Estatistica e Probabilidade Aula 02

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AULA - 02
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE 
TENDÊNCIA CENTRAL
• MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E 
PONDERADA, MÉDIA GEOMÉRICA , 
MÉDIA HARMÔNICA MODA E 
MEDIANA
MEDIA ARITMÉTICA
- MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES. É a medida de posição mais
utilizada. A média de um conjunto de valores numéricos é
calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o
resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao
número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n
números é sua soma dividida por n. Ex.:
- MÉDIA ARITMÉTICA PODERADA. A média ponderada é calculada
por meio do somatório das multiplicações entre valores e pesos
divididos pelo somatório dos pesos. Vamos, por meio de
exemplos, demonstrar os cálculos envolvendo a média
ponderada
MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Ex.: Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de 
acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso 
das notas esteja relacionado com o bimestre em questão, determine a 
média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais 
a:
1º Bimestre: 7,0
2º Bimestre: 6,0
3º Bimestre: 8,0
4º Bimestre: 7,5 
a) Mp = 7,0·1 + 6,0·2 + 8,0·3 + 7,5·4
1 + 2 + 3 + 4
b) Mp = 7,0 + 12,0 + 24,0 + 30,0
10
c) Mp = 73,0 
10
A média anual de Gabriel é 7,3.
MÉDIA GEOMÉTRICA:
A média geométrica entre números reais não negativos
x1,x2,...,xn é definida como sendo a raiz n-ésima do produto 
dos n termos, ou seja, entre n valores, é a raiz de índice n do 
produto desses valores.
Exemplos:
1) 9 e 9: 9.9 = 81 = 9
2) 9,9,9: 9.9.9 = 729 = 9
3) 9,9,9,9,9,9 = 9.9.9.9.9.9 = 531.441 = 9 
3 3
6 6
MÉDIA HARMÔNICA:
A média harmônica é utilizada quando estamos trabalhando com 
grandezas inversamente proporcionais. A média harmônica 
equivale ao inverso da média aritmética dos inversos 
de n valores. 
Fórmula: *
Exemplos:
2 e 3: 5, 5 e 2: 1, 2, 3 e 4:
= 2,4 = 3,33 = 1,92
* n é a quantidade de termos
O aluno X participou de um concurso, onde
foram realizadas provas de Português,
Matemática, Biologia e História. Essas provas
tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente.
Sabendo que o aluno tirou 8,0 em Português,
7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em
História, qual foi a média que ele obteve?
Exercícios:
1) Qual é a média geométrica e a média harmônica dos números 2 e 8?
2) Qual é a média geométrica e a média harmônica dos números 1,3 e 9?
3) Qual é a média geométrica e a média harmônica dos números 1,2,2,8 e 
243?
4) Qual é a média geométrica e a média harmônica a dos números 2, 4, 8 
e 16?
5) Qual é a média geométrica e a média harmônica dos números 2, 4, 8, 16, 
32 e 64?
MEDIDAS DE POSIÇÃO
• MODA
Pode-se definir como moda o valor mas frequente, quando comparada 
sua frequência com a dos valores contíguos de um conjunto ordenado. A 
moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única.
EXEMPLOS : 
 X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8
moda = 6 – valor mais frequente – unimodal
 Y = 2, 3, 4, 5, 6
não tem moda – amodal
 Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9
tem duas modas 4 e 8 – bimodal
Exercícios
1) Considere a seguinte amostra de uma pesquisa feita 
com 15 consumidores que atribuíram as seguintes 
notas a uma mercadoria , numa escala de 0 a 100 : 
100, 90 ,68, 70, 98, 80, 82 , 90 , 75, 95, 100, 85, 65, 80, 90.
