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AULA - 02 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL • MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA, MÉDIA GEOMÉRICA , MÉDIA HARMÔNICA MODA E MEDIANA MEDIA ARITMÉTICA - MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES. É a medida de posição mais utilizada. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n. Ex.: - MÉDIA ARITMÉTICA PODERADA. A média ponderada é calculada por meio do somatório das multiplicações entre valores e pesos divididos pelo somatório dos pesos. Vamos, por meio de exemplos, demonstrar os cálculos envolvendo a média ponderada MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA Ex.: Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado com o bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a: 1º Bimestre: 7,0 2º Bimestre: 6,0 3º Bimestre: 8,0 4º Bimestre: 7,5 a) Mp = 7,0·1 + 6,0·2 + 8,0·3 + 7,5·4 1 + 2 + 3 + 4 b) Mp = 7,0 + 12,0 + 24,0 + 30,0 10 c) Mp = 73,0 10 A média anual de Gabriel é 7,3. MÉDIA GEOMÉTRICA: A média geométrica entre números reais não negativos x1,x2,...,xn é definida como sendo a raiz n-ésima do produto dos n termos, ou seja, entre n valores, é a raiz de índice n do produto desses valores. Exemplos: 1) 9 e 9: 9.9 = 81 = 9 2) 9,9,9: 9.9.9 = 729 = 9 3) 9,9,9,9,9,9 = 9.9.9.9.9.9 = 531.441 = 9 3 3 6 6 MÉDIA HARMÔNICA: A média harmônica é utilizada quando estamos trabalhando com grandezas inversamente proporcionais. A média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos inversos de n valores. Fórmula: * Exemplos: 2 e 3: 5, 5 e 2: 1, 2, 3 e 4: = 2,4 = 3,33 = 1,92 * n é a quantidade de termos O aluno X participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que o aluno tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve? Exercícios: 1) Qual é a média geométrica e a média harmônica dos números 2 e 8? 2) Qual é a média geométrica e a média harmônica dos números 1,3 e 9? 3) Qual é a média geométrica e a média harmônica dos números 1,2,2,8 e 243? 4) Qual é a média geométrica e a média harmônica a dos números 2, 4, 8 e 16? 5) Qual é a média geométrica e a média harmônica dos números 2, 4, 8, 16, 32 e 64? MEDIDAS DE POSIÇÃO • MODA Pode-se definir como moda o valor mas frequente, quando comparada sua frequência com a dos valores contíguos de um conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única. EXEMPLOS : X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 moda = 6 – valor mais frequente – unimodal Y = 2, 3, 4, 5, 6 não tem moda – amodal Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9 tem duas modas 4 e 8 – bimodal Exercícios 1) Considere a seguinte amostra de uma pesquisa feita com 15 consumidores que atribuíram as seguintes notas a uma mercadoria , numa escala de 0 a 100 : 100, 90 ,68, 70, 98, 80, 82 , 90 , 75, 95, 100, 85, 65, 80, 90. Calcular : a) Média Aritmética Simples b) Moda c) Mediana Dica: sempre coloquem os termos em ordem crescente, para efetuar os cálculos (para a média não é necessário) Como calcular a Mediana: a) Quando o número de termos é impar basta escolher o termo central. No nosso exemplo: 65, 68, 70, 75, 80, 80 ,82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100, 100. b)Quando o número de termos é par somamos os dois termos centrais e dividimos por dois. Ex.: 65, 68, 70, 75, 80, 80 ,82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100. (82 + 85)/2 = 83,5 Dia do Mês Temperatura ºC 1 15,5 3 14 5 13,5 7 18 9 19,5 11 20 13 13,5 15 13,5 17 18 19 20 21 18,5 23 13,5 25 21,5 27 20 29 16 Foi feita a medição diária da temperatura de uma cidade, durante 15. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: Em relação à temperatura, quais são os valores da média, moda e mediana, respectivamente? MEDIDAS DE POSIÇÃO • Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de determinarmos qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, quatro partes iguais, dez partes iguais e cem partes iguais. A estes valores (separatrizes) chamamos, respectivamente, de: Quartis Decis Percentis O interesse no conhecimento das separatrizes decorre do fato de, a partir delas, poderemos introduzir os índices de Pearson, de uso muito prático na descrição de uma variável X. QUARTIS dividem a distribuição em quatro partes iguais, então, haverá sempre três Quartis em um conjunto. DECIS – Dividem a distribuição ordenada em dez partes iguais, então haverá nove Decis nove em um conjunto. PERCENTIS : Dividem a distribuição ordenada em cem partes iguais, portanto em um conjunto, haverá noventa e nove Percentis. Essas medidas são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes. MEDIDAS DE POSIÇÃO QUARTIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da mediana para os 3 quartis. Na realidade serão calculadas " 3 medianas " em uma mesma série. Ex.: Calcule os quartis da série: { 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 } O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 que será = Q2. Temos agora {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 } como sendo os dois grupos de valores iguais proporcionados pela mediana ( quartil 2). Para o cálculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes iguais provenientes da verdadeira Mediana da série (quartil 2). Logo em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 . Ou seja: será o quartil 1 em {10, 13, 15 } a mediana é =13 . Ou seja: será o quartil 3 QUARTIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS Logo a resposta é: Quartil 1 = 5 Quartil 2 = 9 Quartil 3 = 13 CALCULE OS QUARTIS DA SÉRIE PAR: { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 } A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5 O quartil 1 será a mediana da série à esquerda de Md : { 1, 1, 2, 3, 5, 5 } Q1 = (2+3)/2 = 2,5 O quartil 3 será a mediana da série à direita de Md : {6, 7, 9, 9, 10, 13 } Q3 = (9+9)/2 = 9 OUTRA FORMA DE CALCULAR OS QUARTIS Matematicamente podemos escrever o número inteiro 1 (um) das seguintes formas: 1 = 100%, então podemos afirmar que: 25%, 50% e 75%. Assim podemos deduzir as fórmulas: Q1= , Q2= e Q3= n é o número de termos da série. 4 3 4 1 4 2 )1( 4 1 n )1( 4 2 n )1( 4 3 n 4 4 OUTRA FORMA DE CALCULAR OS QUARTIS Ex.: : Calcule os quartis da serie já ordenada: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } n= 7 1) Q1= = = = 2. O primeiro quartil é o número na posição 2= 5 2) Q2= = = = 4. O segundo quartil é o número na posição 4= 9 3) Q3= = = = 6. O terceiro quartil é o número na posição 6= 13 Compare com os resultados do slide 15. )1( 4 1 n )17( 4 1 4 8 )1( 4 2 n )17( 4 2 4 16 )1( 4 3 n )17( 4 3 4 24 DECIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS Leva em consideração a posição do termo procurado em relação ao total de termos, dividido por dez. Ex.: Calcular o D7 do conjunto: 15, 2, 4, 6, 10, 12, 13, 7, 21, 18, 20 Ordenar em ordem crescente: 2,4,6,7,10,12,13,15,18,20,21 a) Cálculo do D7 1° Passo: Determinar a posição do D7: Nota: 11 é o número de termos. 2º Passo: Procura-se no rol o valor da posição do 8° elemento: 15 Escolhemos valores inteiros. 7,08 = 3 ou 7,56 = 8 7,7 10 117 10 7 7 n D CENTIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS O cálculo é idêntico ao do decil. So muda o denominador. No lugar do 10 colocamos 100. Ex.: Calcular o P28 e P82 do conjunto: 15, 2, 4, 6, 10, 12, 13, 7, 21, 18, 20 Ordenar em ordem crescente: 2,4,6,7,10,12,13,15,18,20,21 a) Cálculo do P28 1° Passo: Determinar a posição do P28 Nota: 11 é o número de termos. 2º Passo: Procura-se no rol o valor da posição do 3° elemento: 6 Escolhemos valores inteiros. 3,08 = 3 ou 3,56 = 4 08,3 100 1128 100 28 28 n P CENTIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS Continuando o exemplo: b) Cálculo do P82 1° Passo: Determinar a posição do P82 Procura-se no rol o valor da posição do 9° elemento: 18 Nota: 11 é o número de termos. Escolhemos valores inteiros. 9,02 = 9 ou 9,56 = 10 02,9 100 1182 100 82 82 n P Exercícios: Dada a séries: a)100, 90 ,68, 70, 98, 80, 82 , 90 , 75, 95, 100, 85, 65, 80, 90; b) 26, 12, 21,7,18,11,9,2,4,15,16,14,14,20; c) 13,28,14,17,36,31,24,23,22,9,4,3,1,19,22,29, Calcular: a) as médias aritméticas, geométricas e harmônicas; b) os quartis; c) os decis 5 e 7; d)os centis 36 e 48. Frequências DADOS BRUTOS • Normalmente, na prática, os dados originais de uma série estatística não se encontram prontos para análise, pois estarem desorganizados. Por essa razão, costuma-se chamá-los de dados brutos. ROL • É a lista ordenada dos dados de uma série estatística. Essa ordenação pode ser crescente ou decrescente. ORGANIZAÇÃO DOS DADOS • Os métodos utilizados para organizar dados compreendem o arranjo desses dados em subconjuntos que apresentem características similares: mesma idade, faixa etária, mesma finalidade, mesma escola, mesmo bairro, etc. • Os dados agrupados podem ser resumidos em tabelas ou gráficos e, a partir desses, podemos obter as estatísticas descritivas já definidas: média, mediana, desvio, etc. • Dados organizados em grupos ou categorias/classes são usualmente designados “distribuição de frequência”. EXEMPLO: À 24 pessoas presentes em um evento automobilístico foi feita a seguinte pergunta: Qual a sua marca de carro preferida? Respostas: Ford, Peugeot, GM, Ford, Peugeot, Volks, GM, GM, Volks, Fiat, Renault, Fiat, Volks, Ford, Renault, GM, Fiat, Volks, Ford, GM, Nissan, Volks, GM e Peugeot. Marcas Frequência Absoluta (FA) Frequência Relativa (FR) Ford 4 16,7% Fiat 3 12,5% GM 6 25% Nissan 1 4,2% Peugeot 3 12,5% Renault 2 8,3% Volks 5 20,8% Total 24 100% Distribuição deFrequências FREQÜÊNCIA RELATIVA - fri • É obtida pela divisão da freqüência simples da classe pelo número total dos elementos. • fri = fi / n FREQÜÊNCIA ACUMULADA - Fi : • Resulta da soma da freqüência