites-derivadas-e-integrais/limites/limites-fundamentais/ Acesso em 05 de dezembro de 2017
http://www.advanceempresarial.com.br/arquivos/x9p1pworpfks Acesso em 06 de dezembro de 2017
(STEWART, James Calculo vol. 1 tradução da 7º edição norte americana).