Calcular :
a) Média Aritmética Simples
b) Moda
c) Mediana
Dica: sempre coloquem os termos em ordem crescente, 
para efetuar os cálculos (para a média não é necessário)
Como calcular a Mediana:
a) Quando o número de termos é impar basta escolher 
o termo central. No nosso exemplo:
65, 68, 70, 75, 80, 80 ,82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100, 100.
b)Quando o número de termos é par somamos os dois 
termos centrais e dividimos por dois. Ex.:
65, 68, 70, 75, 80, 80 ,82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100.
(82 + 85)/2 = 83,5
Dia do Mês Temperatura ºC
1 15,5
3 14
5 13,5
7 18
9 19,5
11 20
13 13,5
15 13,5
17 18
19 20
21 18,5
23 13,5
25 21,5
27 20
29 16
Foi feita a medição diária da temperatura de uma cidade, durante 15. As
medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:
Em relação à temperatura, quais são os valores da média, moda e
mediana, respectivamente?
MEDIDAS DE POSIÇÃO
• Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse 
de determinarmos qual o valor que divide a distribuição em duas 
partes iguais, quatro partes iguais, dez partes iguais e cem partes 
iguais. A estes valores (separatrizes) chamamos, respectivamente, 
de:
 Quartis
 Decis
 Percentis
O interesse no conhecimento das separatrizes decorre do fato de, a 
partir delas, poderemos introduzir os índices de Pearson, de uso 
muito prático na descrição de uma variável X.
QUARTIS  dividem a distribuição em quatro partes iguais, 
então, haverá sempre três Quartis em um conjunto.
DECIS – Dividem a distribuição ordenada em dez partes iguais, 
então haverá nove Decis nove em um conjunto.
PERCENTIS : Dividem a distribuição ordenada em cem partes 
iguais, portanto em um conjunto, haverá noventa e nove 
Percentis.
Essas medidas são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo 
nome genérico de separatrizes.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
QUARTIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS
O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da mediana 
para os 3 quartis. Na realidade serão calculadas " 3 medianas " em 
uma mesma série. Ex.: Calcule os quartis da série: { 5, 2, 6, 9, 10, 
13, 15 }
O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou 
decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, 
logo a Md = 9 que será = Q2.
Temos agora {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 } como sendo os dois grupos de 
valores iguais proporcionados pela mediana ( quartil 2). Para o 
cálculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes iguais 
provenientes da verdadeira Mediana da série (quartil 2).
Logo em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 . Ou seja: será o quartil 1
em {10, 13, 15 } a mediana é =13 . Ou seja: será o quartil 3
QUARTIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS
Logo a resposta é:
Quartil 1 = 5
Quartil 2 = 9
Quartil 3 = 13
CALCULE OS QUARTIS DA SÉRIE PAR: 
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2 = Md = 
(5+6)/2 = 5,5
O quartil 1 será a mediana da série à esquerda de Md : { 1, 1, 2, 3, 5, 
5 }
Q1 = (2+3)/2 = 2,5
O quartil 3 será a mediana da série à direita de Md : {6, 7, 9, 9, 10, 
13 }
Q3 = (9+9)/2 = 9
OUTRA FORMA DE CALCULAR OS QUARTIS 
Matematicamente podemos escrever o número inteiro 1 (um) das seguintes 
formas:
1 = 100%, então podemos afirmar que: 
25%, 50% e 75%. Assim podemos deduzir as 
fórmulas:
Q1= , Q2= e Q3=
n é o número de termos da série.