simples da classe com as freqüências simples das classes antecedentes. • Fi = f1 + f2+ f3 + ... + fi FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA - Fri: • É obtida pela divisão da freqüência acumulada da classe pelo número total dos elementos. • Fri = Fi / n Frequências • ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS • X max maior valor observado da variável de freqüências. X min menor valor observado da variável de freqüências AMPLITUDE (A) é a diferença entre o maior e menor valor observado da variável. A = X - X máx mín Frequências LIMITES DE CLASSE os limites de uma classe são os valores extremos. O limite mínimo de uma classe é denominado Limite Inferior e o limite máximo de Limite Superior. INTERVALO DE CLASSE (h) é a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. h = A / n (quantidade de classes) PONTO MÉDIO DE CLASSE (Xi) o ponto médio de uma classe é o valor representativo da classe. Para se obter o ponto médio de uma classe, basta somar os limites superior e inferior da classe e dividir por 2. 1- Transformar os dados brutos em ROL. 2- Encontrar a amplitude total dos dados. 3 -Determinar o número de classes, de acordo com o total de observações. n = qtd. observações 4 - Dividir a amplitude total da série pelo número de classes escolhido. 5- Determinar os limites das classes, escolhendo-se, preferencialmente, números inteiros. ROTEIRO PARA ELABORAÇÃO DE TABELA DE FREQUÊNCIA Uma empresa fez um levantamento das idades dos seus 180 funcionários e encontrou os seguintes valores: a) 45 funcionários entre 15 e 23 anos; b) 55 funcionários entre 23 e 31 anos; c) 35 funcionários entre 31 e 39 anos; d) 27 funcionários entre 39 e 47 anos e; e) 18 funcionários entre 47 e 55 anos. Elabore a distribuição de frequência para os dados coletados. Exemplo: Distribuição de Frequência Idades Número de Empregados. 15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 23 45 23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 31 55 31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 39 35 39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 47 27 47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 55 18 ∑ 180 Distribuição de Frequências Idades Número de Empregados. 15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 23 45 23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 31 55 31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 39 35 39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 47 27 47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 55 18 ∑ 180 A tabela acima apresenta 5 classes: 15 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 23, onde 15 é o limite inferior e 23 o superior; 23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 31, onde 23 é o limite inferior e 31 o superior; 31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 39, onde 31 é o limite inferior e 39 o superior; 39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 47, onde 39 é o limite inferior e 47 o superior; 47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 55, onde 47 é o limite inferior e 55 o superior. - A frequência da 1a classe é 45, a da 2a classe é 55, da 3a classe é 35, da 4a classe é 27 e a frequência da 5a classe é 55. Distribuição de Frequências Idades Número de Empregados. fi Xi 15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 23 45 19 23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 31 55 27 31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 39 35 35 39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 47 27 43 47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 55 18 51 ∑ 180 --- Idades Número de Empregados. Xi Fr 15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 23 45 19 0,25 23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 31 55 27 0,31 31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 39 35 35 0,19 39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 47 27 43 0,15 47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 55 18 51 0,10 ∑ 180 --- 1,00 A Frequência Relativa é obtida dividindo-se a frequência da classe pelo somatório da frequência total. (fi) Ponto Médio de uma classe é a média aritmética dos limites de classe: (Lim inf + Lim sup) . Ex.: (15+23)/2 = 19 Exercício Abaixo temos o gasto com material de limpeza de uma rede de 50 hotéis de mesmo padrão. Deseja-se obter informações, em forma de Tabela de Frequência, que permitam melhor compreender essa variável ( X: Gasto – variável quantitativa contínua) Dados Brutos (valores de uma variável): Elaborar a Tabela de Frequências Dica: Defina: 1) o intervalo de classes; 1) a frequência absoluta; 2) o ponto médio; 3) a frequência relativa e; 4) a frequência percentual. As variáveis são os gastos e as frequências, as repetições. Dica: Resposta: Quartis Decis Percentis
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