4
3

4
1

4
2
)1(
4
1
n )1(
4
2
n )1(
4
3
n

4
4
OUTRA FORMA DE CALCULAR OS QUARTIS
Ex.: : Calcule os quartis da serie já ordenada: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
n= 7
1) Q1= = = = 2.
O primeiro quartil é o número na posição 2= 5
2) Q2= = = = 4.
O segundo quartil é o número na posição 4= 9
3) Q3= = = = 6.
O terceiro quartil é o número na posição 6= 13
Compare com os resultados do slide 15.
)1(
4
1
n )17(
4
1

4
8
)1(
4
2
n )17(
4
2
4
16
)1(
4
3
n )17(
4
3

4
24
DECIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS
Leva em consideração a posição do termo procurado em relação ao total de 
termos, dividido por dez. 
Ex.: Calcular o D7 do conjunto: 15, 2, 4, 6, 10, 12, 13, 7, 21, 18, 20
Ordenar em ordem crescente: 2,4,6,7,10,12,13,15,18,20,21
a) Cálculo do D7
1° Passo: Determinar a posição do D7:
Nota: 11 é o número de termos.
2º Passo: Procura-se no rol o valor da posição do 8° elemento: 15
Escolhemos valores inteiros. 7,08 = 3 ou 7,56 = 8
7,7
10
117
10
7
7 




n
D
CENTIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS
O cálculo é idêntico ao do decil. So muda o denominador. No lugar 
do 10 colocamos 100. 
Ex.: Calcular o P28 e P82 do conjunto: 15, 2, 4, 6, 10, 12, 13, 7, 21, 18, 20
Ordenar em ordem crescente: 2,4,6,7,10,12,13,15,18,20,21
a) Cálculo do P28
1° Passo: Determinar a posição do P28 
Nota: 11 é o número de termos.
2º Passo: Procura-se no rol o valor da posição do 3° elemento: 6
Escolhemos valores inteiros. 3,08 = 3 ou 3,56 = 4
08,3
100
1128
100
28
28





n
P
CENTIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS
Continuando o exemplo: 
b) Cálculo do P82
1° Passo: Determinar a posição do P82 
Procura-se no rol o valor da posição do 9° elemento: 18
Nota: 
11 é o número de termos.
Escolhemos valores inteiros. 9,02 = 9 ou 9,56 = 10
02,9
100
1182
100
82
82 




n
P
Exercícios:
Dada a séries:
a)100, 90 ,68, 70, 98, 80, 82 , 90 , 75, 95, 100, 85, 65, 80, 90;
b) 26, 12, 21,7,18,11,9,2,4,15,16,14,14,20;
c) 13,28,14,17,36,31,24,23,22,9,4,3,1,19,22,29,
Calcular:
a) as médias aritméticas, geométricas e harmônicas;
b) os quartis;
c) os decis 5 e 7;
d)os centis 36 e 48.
Frequências
DADOS BRUTOS
• Normalmente, na prática, os dados originais de uma 
série estatística não se encontram prontos para 
análise, pois estarem desorganizados. Por essa razão, 
costuma-se chamá-los de dados brutos.
ROL
• É a lista ordenada dos dados de uma série estatística. 
Essa ordenação pode ser crescente ou decrescente.
ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
• Os métodos utilizados para organizar dados 
compreendem o arranjo desses dados em 
subconjuntos que apresentem características similares: 
mesma idade, faixa etária, mesma finalidade, mesma 
escola, mesmo bairro, etc.
• Os dados agrupados podem ser resumidos em tabelas 
ou gráficos e, a partir desses, podemos obter as 
estatísticas descritivas já definidas: média, mediana, 
desvio, etc.
• Dados organizados em grupos ou categorias/classes são 
usualmente designados “distribuição de frequência”.
EXEMPLO:
À 24 pessoas presentes em um evento automobilístico foi feita a seguinte 
pergunta: Qual a sua marca de carro preferida?
Respostas: Ford, Peugeot, GM, Ford, Peugeot, Volks, GM, GM, Volks, 
Fiat, Renault, Fiat, Volks, Ford, Renault, GM, Fiat, Volks, Ford, GM, 
Nissan, Volks, GM e Peugeot.
Marcas Frequência 
Absoluta (FA)
Frequência 
Relativa (FR)
Ford 4 16,7%
Fiat 3 12,5%
GM 6 25%
Nissan 1 4,2%
Peugeot 3 12,5%
Renault 2 8,3%
Volks 5 20,8%
Total 24 100%
Distribuição deFrequências
 FREQÜÊNCIA RELATIVA - fri
• É obtida pela divisão da freqüência simples da classe pelo número total 
dos elementos.
• fri = fi / n
FREQÜÊNCIA ACUMULADA - Fi :
• Resulta da soma da freqüência simples da classe com as freqüências 
simples das classes antecedentes.
• Fi = f1 + f2+ f3 + ... + fi
FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA - Fri:
• É obtida pela divisão da freqüência acumulada da classe pelo número total 
dos elementos.
• Fri = Fi / n
Frequências
• ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS
• X max  maior valor observado da variável de 
freqüências.
X min  menor valor observado da variável de freqüências
 AMPLITUDE (A)  é a diferença entre o maior e menor valor 
observado da variável.
A = X - X 
máx mín
Frequências
 LIMITES DE CLASSE  os limites de uma classe são os valores 
extremos. O limite mínimo de uma classe é denominado 
Limite Inferior e o limite máximo de Limite Superior.
 INTERVALO DE CLASSE (h)  é a diferença entre o limite 
superior e o limite inferior da classe. 
h = A / n (quantidade de classes)
 PONTO MÉDIO DE CLASSE (Xi)  o ponto médio de uma 
classe é o valor representativo da classe. Para se obter o 
ponto médio de uma classe, basta somar os limites superior e 
inferior da classe e dividir por 2.
1- Transformar os dados brutos em ROL.
2- Encontrar a amplitude total dos dados.
3 -Determinar o número de classes, de acordo com o 
total de observações. n =  qtd. observações 
4 - Dividir a amplitude total da série pelo número de 
classes escolhido.
5- Determinar os limites das classes, escolhendo-se, 
preferencialmente, números inteiros.
ROTEIRO PARA ELABORAÇÃO DE TABELA 
DE FREQUÊNCIA
Uma empresa fez um levantamento das idades dos seus 
180 funcionários e encontrou os seguintes valores: 
a) 45 funcionários entre 15 e 23 anos;
b) 55 funcionários entre 23 e 31 anos;
c) 35 funcionários entre 31 e 39 anos;
d) 27 funcionários entre 39 e 47 anos e;
e) 18 funcionários entre 47 e 55 anos.
Elabore a distribuição de frequência para os dados 
coletados.
Exemplo:
Distribuição de Frequência
Idades Número de Empregados.
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 23 45
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 31 55
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 39 35
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 47 27
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 55 18
∑ 180
Distribuição de Frequências
Idades Número de 
Empregados.
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 23 45
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 31 55
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 39 35
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 47 27
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 55 18
∑ 180
A tabela acima apresenta 5 classes:
15 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 23, onde 15 é o limite inferior e 23 o superior;
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 31, onde 23 é o limite inferior e 31 o superior;
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 39, onde 31 é o limite inferior e 39 o superior;
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 47, onde 39 é o limite inferior e 47 o superior;
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 55, onde 47 é o limite inferior e 55 o superior.
- A frequência da 1a classe é 45, a da 2a classe é 55, da 3a classe é 35, da 4a
classe é 27 e a frequência da 5a classe é 55.
Distribuição de Frequências
Idades Número de 
Empregados. fi
Xi
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 23 45 19
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 31 55 27
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 39 35 35
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 47 27 43
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 55 18 51
∑ 180 ---
Idades Número de 
Empregados.
Xi Fr
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 23 45 19 0,25
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 31 55 27 0,31
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 39 35 35 0,19
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 47 27 43 0,15
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 55 18 51 0,10
∑ 180 --- 1,00
A Frequência Relativa é obtida dividindo-se a frequência da classe pelo somatório 
da frequência total. (fi)
Ponto Médio de uma classe é a média aritmética dos limites de classe: 
(Lim inf + Lim sup) . Ex.: (15+23)/2 = 19
Exercício
Abaixo temos o gasto com material de limpeza de uma rede de 
50 hotéis de mesmo padrão. Deseja-se obter informações, em 
forma de Tabela de Frequência, que permitam melhor 
compreender essa variável ( X: Gasto – variável quantitativa 
contínua)
Dados Brutos (valores de uma variável):
Elaborar a Tabela de Frequências
Dica:
Defina:
1) o intervalo de classes;
1) a frequência absoluta;
2) o ponto médio;
3) a frequência relativa e;
4) a frequência percentual.
As variáveis são os gastos e as frequências, as repetições.
Dica:
Resposta:
Quartis
 Decis
 Percentis